Deflexão em Vigas e Eixos: Aula 9 - Linha Elástica e Relação Momento-Curvatura

UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS Faculdade de Engenharia Engenharia Mecânica Prof Rodrigo Borges Santos 91 A linha elástica 92 Relação momentocurvatura 93 Inclinação e deslocamento por integração 94 Exemplos 95 Exercícios propostos Resistência dos Materiais II Aula 9 Deflexão em Vigas e Eixos parte 1 A LINHA ELÁSTICA 91 Prof Rodrigo Borges Santos O diagrama da deflexão do eixo longitudinal que passa pelo centroide de cada área da seção transversal da viga é denominado linha elástica A LINHA ELÁSTICA Para traçar a linha elástica é necessário saber como a inclinação ou o deslocamento da viga são restringidos pelos vários tipos de apoio Os apoios que resistem a uma força como um pino restringem o deslocamento Os apoios que resistem a um momento como uma parede fixa restringem a rotação bem como o deslocamento Prof Rodrigo Borges Santos 91 A LINHA ELÁSTICA O primeiro passo é o traçado do diagrama de momento fletor da viga Utilizando a convenção de sinais se torna mais fácil representar a linha elástica Haverá um ponto de inflexão ou seja uma mudança de concavidade da curva num ponto onde o momento seja nulo Momento positivo concavidade para cima Momento negativo concavidade para baixo Prof Rodrigo Borges Santos 91 A LINHA ELÁSTICA Para a viga ao lado Devido aos apoios de rolete em B e pino em D o deslocamento nesses pontos é nulo Dentro da região de momento negativo AC a linha elástica deve ser côncava para baixo e dentro da região de momento positivo CD para cima Há um ponto de inflexão em C no qual a curva muda de concavidade visto que o momento nesse ponto é nulo Prof Rodrigo Borges Santos 91 A LINHA ELÁSTICA Para a viga engastada ao lado A linha elástica deve ter inclinação e deslocamento nulos em A devido ao engaste O ponto de inflexão existe onde o momento é nulo O maior deslocamento pode ocorrer em D onde a inclinação é nula ou em C Prof Rodrigo Borges Santos 91 RELAÇÃO MOMENTOCURVATURA 92 O eixo x representa o eixo do centroide da viga com sentido positivo para a direita Definese um eixo v que mede o deslocamento vertical do centroide da área da seção com direção positiva para cima Usase uma coordenada y localizada para especificar a posição de uma fibra no elemento Prof Rodrigo Borges Santos RELAÇÃO MOMENTOCURVATURA 92 Quando o momento fletor interno M deforma o elemento da viga o ângulo entre as seções transversais tornase dθ O arco dx representa uma porção da linha elástica que intercepta o eixo neutro para cada seção transversal O raio de curvatura para esse arco é definido como a distância radial ρ que é medida do centro de curvatura O até dx Qualquer arco sobre o elemento exceto dx está sujeito a uma deformação normal Prof Rodrigo Borges Santos RELAÇÃO MOMENTOCURVATURA 92 Prof Rodrigo Borges Santos 1 A deformação ϵ situada a uma altura y da linha neutra é Sendo e Logo ou RELAÇÃO MOMENTOCURVATURA 92 2 ρ raio de curvatura em um ponto específico M momento fletor interno na viga no ponto onde ρ deve ser determinado EI rigidez à flexão produto do módulo de elasticidade do material E pelo momento de inércia I calculado em torno do eixo neutro Prof Rodrigo Borges Santos INCLINAÇÃO E DESLOCAMENTO POR INTEGRAÇÃO 93 Prof Rodrigo Borges Santos 3 INCLINAÇÃO E DESLOCAMENTO POR INTEGRAÇÃO 93 Prof Rodrigo Borges Santos 4 INCLINAÇÃO E DESLOCAMENTO POR INTEGRAÇÃO 93 Prof Rodrigo Borges Santos INCLINAÇÃO E DESLOCAMENTO POR INTEGRAÇÃO 93 Na maioria dos problemas a rigidez à flexão será constante ao longo do comprimento da viga Considerando que seja esse o caso os resultados obtidos podem ser reordenados no seguinte conjunto de equações 5 6 7 Para cada integração é necessário introduzir uma constante de integração e então resolver para todas as constantes de modo a obter uma solução única para um problema particular É mais fácil determinar o momento interno M em função de x integrar duas vezes e avaliar somente duas constantes de integração Prof Rodrigo Borges Santos INCLINAÇÃO E DESLOCAMENTO POR INTEGRAÇÃO 93 Para vigas com vários tipos de carregamento devese escrever a equação do momento fletor para cada região e integrando cada uma dessas equações e determinando as constantes de integração obtémse também a equação da linha elástica para cada região Prof Rodrigo Borges Santos INCLINAÇÃO E DESLOCAMENTO POR INTEGRAÇÃO 93 Convenção de sinais v será positivo para cima Se x for positivo para a direita os ângulos θ e dθ serão positivos no sentido anti horário Se x for positivo para a esquerda os ângulos θ e dθ serão positivos no sentido horário Prof Rodrigo Borges Santos INCLINAÇÃO E DESLOCAMENTO POR INTEGRAÇÃO 93 Condições de contorno e continuidade As constantes de integração são determinadas pela avaliação das funções para cisalhamento momento inclinação ou deslocamento em um determinado ponto na viga no qual o valor da função é conhecido Esses valores são denominados condições de contorno Prof Rodrigo Borges Santos INCLINAÇÃO E DESLOCAMENTO POR INTEGRAÇÃO 93 Condições de contorno e continuidade Se não for possível usar uma única coordenada x para expressar a equação para a inclinação ou para a linha elástica de uma viga devese usar as condições de continuidade para calcular algumas das constantes de integração Na viga ao lado obtidas as funções para a inclinação e a deflexão elas devem dar os mesmos valores no ponto B de modo que a linha elástica seja contínua Prof Rodrigo Borges Santos Exemplo 1 121 Hibbeler 7 ed EXEMPLOS 94 A viga engastada mostrada na figura está sujeita a uma carga vertical P na sua extremidade Determine a equação da linha elástica EI é constante Linha elástica Prof Rodrigo Borges Santos Exemplo 1 Solução EXEMPLOS 94 Prof Rodrigo Borges Santos Exemplo 1 Solução EXEMPLOS 94 Prof Rodrigo Borges Santos Linha elástica Exemplo 1 Solução EXEMPLOS Positivo antihorário Negativo para baixo 94 Prof Rodrigo Borges Santos Exemplo 1 Solução EXEMPLOS 94 Prof Rodrigo Borges Santos Exemplo 2 Prob 93 Beer et al 7 ed EXEMPLOS A viga engastada mostrada na figura está sujeita a uma carga distribuída w em toda a sua extensão Determine a equação da linha elástica o deslocamento e a deflexão do ponto A EI é constante 94 Prof Rodrigo Borges Santos Exemplo 2 Solução EXEMPLOS 94 Prof Rodrigo Borges Santos Exemplo 2 Solução EXEMPLOS 94 Prof Rodrigo Borges Santos Exemplo 2 Solução EXEMPLOS Positivo antihorário Negativo para baixo 94 Prof Rodrigo Borges Santos Exemplo 3 123 Hibbeler 7 ed EXEMPLOS 94 A viga simplesmente apoiada mostrada na figura está sujeita a uma carga vertical de 6 kN na sua extremidade Determine a deflexão máxima da viga EI é constante Prof Rodrigo Borges Santos Exemplo 3 Solução EXEMPLOS 94 Prof Rodrigo Borges Santos Exemplo 3 Solução EXEMPLOS 94 Prof Rodrigo Borges Santos Exemplo 3 Solução EXEMPLOS 94 Prof Rodrigo Borges Santos Exemplo 3 Solução EXEMPLOS 94 Prof Rodrigo Borges Santos Exemplo 3 Solução EXEMPLOS 94 Prof Rodrigo Borges Santos Exemplo 3 Solução EXEMPLOS 94 Prof Rodrigo Borges Santos Exemplo 4 124 Hibbeler 7 ed EXEMPLOS 94 A viga da figura está sujeita a uma carga vertical de 4 kN na sua extremidade Determine o deslocamento em C EI é constante Prof Rodrigo Borges Santos Exemplo 4 Solução EXEMPLOS 94 Prof Rodrigo Borges Santos Exemplo 4 Solução EXEMPLOS 94 Prof Rodrigo Borges Santos Exemplo 4 Solução EXEMPLOS 94 Prof Rodrigo Borges Santos Exemplo 4 Solução EXEMPLOS 94 Prof Rodrigo Borges Santos Exemplo 4 Solução EXEMPLOS 94 Prof Rodrigo Borges Santos Exercício 1 Prob 125 Hibbeler et al 7 ed EXERCÍCIOS PROPOSTOS Determine as equações da linha elástica utilizando as coordenadas x1 e x2 EI é constante 95 Prof Rodrigo Borges Santos Exercício 2 Prob 1214 Hibbeler et al 7 ed EXERCÍCIOS PROPOSTOS Determine a equação da linha elástica para a viga utilizando a coordenada x Especifique a inclinação em A e a deflexão máxima EI é constante 95 Prof Rodrigo Borges Santos Exercício 3 Prob 1221 Hibbeler et al 7 ed EXERCÍCIOS PROPOSTOS Determine as equações da linha elástica utilizando as coordenadas x1 e x3 e especifique a inclinação e a deflexão no ponto B EI é constante 95 Prof Rodrigo Borges Santos Exercício 4 Prob 1227 Hibbeler et al 7 ed EXERCÍCIOS PROPOSTOS Determine a linha elástica para a viga simplesmente apoiada utilizando a coordenada x onde 0 x L2 Determine também a inclinação em A e a deflexão máxima da viga EI é constante 95 Prof Rodrigo Borges Santos Exercícios complementares Hibbeler 7 ed Problemas Capítulo 12 123 127 128 1215 1220 1225 1226 1228 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 95 Prof Rodrigo Borges Santos BEER FP JOHNSTON Jr ER et al Mecânica dos Materiais 7 ed Porto Alegre McGrawHill 3015 REFERÊNCIAS HIBBELER RC Resistência dos Materiais 7 ed Rio de Janeiro Pearson PrenticeHall 3010 GERE J M GOODNO B J Mecânica dos Materiais Tradução da 7ª Edição NorteAmericana 1 ed São Paulo Cengage Learning 3011 Prof Rodrigo Borges Santos