Introdução ao Conceito de Derivada em Cálculo Diferencial e Integral

30042023 0851 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap7pli1authuser1 126 Introdução ao conceito de Derivada Cálculo Diferencial e Integral Ap 30042023 0851 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap7pli1authuser1 226 Início de conversa Cálculo Diferencial e Integral Ap 30042023 0851 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap7pli1authuser1 326 Olá Cursista Nesta parte vamos explorar o tema Introdução ao conceito de derivada Assista o vídeo com os principais tópicos sobre o tema e anote suas dúvidas Envie suas dúvidas no Classroom da disciplina Classroom Atividades Dúvidas sobre o conteúdo interaja com o professor e colabore com seus colegas Aproveite para aprofundar os estudos explorando o material organizado na seção SAIBA MAIS Objetivos de aprendizagem Cálculo Diferencial e Integral Ap 30042023 0851 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap7pli1authuser1 426 Os objetivos de aprendizagem desta parte são Identificar uma derivada Aplicar as regras de derivação Reconhecer a derivada de uma função constante Cálculo Diferencial e Integral Ap 30042023 0851 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap7pli1authuser1 526 Conteúdo A seguir vamos ao vídeo Cálculo Diferencial e Integral Ap 30042023 0851 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap7pli1authuser1 626 Derivadas Cálculo Diferencial e Integral Aplicado Derivadas Cálculo Diferencial e Integral Aplicado Clique no ícone ao lado e aproveite para fazer suas anotações durante os estudos utilizando o Google Keep Cálculo Diferencial e Integral Ap 30042023 0851 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap7pli1authuser1 726 Cálculo Diferencial e Integral Ap 30042023 0851 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap7pli1authuser1 826 Leitura do texto de apoio Cálculo Diferencial e Integral Ap 30042023 0851 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap7pli1authuser1 926 Leia o texto para aprofundar os temas discutidos no vídeo Entre em contato com o professor para esclarecer suas dúvidas Classroom Atividades Dúvidas sobre o conteúdo Derivadas Fábio Jesus Moreira de Almeida Resumo Nesta parte iremos nos aprofundar no estudo de derivadas veremos de maneira mais detalhada o que é uma derivada e as regras de derivação Introdução Sabemos que a definição de derivadas pode ser calculada através do estudo de limites Agora veremos como calculamos diversas derivadas sem utilizar a técnica de limites Derivadas Através de limites chegamos a calcular a derivada de alguns polinômios se nós aplicássemos essa mesma técnica para funções exponenciais logarítmicas trigonométricas etc chegaríamos na própria derivada dessas funções Para irmos direto ao ponto não será demonstrada a derivada de todas as funções por meio de limites pois já é conhecida uma tabela que contém de forma simples e direta todas essas derivadas Cálculo Diferencial e Integral Ap 30042023 0851 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap7pli1authuser1 1026 Existem duas maneiras de representar uma derivada Podemos utilizar fx ou a escrita observe Exemplo 1 Derive a função fx 2x 1 A resolução deste exercício está no Exemplo 1 da parte 6 Mas o que queremos demonstrar aqui é como indicar a resposta desse exercício de maneira correta Suponha que você tenha uma função qualquer fx como a do Exemplo 1 Para indicar a derivada desta função basta colocar após o f da função fx significa a derivada da função fx Ou seja quando falamos que a derivada de fx 2x 1 é igual a 2 podemos simplesmente escrever que fx 2 Cálculo Diferencial e Integral Ap 30042023 0851 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap7pli1authuser1 1126 Outra maneira de representar a derivada de uma função é através da escrita Nesta escrita temos no numerador a função a qual estamos derivando já no denominador temos em que estamos derivando Observe o exemplo Exemplo 2 Derive a função fx 2x 1 A resolução deste exercício está no Exemplo 1 da parte 6 Perceba que escrever fx tem o mesmo significado de escrevermos apenas y Portanto fx y 2x 1 Vimos que a escrita da derivada é Cálculo Diferencial e Integral Ap 30042023 0851 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap7pli1authuser1 1226 Portanto podemos substituílo na escrita Ou simplesmente Cálculo Diferencial e Integral Ap 30042023 0851 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap7pli1authuser1 1326 Agora que sabemos como representar uma derivada observe que a tabela 71 apresenta boa parte das derivadas diretas Cálculo Diferencial e Integral Ap 30042023 0851 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap7pli1authuser1 1426 Tabela 71 Derivadas Fonte do autor 2023 Cálculo Diferencial e Integral Ap 30042023 0851 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap7pli1authuser1 1526 Adiante iremos explicar melhor o conteúdo dessa tabela Lembre que essa tabela é muito importante pois sempre que for pedido a derivada de alguma função contida nela você poderá colocar a resposta diretamente sem apresentar nenhuma conta Exemplo 3 Derive a função fx senx Para resolvermos essa derivada basta procurarmos na tabela a derivada da função fx senx Ou seja fx cos x Derivada de uma constante Agora que já sabemos representar uma derivada daremos início às regras de derivação A derivada mais simples é a derivada de uma constante C pois essa derivada pode ser explicada somente pela teoria Vimos que a derivada é uma taxa de variação certo Então qual é a derivada ou seja a taxa de variação de algo que não varia A resposta é 0 Observe o exemplo Exemplo 4 Derive a função fx 1 Primeiramente vamos construir o gráfico dessa função Cálculo Diferencial e Integral Ap 30042023 0851 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap7pli1authuser1 1626 Figura 71 Gráfico da função 1 Fonte do autor 2023 Cálculo Diferencial e Integral Ap 30042023 0851 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap7pli1authuser1 1726 Perceba que essa função não varia portanto sua derivada é 0 Outra maneira de percebermos isso é pela inclinação da reta que é a própria derivada Perceba que a função na verdade é uma reta paralela ao eixo x Portanto seu ângulo de inclinação em relação ao eixo x é 0 Então podemos guardar que a derivada de qualquer número que geralmente representamos com a letra C como 1 2 3 4 5 6 7 8 9 é igual a 0 Regra do tombo Outra regra de derivação muito fácil é a regra conhecida como regra do tombo Observe fx nxⁿ¹ Ou seja se uma função qualquer fx tiver uma estrutura de xⁿ ou seja x elevado a qualquer número pegamos esse número e derrubamos tombamos ele multiplicando o próprio x sendo que x agora estará elevado a esse número menos 1 n 1 Exemplo 5 Derive fx x Perceba que x pode ser escrito como x¹ Agora aplicamos a regra do tombo fx 1x¹¹ 1x⁰ 11 1 Lembre que qualquer número elevado a 0 é igual a 1 Exemplo 6 Derive fx x³ Aplicando a regra do tombo temos fx 3x³¹ 3x² Exemplo 7 Derive fx x¹⁶ Aplicando a regra do tombo temos fx 16x¹⁶ ¹ 16x¹⁵ Exemplo 8 Derive fx x² 1 Perceba que sempre que tivermos que derivar uma função que tenha adição ou subtração temos que derivar todos os termos Vamos separar essa função em duas x² e 1 Primeiramente vamos derivar x² Aplicando a regra do tombo temos 2 x²¹ 2 x¹ 2x Cálculo Diferencial e Integral Ap 30042023 0851 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap7pli1authuser1 1826 2x 2x 2x Agora vamos derivar 1 Como 1 é uma constante sua derivada é 0 Agora podemos juntar os resultados fx 2x 0 2x Exemplo 9 Derive fx 6x² Aplicando a regra do tombo temos 62x²¹ 62x¹ 12x Derivada do produto Suponha que agora tenhamos duas funções se multiplicando como derivamos Para isso é necessário utilizar a regra da derivada do produto observe fgx fxgx fxgx A regra do produto nos diz que A derivada de um produto é igual a derivada do primeiro vezes o segundo mais a derivada do seguindo vezes o primeiro Também é conhecida como a regra do deriva cópia mais cópia deriva Exemplo 10 Derive a função fx senxx² Primeiramente perceba que temos duas funções de x senx e x² Agora precisamos aplicar a regra do produto fgx fxgx fxgx Perceba que senx estamos chamando de fx e x² de gx Agora precisamos achar fx e gx Bem fx já sabemos se olharmos na tabela vamos ver que é cos x e gx é 2x que já foi feito utilizando a regra do tombo Então agora é só substituir tudo na fórmula fx cosxx² senx2x Derivada da divisão A regra da divisão é bem parecida com a regra do produto observe Cálculo Diferencial e Integral Ap 30042023 0851 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap7pli1authuser1 1926 Perceba que agora ao invés de uma soma temos uma subtração e também uma divisão porém o passo a passo continua o mesmo Exemplo 11 Derive a função Primeiramente perceba que temos duas funções de x senx e x² Agora precisamos aplicar a regra da divisão Perceba que senx estamos chamando de fx e x² de gx Agora precisamos achar fx e gx Bem fx já sabemos se olharmos na tabela vamos ver que é cos x e gx é 2x que já foi feito utilizando a regra do tombo Então agora é só substituir tudo na fórmula Cálculo Diferencial e Integral Ap 30042023 0851 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap7pli1authuser1 2026 Considerações finais Peço aos alunos que estudem bastante essa parte pois o assunto de derivadas é de extrema importância para a continuidade no cálculo diferencial e integral Não esqueça de olhar a sessão do Saiba Mais desta parte onde irá ser indicado locais onde você poderá estudar mais a fundo o tema de derivadas Referências GUIDORIZZI Hamilton L Um curso de cálculo 5 ed Rio de Janeiro LTC 2002 v 1 STEWART James CLEGG Daniel WATSON Saleem Cálculo volume 1 9 ed São Paulo Cengage Learning 2021 WEIR Maurice D HASS Joel GIORDANO Frank R Cálculo George B Thomas 11 ed São Paulo Pearson Addison Wesley 2009 v 1 FLEMMING Diva Marília GONÇALVES Mirian Buss Cálculo A São Paulo Pearson Prentice Hall 2006 Cálculo Diferencial e Integral Ap 30042023 0851 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap7pli1authuser1 2126 Saiba mais Cálculo Diferencial e Integral Ap 30042023 0851 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap7pli1authuser1 2226 O canal do youtube do Professor Ferretto possui uma playlist completa de derivadas acesse e saiba mais sobre o assunto Cálculo Diferencial e Integral Ap 30042023 0851 Calculo Diferencial e Integral Aplicado SS 8 Se ee EE ee ee ee PROFESSOR FERRETTO Aulas Derivas Ferreto YouTube 20152016 Disponivel em httpswwwyoutubecomwatch v111VexwOCm08listPLP4825nq6jKYe7HKZHvcleTzhkVdXjfDE Acesso em 28 fev 2023 httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap7 pli1authuser1 2326 30042023 0851 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap7pli1authuser1 2426 Finalizando Cálculo Diferencial e Integral Ap 30042023 0851 Calculo Diferencial e Integral Aplicado Nesta parte buscamos os seguintes objetivos de aprendizagem Identificar uma derivada Aplicar as regras de derivagao Reconhecer a derivada de uma fungao constante Reflita sobre o conteudo que vocé explorou e faca um debate com seus colegas e professores pelo Classroom ou na prdéxima aula ao vivo live Fique atento ao prazo de encerramento da atividade continua que compdem esses conteudos de aprendizagem Esperamos que vocé tenha aprofundado seus conhecimentos durante os estudos e tenha aproveitado todo o conteudo apresentado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap7 pli1authuser1 2526 30042023 0851 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap7pli1authuser1 2626 Classroom Gmail Drive Portal do Aluno Núcleo de Educação a Distância Faculdade Impacta Suporte EAD Cálculo Diferencial e Integral Ap