Trabalho de Modelagem e Simulação de Processos Químicos: Decomposição Química de um Composto

UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA TRABALHO DE MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS QUÍMICOS PROBLEMA PROPOSTO DECOMPOSIÇÃO QUÍMICA DE UM COMPOSTO A decomposição química resulta da variação da concentração do composto ao longo do tempo em que a concentração diminui exponencialmente com uma taxa determinada pela constante de taxa k a Hipóteses simplificadoras para a resolução desse problema Consideraremos uma reação de primeira ordem em que a taxa de decomposição é proporcional à concentração do composto Suporemos que a temperatura e as condições experimentais se mantenham constantes durante a reação Desprezaremos qualquer efeito de reações paralelas ou reações reversas b Equação governante EDO para a decomposição do composto Consideremos a concentração do composto como A no tempo t A equação diferencial que descreve a cinética da reação de decomposição é 𝑑𝐴 𝑑𝑡 𝑘𝐴 Onde dAdt é a taxa de variação da concentração do composto em relação ao tempo k é a constante de taxa da reação que determina a velocidade de decomposição Essa é a equação governante EDO que prevê o comportamento da concentração do composto em análise ao longo do tempo na reação de decomposição A solução dessa equação depende da concentração inicial do composto A0 e da constante de taxa k Para resolver a equação diferencial da decomposição química podemos utilizar o método da separação de variáveis Separando as variáveis e integrando ambos os lados da equação temos 1 𝐴 𝑑𝐴 𝑘 𝑑𝑡 A integral do lado esquerdo é a integral de uma função inversa que resulta em um logaritmo natural ln A kt C Onde C é a constante de integração Aplicando as condições iniciais suponha que a concentração inicial do composto seja A0 no tempo t 0 Substituindo esses valores na equação acima temos ln A0 0 C Implica que C ln A0 Portanto a equação da decomposição química fica ln A kt ln A0 Podemos simplificar essa equação utilizando as propriedades dos logaritmos ln AA0 kt Exponenciando ambos os lados da equação obtemos AA0 ekt Finalmente podemos reescrever essa equação em termos da concentração A ao invés de sua razão com a concentração inicial A0 A A0 ekt Essa é a solução geral da equação diferencial da decomposição química Ela descreve a variação da concentração do composto ao longo do tempo em que a concentração diminui exponencialmente com uma taxa determinada pela constante de taxa k A equação diferencial que descreve a cinética da reação de decomposição é 𝑑𝐴 𝑑𝑡 𝑘𝐴 Vamos resolver essa equação diferencial utilizando o método da separação de variáveis Dividindo ambos os lados da equação por A temos 1A dA k dt Agora vamos integrar ambos os lados da equação Integrando o lado esquerdo em relação a A e o lado direito em relação a t obtemos 1A dA k dt Integrando obtemos ln A kt C onde C é a constante de integração Aplicando as condições iniciais se considerarmos que a concentração inicial do composto é A0 no tempo t 0 substituímos esses valores na equação ln A0 0 C Portanto C ln A0 Substituindo o valor de C na equação obtemos ln A kt ln A0 Exponenciando ambos os lados da equação chegamos a A ekt A0 Finalmente podemos reescrever a equação utilizando o valor absoluto A ekt A0 Aqui o sinal indica que a concentração pode ser positiva ou negativa dependendo da convenção adotada Essa é a solução geral da equação diferencial da decomposição química Ela descreve a variação da concentração do composto ao longo do tempo em que a concentração diminui exponencialmente com uma taxa determinada pela constante de taxa k A constante de integração C é determinada pelas condições iniciais da concentração do composto c Resolva a equação pelo método de Euler defina o melhor passo e runge Kutta compare e discuta os resultados com gráficos d Avalie o comportamento gráfico gerado e faça variações de um parâmetro a fim de analisar mudanças nos resultados Com as modificações implementadas no código agora teremos dois gráficos separados um para o método de Euler e outro para o método de RungeKutta permitindo uma melhor visualização e comparação entre os resultados dos dois métodos Os métodos de Euler e RungeKutta são ambos utilizados para resolver numericamente equações diferenciais ordinárias EDOs No contexto da sua aplicação ao problema da decomposição química eles são usados para estimar a evolução da concentração de uma substância ao longo do tempo A diferença entre os métodos de Euler e RungeKutta reside na precisão da aproximação dos resultados O método de Euler é um método de primeira ordem enquanto o método de RungeKutta é um método de quarta ordem Isso significa que o método de RungeKutta é mais preciso do que o método de Euler produzindo resultados mais próximos da solução exata da equação diferencial No gráfico a diferença esperada entre os resultados dos métodos de Euler e RungeKutta é que o método de RungeKutta deve fornecer uma curva mais suave e precisa em relação ao método de Euler Enquanto o método de Euler pode apresentar uma certa quantidade de erro acumulativo levando a uma estimativa menos precisa da concentração ao longo do tempo o método de RungeKutta deve produzir uma estimativa mais precisa e próxima da solução exata A análise dos gráficos demonstra que o método de RungeKutta apresenta uma curva de concentração mais suave e precisa enquanto o método de Euler exibe uma curva com maior oscilação e menos precisão Considerações Finais As simulações realizadas por meio dos métodos numéricos de Euler e Runge Kutta nos permitem compreender e analisar o comportamento da decomposição química ao longo do tempo Os gráficos plotados representam a variação da concentração da substância em estudo em relação ao tempo Observando os gráficos podemos perceber como a concentração da substância diminui ao longo do tempo devido à decomposição química Podemos analisar a taxa de diminuição da concentração e a velocidade com que ocorre a reação Além disso podemos observar como as curvas dos métodos de Euler e RungeKutta se diferenciam refletindo a maior precisão do método de RungeKutta em relação ao método de Euler Essas simulações são de grande importância pois nos permitem estudar e entender o comportamento de sistemas químicos complexos Ao aplicarmos métodos numéricos para resolver equações diferenciais como no caso do método de Euler e RungeKutta podemos obter resultados aproximados para esses sistemas nos possibilitando realizar a análise e prever o comportamento desses sistemas em diferentes condições e cenários A importância dos métodos numéricos aplicados nesse exercício reside na capacidade de obter soluções aproximadas para equações diferenciais que muitas vezes não possuem soluções analíticas Esses métodos fornecem ferramentas poderosas para modelar e simular sistemas químicos permitindo a exploração de diferentes parâmetros e condições As simulações realizadas por meio dos métodos numéricos de Euler e Runge Kutta neste trabalho nos permitiram compreender o comportamento da decomposição química e sua relação com o tempo Os gráficos gerados são ferramentas visuais que nos ajudam a analisar e interpretar os resultados fornecendo valiosos aprendizados sobre a cinética da reação Os métodos numéricos desempenham um papel fundamental na resolução de equações diferenciais e são essenciais para a modelagem e simulação de sistemas químicos Através dessas abordagens podemos aprofundar nosso entendimento sobre a natureza dos processos químicos e contribuir para o avanço da ciência e tecnologia na área Anexo A Código Utilizado na Simulação Inicial Função que representa a equação diferencial da decomposição química function dAdt equationA k dAdt k A endfunction Função que implementa o método de Euler function results eulerMethodA0 k TMAX N A A0 t 00 dt TMAX N results zeros1 N for i 1N resultsi A A dt equationA k t dt endfor endfunction Função que implementa o método de RungeKutta de quarta ordem function results rungeKuttaMethodA0 k TMAX N A A0 t 00 dt TMAX N results zeros1 N for i 1N resultsi A k1 dt equationA k k2 dt equationA k1 20 k k3 dt equationA k2 20 k k4 dt equationA k3 k A k1 20 k2 20 k3 k4 60 t dt endfor endfunction A0 10 Concentração inicial k 05 Constante de taxa TMAX 100 Tempo máximo N 1000 Número de pontos a serem calculados Resolvendo a equação diferencial pelos métodos de Euler e RungeKutta eulerResults eulerMethodA0 k TMAX N rungeKuttaResults rungeKuttaMethodA0 k TMAX N Plotando os gráficos t linspace0 TMAX N plott eulerResults b linewidth 2 hold on plott rungeKuttaResults r linewidth 2 xlabelTempo ylabelConcentração titleDecomposição Química legendEuler Method RungeKutta Method grid on hold off Anexo B Código Utilizado na Simulação de alteração de parâmetros Função que representa a equação diferencial da decomposição química function dAdt equationA k dAdt k A endfunction Função que implementa o método de Euler function results eulerMethodA0 k TMAX N A A0 t 00 dt TMAX N results zeros1 N for i 1N resultsi A A dt equationA k t dt endfor endfunction Função que implementa o método de RungeKutta de quarta ordem function results rungeKuttaMethodA0 k TMAX N A A0 t 00 dt TMAX N results zeros1 N for i 1N resultsi A k1 dt equationA k k2 dt equationA k1 20 k k3 dt equationA k2 20 k k4 dt equationA k3 k A k1 20 k2 20 k3 k4 60 t dt endfor endfunction A0 10 Concentração inicial k 05 Constante de taxa TMAX 100 Tempo máximo N 1000 Número de pontos a serem calculados Resolvendo a equação diferencial pelos métodos de Euler e RungeKutta eulerResults eulerMethodA0 k TMAX N rungeKuttaResults rungeKuttaMethodA0 k TMAX N Plotando o gráfico para o método de Euler subplot2 1 1 t linspace0 TMAX N plott eulerResults b linewidth 2 xlabelTempo ylabelConcentração titleDecomposição Química Método de Euler grid on Plotando o gráfico para o método de RungeKutta subplot2 1 2 plott rungeKuttaResults r linewidth 2 xlabelTempo ylabelConcentração titleDecomposição Química Método de RungeKutta grid on