Regras de Derivação: Objetivos de Aprendizagem e Técnicas

5º Aula Regras de derivação Objetivos de aprendizagem Ao término desta aula vocês serão capazes de compreender a partir da definição de limites a definição formal de derivadas em funções polinomiais e exponenciais entender a demonstração da regra do produto entender a conceituação da regra da cadeia e aplicála na resolução de problemas compreender a partir da definição e aplicação em exemplos as regras do produto e do quociente utilizar as técnicas de derivação aprendidas para resolução de problemas diversos de derivadas A partir da definição de derivada oriunda da definição de limites vista na aula anterior desenvolveremos nesta aula técnicas que permitam obter a diferenciação para situações distintas de funções Veremos que conforme a situação expoente multiplicação divisão observada nas equações poderá ser aplicado formas distintas de diferenciar tais funções Bons estudos 255 Calculo Diferencial e Integral 30 x4 4 Secées de estudo fx lim SatW f rhtae ho h h0 h 1 Derivadas de fungées polinomiais e exponenciais xt 4x3h Ox7h 4eh ht x4 2 Regta da cadeia lim h 3 Regra do produto 4 Regra do quociente i 4xth 6x7h 4xh4 ht to OA 1 Derivadas de oo Derivadas de fungoes polinomiais ra jj 3 2 2 3 Ay Vamos iniciatr com a funcao mais simples a funcao L 0g0 constante fx O grafico dessa funcao é a reta horizontal J 6 cuja inclinagao é 0 logo devemos ter f x 0 veja d 4 a Figura 1 Uma demonstragao formal a partir da definiao dx 423 de uma derivada é simples Comparando as equacgdes anteriores vemos um flx h fx ce modelo emergir Parece ser uma conjectura plausivel que fx lim a lim limO0 quando um inteiro positivo ddxx nx Resulta que isto é de fato verdade Temos entao a regra da poténcia se n for um inteiro Figura 1 Grdfico de f x 0 referente a reta y c comf x 0 positivo d ny n1 x nx ax c yHec oe Primeira Demonstragaéo A formula inclinagao 0 5 x a x ale tx a tees xa a pode ser verificada simplesmente multiplicandose o lado direito ou somandose o segundo fator como uma 0 x série geométrica Se f x x podemos fazer f a e a equacao anterior pata escrever STEWART 2014 non fa im LY LO L jig BO Essa tegta na notacao de Leibniz é escrita da seguinte ie eve x a forma lim x x 7a xa a ad a ita tates taa a ax 9 Z na 11 Funcdes Poténcias Segunda Demonstragao flethflx e hf x fx lim lim Vamos olhar as funcdes f x x onde n 6 um h0 h i h inteiro positivo Se n 1 0 grafico de f x x éaretay X Cuja inclinagao 1 Figura 2 Entao Para acharmos a derivada de x temos que desenvolver d x h Aqui precisamos desenvolver x h e usamos 0 Teorema Binomial x dx ly tax h ae the tees neh x A equacao acima pode ser verificada a partir da fx lim Sn definicao de derivada Os casos m 2 em 3 levam a a 2 d x2 nx ht m V np tess tnxhh x 2x x33 le i nl nn V ny he pe Para 4 achamos a derivada de fx xa seguir fim pn Fn en Fh nx 2 37 257 Porque cada termo exceto o primeiro tem fator e logo tende a 0 2 Regra da cadeia Exemplos Consideremos duas fungoes derivaveis fe g onde y g Exemplo 1 Derive eu f x Para todo x tal que fx esta no dominio de g podemos 1 escrevery g g fx isto é podemos considerar a fe3 funcao compost x 2 funcao composta g f Porexemplo uma funciotalcomoy x 5x 2 Solucao pode ser vista como a composta das funcdes vy u gyv d 2 eyx5x2 fx f nlx ax x77 2y 21 2y 3 A seguir apresentamos a tregra da cadeia que Exemplo 2 nos da a derivada da fungao composta g f em termos das derivadas def e g ef yvx Regra da cadeia Se y g e w f x eas derivadas dydu e du dx existem entao a fungao composta y gfx Solugao tem derivada que é dada por dy dy 2 dy dy du a fe 421 4 3 ay ay au rey play fl a x 2x 2x 7 me i du dn ou yxe gu Fx Vamos fazer a demonstracao supondo que existe um Exemplo 3 intervalo aberto I contendo x tal que Au faAxfx0 sempre que Encontre as equacoes da reta tangente e da reta normal xAxEleAx0 a curva Ax no ponto 1 1 Ilustre fazendo o grafico da cutva e destas retas Isso se verifica para um grande numero de fungoes porém nao para todas Por exemplo se f for uma fungao Solugao constante a condicao apresentada nao satisfeita Porém FC xx xx x3 neste caso podemos provar a formula facilmente De fato A derivada de é sefx centao x Veygf 2 constante 3 3 3 Assim y x O027 f fx 3x t1 5x 3v Entao provemos que y x 8 f Como y gf se este limite existir temos Vx tim SEE 42 alFGD Logo a inclinagao da reta tangente em 11 é 1 Ax0 Ax 32 Portanto uma equagao da reta tangente é 3 3 1 Vamos considerar primeiro 0 quociente yr15e1 0 ow y5x5 alfx 4x9ff Ax A reta normal é perpendicular a reta tangente de modo que sua inclinacao o inverso negativo de 3 2 ou Seja Au Lf x Ax fx Entio Au depende seja 23 Logo uma equacao de uma teta normal é 3 3 5 de Ax e Au 0 quando Ax 0 Temos jJ oo yrts3 Yo ow VE 3x45 olfe a0gIF olf au off Ax Ax Tracamos o grafico da curva sua reta tangente e sua reta normal na Figura glu Au 9u Ax 3 S ente Para a condicado Au 0 om um intervalo aberto f contendo x Assim podemos dividir e multiplicar o quociente mostrado por Au Temos entio normal 4 i gifztAxgff gutAugu Au TO EE Z STEWART 2014 Cálculo Diferencial e Integral I 32 Aplicando o limite temos Exemplos Exemplo 4 Dada a função y x² 5x 2 7 Solução Exemplo 5 Dada a função encontra y Solução Podemos escrever y u5 onde Aplicando a regra da cadeia temos 3 Regra do Produto Conforme Stewart 2014 por analogia com a regra da cadeia alguém poderia tentar conjecturar como Leibniz o fez três séculos atrás que a derivada de um produto é o produto da derivada Contudo podemos ver que esta conjectura está errada examinando um exemplo particular Sejam e Então a Regra da Potência fornece e Mas logo Assim a fórmula correta foi descoberta por Leibniz logo depois de tentar a fórmula falsa e é chamada Regra do Produto Antes de enunciar a Regra do Produto vamos ver como poderíamos descobrila Começamos assumindo que e são funções positivas deriváveis Então podemos interpretar o produto como a área de um retângulo Se x variar por uma quantidade as variações correspondentes então em u e v são E o novo valor do produto pode ser interpretado como a área do retângulo maior da Figura desde que e sejam postivos Figura 3 Geometria da Regra do Produto STEWART 2014 A variação na área do retângulo é Se dividirmos por obtemos Se fizermos obtemos a derivada de uv Observe que quando uma vez que f é derivável e portanto contínua Embora tenhamos inicialmente suposto para a 258 33 interpretação geométrica que todas as quantidades são positivas vemos que a Equação 1 é sempre verdadeira A álgebra é válida se u v e e forem positivos ou negativos Logo demonstramos a Equação conhecida como a Regra do Produto para todas as funções deriváveis u e v Se f e g são deriváveis então Em outras palavras a Regra do Produto diz que a derivada de um produto de duas funções é a primeira função vezes a derivada da segunda função mais a segunda função vezes a derivada da primeira função Exemplos Exemplo 6 Se encontre Solução Pela Regra do Produto temos Exemplo 7 Derive a função Solução Usando a Regra do Produto temos Exemplo 8 Se onde e encontre Solução Aplicando a Regra do Produto obtemos Logo 4 Regra do Quociente Vamos determinar uma fórmula para derivar o quociente de duas funções diferenciáveis e do mesmo modo que obtivemos a Regra do Produto Se x u e v variam em quantidades temos e então a correspondente variação no quociente será Quando também pois é derivável e portanto contínua Logo usando as Propriedades dos Limites obtemos Pela Regra do Quociente se f e g são deriváveis então Em outros termos a Regra do Quociente diz que a derivada de um quociente é o denominador vezes a derivada do numerador menos o numerador vezes a derivada do denominador todos divididos pelo quadrado do denominador A Regra do Quociente e as outras fórmulas de derivação nos permitem calcular a derivada de qualquer função racional como ilustrado no exemplo a seguir Exemplos Exemplo 9 Seja Solução Pela Regra do Produto temos 259 Calculo Diferencial e Integral 34 3 d 5 d possivel derivar a funao x 6 Ft x 2 OP x 27 e 6 3x2 42Vz me x x y Gc 6 Fx x3 62x 1 x x 23x 3 6 Usando a Regra do Quociente antes de derivar é muito mais facil efetuar primeiro a divisio e escrever a 2x x 12x 6 3x4 3x 6x7 funcao como x 6 Fx 3x 42x74 4 3 2 2x0 6x 12x 6 A seguir vejamos um resumo das regras de derivagao x 6 que aprendemos nesta aula 4e 4 ony py 4 ox aot Exemplo 10 Encontre uma equagao da reta ax a ax 6 x 1 tangente 4 curva y e 1 x no ponto 15 cf ef f 9 ftg f 9 f9 Solucao pe fa fa af 4 Segundo a Regra do Quociente temos d d d 1 x e e ae 1 x Ta Retomando a aula dx 1 x 1 x2er e2x Gtx r f e1 xp Chegamos ao final da aula Vamos recordar o que n estudamos 1 x I ae i 1 Derivadas de fungdes polinomiais e Logo a inclinagao da reta tangente em Le é exponenciais d 0 11 Func6es de poténcias aX x1 Vocé aprendeu que pata fungdes em que a variavel esta elevada a determinada poténcia como polindmios Isso significa que a reta tangente em 132 podemos escrever uma regra geral de derivacaio horizontal e sua equacao é y Fe Observe que a funao dx dx nx esta crescendo e cruza sua tangente em 12 2 2 Regra da cadeia 25 Vimos que a regra da cadeia é aplicada quando temos e funcgoes de duas variaveis ou variaveis implicitas ou fungdes a Tex compostas Sejam duas funcdes derivaveis fe g onde y g y e u f x Para todo x tal que f x esta no dominio i de podemos escrevery g g f x A derivada yrre em x da funcao y é obtida pela regra da cadeia como ay ay du Gc ou fF S2E wy90 7 0 35 3 Regra do produto STEWART 2014 Sejam uu Fx e vr gx fundes positivas derivaveis vocé aprendeu que a detivada do produto uv Observagao pode ser escrita como ah uv u Th a vw vs uw d i is sintéti hs r Nao use a Regra do Quociente toda vez que vocé ou ce manera mas siNteuea uv uv vu vir um quociente Algumas vezes é mais facil reescrever 4 Regra do quociente um quociente primeiro colocandoo em uma forma que seja mais simples para derivar Por exemplo embora seja Voce aprendeu que a derivada do quociente de 35 261 duas fungdes pode ser dada pela regra do quociente Considerandod ufx e vgx func6es positivas derivaveis a derivada de uj é dada por a a sy ELM FELON vl uly ax v ax Lgx ata TN Vale a pena ait ay Vale a pena ler FLEMMING Diva Matilia GONCALVES Miriam Buss Calculo A funcées limite derivagao e integragao 6 ed Sao Paulo Pearson Prentice Hall Sao Paulo Makron Books do Brasil 2012 STEWART James Calculo 7 ed Sao Paulo Cengage Learning 2014 SWOKOWSKI Ealr W FARIA Alfredo Alves de Calculo com geometria analitica 2 ed Sao Paulo Makron Books do Brasil Sao Paulo McGrawHill 1995 4 Minhas anotades 6º Aula Derivadas de Ordens Superiores Objetivos de aprendizagem Ao término desta aula vocês serão capazes de compreender as diversas ordens derivadas de uma função conhecer notações e nomenclaturas utilizadas para o procedimento de derivadas de ordem superiores relacionar derivadas de funções a problemas físicos aplicar o conhecimento de derivadas sucessivas na resolução de problemas Até a aula passada foi estudada a fundamentação básica das derivadas e algumas das técnicas empregadas para solucionar determinadas situações de derivação Aqui será visto que uma função que foi diferenciada poderá continuar a consistir outra função que poderá ser diferenciada n vezes denominada por uma ordem referente a esta quantidade Várias são as nomenclaturas utilizadas nesse processo e podem estar relacionadas a problemas físicos onde descrevem determinados comportamentos como aceleração velocidade deslocamento etc Bons estudos 263 Calculo Diferencial e Integral 38 JQ 5 a variavel dependente e a variavel independente Secédes de estudo GUIDORIZZI 2008 Se a funéo vem dada por y fx a notagao devida a 1 Detivadas de ordem superior Leibniz leia derivada de y em relacao a x é usada para 2 Aplicacdes indicar a derivada de fem x f x Para a derivada segunda de y em telacao a x teremos que dja notacao de Leibniz sera Zz porque ela representa 1 Derivadas de ordem SUperlor O simbolo é uma notacio para a derivada enésima de y emrelacao ax Sejam uma funcao A o conjunto dos x para os quals Outros simbolos para a derivada enésima de f sao fx existe A fungao f AR dada por x f denomina da se funcao derivada ou simplesmente detivada de f diremos an Lfcx DFC ainda que f é a derivada de 1 ordem de A derivada de 1 otdem de fpode ser indicada também por f Resumindo A derivada de denominase derivada de 2 ordem de Fx ou oF derivada de primeira ordem de fem fe indicada por f ou por f assim ff De modo relacio a x ax analogo definese as derivadas de ordens superioresa2def Em outras palavras se uma fungao for derivavel entao Fl x ou f derivada de segunda ordem de f em f chamada a derivada primeira de fou de ordem 1 Se a telacao a x derivada de existir entao ela sera chamada derivada segunda af de fou de ordem 2 assim por diante fi Ceou a detivada de terceita ordem de fem relacao Para simplificar tome como exemplo a seguinte funao ax oe 4 2 n original f 6 x 3x Suas respectivas derivadas de ordem Fix ou 2 Cerivada de ordem n de fem relacio a x superior serio det Como exemplo calculase a seguinte expressao 3 J x 8x3 6x Derivada primeira 2senx 3cosx x f 6 24x 6 Derivada segunda f x 48x Derivada terceira f 6 48 Derivada quarta Solucio fOW90 Derivada quinta od Exemplos ax 2senx 3cosx x 2cos x 3senx 3x 3 Se f x 8x 5x x7 7 encontre as derivadas de 2senx 3cosx x 2senx 3cosx 6x todas as ordens de f IB Sf 6 32x 15x 2x J x 192 a 2senx 3cosx x 2cosx 3senx 6 f bs 96x2 30x 2 f 6 0 f 6s 192x 30 f0n5 yi Se f x 2senx 3cosx x calcule fc 2 Aplicagoes f x 2cosx 3senx 3x f x 2 senx 3cosx 6x Segundo Leithold 2002 f x da a taxa de variacio f x 2cosx 3senx 6 instantanea de fx em relacio a xe f x que é a derivada de J daa taxa de variacao instantanea de x em relacao a x Se f x e calcule f x Além disso se xy for um ponto qualquer sobre o grafico de 1 1 4 yx entdo dard a inclinaco da reta tangente ao grAfico x e fx e fx e x e J ax a s 8 POD sets Pages FO ses me PO H no ponto xy Assim 2 sera a taxa de variacao instantanea da inclinagao da reta tangente em relagao a x no ponto 4 1 1 Se f 2x caleule f f 0 Ll x x Por exemplo seja mx a f b YC2 9 2x inclinacao da reta tangente a cutva f Cs 321 x4 3X2x1 x4 wy x 2x7 x no ponto xj Determinase a taxa de S s 4C3C21 x 43X21 x5 variacdo instantanea de mx em relacdo a x no ponto 2 2 f 65 SAV321 x6 5XAx3X2X1 x4 Solucao x d 12 Notacdes mx 3x24x41 Frequentemente usamos express6es do tipo y f x sf a fd etc para indicar uma funcio Em y fx A taxa de vatiacdo instantanea de mx em relacio a x é y a vatiavel dependente e x a variavel independente Em s dada port mx ou equivalente por 39 No ponto 2 2 21 Aplicação na Física De acordo com Leithold 2002 a derivada segunda f x é expressa em unidades de f x por unidade de x ou seja unidade de f x por unidade x por unidade de x Por exemplo no movimento retilíneo Se f t cm for a distância de uma partícula à origem no instante t s então f t cms será a velocidade da partícula no instante t s e f t cm ss centímetros por segundo por segundo será a taxa de variação instantânea da velocidade no mesmo instante t s Em física a taxa de variação instantânea da velocidade é chamada de aceleração instantânea Logo se uma partícula está se movendo ao longo de uma reta de acordo com a equação de movimento s f t onde a velocidade instantânea é dada por v cms e a aceleração instantânea é dada por a cms² no instante t s então a será a derivada primeira de v em relação ao tempo ou equivalentemente a derivada segunda de s em relação a t isto é Quando a 0 v é crescente e quando a 0 v é decrescente Quando a 0 v não muda Como a velocidade escalar de uma partícula no instante t é v cms temos os seguintes resultados Se v 0 e a 0 a velocidade escalar é crescente Se v 0 e a 0 a velocidade escalar é decrescente Se v 0 e a 0 a velocidade escalar é decrescente Se v 0 e a 0 a velocidade escalar é crescente Exemplo 1 Uma partícula movese ao longo de uma reta horizontal de acordo com a equação Onde s cm é a distância da partícula até a origem decorridos t s Se v cms for a velocidade instantânea em t s então v Logo Se a cms² for a aceleração em t s então a Assim Vamos determinar para quais valores de t se anulam as quantidades s v ou a De 1 De 2 De 3 Na Figura 1 estão os valores de s v e a para t igual a 0 1 2 e 3 Também estão indicados os sinais das quantidades s v e a nos intervalos de t excluindo 0 1 2 e 3 Uma conclusão é tirada relativa à posição e ao movimento da partícula para os vários valores de t Figura 1 Resumo Fonte Leithold 2002 Na Figura 2 o movimento da partícula se faz ao longo de uma reta horizontal e o comportamento do movimento está indicado acima da reta Figura 2 Movimento da partícula Fonte Leithold 2002 Exemplo 2 Uma partícula movese ao longo de uma reta de acordo com a seguinte equação de movimento onde s cm é a distância orientada da partícula até a origem em t seg Se v cms for a velocidade instantânea e a cms² for a aceleração em t s determine t s e v quando a aceleração é nula Solução 265 Calculo Diferencial e Integral 40 ds 4 4 dv 1 8 Ul t1 e Ol 1 Valea pena Tomando a 0 teremos oes t18 ay 8 6 tti80 6 t12 6 t1 Gry Valea pena ler Quando t 1 temos GUIDORIZZI Hamilton Luiz Um curso de calculo 3 ed Rio de Janeiro LTC 2008 1 4 5 4 LEITHOLD Louis JOSE FILHO Sebastiao Anténio s1 e v1 1 2 PAQUES Anténio et al O calculo com geometria 2141 2 i 8 analitica 3 ed Sao Paulo Harbra 2002 Portanto a aceleracgio é nula 1 segundo apos o inicio do movimento quando a particula esta a 52 cm da origem Minhas anotagdoes movendose pata a direita com uma velocidade de 2 cms Retomando a aula I Chegamos ao final da aula entéo vamos recordar 0 que aprendemos 1 Derivadas de ordem superior Vocé aprendeu que se uma funcio for derivavel entio J chamada a derivada primeira de f ou de ordem 1 Se a derivada de f existir entao ela sera chamada derivada segunda de f ou de ordem 2 e assim por diante 12 Notagodes Se a fungao vem dada por y fx a notagdo fx é usada para indicar a derivada Para a derivada segunda sera alfa ale No caso da derivada enésimausase m1 TL SS M 0 CO 2 Aplicagdes 21 Aplicagao na fisica Por exemplo no movimento tetilineo Se f cm fora distancia de uma particula a origem no instante s entao cms sera a velocidade da particula no instante s e f i cmss centimetros por segundo por segundo seré a taxa de variacdo instantanea da velocidade no mesmo instante s que é chamada de aceleracao instantanea Po 7º Aula Máximos e Mínimos Extremos Relativos de Funções Objetivos de aprendizagem Ao término desta aula vocês serão capazes de identificar extremos de funções entender a diferença entre máximos e mínimos relativos e absolutos encontrar o ponto crítico de funções compreender o que é ponto de inflexão de uma função conhecer os Teoremas do valor extremo Teorema de Fermat Teste da concavidade e Teste da Segunda derivada de funções Ao observamos funções podemos identificar determinados padrões referentes a seus formatos Dentre eles destacase os pontos onde alguma curva ou função qualquer altera sua trajetória passando de crescente a decrescente ou viceversa sendo identificados como pontos de máximos e mínimos de uma função Tais parâmetros podem representar a máxima altura atingida durante a trajetória do lançamento de um projétil os picos de um eletrocardiograma a máxima ou mínima cotação de uma empresa dentre diversas situações envolvendo gráficos expressados por funções Bons estudos 267 Calculo Diferencial e Integral 42 A fungio fix 3x4 120 tem um maximo telativo em Secoes de estudo 0 pois existe o intervalo 2 2 tal que 0 2 os para todo xe 2 2 Em 2e c 2 tem minimos relativos 1 Maximos e Minimos Relativos pois f2 2 Se para todo x 2 O ef V2 S foo para 2 Teorema do Valor Extremo todo x 0 2 fe crescente interval 20e22e 3 Concavidade e Pontos de Inflexio decrescente nos intervalos 2 V2 e 0 V2 zo oe f Maximos e Minimos Relativos 24vB V32 A figura a seguir mostta o grafico de uma fungio y f x x onde assinalamos os pontos de abscissas x7 x2 x3 e x4 Y 12 44 Pontos criticos r Proposiga4o 1 Suponha que x exista para todos os valores de x a D e que ftenha um extremo relativo em x x X x X onde ac b Se f 0 existe entio fo 0 0 Geometticamente esta proposicéo indica que se f tem FLEMMING E GONGALVES 2012 um extremo telativo em ce se i A j Esses pontos sao chamados pontos extremos da S 0 existe es gratico de ftem uma reta tangente fungao Os pontos x7 e x7 sao pontos de maximo relativos horizontal no Ponto onde x ros Observagao Nao vale a reciproca da proposicao 1 ou ou local enquanto que f7 e fx3 sao valores maximos co x seja f dQ 0 nao implica que seja um extremo de f O relativos Os pontos x2 e x4 sio chamados pontos de i re exemplo mais simples que ilustra este fato é a funcao f x minimo relativos ou local enquanto que fx2 e f4 sao 5 a ny x Vemos claramente que f 0 0 porém f nao tem os valores minimos relativos Além disso observamos que f extremo em x 0 Da mesma forma observamos nas figuras crescente pata x x7 x x2 x3 ex x4 e decrescente nd 0 nao exist de tet ou mio um para x x7 x2 e x x3 x4 A formalizacao destas vn au grandes ndo existe pode ter ou nao definigdes apresentada a seguir v Definicgao 1 Uma funcao ftem um maximo relativo em c se existir um intervalo aberto I contendo tal que fe 2 fx y paratodoxel Definigao 2 Uma funcao f tem um minimo relativo em c se existir um intervalo aberto I contendo tal que ff fo x para todo x I 0 Definigao 3 Seja fuma funcao definida em um intervalo c I i fé crescente nesse intervalo se para quaisquer x7 x2 I tais que x7 x2 f x1 Sf x2 ii fé decrescente nesse intervalo se pata quaisquer x7 Definicao 4 O ponto c D jf tal que fc 0 ou A f x2 I tais que x7 x2 f x1 2 f x2 é chamado ponto critico de f A figura acima ilustra o fato de que um ponto critico pode ser ou nao um ponto extremo Y y Porém uma condicéo necessaria pata a existéncia de f2 fox um extremo relativo em um ponto c é que c seja um ponto critico Em outras palavras todo ponto extremo é ponto fx critico porém nem todo ponto critico é ponto extremo E importante observar que uma funcao definida em um x fxg x dado intervalo pode admitir diversos extremos relativos O XI x2 XI x2 maior valor da fungao neste intervalo é chamado maximo absoluto e o menor valor minimo absoluto Exemplo Exemplo 43 269 A funcaio f x x 2 possui um valor maximo Exemplo 2 absoluto igual a 2 em 3 2 o qual é atingido quando x 0 Também podemos dizer que 7 é 0 valor minimo absoluto fxxt5 em 3 2 o qual é atingido quando x 3 Solugao Temos x 2x 1 Entio para 2x 1 0 ou seja Pparax 5 a funcio é crescente 4 A 1 2 Para 2x1O0oux a funcao é decrescente 1 2 y 4 4 4 475 ProposigAo 2 Seja fa b R uma funcao continua 7 x definida em um intervalo fechado a b Entao f possui 3 maximo e minimo absoluto em a b ProposigAo 3 Seja fuma funcao continua no intervalo a b e derivavel em a b i Se f x 0 para todo x a b entio fé crescente Exemplo 3 em a b 2 ii Se f x 0 para todo x ab entao fé decrescente fx 2 4 sexil em a b x1 sex1 Exemplos y Determinar os intervalos nos quais as fungdes seguintes sao crescentes ou dectescentes E lo 1 xemplo x fxt1 I Solucao Basta derivar a funcao e analisar os pontos x D f tais que x 0 e os pontos onde x 0 Temos x 3x Como 3x 0 para todo x 0 AI concluimos que a fungao é sempre crescente Verificase isso no grafico y Note que fnao é diferenciavel em x 1 Assim se x 1 entio Is 4x portanto 4x 0 para x 0 1 e 4x 0 para x 0 af Se x 1 entao x 1 Logo x 0 para todo 1 x 1 Concluimos com isso que fé crescente em 0 1 e x decrescente em 0 U 1 yx a x 0ex1 sao pontos criticos de f Teorema do Valor Extremo Stewart 2014 menciona que algumas fungdes tém Calculo Diferencial e Integral 44 valores extremos enquanto outras nao tém O teorema a é sempre verdadeiro para as fundes diferenciaveis seguir da condigdes para garantir que uma funao tenha valores extremos Teorema do Valor Extremo Se for continua em um intervalo fechado a b entéo f assume um valor maximo le fic absoluto f c e um valor minimo absoluto f d em certos numeros c e d em a b Observe na Figura a seguir que um valor extremo pode set assumido mais de uma vez Embora 0 Teorema do Valor Extremo seja intuitivamente muito plausivel ele é dificil de ser d fd demonstrado 0 c d x y y y oN Mf STEWART 2014 Teorema de Fermat Se ftiver um maximo ou minimo ofa ic dbx ofa c db x Pac d abe localem ce se existir entao c 0 ne O Teorema de Fermat é assim designado em homenagem a Pierre Fermat STEWART 2074 16011665 um advogado francés que tinha por passatempo favorito a 1 matematica Apesar de seu amadorismo Fermat foi junto com Descartes As Figuras a seguir mostram que uma fancao pode mis imentores de geome enalice eu metodo por econ 2 nao possuir valores extremos se for omitida uma das duas limites e derivadas fazem dele um precursor de Newton na criagGo do cdlculo oo liferencial STEWART 2014 hipoteses continuidade ou intervalo fechado do Teorema do baa Valor Extremo P Concavidade e pontos de inflexdo 3 Seja fuma funcao diferenciavel pelo menos até a segunda derivada em um intervalo a b Se fx 0 para todo x em a b entao a fungao primeira derivada x é crescente em a b e a concavidade do seu grafico é voltada para cima 7 ae 7 conforme mostra a figura a seguir fix STEWART 2014 A fungio f cujo grafico esta mostrado na Figura acima esta definida no intervalo fechado 0 2 mas nao tem valor maximo observe que a imagem de fé 0 3 Essa fungao assume valores arbitrariamente proximos de 3 mas nunca atinge o valor 3 Isso nao necessariamente contradiz o Teorema de Valores Extremos pois fnao é continua Nao obstante uma fungao descontinua pode ter valores maximo b x e minimo A fungao g da Figura é continua no intervalo aberto 0 Analogamente se fx 0 para todo x em a b entao 2 mas nao tem nem valor maximo nem minimo A imagem fungao primeira derivada f we decrescente em a b ea de g é 1 Essa funcdo assume valores arbitrariamente concavidade do seu grafico é voltada para baixo grandes Isso nao contradiz o Teorema de Valores Extremos fx pois o intervalo 0 2 nao é fechado O Teorema do Valor Extremo afirma que uma funcao continua em um intervalo fechado tem um valor maximo e um minimo contudo nao diz como encontrar esses valores extremos A Figura a seguir mostra o grafico de uma fungao f com maximo local em c e minimo local em d Parece que f nos pontos de maximo e de minimo as retas tangentes sao horizontais e portanto cada uma tem inclinagao 0 Sabemos que a derivada é a inclinagao da reta tangente assim parece a h que f Cc 0e d 0 O teorema a seguir afirma que isso x 45 21 Um ponto Pc fc do grafico de uma funcio Exemplo continua é chamado ponto de inflexdo se a concavidade do grafico muda neste ponto Encontre os maximos e minimos telativos de aplicando Na figura abaixo os pontos de abscissa cl 2 c3 e c4 o teste da segunda derivada sao pontos de inflexao Vale observar que c2 e c3 séo pontos 2 3 eye f 8 18x 3x 4x extremos telativos de fe que fnao é derivavel nestes pontos Nos pontos cl e c4 existem derivadas f cl e fc4 Solucao Temos x 186x12x e x 624x Fazendo fx 0 obtemos 18 6x 12x 0 f Resolvendo esta equagio obtemos os pontos criticos de queséo x32 e x1 f Como f 32 30 0 segue que x 32 é um ponto de maximo telativo de f Seu valor maximo relativo em it x x1 é dado por f 32 2025 a C1 2 3 4 b Analogamente como f 1 30 0 segue que x léum ponto de minimo relativo de f Seu valor minimo relativo em x é dado por f1 11 31 Teste da Concavidade Zelauivo em X3 por fl Olhando para a Figura vocé pode ver que indo da esquerda para a direita a inclinagéo da tangente cresce 4 Isso significa que a derivada f é uma fungio crescente e consequentemente sua derivada f é positiva Da mesma t forma na Figura a seguir a inclinagao da tangente decresce da esquerda para a direita logo f decresce e portanto f é negativa Esse raciocinio pode ser invertido e sugere que o teorema a seguir é verdadeiro x 4 4 1 z 3 4 J D l B P c L a Oa b c d Dp q cB cc cB 80 fC CB Retomando a aula STEWART 2014 Teste da Concavidade a Sef x 0 para todo x em I entio o grafico de fécOncavo para cima em I 1 eal Fn I Sef s 0 para todo x em I entio o grafico I Chegamos ao final da nossa aula Vamos recordar 0 de fé cncavo para baixo em I que estudamos Em vista do Teste da Concavidade ha um ponto de oo ly inflexao sempre que a segunda derivada mudar de sinal 1 Maximos e minimos relativos 32 Teste da Segunda Derivada Uma dada fungao f apresenta maximo relativo em se Outra aplicagao da segunda detivada é 0 teste a seguir existir um intervalo aberto I contendo tal que ff 2 fs para para os valores maximo e minimo todo x I Do mesmo modo apresenta um minimo relativo Ele é uma consequéncia do Teste da Concavidade em se existir um intervalo aberto I contendo tal que S Teste da Segunda Derivada Suponha que f seja Jie para todo x I Dizemos ainda que se a mesma fungao continua na proximidade de c f definida no intervalo I é crescente nesse intervalo se para a Sef ef c 0 entio tem um minimo quaisquer x7 x2 I tais que xf x2 f x1 Sf x2 E local em c decrescente nesse intervalo se pata quaisquer x7 x2 I tais b Sef 0ef 0 entio f tem um WExl x2f x1 f x2 maximo local em c 11 Pontos ctriticos Calculo Diferencial e Integral 46 Considerando uma funcio f que apresente um maximo ou um minimo relativo em 4 e se existe a detivada f co entao f 9 ese constitui um ponto critico de No entanto nem todo x tal que f x 0 é um extremo de f 2 Teorema do valor extremo Se f for continua em um intervalo fechado a b entao f assume um valor maximo absoluto fc e um valor minimo absoluto f d em certos nimeros c e d em a b 3 Concavidade e pontos de inflexao Seja fuma funcao diferenciavel pelo menos até a segunda derivada em um intervalo a b Se fx 0 para todo x em a b entao a fungao primeira derivada fx é crescente em a b e sua concavidade é voltada para cima Do mesmo modo se x0 patra todo x em a b entaéo a funao primeira derivada fx é decrescente em ab e a sua concavidade é voltada para baixo 31 Teste da concavidade Vocé aprendeu que dada uma funcao fcontinua em um intervalo I se f x 0 para todo x em I entao o grafico de fé concavo para cima em I Analogamente se f x 0 para todo x em I entao o grafico de fé céncavo para baixo em I 32 Teste da segunda derivada Considerando a fungio f e sendo f continua na proximidade de c entao f tem um minimo local emc sef c O0ef 0 Do mesmo modo tem um minimo local emcsefcO0ef 0 5h Vale a pena AN eee KS7 Vale a pena ler FLEMMING Diva Marilia GONCALVES Miriam Buss Calculo A funcgoes limite derivagio e integragao 6 ed Sao Paulo Pearson Prentice Hall Sao Paulo Makron Books do Brasil 2012 STEWART James Calculo 7 ed Sao Paulo Cengage Learning 2014 4 Minhas anotacdes fe None oo 8º Aula Aplicações de Derivadas Objetivos de aprendizagem Ao término desta aula vocês serão capazes de verificar os trechos onde uma função é crescente ou decrescente descrever problemas de variação de taxas no tempo aplicar conhecimentos de diferenciação em otimização de problemas resolver problemas diversos envolvendo funções pelo uso de derivadas Conforme visto nas aulas anteriores as derivadas podem ser utilizadas para descrever várias características de funções inclusive para determinar seus pontos de máximo e mínimo Nesse sentido sua aplicação estende se a qualquer problema envolvendo funções onde o emprego da derivada pode servir para otimizar processos de engenharia facilitar na decisão de problemas financeiros verificar comportamentos matemáticos de uma forma geral seja na física biologia ou qualquer campo de estudo onde faz se presente a utilização de funções Bons estudos 273 Calculo Diferencial e Integral 48 fechado 0 2 4 Segdes de estudio me Pe afro ls xl decrescente em 1 1 Teste CrescenteDecrescente ad e ow Ox2 decrescente em 0 2 2 Taxas de Variacao x2 crescente em 2 2 3 Problemas de Otimizacao 4 Exemplos de aplicacgdo O grafico de f mostrado na Figura confirma a informagao dada na tabela f Teste CrescenteDecrescente 20 Muitas aplicagdes do célculo dependem de nossa habilidade para deduzir fatos sobre uma funcao f a partir de informagoes relativas a suas derivadas Como x representa a 3 a inclinagéo da curva y f x no ponto x fx ela nos informa pata qual direcéo a curva segue em cada ponto Assim razoavel esperar que informac6es sobre x nos fornecam informac6es sobre f x STEWART 2014 Para ver como a derivada de f pode nos dizer onde uma 30 fungo é crescente ou decrescente observe a Figura a seguir Na aula anterior vimos que se f tem um maximo ou Entre A B entre C e D as retas tangentes tém inclinagao iinimo local em c ento c deve set um mimeto ctitico de positiva e portanto 7 x 0 Entre B C as retas tangentes J pelo Teorema de Fermat mas nem todo numero critico tem inclinacao negativa e portanto f x 0 Assim parece da origem a um maximo ou minimo Consequentemente que f cresce quando f x positiva e decresce quando f x necessitamos de um teste que nos diga se ftem ou nao um negativa maximo ou minimo local em um numero critico y Vocé pode ver a partir da Figura a seguir que f0 5 é D um valor maximo local de f pois fcresce em 1 0 e decresce em 0 2 Ou em termos de derivadas x para 1 x 0e B Sf 0 para 0 x 2 Em outras palavras o sinal de f x muda de positivo pata negativo 2 Taxas de Variagdo A c 0 O ser humano esta sempre na busca de descrever o comportamento dos fendmenos fisicos que o cetcam Em STEWART 2014 geral comecam descrevendo problemas mais simplificados ou seja desprezando algumas varidveis menos relevantes Em Teste CrescenteDecrescente seguida gradativamente sao acrescidas novas varidveis até aSe f 0 em um intervalo entao fé crescente nele chegar o mais proximo possivel da realidade Nesse contexto b Se fx 0 em um intervalo entao fé decrescente nele temos as Taxas relacionadas que sao as relagoes estabelecidas entre as vatias Taxas de variacao de um determinado Exemplo fendmeno fisico Encontre onde a fungiao f x 3x 4x 12x 5 é Na matematica taxa de variacdo é a variacao de uma crescente e onde ela é decrescente determinada grandeza em fungao de outra variavel Por exemplo a velocidade é a taxa de variacio da distancia em Solugao fungao do tempo P 8 12s3 12x 24x 12 82 w 1 von comple temos mais que um tipo de taxas de variacao Para usarmos 0 Teste CD devemos saber onde f x taxa de variagao média que a vatiacao média entre os 0 e onde f x 0 Isso depende dos sinais dos trés fatores valores iniciais e finais de f x isto é 12x x 2 ex 1 Dividimos a reta teal em taxa de variacao instantanea que a variagao de uma intervalos cujas extremidades sao os numeros criticos 1 0 grandeza cm um determinado momento do fenémeno e 2 e dispomos 0 que fizemos em uma tabela Um sinal de Nosso intetesse esta nas taxas de variacao instantanea mais indica que a expresso dada é positiva e um sinal de que sao expressas por meio das derivadas menos indica que é negativa A ultima coluna da tabela mostra a conclusio baseada no teste CD Por exemplo x Exemplo de Aplicagao 0 para 0 x 2 de modo que f decrescente em 0 2 Também seria verdade dizer que f é decrescente no intervalo 1 Um comedouro de racao em um aviario no 49 formato de um cone invertido com o raio do topo medindo 40 cm e de altura 60 cm reduz sua quantidade da ração a uma taxa constante de 120 cm³h Qual é a taxa de variação da altura da ração quando ela está com 25 cm Solução Primeiramente devese relacionar o raio com a altura usando semelhanças de triângulos Substituindo na equação do volume temse Derivando em relação ao tempo ficase com Derivando em relação ao tempo ficase com Onde manipulando a expressão chegase a solução desejada Exemplo 2 Um avião está subindo a um ângulo de 30 com a horizontal Com que rapidez o avião estará ganhando altura se sua velocidade for de 900 quilômetros por hora Fonteimagepngbase64 Através das relações trigonométricas podemos relacionar a distância percorrida pelo avião e a altura que do solo que ele se encontra Onde sen30 ½ logo temse Lembrese da aula anterior que ao derivar a função posição encontramos a função velocidade que representa a taxa de variação do espaço Assim derivando a equação dada em ambos os lados em função do tempo t obteremos Substituindo os dados pelo problema temse Deste modo chegamos a resposta do problema apresentado o avião ganha altura a uma rapidez de 450 kmh 3 Problemas de Otimização Nas aplicações uma quantidade física ou geométrica costuma ser descrita por meio de alguma fórmula Q f x na qual f é uma função Assim Q pode ser a temperatura de uma substância no instante x a corrente em um circuito elétrico quando a resistência é x ou o volume de gás em um balão esférico de raio x Naturalmente usamos também outros símbolos para variáveis tais como T para temperatura t para tempo I para corrente R para resistência V para volume e r para raio Se Q f x e f é diferenciável então a derivada D Q f x pode ser útil na pesquisa de máximos e mínimos de Q Em aplicações esses valores extremos são às vezes chamados de valores ótimos porque são em certo sentido os melhores ou mais favoráveis valores da quantidade Q A tarefa de determinas esses valores constitui um problema de otimização SWOKOWSKI 1995 Se um problema de otimização é enunciado em palavras então é necessário converter o enunciado em uma fórmula adequada como Q f x a fim de acharmos os números críticos Na maioria dos casos existe apenas um número crítico c Se além disso f é contínua em um intervalo fechado ab contendo c então pelas Diretrizes 49 os extremos de f são o maior e o menor dos valores f a f b e f c Por isso é em geral desnecessário aplicar o teste da derivada Entretanto se for fácil calcular f x aplicamos o teste da derivada segunda para verificar um extremo Exemplo De uma longa folha retangular de metal de 30 cm de largura devese fazer uma calha dobrando as bordas 275 Calculo Diferencial e Integral 50 perpendicularmente 4 folha Quantos centimetros devem ser meditando sobre os fatos apresentados e as dobrados de cada lado de modo que a calha tenha capacidade quantidades desconhecidas a serem determinadas maxima 2 Se possivel esbogar um diagrama e rotuldlo adequadamente introduzindo variaveis para 30 cm x y x representar as uantidades desconhecidas Express6es tais como 0 que ache quanto a que distancia P q q q ou quando devem alertalo pata as quantidades desconhecidas 3 Registrar os fatos conhecidos juntamente com quaisquer telagdes envolvendo as variaveis 4 Determinar qual varidvel deve ser maximizada ou minimizada e expressar esta variavel como funcgao x de uma das outras vartiaveis 5 Determinar os nimeros criticos da funcio obtida em 4 6 Determinar os extremos com auxilio das Diretrizes s ou pelos testes de derivadas de primeira e segunda y Verificar os pontos extremos sempre que necessatio Fonte httpsslideplayercombrslide12702383images3Deumatlongafo lhademetalde30cmdelarguradevesefazerumacalhadobrandoas jpg Acesso em 21 set 2018 4 Exemplos de aplicagdo Solugao Na Figura ilustrada x denota o numero de centimetros 41 Problema de Engenha a s a set dobrado de cada lado A largura da base da calha 30 Um recipiente cilindrico aberto em cima deve ter a 2x cm A capacidade da calha sera maxima quando a area do de lad 30 2x f ssima D q capacidade de 375 x cm O custo do material usado para a retangul 0 ee faos ve 2X FOF maxima Menorando essa base do recipiente é de 15 centavos por cm e o custo do aream por fx temos material usado para a parte curva é de 5 centavos por cm fx x30 2x 30x 2x Se no ha perda de material determine as dimensdes que minimizem o custo do material Como 0 2x 30 o dominio de fé 0 Sx 15Sex 0 oux 15 nao se forma nenhuma calha a area do retangulo Solugao seria f 0 0 f15 Diferenciando cuir per ro me base por h a altura tampes r em centimetros A quantidade a minimizar é 0 custo C do 30 4 215 2x Px 30 4x 2 material Como os custos por centimetro quadrado da base e De onde 0 tinico niimero eritico é x 75 Como f x da parte curva sao 15 centavos 5 centavos tespectivamente De temos em termos de cruzeitos o custo do recipiente é 15 40f 75 é maximo local para Seguese que devem rea da base 5 area parte lateral set dobrados 75 cm de cada lado para obtermos a capacidade area ee P axima maxima 31 Diretrizes paraa resolucdo de C 15nr 52nrh problemas de otimizagao C 5n3r 2rh Ce ae Como oO numero de tipos de problemas de otimizagao Podemos expressat C como fungao de uma variavel r ilimitado é dificil estabelecer regras especificas para obter as esctevendo h em termos de tr Como o volume do recipiente respectivas solucces Todavia Swokowski 1995 recomenda 3 a 375 mcm vemos que uma esttatégia geral para abordar tais problemas Poderao ser titeis as diretrizes apresentadas a seguir Ao emprega 375 ues P Seguin 2 Press arh375n ou h las o leitor nao deve se desencorajar se nao conseguir r resolver tapidamente um determinado problema Em geral é Substituindo h por 37512 na iltima forma de C temos necessatio muito esforgo e pratica para uma pessoa se tornar Lk 375 750 proficiente na resolugio de problemas de otimizagao mas C5n 3r r n 3r 4 continue tentando r r Diretrizes de Swokowski para resolucao de problemas O dominio de C é 0 de otimizacao Para achar os numeros criticos diferenciamos C em telacgdo ar 1 Ler cuidadosamente o problema varias vezes 51 2 750 125 r125 de P é250t Pelo teorema de Pitagoras a distancia d entre D Sx 6r 30nr 300 Doe r r r r os automoveis é d 250t 20t 4 200 2500 40087 Como DC 0 se r 5 vemos que 5 0 unico numero critico E como DC 0 ser 5eDC 0 ser 5 seguese d 4200t 29002 do teste da derivada primeira que C tem seu minimo quando o taio do cilindro é de 5 cm O valor correspondente da altura Queremos achar o instante t em que d tem seu menor obtido de h375r 37525 15cm valor Isto ocorrer4 quando o radicando for minimo porque vo daumenta se e somente se 4 200t 2900t aumenta Assim won fOblema de Administra Gao e podemos simplificar nosso trabalho fazendo fQ 4200t 290027 Uma loja tem vendido 200 aparelhos reprodutores de Bluray por semana a 350 cada Uma pesquisa de mercado B determinando o valor de t para o qual f tem um indicou que pata cada 10 de desconto oferecido aos minimo Como compradotes o numero de unidades vendidas aumenta 20 fi f 200 5800 por semana Encontre a funcao demanda e a funcao receita Qual o desconto que a loja deveria oferecer para maximizar O unico numero critico para é sua receita t 200 at 5800 29 Solugao Além disso f t 5800 d d derivad Se x for o numero de reprodutores de Bluray vendidos m S80 f moce ane a cenvaca segunda é sempre positiva Portanto ftem minimo local em por semana entao o aumento semanal nas vendas sera x 2 7 t 129 e f 129 1429 Como o dominio de t é 0 200 Para cada aumento de 20 unidades vendidas o prego pe ee a ecomo f 0 4 nado ha maximo nem minimo nas cai em 10 Portanto pata cada unidade adicional vendida 0 ns extremidades Consequentemente os automoveis estarao mais decréscimo no preco seta e a funcao demanda sera 120 x 10 Le Fancio d q proximos um do outto a 129 horas ou aproximadamente 2 tungao cemanca sera 207 minutos apds 10h A distancia minima é 10 1 px 350 x 200 450x 1 716 20 2 If 2 074km A funcio teceita é 1 Rx xpx 450x 5 x p Retomando a aula Como R x 450 x vemos que R x 0 quando x 450 Este valor de x da um maximo absoluto pelo Teste da Primeira Derivada ou simplesmente observando que o a Fon grafico de R é uma parabola que abre para baixo O preco correspondente é Chegamos ao final da nossa aula Vamos recordar 0 1 que estudamos p450 450 3 450 225 Eo desconto é 350 225 125 Portanto para maximizat 1 Teste crescentedecrescente a receita a loja deveria oferecer um desconto de 125 no Vocé aprendeu que dada uma fungao fdiferenciavel num 43 Problema de Transito intervalo se x 0 neste intervalo entao fé crescente nele Do mesmo modo se x 0 em um intervalo entao fé Uma rodovia NorteSul intercepta outra rodovia Leste decrescente nele Oeste em um ponto P Um automovel passa por P as 10h dirigindose para o leste a 20 kmh No mesmo instante 2 Taxas de variagao outro automével esta a 2 km ao norte de P e se dirige para o oo sul a 50 kmh Determine o instante em que os automéveis Na matematica taxa de variagao ca variagao de uma estio mais proximos um do outro e aproxime a distancia determinada grandeza em funcao de outta variavel Pode ser minima entre eles ainda média que a vatiacao média entre os valores iniciais e finais ou instantanea que é a vatiacéo de uma grandeza em Soluc4o um determinado momento do fendmeno Se t denota o numero de horas apés 10h entao o veiculo 3 Problemas de otimizacgao mais lento esta a 20t km a leste de P O veiculo mais rapido esta 8 aan a 50t km ao Sul de sua posicio as 10h assim sua distancia Em aplicagoes valores extremos sao as vezes chamados Calculo Diferencial e Integral 52 de valores 6timos porque sdo em certo sentido os melhores ou mais favoraveis valores da quantidade associada a uma 4 Minhas anotacoes fungao especifica 31 Diretrizes para a resolucio de problemas de otimizacao Diretrizes de Swokowski para resolucio de problemas de otimizacao 1 Ler cuidadosamente o problema varias vezes 2 Se possivel esbocgar um diagrama introduzindo as variaveis 3 Registrar os fatos conhecidos e relagdes entre as variaveis 4 Determinar qual variavel deve ser maximizada ou minimizada e expressar esta variavel como fungao de uma das outras variaveis 5 Determinar os nuimetos criticos da funcao obtida em 4 6 Determinar os extremos com auxilio das Diretrizes ou pelos testes de detivadas de primeira e segunda Verificat os pontos extremos sempre que necessatio Sh Vale a pena 2 S Vale a pena ler SWOKOWSKI Ealr W FARIA Alfredo Alves de Calculo com geometria analitica 2 ed Sao Paulo Makron Books do Brasil Sao Paulo McGrawHill 1995 GUIDORIZZI Hamilton Luiz Um curso de célculo 3 ed Rio de Janeiro LTC 2008 STEWART James Calculo 7 ed Sao Paulo Cengage Learning 2014 Sh Referéncias Referéncias FLEMMING Diva M Cahulo A fungoes limite derivagao integracao Sao Paulo Makron Books do Brasil 1992 5 Ed GUIDORIZZI Hamilton Luiz Um curso de calcula 3 ed Sao Paulo LTC 1997 Vil HOFFMANN D Laurence BRADLEY Gerald L Céleulo um cutso moderno e suas aplicagdes 10 Ed Rio de Janeiro LTC 2010 LEITHOLD Louis O Cakulo com geometria analitica 3 edSao Paulo Harbra 2002 Vol 1 MUNEM Mustafa A Calulo 2 ed Rio de Janeiro Guanabara 1983 V 1 STEWART J MORETTI A C MARTINS AC G Caleulo 5 ed Rio de Janeiro Cengage 2008 V 1 SWOKOWSKI Eatl W Cakulo com Geometria Analitica Sao Paulo Makron Booksl 1994 V1 THOMAS George B Cahulo 11 edSio Paulo Addison Wesley 2009