Transformações de Tensão: Círculo de Mohr e Exercícios Propostos

UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS Faculdade de Engenharia Engenharia Mecânica Prof Rodrigo Borges Santos 51 Círculo de Mohr tensão no plano 52 Tensão em eixos provocada por carga axial e torção Exemplos 53 Exercícios propostos Resistência dos Materiais II Aula 5 Transformações de Tensão parte 2 Mostraremos que as equações para transformação da tensão no plano têm solução gráfica que muitas das vezes é conveniente usar e fácil de lembrar CIRCULO DE MOHR TENSÃO NO PLANO 51 Prof Rodrigo Borges Santos cos2 sen2 2 sen2 cos2 2 2 xy y x x y xy y x y x x As equações Podem ser reescritas na forma cos2 sen2 2 sen2 cos2 2 2 xy y x x y xy y x y x x Elevando cada equação ao quadrado CIRCULO DE MOHR TENSÃO NO PLANO 51 Prof Rodrigo Borges Santos Somando as duas equações e eliminando θ 2 2 2 2 2 2 2 2 cos2 cos2 sen2 2 2 sen2 2 cos2 sen2 2 sen2 sen2 cos2 2 2 cos2 2 sen2 cos2 2 2 xy xy y x y x xy y x y x xy xy y x y x xy y x y x x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos2 sen2 cos2 sen2 2 2 xy y x y x y x x xy y x y x y x x 2 2 2 R x y med x 2 2 2 2 xy y x y x med R A equação acima pode ser escrita de uma forma mais compacta 13 1 1 Se definirmos eixos coordenados com σ positivo para a direita e τ positivo para baixo e então construirmos o gráfico da eq13 veremos que essa equação representa um círculo de raio R e centro no eixo σ no ponto Cσmed0 Esse círculo é denominado circulo de Mohr eng alemão Otto Mohr CIRCULO DE MOHR TENSÃO NO PLANO 51 Prof Rodrigo Borges Santos 2 2 2 R x y med x Definir um sistema de coordenadas tal que a abscissa represente a tensão normal σ como positiva para a direita e a tensão de cisalhamento τ como positiva para baixo Marque o centro do círculo C que está localizado no eixo σ a uma distância σméd σx σy 2 da origem Marque o ponto de referência A cujas coordenadas são Aσx τxy Ligue o ponto A ao centro C do círculo e determine CA por trigonometria Essa distância representa o raio R do círculo Uma vez determinado R desenhe o círculo CIRCULO DE MOHR TENSÃO NO PLANO 51 Prof Rodrigo Borges Santos Construção do círculo Gσy τxy Aσx τxy As tensões principais σ1 e σ2 são representadas pelos dois pontos B e D onde o círculo intercepta o eixo σ Essas tensões agem em planos definidos por ângulos θp1 e θp2 No circulo são representadas por ângulos 2θp1 e 2θp2 e são medidas da linha de referência radial até as linhas CB e CD respectivamente Usando a trigonometria somente um desses ângulos precisa ser calculado já que θp1 e θp2 estão a 90º um do outro CIRCULO DE MOHR TENSÃO NO PLANO 51 Prof Rodrigo Borges Santos Tensões Principais As componentes de tensão normal média e de tensão de cisalhamento máxima no plano são determinadas pelo circulo como as coordenadas do ponto E ou F Os ângulos θs1 e θs2 dão a orientação dos planos que contém essas componentes No círculo são representadas por ângulos 2θs1 e 2θs2 e pode ser determinados por trigonometria CIRCULO DE MOHR TENSÃO NO PLANO 51 Prof Rodrigo Borges Santos Tensão de cisalhamento máxima A carga axial P produz o estado de tensão no material como mostra a figura Construa o círculo de Mohr para esse caso Prof Rodrigo Borges Santos Exemplo 1 97 Hibbeler 7 ed CIRCULO DE MOHR TENSÃO NO PLANO 51 Construção do circulo de Mohr Prof Rodrigo Borges Santos Exemplo 1 solução CIRCULO DE MOHR TENSÃO NO PLANO 51 Pela figura O centro C do círculo está no eixo σ a uma distância σméd da origem Cσmed 0 O ponto de referência A tem coordenadas Aσx τxy Aσ 0 Por consequência o raio CA é R σ2 Cσ2 0 Tensões Prof Rodrigo Borges Santos Exemplo 1 solução CIRCULO DE MOHR TENSÃO NO PLANO 51 As tensões principais estão nos pontos A e D σ1 σ e σ2 0 A tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média associada são identificadas como o ponto E ou F τmáx σ2 e σmed σ2 O ângulo 2θs1 90º de modo que θs1 45º A carga de torção T produz o estado de tensão no eixo como mostrado na figura abaixo Construa o círculo de Mohr para esse caso Prof Rodrigo Borges Santos Exemplo 2 98 Hibbeler 7 ed CIRCULO DE MOHR TENSÃO NO PLANO 51 Construção do circulo de Mohr Prof Rodrigo Borges Santos Exemplo 2 solução CIRCULO DE MOHR TENSÃO NO PLANO 51 Pela figura O centro C do círculo está no eixo σ a uma distância σméd da origem Cσmed 0 O ponto de referência A tem coordenadas Aσx τxy A0 τ Por consequência o raio CA é R τ C0 0 Tensões Prof Rodrigo Borges Santos Exemplo 2 solução CIRCULO DE MOHR TENSÃO NO PLANO 51 O ponto A representa um ponto de tensão normal media e tensão de cisalhamento máxima no plano τmáx τ e σmed 0 As tensões principais são identificadas pelos pontos B e D no círculo σ1 τ e σ2 τ Os ângulos de CA a CB é 2θp1 90º de modo que θp1 45º O elemento no ponto A está sujeito ao estado de tensão mostrado na figura Determine as tensões principais que agem nesse ponto Prof Rodrigo Borges Santos Exemplo 3 99 Hibbeler 7 ed CIRCULO DE MOHR TENSÃO NO PLANO 51 Construção do circulo de Mohr Prof Rodrigo Borges Santos Exemplo 3 solução CIRCULO DE MOHR TENSÃO NO PLANO 51 Pela figura O centro C do círculo está no eixo σ a uma distância σméd da origem Cσmed 0 O ponto de referência A tem coordenadas Aσx τxy A12 6 Por consequência o raio CA é C6 0 Tensões Prof Rodrigo Borges Santos Exemplo 3 solução CIRCULO DE MOHR TENSÃO NO PLANO 51 As tensões principais estão nos pontos B e D σ1 σmed R 6 849 249 Mpa σ2 σmed R 6 849 1449 Mpa A orientação do elemento pode ser determinada por Prof Rodrigo Borges Santos Às vezes eixos circulares estão sujeitos aos efeitos combinados de carga axial e torção Considerando que o material permaneça linear elástico e esteja sujeito a pequenas deformações podemos usar o princípio da superposição para obter a tensão resultante no eixo provocada por ambas as cargas Desse modo as tensões principais podem ser determinadas por meio das equações de transformação de tensão ou pelo círculo de Mohr TENSÃO EM EIXOS PROVOCADAS POR CARGA AXIAL E TORÇÃO 52 Prof Rodrigo Borges Santos TENSÃO EM EIXOS PROVOCADAS POR CARGA AXIAL E TORÇÃO 52 Uma força axial de 900 N e um torque de 250 Nm são aplicados ao eixo como mostra a figura Se o diâmetro do eixo for 40 mm determine as tensões principais em um ponto P sobre sua superfície Exemplo 4 912 Hibbeler 7 ed Prof Rodrigo Borges Santos TENSÃO EM EIXOS PROVOCADAS POR CARGA AXIAL E TORÇÃO 52 Exemplo 4 solução Componentes de tensão As tensões produzidas no ponto P são portanto O estado de tensão definido por essas duas componentes é mostrado no elemento em P Prof Rodrigo Borges Santos TENSÃO EM EIXOS PROVOCADAS POR CARGA AXIAL E TORÇÃO 52 Exemplo 4 solução Construção do circulo de Mohr Pela figura O centro C do círculo está no eixo σ a uma distância σméd da origem Cσmed 0 O ponto de referência A tem coordenadas Aσx τxy A0 1989 Por consequência o raio CA é R 4097 C3581 0 Prof Rodrigo Borges Santos TENSÃO EM EIXOS PROVOCADAS POR CARGA AXIAL E TORÇÃO 52 Exemplo 4 solução Tensões As tensões principais estão nos pontos B e D σ1 σmed R 3581 4097 7678 kPa σ2 σmed R 3581 4097 516 kPa A orientação do elemento pode ser determinada por Prof Rodrigo Borges Santos 53 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Exercício 1 Prob 964 Hibbeler 7 ed O estado de tensão em um ponto é mostrado no elemento Determine a as tensões principais e b a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto Especifique a orientação do elemento em cada caso Resolva problema usando o círculo de Mohr Prof Rodrigo Borges Santos 53 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Exercício 2 Prob 970 Hibbeler 7 ed O estado de tensão em um ponto é mostrado no elemento Determine a as tensões principais e b a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média Especifique a orientação do elemento em cada caso Resolva problema usando o círculo de Mohr AntiHorário Horário Prof Rodrigo Borges Santos 53 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Exercício 3 Prob 976 Hibbeler 7 ed O estado de tensão em um ponto é mostrado no elemento Determine a as tensões principais e b a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média Especifique a orientação do elemento em cada caso Resolva problema usando o círculo de Mohr AntiHorário Horário Prof Rodrigo Borges Santos 53 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Exercício 4 Prob 984 Hibbeler 7 ed A manivela do pedal de uma bicicleta tem a seção transversal mostrada na figura Se ela estiver presa à engrenagem em B e não girar quando submetida a uma força de 400 N determine as tensões principais no material na seção transversal no ponto C Resolva problema usando o círculo de Mohr Prof Rodrigo Borges Santos 53 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Exercício 5 Prob 987 Hibbeler 7 ed A haste curva tem diâmetro de 15 mm e está sujeita a força de 600 N Determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima no plano desenvolvidas no ponto A e no ponto B Mostre os resultados em elementos localizados nesses pontos Resolva problema usando o círculo de Mohr AntiHorário Ponto A Horário Ponto B BEER FP JOHNSTON Jr ER et al Mecânica dos Materiais 7 ed Porto Alegre McGrawHill 2015 REFERÊNCIAS HIBBELER RC Resistência dos Materiais 7 ed Rio de Janeiro Pearson PrenticeHall 2010 GERE J M GOODNO B J Mecânica dos Materiais Tradução da 7ª Edição NorteAmericana 1 ed São Paulo Cengage Learning 2011 Prof Rodrigo Borges Santos