Limite e Derivadas em Cálculo Diferencial e Integral

30042023 0850 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap6pli1authuser1 124 Limite Definição Cálculo Diferencial e Integral Ap 30042023 0850 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap6pli1authuser1 224 Início de conversa Cálculo Diferencial e Integral Ap 30042023 0850 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap6pli1authuser1 324 Olá Cursista Nesta parte vamos explorar o tema Limite definição Assista o vídeo com os principais tópicos sobre o tema e anote suas dúvidas Envie suas dúvidas no Classroom da disciplina Classroom Atividades Dúvidas sobre o conteúdo interaja com o professor e colabore com seus colegas Aproveite para aprofundar os estudos explorando o material organizado na seção SAIBA MAIS Objetivos de aprendizagem Cálculo Diferencial e Integral Ap 30042023 0850 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap6pli1authuser1 424 Os objetivos de aprendizagem desta parte são Desenvolver técnicas de limites Definir matematicamente uma derivada Efetuar operações de derivação através de limites Cálculo Diferencial e Integral Ap 30042023 0850 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap6pli1authuser1 524 Conteúdo A seguir vamos ao vídeo Cálculo Diferencial e Integral Ap 30042023 0850 Calculo Diferencial e Integral Aplicado SS SS SS ya SS SS SS a SS a SS ee Clique no icone ao lado e aproveite para fazer suas anotacdes durante os estudos utilizando o Google Keep httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap6pli1authuser1 624 30042023 0850 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap6pli1authuser1 724 Cálculo Diferencial e Integral Ap 30042023 0850 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap6pli1authuser1 824 Leitura do texto de apoio Cálculo Diferencial e Integral Ap 30042023 0850 Calculo Diferencial e Integral Aplicado viviwseevi vyula wVeVVIUIUvvil yvuUuuUY UUVIUUYD viguvvivell MrALIVIUUULYD wvwuVvIiuusv VVYUNIWU Vv conteudo Limite Definigao Fabio Jesus Moreira de Almeida Resumo Nesta parte iremos comprovar através da teoria de limites como calculamos uma derivada e apresentaremos um conceito inicial de derivada Introdugao Um curso de calculo diferencial e integral tem 3 principais pilares sendo eles limites derivadas e integrais Até agora vimos apenas o primeiro pilar que é a materia de limite Nesta parte iremos comecar a falar das derivadas que sao o segundo pilar e o mais importante de se estudar O proposito desta parte é apenas comprovar matematicamente o que é uma derivada Nas proximas partes estudaremos mais a fundo 0 que sao derivadas e para que elas servem Definigao do conceito inicial de derivada Para conseguirmos calcular uma derivada primeiro precisamos entender efetivamente o que ela é Uma definigao simples e bem intuitiva de derivada é a seguinte Derivada é a taxa de variagao de uma fungao e em um ponto qualquer pode representar a inclinagao de uma reta tangente a este ponto Para que vocé entenda melhor observe o seguinte grafico httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap6pli1authuser1 924 30042023 0850 Calculo Diferencial e Integral Aplicado 18 Le 14 12 18 02 o2 4 o4 18 1 ia 14 16 16 2 a 24 26 23 3 a2 14 36 38 Fonte do autor 2023 Perceba que se tragarmos uma reta tangente que toca em apenas um ponto a fungao representada no grafico em verde nds teremos uma funao do primeiro grau com a estrutura y mx n Perceba que m na reta tangente é 0 coeficiente angular da reta e este coeficiente esta diretamente ligado a inclinagao desta reta sendo essa inclinagao a representacao geométrica da propria derivada da funao em verde naquele ponto Entao sabemos que a derivada de um ponto a inclinagao da reta tangente a aquele mas como podemos calcular essa inclinagao Definigao de derivada através do calculo por limites Para calcularmos a derivada em um determinado ponto precisaremos de usar a teoria de limites bem como nossa teoria de trigonometria Imagine a seguinte situacgao httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap6pli1authuser1 1024 30042023 0850 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap6pli1authuser1 1124 Figura 62 Visualização gráfica de uma derivada 2 Fonte do autor 2023 Imagine uma função fx qualquer sendo cortada por uma reta secante a essa função ou seja uma reta que passa por dois pontos fx x e fx h x h Com esses dois pontos conseguimos fazer um traçar um triângulo retângulo em que a tangente desse ângulo será igual a inclinação da nossa reta y mx n Cálculo Diferencial e Integral Ap 30042023 0850 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap6pli1authuser1 1224 Figura 63 Visualização gráfica de uma derivada 3 Fonte do autor 2023 Perceba que a base desse triângulo tem o tamanho h pois x h x h A altura desse triângulo é calculada pelo ponto maior menos o menor ou seja fx h fx Agora vamos juntar as informações que nós temos Sabemos que m é a inclinação da reta e que a inclinação da em UM ponto é a derivada Também sabemos que m e igual a tangente do triângulo retângulo então Sabemos que o cateto oposto ao ângulo 𝛳 é fx h fx e que o cateto adjacente é h logo Cálculo Diferencial e Integral Ap 30042023 0850 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap6pli1authuser1 1324 Você deve estar se perguntando onde queremos chegar certo Bem a derivada é a inclinação da reta em UM ponto mas nós temos 2 pontos para trabalharmos Para que esses dois pontos se tornem apenas UM precisamos igualar eles Primeiramente iremos igualar o cateto oposto então fx h fx Portanto x h precisa ser igual a x logo x h x h 0 Agora iremos igualar o cateto adjacente então x h x isso implica que h 0 Agora sabemos que quando h 0 haverá apenas UM ponto Você deve estar se perguntando Se h for 0 não haverá um triângulo pois não haverá dois pontos e portanto nada do que foi feito acima com a valerá certo Sim você está certo não podemos falar que h é igual a 0 mas podemos falar que h se aproxima muito muito muito de 0 Isso te lembra de alguma matéria Podemos aplicar o conceito de limite em h onde ele nunca chegará a 0 mas irá tender a 0 Aplicando limite nessa função temos Cálculo Diferencial e Integral Ap 30042023 0850 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap6pli1authuser1 1424 Exemplo 1 Encontre a derivada da função fx 2x 1 Para facilitar o entendimento de como resolver os exercícios de derivada por limite fique atento às cores e ao passo a passo desse exemplo Primeiramente sabemos que O exercício já nos deu fx e a única coisa que falta é achar fx h e substituir no limite Para acharmos fx h basta substituir x h no lugar de x em fx então f xh 2x h 1 e fx 2x 1 Agora basta substituir tudo no limite Cálculo Diferencial e Integral Ap 30042023 0850 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap6pli1authuser1 1524 Aplicamos a distributiva de 2 em 2x h 1 e de 1 em 2x 1 Perceba que agora podemos cortar 2x com 2x e 1 com 1 Logo Perceba que aplicando o limite h0 não fará sentido pois não há h no limite Portanto a derivada de fx 2x 1 é igual a 2 Fique tranquilo nas próximas partes iremos aprender técnicas de derivação que você irá conseguir derivar fx 2x 1 de cabeça acredite Exemplo 2 Encontre a derivada da função fx x² x 1 Sabemos que Cálculo Diferencial e Integral Ap 30042023 0850 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap6pli1authuser1 1624 Perceba que é um x h² produto notável Logo x h² x² 2xh h² Substituindo na equação temos x h² x h 1 x² 2xh h² x h 1 Agora iremos substituir tudo no limite Aplicamos a distributiva em x² x 1 x² x 1 x² x 1 Agora iremos substituir no limite Perceba que x² pode ser cortado com x² x pode ser cortado com x e pode 1 ser cortado com 1 Assim teremos Note que podemos dividir todos os numeradores pelo denominador Cálculo Diferencial e Integral Ap 30042023 0850 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap6pli1authuser1 1724 Logo Aplicando o limite h0 teremos Portanto a derivada de fx x² x 1 é igual a 2x 1 Perceba que os cálculos vão aumentando muito de tamanho então para o cálculo de derivadas utilize limites nos limitaremos a equação do segundo grau Vamos praticar Exercício 1 Encontre a derivada da função fx x² 2x 1 utilizando limites Cálculo Diferencial e Integral Ap 30042023 0850 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap6pli1authuser1 1824 Considerações finais Com essa parte finalizamos o nosso curso de PréCálculo e agora começaremos a trabalhar com os conceitos mais importantes do nosso curso Se você não conseguiu entender muito bem o cálculo derivado por limite não se preocupe pois esse assunto será abordado futuramente de maneira muito mais simples Esta parte tem apenas o intuito de mostrar de onde veio a ferramenta que iremos usar tanto em nosso curso a derivada Referências GUIDORIZZI Hamilton L Um curso de cálculo 5 ed Rio de Janeiro LTC 2002 v 1 STEWART James CLEGG Daniel WATSON Saleem Cálculo volume 1 9 ed São Paulo Cengage Learning 2021 WEIR Maurice D HASS Joel GIORDANO Frank R Cálculo George B Thomas 11 ed São Paulo Pearson Addison Wesley 2009 v 1 FLEMMING Diva Marília GONÇALVES Mirian Buss Cálculo A São Paulo Pearson Prentice Hall 2006 Cálculo Diferencial e Integral Ap 30042023 0850 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap6pli1authuser1 1924 Saiba mais Cálculo Diferencial e Integral Ap 30042023 0850 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap6pli1authuser1 2024 Acesse o vídeo Exercício de Derivada pela Definição do Professor Aquino para reforçar os exercícios de derivada por limite Cálculo Diferencial e Integral Ap 30042023 0850 Calculo Diferencial e Integral Aplicado LS a Se a ee ee ae eee Se eave ye es 9 eee ererweas PROFESSOR AQUINO MATEMATICA Exercicio de derivada pela definigao exercicios de calculo derivada YouTube 21 nov 2019 Disponivel em httpsyoutubeqxJajDAT1Ek Acesso em 28 fev 2023 Limite Definigao Exercicio 1 httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap6pli1authuser1 2124 30042023 0850 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap6pli1authuser1 2224 Finalizando Cálculo Diferencial e Integral Ap 30042023 0850 Calculo Diferencial e Integral Aplicado Nesta parte buscamos os seguintes objetivos de aprendizagem Desenvolver técnicas de limites Definir matematicamente uma derivada Efetuar operacdes de derivacao através de limites Reflita sobre o conteudo que vocé explorou e faga um debate com seus colegas e professores pelo Classroom ou na prdxima aula ao vivo live Fique atento ao prazo de encerramento da atividade continua que compdem esses conteudos de aprendizagem Esperamos que vocé tenha aprofundado seus conhecimentos durante os estudos e tenha aproveitado todo o conteudo apresentado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap6pli1authuser1 2324 30042023 0850 Cálculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap6pli1authuser1 2424 Classroom Gmail Drive Portal do Aluno Núcleo de Educação a Distância Faculdade Impacta Suporte EAD Cálculo Diferencial e Integral Ap