Máximos e Mínimos em Cálculo Diferencial e Integral: Reflexões e Dúvidas

30042023 0852 Calculo Diferencial e Integral Aplicado Calculo Diferencial e InteRprad pPara Refletir 02 Maximos e Mini a httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap8pli1authuser1 123 30042023 0852 Calculo Diferencial e Integral Aplicado r Calculo Diferencial e InteRpraé GpPara Refletir 02 Inicio de conversa httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap8pli1authuser1 223 30042023 0852 Calculo Diferencial e Integral Aplicado Nesta parte vamos explorar o tema Maximos e minimos Assista 0 video com os principais topicos sobre o tema e anote suas duvidas Envie suas duvidas no Classroom da disciplina Classroom Atividades Duvidas sobre o contetido interaja com o professor e colabore com seus colegas Aproveite para aprofundar os estudos explorando o material organizado na segao SAIBA MAIS awe DO oa J Be aH 3 aye x j bs i Ss 4 Pia ied a aie NY Re 4 ae rp Bi hy J ae BS N 7 jf ss ie Sy yy y de a é Si Re t bi i a ar i s i A ae oo Fa wA 3 hn ee n a 7 A aa 20266 4 Fa A J x y pene S i L aS 3 3 Se el a Le a X a oe x a Vina Sa i le a Fei a a a ae 3 be a r g ve er 4 a Ae ie ad httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap8pli1authuser1 323 30042023 0852 Calculo Diferencial e Integral Aplicado 1 5 are i ro We aw f ey Tp i i rf y iD q fi i a 1h a é ee a Nt eis ad rr ee f i LA a a gel Cae a ii s a i FNC Paw ka ti Os objetivos de aprendizagem desta parte sao Diferenciar maximos e minimos relativos de absolutos Reconhecer que funcgd6es podem conter pontos de maximos e minimos Calcular derivadas segundas httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap8pli1authuser1 423 30042023 0852 Calculo Diferencial e Integral Aplicado aculdad JIMENCTA Calculo Diferencial e InteRpraé O8pPara Refletir 02 Conteudo A seguir vamos ao video httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap8pli1authuser1 523 30042023 0852 Calculo Diferencial e Integral Aplicado cece eee ee ee ee ee gee pee eee Clique no icone ao lado e aproveite para fazer suas anotacdes durante os estudos utilizando o Google Keep httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap8pli1authuser1 623 30042023 0852 Calculo Diferencial e Integral Aplicado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap8pli1authuser1 723 30042023 0852 Calculo Diferencial e Integral Aplicado Calculo Diferencial e InteRprad O8pPara Refletir 02 Leitura do texto de apoio httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap8pli1authuser1 823 30042023 0852 Calculo Diferencial e Integral Aplicado viviwseysevl vues VeVVIUIPUVvL yvuUuUY UUVIUUYD wrauvyeivels PALIVIUUULYD wvwuUVIUUY VVVIW vw contetido Maximos e minimos Fabio Jesus Moreira de Almeida Resumo Nesta parte veremos derivadas segunda e maximos e minimos locais utilizando técnicas de derivada Introdugao Ja sabemos como derivar boa parte das fungdes que conhecemos agora veremos um novo conceito de derivadas segunda derivada e uma nova aplicaao para as derivadas maximos e minimos Segunda derivada Sabemos que a derivada de uma fungao 6 representada por fx essa nomenclatura também pode ser chamada de derivada primeira Ha também as derivadas chamadas de segunda que nada mais sao do que derivar uma fungao pela segunda vez Representamos a segunda derivada por fx f duas linhas de x observe o exemplo Exemplo 1 Ache a segunda derivada da fungao fx x Para acharmos a primeira derivada basta derivarmos uma vez a fungao Pela regra do tombo temos fx 3x Agora para acharmos a segunda derivada teremos que derivar a primeira derivada Pela regra do tombo temos fx 6x Portanto a segunda derivada de fx x é 6x httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap8pli1authuser1 923 30042023 0852 Calculo Diferencial e Integral Aplicado Exercicio 1 Calcule a segunda derivada das seguintes funcées a fx x b fx 5x2 2 c fx 1 d fx senx e fx x3 2x2x 3 Introdugao a maximos e minimos Uma fungao qualquer pode conter pontos de maximos e minimos ou seja pode conter um ponto y que é maior que todos os outros e pode conter um outro ponto y que é o menor de todos Esse conceito chamado de maximos e minimos absolutos pois eles valem para toda a fungao Observe o seguinte grafico httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap8pli1authuser1 1023 30042023 0852 Calculo Diferencial e Integral Aplicado Maximo absolute Maximo relativo tT Minimo relativo Minimo absoluto Fonte do autor 2023 Perceba que os pontos xX e xX SaO Maximos e minimos relativos ou locais pois esses pontos sao maximos ou minimos apenas na regiao em que estao Diferentemente dos pontos Xi X2 OS pontos x3 e X4 Sao pontos de maximos e minimos absolutos pois esses pontos representam o valor maximo e o valor minimo de toda a funcao Outro conceito que temos que ter é o de quando uma fungao é crescente e quando uma fungao é decrescente Dizemos que que uma fungao é crescente quando a primeira derivada dela é positiva e decrescente quando a primeira derivada for negativa Observe o seguinte grafico httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap8pli1authuser1 1123 30042023 0852 Calculo Diferencial e Integral Aplicado rs Cy Fonte do autor 2023 httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap8pli1authuser1 1223 30042023 0852 Calculo Diferencial e Integral Aplicado derivarmos veremos que obrigatoriamente fx 0 pois a reta tangente a qualquer ponto X entre xX e X2 tem uma tg 0 A mesma analogia pode ser feita para um grafico decrescente em que Se x2 X que y2 y assim podemos dizer que a nossa fungao é decrescente Portanto se pegarmos qualquer ponto entre x e X2 e derivarmos veremos que obrigatoriamente fx 0 pois a reta tangente a qualquer ponto x entre x e x2 tem uma tg 0 Seguindo essa mesma linha de raciocinio podemos dizer entao que se derivarmos uma funcdo fx em um ponto e essa derivada for igual a 0 entao teremos um ponto em que a reta tangente a esse ponto tera uma tg 0 logo esse ponto pode ser um maximo ou um minimo Pontos onde fx 0 também recebem o nome de pontos criticos e sdo representados como Xc1 Xc2 Xc3 etc nem sempre sao pontos de maximos ou de minimos Exemplo 2 Prove através de derivadas que a fungao fx x 6 decrescente para valores x 0 e que é crescente para valores de x 0 Primeiramente vamos dar uma olhada no grafico da funcao fx x Figura 83 Grafico da fungao fx x fi 45 4 35 3 25 2 15 1 05 45 4 35 3 25 2 15 1 05 a o5 1 15 2 25 3 35 4 45 05 Fonte do autor 2023 httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap8pli1authuser1 1323 30042023 0852 Calculo Diferencial e Integral Aplicado crescente para valores de x0 Mas caso nao tenhamos acesso ao grafico teriamos que descobrir através da derivada Se fx x portanto fx 2x Testando valores x 0 para fx 2x f1 2 1 2 portanto a funcdo é decrescente Testando valores x 0 para fx 2x f1 21 2 portanto a fungao é crescente Teste da primeira derivada O teste da primeira derivada consiste em um teste que nos permite descobrir se um ponto critico um ponto de maximo ou de minimo de uma fungao polinomial Esse teste consiste em 4 passos sendo eles Achar fx Il Fazer fx 0 e achar os pontos criticos Ill Tragar uma reta anotando os pontos criticos e anotar pelo menos um ponto maior e um ponto menor para cada ponto critico lV Testar todos os pontos anotados no passo Ill na derivada de fx ou seja descobrir se fx 6 menor que zero 0 ou se é maior que zero 0 Observe como utilizar os quatro passos citados no exemplo a seguir Exemplo 3 Faca o grafico da fungao a anotando os pontos criticos e destacando httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap8pli1authuser1 1423 30042023 0852 Calculo Diferencial e Integral Aplicado be dernier eee tee ere e uaye Pela regra do tombo temos x De De 2 Xx 37 X xX 2X Il Agora iremos igualar fx a zero x 2x 0 Através da formula de Bhaskara descobrimos que xOex2 Portanto Xci Xc2 SAO respectivamente 0 e 2 Ill Agora precisamos tragar uma reta contendo os dois pontos criticos e pelo menos um ponto que seja maior e outro que seja menor para cada ponto critico Figura 84 Representagao do passo Ill 1 0 1 2 3 cl Mc Fonte do autor 2023 httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap8pli1authuser1 1523 30042023 0852 Calculo Diferencial e Integral Aplicado Iv Agora precisamos testar os pontos que colocamos na derivada da tunao fx x 2x f1 1 2 1 3 portanto funao crescente f1 1221 1 portanto funao decrescente f3 32 23 9 6 3 portanto funao crescente Agora podemos saber como é 0 comportamento da funao entre esses pontos por meio da figura 85 Figura 85 Comportamento da fungao YA Fonte do autor 2023 httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap8pli1authuser1 1623 30042023 0852 Calculo Diferencial e Integral Aplicado Calculamos a derivada no ponto x 2 e vimos que a fungao é decrescente entre Xc1 Xcz Calculamos a derivada no ponto x 3 e vimos que a fungao é crescente apos Xe Consideracoes finais Nesta parte encerramos o conteudo que contempla as derivadas Nossa proxima matéria integrais TOTALMENTE dependente do entendimento das regras de derivagao portanto recomendo a todos que estudem bem o conteudo de derivadas Referéncias GUIDORIZZI Hamilton L Um curso de calculo 5 ed Rio de Janeiro LTC 2002 v 1 STEWART James CLEGG Daniel WATSON Saleem Calculo volume 1 9 ed Sao Paulo Cengage Learning 2021 WEIR Maurice D HASS Joel GIORDANO Frank R Calculo George B Thomas 11 ed Sao Paulo Pearson Addison Wesley 2009 v 1 FLEMMING Diva Marilia GONCALVES Mirian Buss Calculo A Sao Paulo Pearson Prentice Hall 2006 httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap8pli1authuser1 1723 30042023 0852 Calculo Diferencial e Integral Aplicado pd op Calculo Diferencial e Intekprad O8pPara Refletir 02 Saiba mais httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap8pli1authuser1 1823 30042023 0852 Calculo Diferencial e Integral Aplicado rprae OS e fo 1 i 4 oO ra httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap8pli1authuser1 1923 30042023 0852 Calculo Diferencial e Integral Aplicado rae eee a eee ee eee Se oe OMATEMATICOCOM Derivadas maximos minimos de uma fungao e ponto de inflexao e concavidade teste da derivada primeira e teste da derivada segunda YouTube 20172022 Disponivel em httpsyoutubecomplaylistlistPLE6qFDd4x9w UHX1iF5F7Q6k7MjYogIPN Acesso em 28 fev 2023 Maximos e Minimos Exercicio 1 httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap8pli1authuser1 2023 30042023 0852 Calculo Diferencial e Integral Aplicado Calculo Diferencial e InteRpraé pPara Refletir 02 Finalizando httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap8pli1authuser1 2123 30042023 0852 Calculo Diferencial e Integral Aplicado Nesta parte buscamos os seguintes objetivos de aprendizagem Diferenciar maximos e minimos relativos de absolutos Reconhecer que fungd6es podem conter pontos de maximos e minimos Calcular derivadas segundas Reflita sobre o conteudo que vocé explorou e faca um debate com seus colegas e professores pelo Classroom ou na prdéxima aula ao vivo live Fique atento ao prazo de encerramento da atividade continua que compdem esses conteudos de aprendizagem Esperamos que vocé tenha aprofundado seus conhecimentos durante os estudos e tenha aproveitado todo o conteudo apresentado httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap8pli1authuser1 2223 30042023 0852 Calculo Diferencial e Integral Aplicado Classroom Gmail Drive Portal do Aluno Nucleo de Educagao a Distancia Suporte EAD httpssitesgooglecomfaculdadeimpactacombrcdiap8pli1authuser1 2323