Medidas de Posição em Estatística

MEDIDAS DE POSIÇÃO 1 SUMÁRIO MEDIDAS DE POSIÇÃO 2 1 Máximo e mínimo 2 2 Média 2 3 Moda 3 4 Mediana 4 2 Em estatística uma observação se refere a um dado Observações e dados podem ser considerados sinônimos MEDIDAS DE POSIÇÃO As medidas de posição têm por finalidade expor informações sobre os dados pesquisados de forma sintetizada e objetiva resumindoas em um único valor que seja representativo do conjunto todo Para isso nós agrupamos os dados e utilizamos algumas medidas tais como 1 Máximo e mínimo Máximo é a maior observação do conjunto de dados Mínimo é a menor observação do conjunto de dados Portanto se observamos um conjunto de dados conforme a tabela abaixo com as notas de alunos de determinada turma podemos chegar à conclusão de que a maior observação dado é 10 Essa nota é o máximo da amostra Já a menor observação e portanto o mínimo foi 3 Nota 3 4 5 6 8 9 10 2 Média A média é a mais utilizada para descrever de forma resumida um conjunto de valores ou uma distribuição de frequência por ser o valor em torno do qual os dados se distribuem ou seja é o ponto de equilíbrio dos valores Pode ser classificada em média simples e média ponderada Média aritmética simples a média aritmética simples de um conjunto de números é igual à divisão entre a soma dos valores do conjunto e o número total de valores Por exemplo qual a média final de um aluno sabendo que na primeira prova ele tirou 60 na segunda 50 e na terceira 70 Será que o aluno foi aprovado sabendo que a nota final para aprovação é 60 𝑋 6 5 7 60 3 A resposta é que o aluno poderia estudar um pouco mais Ele passou mas passou no limite 3 Média aritmética ponderada a média aritmética é considerada ponderada quando os valores do conjunto tiverem pesos diferentes Portanto para encontrarmos a média ponderada faremos a soma dos valores multiplicados aos seus pesos respectivos e dividindo também pelos pesos respectivos Para exemplificar a média aritmética simples utilizaremos o seguinte exemplo as notas de todos os alunos de determinada turma para encontrar a média da classe 𝐹𝐼 frequência isto é a quantidade que ocorre tal evento Nota 𝑭𝑰 quantidade de alunos que tiraram essa nota na turma 3 3 4 6 5 8 6 7 8 7 9 2 10 3 Total 40 alunos na turma 𝑋 3 3 4 6 5 8 6 7 8 7 9 2 10 3 247 617 40 40 Note que agora não fizemos uma simples média das notas coluna 1 Atribuímos pesos importância a cada nota de acordo com a quantidade de alunos que tirou cada nota 3 Moda De forma bem simples moda é um elemento que aparece com mais frequência em um conjunto de observações Podemos encontrar diretamente a moda de uma população contando o número que aparece mais vezes na sequência Se utilizarmos o mesmo exemplo de notas conforme abaixo qual a moda da turma É interessanter ter em mente que a média pode ser uma medida enviesada Para entender intuitivamente Assim considere a seguinte colocação de Delfim Netto Se o sujeito está com o rabo no forno e a cabeça na geladeira não se pode dizer que ele está com uma ótima temperatura média 4 14 NOTA 𝑭𝑰 3 3 4 6 5 8 6 7 8 7 9 2 10 3 Total 40 A nota que mais se repete é 5 oito alunos tiraram essa nota portanto a moda da turma é a nota 5 4 Mediana A mediana Md indica o dado que ocupa a posição central em um conjunto de dados organizados em ordem crescente Portanto devemos primeiro organizar os dados de um conjunto em posição crescente Depois precisamos contar o número de dados se este é ímpar ou par Segue um exemplo 11 19 25 6 21 14 8 Primeiro organizamos em ordem crescente 6 8 11 14 19 21 25 Verificamos que se trata de uma amostra com número ímpar de dados com 7 valores Desse modo aplicase a fórmula 𝑀𝑑 𝑛 1 2 𝑀𝑑 7 1 4 2 Portanto o elemento central será 14 visto que está na posição 4 6 8 11 19 21 25 Como o conjunto de dados é ímpar até mesmo por uma simples observação é possível encontrar a mediana Mas e se o conjunto de dados for par O primeiro passo é organizar os dados em ordem crescente Considere agora o seguinte exemplo 3 6 8 11 14 19 21 25 27 29 5 14 19 Leia o tópico 31 do capítulo 3 pág 94 a 103 ANDERSON David R SWEENEY Dennis J WILLIAMS Thomas A Estatística Aplicada à Administração e Economia 6ª edição CENGAGE Learning São Paulo 2014 Verificamos que se trata de um conjunto de números pares com n 10 E agora Utilizaremos as seguintes fórmulas 𝑛 𝑃𝑜𝑠𝑖çã𝑜 2 𝑒 𝑛 1 2 Logo 10 𝑃𝑜𝑠𝑖çã𝑜 2 𝑒 10 1 2 𝑃𝑜𝑠𝑖çã𝑜 5 𝑒 6 3 6 8 11 21 25 27 29 Posição 5 e 6 portanto os elementos são 14 e 19 Faremos agora uma média simples dessas duas observações 𝑀𝑑 14 19 2 165 Assim a mediana está entre 14 e 19 sendo que seu valor é 165