Ondas Guiadas - Potência e Vetor de Poynting em Ondas Eletromagnéticas

DISCIPLINA ONDAS GUIADAS CAPÍTULO 2 MÓDULO 3 Prof Dr Vilson Luiz Coelho Capítulo 2 Propagação de Ondas Eletromagnéticas IntroduçãoRevisão de Conceitos Capítulo 2 Propagação de Ondas Eletromagnéticas Módulo 1 21 Introdução 22 Equações Gerais da Onda Plana Uniforme Módulo 2 23 Características dos Meios 24 O Espectro Eletromagnético 25 O Decibel Módulo 3 26 Potência e Vetor de Poynting 27 Ondas planas em dielétricos com perdas 28 Ondas planas em dielétricos sem perdas 29 Ondas planas no espaço livre vácuo Módulo 4 210 Ondas planas em bons condutores 2101 Profundidade de penetração 2102 Resistência CA e efeito pelicular 2103 Blindagem Módulo 5 211 Reflexão de ondas eletromagnéticas Módulo 6 Exemplos de Aplicação Capítulo 2 Propagação de Ondas Eletromagnéticas 26 Potência e Vetor de Poynting Conforme mencionado anteriormente a energia pode ser transportada por meio de ondas eletromagnéticas entre um transmissor e um receptor Assim a taxa de transporte de energia pode ser obtida através das equações de Maxwell Se considerarmos um certo volume uma onda incidente tem a propriedade de transportar energia para dentro deste volume Por outro lado quando a fonte de irradiação da onda estiver contida no mesmo a onda criada transporta energia para o seu exterior Definese Vetor de Poynting p como sendo o produto vetorial do campo elétrico pelo campo magnético Considerando que a unidade de E é Vm e H em Am o produto possui a dimensão de Wm2 o que identifica o vetor de Poynting como uma densidade superficial de potência instantânea que tem o mesmo sentido e direção da propagação da onda A integral do vetor de Poynting ao longo de uma superfície fechada é conhecida como o Teorema de Poynting 2 Wm 221 p E H Capítulo 2 Propagação de Ondas Eletromagnéticas Figura 261 Balanço de Potência dos Campos EM J s B E Perdas ômicas x y z Potência de saída Potência de entrada Energia Magnética Armazenada Energia Elétrica Armazenada O teorema de Poyting representa a potência líquida que flui para fora de um volume v que é igual a taxa temporal de decréscimo da energia armazenada nesse volume menos as perdas por condução 2 2 2 2 2 S v v H E E dv dv t s E H dS Potência total saindo do volume Taxa de variação da energia armazenada nos campos elétrico e magnético Perdas ôhmicas Capítulo 2 Propagação de Ondas Eletromagnéticas A partir das equações 210 e 211 e considerando se a identidade trigonométrica da equação 222 e que os campos E e H estão a 90 um do outro obtémse a equação 223 Esta equação representa a densidade de potência instantânea Porém quando se trata de potência o mais importante é conhecer a potência média Então a Densidade de Potência média Wm2 que incide em uma superfície fica Para saber a potência média total que atravessa a superfície 2 2 0 cos cos 2 2 2 z E z t e t z Z p a 223 1 cos cos cos cos 2 A B A B A B 222 0 1 ou 1 Re 2 T médio s médio S S p z p z t dt T p z E H 224 225 2 2 0 cos 2 z médio E z e Z p a 226 médio S médio P p ds 227 Capítulo 2 Propagação de Ondas Eletromagnéticas 27 Ondas planas em dielétricos com perdas A propagação de ondas planas em dielétricos com perdas representa o caso geral equações 210 211 e 226 A onda se propaga em um meio onde a condutividade não é nula e desta forma ocorre a perda de potência Na Figura 262 podese observar o comportamento de um campo elétrico com amplitude inicial igual a 100 Vm propagandose ao longo do eixo z com uma frequência de 1 MHz num meio com condutividade igual 104 Sm permeabilidade magnética 0 e permissividade elétrica 100 Percebese que a amplitude da onda diminui em função de ez Figura 271 Propagação de onda em um meio com perdas 100 80 60 40 20 0 20 40 60 80 100 120 00 05 10 15 20 25 30 35 40 zm E Vm t0 s 0 E e z Capítulo 2 Propagação de Ondas Eletromagnéticas Atenuação Quando considerase uma onda se propagando em um meio em que a condutividade é diferente de zero dizse que ocorre atenuação do sinal A amplitude da onda decai na função ez a medida em que ocorre a propagação A atenuação propriamente dita é o produto z e pode ser medida em Np ou dB Para cálculo de atenuação de campos elétricos ou magnéticos a conversão de Np para dB pode ser feita pela equação 220 10 1Np 20log e dB 8686 dB Capítulo 2 Propagação de Ondas Eletromagnéticas Casos em que s ou 2 Então 2 j j j s 2 2 2 2 j j s se radm o R o R R c 2 2 2 e 2 s 2 2 2 s s s j j j s 120 2 2 2 60 o o R R R s s s s 120 o R R j j s Capítulo 2 Propagação de Ondas Eletromagnéticas Exemplo 23 Um sistema de radar emite a partir de sua antena uma densidade de potência média de 50kWm2 com frequência de 10 GHz direcionado a um avião localizado a 100 km de distância Considerando ondas planas uniformes e o ar com as seguintes características condutividade 107 Sm permeabilidade relativa 1 e permissividade relativa105 desejase saber o seguinte a As constantes de atenuação e de fase b A impedância intrínseca do meio c A tangente de perdas do meio d A velocidade de fase e o comprimento de onda e As equações dos campos elétrico e magnético f A densidade média de potência que chega ao avião g A atenuação do campo elétrico no percurso antena e avião Solução Dados P0 50000 Wm2 f 1010 Hz z 100000 m 105 o o a As constantes de atenuação e de fase são os componentes da constante de propagação j j j s 10 2 2 10 f 7 5 5 789568 10 0583 184 10 2146 184 10 Npm e 2146 radm j j j j Capítulo 2 Propagação de Ondas Eletromagnéticas b A impedância intrínseca do meio é obtida pela equação Tendo em vista que s o ângulo é muito pequeno podendo ser arredondado para zero c A constante de perdas é determinada pela equação 219 Percebese que o ar é um bom dielétrico d A velocidade de fase ou propagação e o comprimento de onda podem ser calculados por onde c é a velocidade de propagação da onda EM no vácuo Percebese que ocorreu uma redução na velocidade de fase em relação à velocidade da luz Será visto mais a frente que a permissividade do meio influencia significativamente na velocidade de fase da onda 7 5 789568 10 0583 ou 3679 315 10 ou ainda 3679 0 o j j j j j s 7 7 10 tan tan 171 10 0583 s 10 8 2 2 2 ou 0029 m 2146 0029 10 29 10 ms 976 v f v c Capítulo 2 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e Substituindose os valores e nas equações de Ezt e Hzt temse Os valores iniciais z0 dos campos podem ser obtidos utilizandose a equação 226 Para isso considerase a densidade de potência na antena isto é para z0 Com estes resultados podese então descrever as equações completamente f A densidade média de potência que chega ao avião é obtida com a aplicação direta da equação 226 Percebese que apesar da baixa condutividade do meio em função da longa distância a potência que chega ao avião está bastante reduzida cerca de 25 da potência de saída 4 4 184 10 10 0 184 10 10 0 cos 628 10 2146 kVm cos 628 10 2146 Am z z z t E e t z z t H e t z x y E a H a 5 2 2 184 10 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 cos0 50000 2 50000 ou 2 3679 50000 2 3679 60655 60652 Vm e 1649 Am 3679 médio E p z e P E E E E H 5 5 184 10 10 184 10 10 66 cos 628 10 2146 kVm 165 cos 628 10 2146 Am z z z t e t z z t e t z x y E a H a 5 2 2 184 10 100000 2 60655 100km cos0 2 3679 100km 12623 W m médio médio z e p z Z p a Capítulo 2 Propagação de Ondas Eletromagnéticas e A atenuação é o produto da constante de atenuação pela distância transmitida 184 10 5 100000 184 Np em dB 184 8686 16 dB z z z Capítulo 2 Propagação de Ondas Eletromagnéticas 28 Ondas planas em dielétricos sem perdas Considerase um dielétrico sem perdas quando a condutividade pode ser desconsiderada ou seja Assim substituindose na equação 27 obtémse a constante de propagação para dielétrico sem perdas Consequentemente a velocidade de fase fica Usandose a equação 214 e procedendose de forma similar obtémse a impedância intrínseca 0 0 0 r e r s s 0 0 8 0 0 0 1 Se 3 10 ms então radm 228 R R R R j j j j c c 0 0 0 0 0º 0 120 0º 230 R R R R R R j j ou ms 229 R R R R c v v c v Capítulo 2 Propagação de Ondas Eletromagnéticas Exemplo 24 Uma onda plana uniforme de 1 GHz está se propagando num bloco de silício R 12 R 1 s0 a Determine constante de fase a velocidade de fase o comprimento de onda e a impedância intrínseca b Escreva as expressões no domínio do tempo para os vetores intensidade de campo elétrico e magnético Solução Dados f 109 Hz 12 o o s0 a Constante de fase equação 228 Velocidade de Fase equação 229 Comprimento de onda a partir da equação 212 Impedância Intrínseca equação 230 b Expressões dos vetores Ezt e Hzt equações 210 e 211 9 8 2 10 1 12 7255 radm 3 10 R R c 8 7 3 10 ms 866 10 ms 1 12 R R c v v 2 2 00866 m 7255 1 120 0º 120 10883 0º 12 R R 9 0 9 0 cos 628 10 7255 Vm cos 628 10 7255 Am 10883 x y z t E t z E z t t z E a H a Capítulo 2 Propagação de Ondas Eletromagnéticas 29 Ondas planas no espaço livre vácuo O espaço livre ou vácuo possui as seguintes características Assim substituindose estes valores nas equações do item 23 temse Na Figura 251 podese observar o comportamento de um campo elétrico com amplitude inicial igual a 100 Vm propagandose ao longo do eixo z com uma frequência de 1 MHz num meio sem condutividade e permeabilidade e permissividade iguais as do vácuo Percebese que neste caso não há atenuação já que o componente ez é igual a um 0 Figura 291 Propagação de onda em um meio sem perdas 0 0 0 e s radm 231 ms 120 0º 232 c v c 150 100 50 0 50 100 150 00 05 10 15 20 25 30 35 40 zm E Vm t0 s E0 Capítulo 2 Propagação de Ondas Eletromagnéticas Exercício 24 Um fabricante produz um ferrite com s106 Sm 5o e 750o para uma frequência de 10MHz a Como este material pode ser classificado Condutor quase condutor ou dielétrico b Calcule a constante de fase o comprimento de onda e a impedância intrínseca do meio Resposta a dielétrico b 128 radm 049 m e 4617 ohms Exercício 25 Uma emissora de rádio FM opera em 1017 MHz com uma potência de 100kW Para longas distâncias da antena as ondas geradas podem ser consideradas OPU Considerando que o campo elétrico a uma distância z da antena pode ser obtido pela equação abaixo onde G é o ganho da antena considerar igual a 1 P a potência do transmissor e a impedância intrínseca do meio 377 calcule A potência total que atravessa uma circunferência de 1m de diâmetro perpendicular à direção de propagação da onda e localizada a 1km da emissora Resposta 625 mW 2 Vm 2 z GP E z CENTRO UNIVERSITÁRIO UNISATC