Funções: Objetivos de Aprendizagem e Conceitos Básicos

2º Aula Função Objetivos de aprendizagem Ao término desta aula vocês serão capazes de entender as funções e relações aprender sobre linhas focar nas parábolas investigar gráficos Ao observarmos a história da matemática vemos que René Descartes 15961650 originou a ideia do sistema de coordenadas xy Isaac Newton 16421727 e Gottfried Leibniz 16461716 foram os inventores do cálculo mas é difícil imaginar que eles possam ter feito isso sem a contribuição de Descartes muitas décadas antes Descartes foi o responsável por relacionar álgebra e geometria através de representações conhecido e amplamente utilizado plano cartesiano Neste geralmente são representadas funções em um sistema de coordenadas usualmente xy Você vai ver centenas de funções no seu estudo de cálculo então não seria uma má ideia familiarizarse com as funções básicas nesta aula Veremos então a reta a parábola a função de valor absoluto as funções cúbicas e de raiz cúbicas e as funções exponenciais e logarítmicas Bons estudos 237 Calculo Diferencial e Integral 12 Se pteocupa quando e quao rapido ela sobe e quando e Secoes de estudo quao rapido ela desce Geralmente nds queremos saber o que acontece a vatiavel dependente ouy quando a variavel 1 O que é funcio independente ou x aumenta 2 Variaveis independentes e dependentes 3 Notacio das fungées 3 Notaao das funcées 4 Fungao composta 5 Retas no plano Uma maneira simples de escrever a funcao y 5x 2x 6 Dezenhando Linhas 3 trocar 0 y pelo fx e escrever fx 5x 2x 3 B 7 Grafico de uma funao apenas uma notacao diferente para a mesma coisa Essas duas 8 Fungdes de segundo grau e modular equagGes sao em todos os aspectos matematicamente 9 Fungodes exponenciais idénticas 10 Fungao logaritmica Pense no ffx ése f de x como uma abreviagao 11 Funcao inversa para uma fungao de x Vocé pode esctever y fx 3x 12 Fung6es Trigonométricas traduzido como y é uma funcao de x e essa funcao é 3x Considere a fungao quadratica y x ou fx x Quando A 50 vocé coloca o nimero 3 no lugar de x vocé tem como resposta a 0 GPs fu eg 9 A notagao da fungao é conveniente porque vocé pode xptessar abreviadamente a entrada a saida escrevendo 3 Uma funao basicamente é a relacio entre dois 9 lese f de 3 igual a 9 Lembrese que f3 9 significa conjuntos de modo que os elementos de um conjunto podem que quando x é 3 fx é 9 equivalentemente ela diz a vocé que set esctitos em termos dos elementos do outro quando x é 3 y 69 Exemplos estao ao nosso redor a temperatura diaria média pata a sua cidade depende da época do ano a distancia 4 Fun 30 com post a que um objeto caiu é uma funao de quanto tempo passou desde que foi solto a area de um circulo é uma fungao do seu Uma fungio composta é a combinacio de duas funcées raio e a pressaio de um gas engarrafado é uma funcao da sua Por exemplo o custo familiar de energia elétrica depende de temperatura quanto vocé consome e 0 consumo depende da temperatura Considere uma funcao ao quadrado como ilustra a figura do lado de fora Posto que o custo dependa do consumo e 0 a seguir consumo depende da temperatura o custo vai depender da temperatura Na linguagem da fungao 0 custo é uma fungao f do consumo e o consumo é uma funcao da temperatura e assim o custo uma fungao da temperatura Essa ultima funcao 1 1 uma combinacao das duas primeiras é uma fung4o composta Deixe fx x e 93 5x 8 Coloque 3 em gx 23 2 4 538 que é igual a 7 Agora pegue esse resultado 7 e coloque WARK RYAN 2008 em fx 7 7 49 Como na figura Ao inserit 1 na funao o resultado sera 1 Se inserir 2 0 g f resultado sera 4 Uma fungao é como uma maquina recebe um imput comando de entrada e opera de alguma forma e 3 7 x hk 4g depois fornece um output comando de saida 2 Varidveis independentes e ninz epe ndentes Vocé pode expressat o resultado das duas fungdes em Em uma funcao os elementos do grupo escrito em um passo com a seguinte funa0 composta termos do outro grupo sao chamados de variaveis dependentes f e3 49 os elementos do grupo que podem gerar 0 outro sao Voce calcula primero a fungao de dentro de uma funao denominados variaveis independentes Visto que vocé coloca composta 9 7 Depois voce pega 0 resultado 7 calcula numeros na variavel independente ela também é chamada de KD que igual a 49 Para determinar a funcao composta variavel de entrada Depois de colocar um numero voce geral ax coloque que igual a 5x 8 em fi Em entio calcula 0 output ou a resposta pata a variavel dependente ourras palavras voc quer determinar 5x 8 A fungao f ou assim a variavel dependente é também chamada de variavel de maquina f pega esse valor e eleva ao quadrado Assim saida Quando vocé desenha grafico de uma funcio a fOx8 6x8 variavel independente vai para 0 eixo x ea varidvel dependente 5x 85x 8 vai para 0 eixo y a 95x 80x 64 Qualquer que seja o tipo de correspondéncia entre duas Assim ex 25x 80x 64 variaveis a variavel dependente a coisa com a qual a gente Com fungdes compostas a ordem é importante Como do aumento sobre a distancia e assim a inclinacgdo sempre uma regra geral fox gx resulta a mesma nao importando qual o tamanho dos degraus Se vocé quer fazer a distancia igual a 1 no entanto a inclinagao igual ao aumento porque um numero dividido por 1 é igual 5 Retas no plano éigu porg por 1 éigu a ele mesmo Essa é uma boa maneira de pensar sobre a Uma reta é uma funcio mais simples que vocé pode inclinagdo a inclinagao é o valor que a reta sobe ou desce desenhar no plano cattesiano quando se desloca em 1 para a direita a Exemplo y 3x 5 Retas que sobem a direita tem uma inclinacao positiva tetas que descem a direita tem uma inclinacdo negativa Retas y horizontais tem uma inclinacao igual a zero e as retas verticais nao tem inclinagao 15 2 oy oni Esta é a formula para a inclinacao 2y1 12 inclinacdo yevye 2 11 x2x1 9 Exemplo escolha dois pontos na reta digamos 18 e 1 8 314 e coloqueos na formula para calcular a inclinaao 6 148 6 3 inclinagio es sa 31 2 12 Esse calculo envolve em certo sentido um degrau da escada que vai até 2 na direita e sobe 6 6 3 3 x Qualquer linha paralela a essa tem a mesma inclinacao be Z qualquer reta perpendicular a essa tem uma inclinagao de 3 4 ue reciproco oposto de 3 Retas paralelas tem a mesma z inclinagao Retas perpendiculares tém inclinagdes reciprocas Opostas MARK RYAN 2009 6 Desenhando linhas A coisa mais importante sobre a reta pelo menos para Ln Se vocé tem a equacao da reta y 3x 5 mas nao o seu o estudo de calculo é a sua inclinagaéo Note que toda vez grafico vocé pode desenhar a reta de maneira antiga criando que x se desloca em 1 pata direita y sobre em 3 Uma boa pee uma tabela de valores substituindo o x por numeros e maneita de visualizar a inclinagéo é desenhar uma escada calculando o y Se vocé coloca 0 no lugar de x y vai ser igual a embaixo da reta veja a figura a seguir A parte vertical do oe 5 coloque 1 no lugar de x e y vai ser igual a 8 coloque 2 no degrau é chamada de aumento a parte horizontal é chamada er Loe lugar de x e y vai ser 11 e assim sucessivamente Com os de distancia e a inclinagao é definida como a tazao entre 0 Lone tesultados montase o grafico no plano cartesiano aumento e a distancia Pontos na reta y 3x 5 ineli aumento 3 x fofi 2 3 inclinacado Gisiancia 1 3 X 1 2 3 stancta LY 5s 3 4 Loe y Equacao de uma teta na forma inclinacaointersecgao e 21 A na forma pontoinclinacgao Analisando a figura 18 I y 15 a 21 4 12 3 18 3 1 T 1 3 3 15 3 7 a als 12 a 1 9 3 i 6 3 x i 6 3 3 6 3 a 6 3 3 6 MARK RYAN 2009 3 Vocé nao precisa fazer a distancia ser igual a 1 A razao MARK RYAN 2009 Calculo Diferencial e Integral 14 Vocé pode ver que a reta na figura cruza o eixo y no do ponto x no dominio pata isso movemos o ponto x ponto 5 esse 0 ponto onde a reta intercepta o eixo y Visto verticalmente até encontrar o grafico da funcio e em seguida que tanto a inclinagao de 3 como na intersecgao no eixo yde horizontalmente até encontrar o eixo vertical obtendose 5 aparecem na equacao y 3x 5 essa equacao é dita estar assim fx na forma inclinagaointerseccao Aqui esta a forma escrita de maneira geral 8 Fungdes de segundo grau e ymxtb odular onde m é a inclinacio e b é 0 ponto de intersecao no eixo 9 Citamos duas fundes mostrada em plano cartesiano a funcao de 2 grau fx x ea funcao modular gx x Todas as retas com excedo das retas verticais podem Veja na figura set escritas dessa forma Retas verticais sempre aparecem um valor para x O numero diz a vocé onde a reta vertical cruza fx x gx x o eixo x y y A equacgao de uma reta horizontal também parece diferente onde se apresenta o valor de y Ela tecnicamente se encaixa na forma y mx b Somente porque a inclinagao da reta horizontal é igual a zero e porque zero multiplicado por eae s a x zero nao ha um termo para x na equacao Sew 1eb 0 vocé tem a fungaoy x Essa reta passa pela origem 00 e faz um angulo de 45 com ambos os eixos E chamada de fungao identidade porque os inputs sio iguais aos outputs Em adicao a forma inclinacaointercepta pata a equacao MARK RYAN 2009 da reta vocé deve saber a forma do pontoinclinagao Note que ambas as fungdes sao simétricas com respeito yy0 mx x0 ao eixo y Em outras palavras os lados direito e esquerdo de Para usat essa forma vocé precisa saber um ponto na cada grafico sio reflexos um do outro Isso os torna fungdes reta e a inclinagao da reta Vocé pode usar qualquer ponto da pares Uma fungio polinomial do tipo y 9x 4 3 onde reta digamos 211 da figura Depois coloque as coordenadas todas as poténcias de x sao pares é um tipo de fungao par x ey do ponto em x y e coloque o coeficiente angular 3 Outro tipo de funcao par éy cosx em 7 y11 32 9 Funcgdes exponenciais Com um pouquinho de algebra vocé pode transformar essa equacao em uma que nos ja sabemos y 3x 5 Uma funcio exponencial é uma com uma poténcia que va contém uma variavel como fx 2 ou gx 10 A figura 7 Grafico de uma fu Nao mostra os graficos dessas duas fungdes no mesmo sistema de coordenadas xy A nogao de par ordenado e consequentemente a sua y representacao erafica sao ferramentas indispensaveis pata o trato de fungoes Tal importancia se deve ao fato de que o par 5 glx 10 otdenado estabelece 0 relacionamento dominioimagem e a aa Adi2 sua fepresentacao grafica possibilita uma visualizacao 5 geoméetrica da fungao Isso é obtido colecionandose todos os pares ordenados da forma x fx e representandoos num sistema de coordenadas como pontos do plano O esbogo de um grafico de uma funcao nao é tarefa SS aa simples salvo nos casos em que os conjuntos envolvidos dominio e contradominio sao finitos ou quando as ns MARK RYAN 2009 ptopriedades geométricas tequeridas sao faceis de serem interpretadas Uma das consequéncias da teoria que iremos Ambas as funcdes passam pelo ponto 01 assim como desenvolver 0 estudo minucioso do comportamento de um todas as funcdes exponenciais da forma fx b Quando grande numero de funoes b é maior do que 1 vocé tem um crescimento exponencial Dado 0 grafico de uma fungao podemos visualizar Todas as fungées desse tipo aumentam para a direita seu dominio bastando para isso projetarmos 0 grafico no Para sempre e como elas vao pata a esquerda no sentido eixo das abscissas projetando o grafico no eixo da ordenadas negativo infinitamente eles avancam ao longo do eixo x teremos 0 conjunto imagem da fungao sempre chegando perto mas nunca tocando o eixo Vocé y fx usa essa fung6es relacionadas para descobrir coisas como investimentos inflagao e aumento populacional No grafico podemos encontrar o valor de partindo Quando esta entre 0 e 1 vocé tem uma funcao de decaimento exponencial Os graficos desse tipo de funcao volta para o ntimeto 3 porque J9 3 Note que f3 9 sao como fungdes de crescimento exponencial ao inverso ef 9 3 Vocé pode escrever tudo isso em um passo Fung6es de decaimento exponencial também cruzam o eixo y como f F3 3 Funciona da mesma maneira no ponto 01 mas elas sobemn pata a esquerda pata sempre se vocé comecar com fot x f 16 4 porque e avangam ao longo do eixo x para a direita Essas fungoes Vie 4 F4 16 porque 4 16 Se vocé escrever exemplificam coisas que encolhem ao longo do tempo como esse tinico passo vocé tem ff 16 16 Note que 0 decaimento radioativo do uranio i lemos f x como finversa de x nao temos 0 inverso de a x mas as funcdes sao inversas uma da outra FUNGdO loga ritmica A maneira sofisticada de somar tudo isso é dizer que fa ef 7 x sio funcdes inversas se somente se ne wpe Uma fungao logaritmica é simplesmente uma fungao f 1 Fx xeff 1 x x exponencial com o eixo x e y trocado Em outras palavras a Nao confunda o sobrescrito 1 em f7 x Com o diregao para cima e pata baixo em um grafico exponencial expoente 1 O expoente 1 Ihe da o reciproco de algo por corresponde a direcao direita e esquerda em um grafico exemplox7 Mas f7 x 0 inverso de fx eo x logaritmico e a direcao direita e esquerda em um grafico Quando vocé desenha o grafico de fungées inversas cada exponencial corresponde a direco para cima e para baixoem uma éo teflexo da outta refletida sobre a linha y x Vejana um grafico logaritmico figura os graficos das fungdes inversas f x x para 0 1 gx logx cf vx Podese ver essa relacao na figura na qual as fungdes e y sao desenhadas no mesmo conjunto de eixos 3 g fxJx Q 9 A fix2 at 7 a y 8 Vsx oa ie 6 a 7 g Pi 5 ee 4 r ro a fd vx 4 se 3 o 3 oe sae ne glx logx og ay i a4 1 i x aT a Puce AaB 8A 8 78s Ue doe 2etds Ae 8 BD pe 2 3 MARK RYAN 2009 MARK RYAN 2009 Se vocé rotacionar o grafico no sentido antihoratio pata que a linha X fique na vertical vocé pode ver Tanto a fungao exponencial como a funcao logaritmica 41 a ne facilmente que fx e fx sao reflexos uma da outra sao monotonicas Uma fungiéo monotdnica pode subir sobre U Aes og Uma consequéncia dessa simettia é que se um ponto como o seu dominio chamada funao crescente ou descer sobre 5 4 esti das func 42 vai d dominio uma funcao decrescente Note a simetria 24 estiver em uma das fungdes 0 ponto 2 val estar na fodo 0 seu clo outra E também o dominio de fé 0 contradominio de f e yx 0 contradominio de fé o dominio de f das duas fungées sobre a linha Isso as torna inversas uma da F a outta 0 que nos leva para o ptdximo tdpico UNCOES trigonometricas xy A figura principal da nossa historia é o nimero 1 Ele Fungdo inversa sete pameP sutge quando queremos calcular o comprimento C de uma citcunferéncia de raiorC 2ir As funcées fx x para x 0 e afuncio Seu valor 77 314159265 f 0x x se como f inversa de x é igual a raiz de x sao fungdes inversas porque cada uma desfaz 0 que 1 caso x 0 Partindo de A caminhamos sobre a a outta fez Em outtas palavras f x x tecebe uma circunferéncia uma distancia x no sentido indicado na figura entrada de 3 e produz uma saida de 9 porque 3 9 chamado antihorario Determinarse assim um ponto P Ff 1x Vx tecebe uma entrada de 9 e torna isso que sobre a circunferéncia Note que o arco AP tem comprimento Cálculo Diferencial e Integral I 16 x 20 caso x 0 Partindo de A caminhamos sobre a circunferência uma distância x chamado de sentido horário Determinase assim um ponto Px sobre a circunferência Note que o comprimento do arco APx é x 30 caso x 0 Nesse caso o ponto sobre a circunferência coincide com o ponto A que foi fixado BOULOS PAULO 1999 Função seno e cosseno Definição geométrica do seno e do cosseno Temos uma circunferência de raio 1 e um ponto A e consideremos o ponto de coordenadas como mostrado na figura Para facilitar a exposição chamaremos essa circunferência de circunferência unitária Dado um número real x então Portanto BOULOS PAULO 1999 Gráficos Para representar o gráfico da função seno observemos que quando x cresce de o ponto Px vai de A a B no sentido antihorário Assim a ordenada de Px que é cresce de 0 a 1 quando x cresce de a o ponto Px vai de B até C no sentido antihorário Assim a ordenada de Px que é decresce de 1 a 0 quando x cresce de a o ponto Px vai de C até D no sentido antihorário Assim a ordenada de Px que é decresce de 0 a 1 quando x cresce de a o ponto Px vai de D até A no sentido antihorário Assim a ordenada de Px que é cresce de 1 a 0 BOULOS PAULO 1999 No caso da função seno ela é periódica de período Uma análise semelhante permite representar o gráfico da função cosseno e concluir que esta função também é periódica de período Na figura representamos os gráficos das funções seno e coseno BOULOS PAULO 1999 Identidades Para cada x o ponto estando sobre uma circunferência de raio 1 dista 1 do seu centro Então Escrevemos na forma e na forma Então a relação obtida fica Resultado que é geometricamente evidente no caso da figura anterior Tal relação é chamada de relação fundamental 242 Fung4o tangente cotangente secante e cossecante i o e aa n to 1 1 ae 1 It it Definigdes As fungdes definidas no quadro seguinte 1 t 0 qual inclui notagao e nomenclatura usadas sao chamadas 9 roy Pet juntamente com as fungdes seno e cosseno de fungdes oe e a eg Oe re oo a trizonométricas 4 1 jt 1 14 i vl Nome dafungdo Simbolo Expressdo rans Mix tg y 280 sinx BOULOS PAULO 1999 tangente tg tan x cosx Propriedades da fungao secante cos x 1 cotangente cot cotx sinx tanx a a funcao secante para 1 b A fungao secante é periddica de periodo 2z secante sec secx cosx Para obter uma representacao grafica da fungao secante 4 basta considerar o intervalo 0 22 j4 que ela sendo par cosecante CSC cscx sin x tem grafico simétrico em relacao a O Uma vez feito isso av temos a tepresentacaéo em 22 r2 e agora é sé lembrar ay que ela é periddica de 2x Observando o grafico da fungao Interpretac4o geométrica da tan x Na figura além da cosseno no intervalo 0 2x vemos que COS decresce de 1 a circunferéncia unitaria e do ponto P cosx sin x como 0 logo secx 1 cosx crescede 1 a Na figura esta 0 xZ2 esta representada a reta tangente a circunferéncia representado o grafico da fungao secante no se inclui a do 2 no ponto A Sobre tomamos uma graduagao igual a do eixo cosseno Oy Sendo Ta intersecdo da reta OP com 7 e O a projecao ortogonal de P sobre Ox entao como os triangulos OP O e Interpretagao geométrica de secx Para uma OTA sao semelhantes temos interpretagdo geomeétrica relativa a funcao cossecante observe na proxima figura que os triangulos OP O e OTA AT Fe ou seja AT SIN ou seja AT tanx sao semelhante Logo temos OA og 1 cOsx a OT OA OT 1 a am 0 SP ou seja ou seja OT secx Y ao Y oP og 1 cosx on fo AY ed a b ae re y os Se Vy T Ley 2 1 s io x a me secxF4 1 J 1 a x Ce mei NM BOULOS PAULO 1999 ty A rie A Oo x m2 x Consequéncias da interpretagao geométricas de tanx BOULOS PAULO 1999 1 A fungao é impar isto 6 tan x tan x intei Isso sugere que fagamos uma graduacao na reta movel 2 tanx tan x para qualquer inteiro gere gi g 3 2 periddica de periodo z por Oe P com esse ultimo ponto sempre correspondendo a 1 na referida graduacao Entao SC Xé o valor que se lé nessa Essas informacgdes nos permitem representar o grafico régua movel correspondente a T da tangente Agora fica facil ver que a medida que x cresce no intervalo 0 x2 tam x cresce fica maior do que qualquer Procedimento andlogo pode ser feito para as fundes co mimero positivo para todo o x suficientemente proximo de tangente e cossecante Vamos nos limitar apenas a apresentar n2 Entao desenhamos o grafico em 0 22 e depois pata as tepresentacoes de seus graficos na proxima figura Como desenhar a parte correspondente a z20 basta tomar eracas desafio se vocé é interessado deixamos a tarefa de descobrir a 1 o simétrico do tragado em relacgado a origem Esperamos interpretagdes geométricas para a construao dessas funcdes que vocé entenda agora a representacio do grafico da fungao como fizemos para as funcGes tangentes e secantes Para seu tangente dada na figura controle incluimos na figura a representagao da fungao seno Calculo Diferencial e Integral 18 a y b yy dominio de uma funao 0 conjunto de numeros que podem 1 ft J Set utilizados pela relacdo conhecida entre os dois conjuntos 1 N phe FTE Sg que definem a fungdo O conjunto imagem é dado pelos aa N SNe Se nameros que sao os resultados da relacao que origina a funcao f Ny a Vi fi tf 1 8 Fungées de segundo grau e modular Vocé observou que ambas sao fungdes simétricas sendo BOULOS PAULO 1999 ainda funcdes pates oy Retomando a aula 9 Fungées exponenciais Vocé aprendeu que nas fungdes exponenciais a variavel x por exemplo aparece como expoente de um outro numero qualquer Todas passam pelo ponto 01 Se o expoente maior que um temse um crescimento exponencial Chegamos ao final da nossa aula vamos relembrar 0 CaSO estcja entre Oe 1 um decaimento mos x i sUeveSiueeti a 10 Fungao logaritmica ae t Vocé viu anteriormente que uma funcao logaritmica 10 que é funcio é simplesmente uma funcgao exponencial com o eixo x e y ttocado Vocé viu que funcao é a relacao entre dois conjuntos de modo que os elementos de um conjunto podem ser esctitos 11 Fungao inversa em termos dos elementos do outro oo Dizse que as fungdes sao inversas porque cada uma 2 Variaveis independentes e dependentes desfaz o que a outta fez sendo utilizada a notagao 1 1 FF xe fF 2 x Os elementos do grupo escrito em termos do outro grupo sao chamados de varidveis dependentes os elementos 12 FungGes trigonométricas 6 29 do grupo que podem gerar o outro sao denominados Funcio seno e cosseno variaveis independentes Graficos Fungoes periddicas apresentando periodos de e amplitudes entre 1 e 1 3 Notagio das fungées 2m P Apresentam uma diferenga de fase entre as duas sendo Uma maneira simples de escrever a funcao y 3x é esta de 72 trocar o y pelo fx lése f de x como uma abreviagao IdentidadeRelacao fundamentalsin x cos x 1 para uma funcao de x Ex y fx 3x Fungao tangente cotangente e cossecante 4 Fungao composta Interpretacio geométrica da fam x Associagao a reta Re x a oo tangente ao ponto 00 da circunferéncia trizonométrica Vocé viu que é a combinacéo de duas funcdes por 8 pow 00 ee haat Consequéncias das interpretacdesgeométricas A exemplo fgx ou gfx lembrando que flex gx fancio io é impar isto é Além di Cao 1g par Isto tan x tan x vem disso 5 Retas no plano tanx km tanx para qualquer inteiro Assim como as outras fungdes trigonométricas 7g também é uma Fungao mais simples ex y 3x 5 Vocé aprendeu que funcao periddica no entanto com periodo menor x a inclinacao da reta pode ser esctita como aumentodistancia considerando o exemplo ja citado a inclinacao 31 3 O valor da inclinagao também coincide com o numero que Valea pena multiplica a variavel x na equacao 6 Desenhando linhas Vocé viu que pata desenharmos uma fungao linear ey podemos criar uma tabela escolhendo valores para x ty ena ler substituindo na fungéo e obtendo valores para y A ale ap distribuicao desses pontos no plano cattesiano deve formato cconbeatawento dtu SWOKOWSKI Ealr W FARIA Alfredo Alves de P sae Calculo com geometria analitica 2 ed Sao Paulo Makron 7 Grafico de uma fungao Books do Brasil Sao Paulo McGrawHill 1995 STEWART James Calculo 7 ed Sao Paulo Cengage Diz respeito a um conjunto dominio e conjunto imagem Learning 2014 de uma fungao contra dominio O conjunto denominado