Aula 4: Introdução à Derivada e Objetivos de Aprendizagem

4º Aula Introdução à derivada Objetivos de aprendizagem Ao término desta aula vocês serão capazes de conhecer a história da derivada entender onde se aplicam entender como realizar os cálculos No que diz respeito ao conceito podemos chamar de derivada a taxa de variação de uma função Como o próprio nome dela já diz a derivada representa de onde uma função veio de onde ela deriva e o que deu origem a ela Bons estudos 251 Calculo Diferencial e Integral 26 Segdes de estudo Conceitos de derivada 1 Histéria da detivada O conceito de derivada esta intimamente relacionado a 2 Os principais problemas do célculo taxa de variacao instantanea de uma fungao que esta presente 3 Conceitos de detivada no cotidiano das pessoas através por exemplo da 4 Interpretacio Fisica determinacio da taxa de crescimento de certa populacio da A 5 Interpretacio geométtica taxa de crescimento econdmico do pais da taxa de reducao da Ly mortalidade infantil da taxa de variacio de temperaturas da 6 Taxa de variacao média velocidade de corpos ou objetos em movimento enfim 7 Fungoes polinomiais poderiamos ilustrar inimeros exemplos que apresentam uma ar funcao variando e que a medida desta variacao se faz necessaria Historia da derivada em um determinado momento Para entendermos como isso se da inicialmente vejamos a definicdo matematica da A derivada foi inventada no século XVII através de detivada de uma fungao em um ponto varios problemas particulares que eram resolvidos um a um Definicaéo Se uma fungao fé definida em um intervalo separadamente até que pelo final do século foise percebendo aberto contendo x entao a derivada de fem x denotada por que havia um elemento comum em todos eles Durante todo f dada por esse século em boa parte do século seguinte nao havia fx Ax Fx conceito de limite Newton 16431727 falava em quantidades fi baa SH evanescentes ora tratadas como nulas e despreziveis ora 13 dxo0 Ax tratadas como inferiores a qualquer quantidade positiva a Leibniz 16461716 fazia algo parecido com notacio mais Se este limite existir Ax representa uma pequena variacao apropriada DAlembert 17171783 foi o primeiro a em x proximo de Xp Ou seja tomandox Xg Ax interpretar a derivada como limite isto 14 pelos meados do Ax x Xq a derivada de f em x pode também ser século XVIII quando os métodos do Calculo ja estavam bem expressa por desenvolvidos gracas aos esforcos de varios sabios dentre os fx fx quais se destacam Jacques Bernoulli 1654 1705 Jean f Jim sr Bernoulli 1667 1748 Daniel Bernoulli 1700 1782 e Euler 1707 1783 Limite mesmo numa teoria bem estruturada e util ao desenvolvimento da Andlise Matematica isso 6 foi acontecer a partir de 1815 AVILA 2007 p171 4 Interpreta Gao fisica Podese citar por exemplo a Biologia em que a derivada se aplica na pesquisa da taxa de crescimento de bactérias de A detivada de uma fungao fem um ponto x fornece taxa uma cultura na Eletricidade para descrever a vatiacdo da de variacao instantanea de fem Vejamos como isso ocorte corrente num citcuito elétrico na Economia para estudar a suponha que y seja uma funcao de x ou seja f Sex receita 0 custo e o lucto marginal Na Fisica o conceito de variar de um valor x até um valor x representaremos esta derivada esta presente em problemas que necessitam definir variacao de x que também chamada de incremento de x velocidade e aceleragéo de uma particula que se move ao pot Ax XXp a variagao de y dada por longo de uma curva a primeira referese 4 medida de variacio Ayf x1 fx quce ilustrado na figura a seguir da distancia percorrida em relagéo ao tempo e a segunda ee referese A medida de variacio da velocidade DALLNESSE yf 2000 p 12 Os principais problemas do fa alCulo Ay Podemos identificar quatro tipos de problemas principais que motivaram os pesquisadores da época a os investigarem Cm 4 os pesquisados fa bop fgg no tema de derivadas e integrais O primeiro era sobre velocidade e aceleracao O segundo sobre a obtengdo de uma tangente a uma curva i i O terceito em como obter valores de maximo e minimo Xo Xy x de uma fungao O quarto que era o de se obter 0 comprimento de by fledfle curvas as areas delimitadas por curvas e os volumes formados O quociente das diferengas dado por 5 wyox 9 f por superficies dito taxa de variacio média de y em relagao a x no intervalo x x O limite destas taxas médias de variagao quando dy Ax 0 é chamado de taxa de variacao instantanea dey em f Dy Dif relacao a x emx x Assim temos da Taxa de vartiacao instantanea lim fof be Flxgthxflxy ao yXp Ax0 Ase Z feptaxdple 6 Taxa de variagdo media Porém lim ff x4 TM ax 0 ae oO Portanto a taxa de variacao instantanea de uma funao Ao quociente entre a variacio da variavel dependente e a em um ponto é dada pela sua derivada neste ponto vatiacio da varidvel independente isto 0 comprimento do tamanho do intervalo associado a ela y Paar Interpretagao Geometrica mS A fz Ax fF 4 i A derivada de uma funcgao fem um ponto fornece o A Ax coeficiente angular inclinacao da reta tangente ao grafico de Damos o nome de raz4o média das variacdes ou taxa Jno ponto a fa Vejamos de variacao média da funcao considerada no intervalo dado Dada uma curva plana que representa 0 grafico de j se Tal taxa depende da variagao Ax considerada bem como do conhecermos um ponto P4 fa entao a equacao da reta particular ponto inicial x Assim a taxa de variacao média tangente ra curva em P é dada por y fa mxa de uma funcao num intervalo x x Ax contido em seu y fa mx a onde m é 0 coeficiente angular da dominio é 0 quociente definido acima reta Portanto basta que conhecamos o coeficiente angular A taxa de variacao média tem um significado geométrico da reta e um de seus pontos para conhecermos a sua equacao muito simples De fato como podemos ver na figura ela nada Consideremos outro ponto arbitrario sobre a curva Q mais do que o coeficiente angular da reta que passa pelos cujas coordenadas sao a Ax ffat Ax A reta que passa por pontos x o e x Ax Uma vez que por hipotese esses Pe Q que chamada reta secante a curva dois pontos pertencem ao grafico da funcao essa reta é a reta secante ao grafico por esses pontos fr 1 Af i Lot x x Ax x x Ax x xAx yf 7Fungodes polinomiais Analisemos agora a vatiacao do coeficiente angular da 8 oat ul Escrevemos a fungao polinomial de primeiro grau mais reta secante fazendo Q se aproximar de P ou seja tomando Ax cada vex menor getal possivel sob a forma see fe fx ax a Tudo indica que quando P esta proximo de Q o 1 coeficiente angular 71da reta secante deve estar proximo Onde a a sio dois parametros constantes que do coeficiente angular da reta 1 ou seja 0 coeficiente caracterizam a varidvel dependente Entao temos angular If tem um limite 7 quando Q tende para P que é fx Ax ayxaAxa 0 coeficiente angular da reta tangente r E portanto sua taxa de variacio média é constante Indicandose a abscissa do ponto Q por x a Ax Af Ax x a e sabendose que a abscissa de P é expressa Ax 2 A é equi Por 4 entao se Q P temos que Ax 0 0 que é equivalente Assim a funcio detivada é no caso uma funcio a x a Assim plataepta fefta constante a wit TF Le m lim Mpg lima 49 lim Fungfo polinomial geral de grau 2 se este limite existe 0 coeficiente angular da reta Escrevemos a funcao polinomial de segundo grau na tangente r Porém lf I vel lim flataxfa y f2F forma mais geral possivel 5 a a Ax 30 Ax wa ye fa Fe ax ax a Onde a a a sao coeficientes que catacterizam a Logom fa ou seja a derivada de uma fungao dependéncia da varidvel dependente i 2 em um ponto de fato fornece 0 coeficiente angular da reta fx Ax ax Ax ax Ax ay tangente ao grafico desta fungao neste ponto Cc fi alor d Notacio onsequentemente verificamos que pata um valor do oO Calculo Diferencial e Integral 28 comprimento do intervalo Ax arbitrario obtemos o seguinte 3 Conceitos de derivada valor pata 0 quociente entre as vatiacOes Vocé aprendeu que o conceito de derivada esta Af intimamente relacionado a taxa de variacaéo instantanea Ax aAx 2ayx a de uma fungao Considerando uma funcao f definida num Resulta dai que a derivada de funcio quadratica é dada intervalo que contenha Xj Sua derivada pode ser definida e por escrita como f x lim 2 f f x9 Vx Xl a 2ax a 4 Interpretacao fisica A derivada de uma funcao fem um ponto x fornece taxa de variagdo instantanea de f em x Considerando Fungao polinomial de grau A A f1Fo1 a taxa de variacio Consideremos agora 0 caso de um polinédmio de graun de y em telagdo a x Quando Ax 0 e analisamos da forma em xx temos a taxa de vatiacao instantanea Px ax lima so Lf qo Ax f9Ax f Para determinar a sua derivada fazemos uso do Teorema binomial de Newton obtendo 5 Interpretagao geométrica Px Ax ax Ax a x tnx Ax t Ax Vocé aprendeu que a derivada de uma funcao f em um ponto fornece o coeficiente angular inclinagao da reta Assim utilizando a expressao e a definicio de derivada tangente ao grafico de fno ponto Xp jé9 Seja a equacao de obtemos tetay fx mx xg onde m é 0 coeficiente angular dF x n yn também escrito pot m fx fx9x x Fazendo dx On x Xg temos que o coeficiente angular é igual a derivada da fungao no ponto g Para um polinémio mais geral do que aquele da equagao 6 Taxa de vatiacdo média Px a x ax 1axta s Vocé viu que o quociente entre a variacao da variavel Podemos verificar que sua derivada dada como uma dependente e a vatiacdo da variavel independente isto é 0 soma das derivadas de cada um dos termos Resulta assim comprimento do tamanho do intervalo associado a ela é a que a sua derivada sera dada pela expressao taxa de variacao média a nax 1 n 1a4x wet ay 7 Fung6es polinomiais Considerando um polindmio de orau a em sua forma mais geral p Retomando a aula Px axax 2 ax tap sendo a constantes fazendo uso do Teorema Binomial de Newton e da definicio de derivada temos fo AP de 1 x M Day ge Fy Chegamos ao final da nossa aula entdéo vamos relembrar 0 que estudamos wy Valea pena rr aw 1 Histéria da derivada i J Grandes nomes como Newton e Leibniz I complementaram nas ideias iniciais além de DAlemnbert dle a pena er aques Benoulli Jean Bernoulli Daniel Bernoulli e Euler aon fizeram osnuibuiroee As estruturas e notacao foram ANTON Howard BIVENS Itl DAVIS Stephen L aprimoradas somente a partir dos anos de 1815 Calculo 8ed Porto Alegre Bookman 2007 581p SWOKOWSKI Ealr W FARIA Alfredo Alves 2 Os principais problemas do célculo de Calculo com geometria analitica 2 ed Sao Paulo Makron Books do Brasil Sao Paulo McGrawHill 1995 Vocé viu que alguns dos principais problemas que SIMMONS George FE Calculo com geomettia motivaram as pesquisas pata o aprimoramento do calculo analitica Vol 1 Sao Paulo Pearson Makron Books 2008 foram velocidade e aceleracéo obtengao de reta tangente a 829p curva maximo e minimo de fungdes comprimento de curvas GUIDORIZZI Hamilton Luiz Um Curso de Calculo areas e volumes delimitados por superficies Vol1 Rio de Janeiro Livros Técnicos e Cientificos 1985