Atividade de Algebra Linear - Criacao de Situacao Problema com Transformacoes Lineares

ESTUDO DIRIGIDO UNIDADE IVetor UNIDADE II Espaço e Subespaço Vetorial UNIDADE III Combinação Linear UNIDADE IV Base UNIDADE V Transformação Linear UNIDADE VI Produto CONTEXTUALIZAÇÃO Segundo os parâmetros curriculares nacionais todas as disciplinas escolares devem contribuir com a construção da cidadania Uma forma de ensino da Matemática contribui com a formação do cidadão é o professor propor situações problemas aos alunos pedir que eles exponham suas soluções aos colegas e expliquem a estratégia de resolução utilizada estimulando o debate entre eles Enade 2008 PROPOSTA DA ATIVIDADE Diante do exposto acima escolha uma das unidades trabalhadas em Álgebra linear e crie uma situação problema Proponha estratégia para resolver o problema utilizando uma metodologia que estimule a criatividade do seu educando CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO Deverá ser entregue um relatório contendo o problema construído e a estratégia de ensino do mesmo Relatório O texto deverá conter cabeçalho informando o nome do curso disciplina tutor e o nome do aluno e nome da empresa analisada O texto construído precisa ser de sua autoria com no mínimo 25 linhas e no máximo uma lauda 1 página A formatação do texto deverá seguir os seguintes critérios 1 a Construir o texto em parágrafos 2 b Atentar para a escrita correta das palavras gramática acentuação e sinais de pontuação etc 3 c Formatação fonte Arial ou Times New Roman tamanho 12 4 d Espaçamento entre linhas 15 5 e Margens esquerda e superior 3 cm direita e inferior 2 cm Aluno Disciplina Tutor Empresa A proposta de situação problema que faremos será a determinação de uma solução baseada em métodos da álgebra linear em particular das transformações lineares para a solução de um jogo entre alunos e professores Em especial essa situação problema referese a um desafio que é proposto por um determinado professor que chamaremos de Bob a seus alunos para a determinação da localização e quantidade de dinheiro roubado por um bandido em uma cidade fictícia que chamaremos de Gotham Com efeito Bob explica que o objetivo é determinar a posição do quarto roubo de um badido que já saqueou três locais da cidade descritos por coordenadas x y z da cidade Ademais Bob ainda cita que o bandido sempre após seu roubo deixa uma marca uma terna a b c Tx y z onde T é uma transformação linear e a b c são vetores LIs entre si Além disso sabese ainda que a marca do quarto roubo é dada pela combinação linear dos autovetores de T com cada autovalor correspondente Ou seja logo se a b c são autovalores de T que correspondem a quantidade de reais em unidades de milhares então a marca posta pelo bandido é ava bvb cvc onde cada v é o autovetor associado ao autovalor do seu índice Então sabendo disso o jogo inicia com Bob dando as três coordenadas aos alunos e inici ando a busca pela quarta coordenada Pois com uma possível coordenada para o terceiro roubo caso eles acertem o bandido é preso e o jogo acaba todavia caso a coordenada seja errada eou os alunos não consigam fazer isso a tempo estipulado por Bob o bandido efetua o terceiro roubo Caso eles errem o bandido modifica sua transformação T e inicia novamente os roubos Com efeito a solução desse problema consiste em empregarmos métodos básicos de álge bra Linear o qual percorre a determinação de transformações lineares autovaloresautovetores e transformação inversa Primeiro cabe a Bob determinar os pontos de modo que sempre tenha mos uma matriz invertível e de autovalores reais Dito isso a solução que os alunos devem fazer segue de notar que dado que temos três pontos iniciais é possível determinar a transformação linear T com base nos pontos dados por Bob e a marca do bandido que é associada a imagem de T por esses pontos Então isso determina T posteriormente buscase determinar seus autovalores λ a b c e os autovetores vi i a b c recorrendo a equação detT λI3x3 0 e ao problema T λivi 0 Com isso é possível obter então a quantidade de dinheiro total saqueada que é dada por abc e a coordenada da nova marca que será posta pelo bandido que é Tx y z ava bvbcvc onde x y z é o ponto da coordenada na cidade do quarto roubo Note que esse ponto pode ser determinando se os alunos determinarem a matriz inversa associada a transformação T e calculando então T 1ava bvb cvc x y z Entretanto veja que se os alunos errarem o problema o bandido deverá realizar ao menos 3 novos saques visto que será necessário ter três vetores LIs para realizar o procedimento acima Logo a cada erro dos alunos o bandido consegue roubar mais e mais cidades Assim o objetivo é obter os passos anteriores de modo que a cidade tenha o menor prejuízo possível 1