Introdução ao Conceito de Integral em Cálculo Diferencial e Integral

15052023 2138 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap9pli1authuser1 131 Introdução ao conceito de Integral Cálculo Diferencial e Integral Ap 15052023 2138 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap9pli1authuser1 231 Início de conversa Cálculo Diferencial e Integral Ap 15052023 2138 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap9pli1authuser1 331 Olá Cursista Nesta parte vamos explorar o tema Introdução ao conceito de integral Assista o vídeo com os principais tópicos sobre o tema e anote suas dúvidas Envie suas dúvidas no Classroom da disciplina Classroom Atividades Dúvidas sobre o conteúdo interaja com o professor e colabore com seus colegas Aproveite para aprofundar os estudos explorando o material organizado na seção SAIBA MAIS Objetivos de aprendizagem Cálculo Diferencial e Integral Ap 15052023 2138 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap9pli1authuser1 431 Os objetivos de aprendizagem desta parte são Identificar uma integral definida Calcular áreas de funções através de integral Reconhecer as propriedades de integral Compreender a definição de integral Cálculo Diferencial e Integral Ap 15052023 2138 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap9pli1authuser1 531 Conteúdo A seguir vamos ao vídeo Cálculo Diferencial e Integral Ap 15052023 2138 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap9pli1authuser1 631 Introdução ao conceito de Integral Cálculo Difere Introdução ao conceito de Integral Cálculo Difere Clique no ícone ao lado e aproveite para fazer suas anotações durante os estudos utilizando o Google Keep Cálculo Diferencial e Integral Ap 15052023 2138 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap9pli1authuser1 731 Cálculo Diferencial e Integral Ap 15052023 2138 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap9pli1authuser1 831 Leitura do texto de apoio Cálculo Diferencial e Integral Ap 15052023 2138 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap9pli1authuser1 931 Leia o texto para aprofundar os temas discutidos no vídeo Entre em contato com o professor para esclarecer suas dúvidas Classroom Atividades Dúvidas sobre o conteúdo Introdução ao conceito de Integral Fábio Jesus Moreira de Almeida Resumo Nesta parte iremos dar início aos nossos estudos de integral veremos o que é uma integral e como calcular um integral Introdução Você já sabe o que é uma derivada e as principais regras de derivação agora veremos a operação inversa a derivação e a integração O propósito desta parte não será de definir de maneira matemática a integral mas sim apresentar essa matéria de uma maneira mais intuitiva e demonstrativa pois a definição desta matéria é extensa e vai além da proposta deste curso Cálculo de áreas Já é sabido como calcular diversos tipos de áreas como quadrados retângulos triângulos trapézios etc mas o que fazer quando temos que calcular uma área que foge das formas geométricas mais comuns Imagine que você tenha que calcular a área debaixo do gráfico fx 2 compreendida entre os pontos 0 x 2 Como você começaria Para facilitar o entendimento sobre este assunto a figura 91 traz a representação do gráfico da função fx 2 separado por duas retas em x 0 e x 2 Cálculo Diferencial e Integral Ap 15052023 2138 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap9pli1authuser1 1031 Figura 91 Área da função fx 2 separado por duas retas em x 0 e x 2 Fonte do autor 2023 Perceba que a área debaixo do gráfico hachurada em vermelho não pode ser calculada por métodos normais pois essa área não representa nenhuma figura geométrica conhecida então como podemos calculála No colégio vimos que para calcular uma forma geométrica que não conhecemos basta separála em formas geométricas conhecidas então é exatamente isso que iremos replicar Imagine que separamos a área compreendida em 10 retângulos então assim teremos uma área aproximada desta área total Cálculo Diferencial e Integral Ap 15052023 2138 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap9pli1authuser1 1131 Figura 92 Representação da soma de Riemann Fonte do autor 2023 Perceba que por mais que nós tenhamos separado na figura 92 a área em 10 retângulos ainda tem uma boa margem de erro que são os pequenos espaços compreendidos em cima de cada retângulo Então como fazemos para esse erro diminuir Para que nosso erro seja menor precisamos acrescentar mais retângulos observe como fica a nossa área com 20 retângulos na figura seguinte Cálculo Diferencial e Integral Ap 15052023 2138 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap9pli1authuser1 1231 Figura 93 Representação da soma de Riemann 2 Fonte do autor 2023 Cálculo Diferencial e Integral Ap 15052023 2138 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap9pli1authuser1 1331 Perceba que com mais triângulos o nosso erro diminuiu repare que nossa área saiu de 4035 ua para 41798 ua ua significa unidades de área logo nossa precisão aumentou Então com mais retângulos termos um valor mais perto do real valor dessa área então se tivermos um valor de retângulos que tende ao infinito teremos o real valor dessa área consegue perceber onde iremos chegar Sim podemos calcular a área de qualquer gráfico através dessa metodologia e do uso de limites essa metodologia de cálculo recebe o nome de soma de Riemann Confira a sessão do Saiba Mais desta parte para ver um vídeo da matemática por trás da soma de Riemann Integral Além da soma de Riemann existe outra maneira de calcular uma área compreendida debaixo de um gráfico Esse método de cálculo se chama integração que é a operação inversa a derivação Observe a estrutura de uma integral Cálculo Diferencial e Integral Ap 15052023 2138 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap9pli1authuser1 1431 Toda integral definida possui os seguintes elementos I O símbolo de integração que representa uma integral II O limite superior b III O limite inferior a IV A função em que estamos integrando fx V A incógnita em que estamos integrando dx Existem diversos tipos de integrais sendo as mais comuns as integrais definida e indefinida A definida possui os limites superior e inferior e seu resultado nos dará um número já a indefinida não possui os limites superiores e seu resultado nos dará uma equação com incógnitas e uma constante Nesta parte nos limitaremos ao estudo das integrais definidas Primeiramente precisamos entender que a integração é a operação inversa a derivação ou seja se aplicarmos uma integral em uma função fx teremos a própria função fx De maneira análoga podemos compreender essa relação da mesma forma que as operações de soma e subtração multiplicação e divisão A primeira regra de derivação que vimos foi a regra do tombo agora veremos como fazer a regra do tombo Para relembrar Regra do tombo fx nx ¹ Agora precisamos desfazer essa regra ou seja precisamos aplicar uma operação inversa a derivação Para desfazer a regra do tombo basta fazer Cálculo Diferencial e Integral Ap 15052023 2138 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap9pli1authuser1 1531 Sendo n o expoente de x Então para integrar qualquer polinômio simples basta aplicar a propriedade acima que é a integral Para calcular uma integral definida precisamos fazer Cálculo Diferencial e Integral Ap 15052023 2138 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap9pli1authuser1 1631 Exemplo 1 Calcule a integral Primeiramente perceba que 2x é a derivada de x² Logo o resultado sem os limites dessa integral é x² Agora vamos calcular Primeiramente precisamos integrar a função 2x Para isso vimos que a integral de x elevado a qualquer número é Cálculo Diferencial e Integral Ap 15052023 2138 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap9pli1authuser1 1731 Aplicando em 2x temos Então a integral de 2x é igual a x² logo fx x² Mas o nosso trabalho ainda não acabou Para descobrirmos o resultado real precisamos aplicar os limites de integração Então Cálculo Diferencial e Integral Ap 15052023 2138 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap9pli1authuser1 1831 Portanto o resultado é igual a 4 Agora você já tem uma ideia de como resolver uma integral mas é necessário muita prática para compreender completamente a resolução Toda integral pode ser resolvida por esse passo a passo I Primeiramente localize os limites da integral e a função que estamos integrando II Integre a função e se possível compare com a sua derivada para certificarse que está tudo correto III Aplique os limites da integral na função encontrada fazendo o limite superior menos o limite inferior Exemplo 2 Calcule a integral Cálculo Diferencial e Integral Ap 15052023 2138 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap9pli1authuser1 1931 Aplicando a regra de integração em x² Cálculo de área por integral Já foi dito que a integral é a área debaixo do gráfico então agora iremos demonstrar e comprovar essa afirmação Imagine a que temos que calcular a área compreendida entre 1 x 1 da função fx x³ x 1 Observe o gráfico dessa função Cálculo Diferencial e Integral Ap 15052023 2138 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap9pli1authuser1 2031 Figura 94 Definindo os limites de integração Fonte do autor 2023 Antes de aplicarmos a derivada vamos ver qual será a área aproximada desse gráfico se aplicarmos 10 retângulos nesse espaço Cálculo Diferencial e Integral Ap 15052023 2138 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap9pli1authuser1 2131 Figura 95 Representação da soma de Riemann 3 Fonte do autor 2023 Perceba então que nossa área tem que ser um valor próximo a 1846 ua A integral de fx x³ x 1 é um pouco mais difícil de ser feita então é recomendado que você volte nesse exercício após ler todo o material Cálculo Diferencial e Integral Ap 15052023 2138 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap9pli1authuser1 2231 Vamos separar essa integral em 3 para facilitar o nosso cálculo Agora podemos juntar na nossa função fx Cálculo Diferencial e Integral Ap 15052023 2138 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap9pli1authuser1 2331 Juntando tudo Portanto a área debaixo do tráfico entre 1x1 é igual a 2ua Perceba que o valor calculado por integral é bem próximo de 1846 que era o valor aproximado que tínhamos calculado pela soma de Riemann Agora vamos ver qual é o valor da soma de Riemann se usarmos 100 retângulos Cálculo Diferencial e Integral Ap 15052023 2138 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap9pli1authuser1 2431 Figura 96 Representação da soma de Riemann 4 Fonte do autor 2023 Perceba que o valor calculado pela soma de Riemann com 100 retângulos 19846 é muito próximo de 2 que é o real valor dessa área Propriedade das Integrais Considerando fx e gx duas funções integráveis no intervalo a b e seja c uma constante um número qualquer Cálculo Diferencial e Integral Ap 15052023 2138 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap9pli1authuser1 2531 Considerações finais O assunto de integral é segundo os alunos o mais difícil da matéria de cálculo então não se esqueça de revisar todo material e de acessar os conteúdos complementares a este para que você possa sanar quaisquer dúvidas Referências GUIDORIZZI Hamilton L Um curso de cálculo 5 ed Rio de Janeiro LTC 2002 v 1 STEWART James CLEGG Daniel WATSON Saleem Cálculo volume 1 9 ed São Paulo Cengage Learning 2021 WEIR Maurice D HASS Joel GIORDANO Frank R Cálculo George B Thomas 11 ed São Paulo Pearson Addison Wesley 2009 v 1 FLEMMING Diva Marília GONÇALVES Mirian Buss Cálculo A São Paulo Pearson Prentice Hall 2006 Cálculo Diferencial e Integral Ap 15052023 2138 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap9pli1authuser1 2631 Saiba mais Cálculo Diferencial e Integral Ap 15052023 2138 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap9pli1authuser1 2731 Para entender mais sobre a definição da Integral acesse o vídeo a seguir Cálculo Diferencial e Integral Ap 15052023 2138 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap9pli1authuser1 2831 Introdução e Motivação Geométrica da Integral Aula 10 Cálculo Integral Introdução e Motivação Geométrica da Integral Aula 10 Cálculo Integral GABARITANDO MATEMÁTICA Introdução e motivação geométrica da integral aula 10 Cálculo integral YouTube 23 jun 2019 Disponível em httpsyoutubeVcbHJymbuVw Acesso em 01 mar 2023 Cálculo Diferencial e Integral Ap 15052023 2138 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap9pli1authuser1 2931 Finalizando Cálculo Diferencial e Integral Ap 15052023 2138 Calculo Diferencial e Integral Aplicado Nesta parte buscamos os seguintes objetivos de aprendizagem Identificar uma integral definida Calcular areas de funcgoes através de integral Reconhecer as propriedades de integral Compreender a definicao de integral Reflita sobre o conteudo que vocé explorou e faca um debate com seus colegas e professores pelo Classroom ou na prdéxima aula ao vivo live Fique atento ao prazo de encerramento da atividade continua que compdem esses conteudos de aprendizagem Esperamos que vocé tenha aprofundado seus conhecimentos durante os estudos e tenha aproveitado todo o conteudo apresentado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap9pli1authuser1 3031 15052023 2138 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap9pli1authuser1 3131 Classroom Gmail Drive Portal do Aluno Núcleo de Educação a Distância Faculdade Impacta Suporte EAD Cálculo Diferencial e Integral Ap