Combinação Linear e Dependência Linear em Espaços Vetoriais

COMBINAÇÃO LINEAR Prof Michele Lana Mourão Consideremos 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝒏 vetores de um espaço vetorial 𝑽 e 𝒂𝟏 𝒂𝟐 𝒂𝒏 escalares Qualquer vetor 𝒗 𝑽 escrito da forma 𝒗 𝒂𝟏 𝒗𝟏 𝒂𝟐 𝒗𝟐 𝒂𝒏 𝒗𝒏 é chamado de combinação linear dos vetores 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝒏 COMBINAÇÃO LINEAR Exemplos No espaço vetorial real ℝ𝟑 vamos determinar os valores de 𝒂𝟏 e 𝒂𝟐 tais que 𝒗 𝒂𝟏 𝒗𝟏 𝒂𝟐 𝒗𝟐 com 𝒗 𝟒 𝟏𝟖 𝟕 𝒗𝟏 𝟏 𝟑 𝟐 e 𝒗𝟐 𝟐 𝟒 𝟏 Exemplo No espaço 𝑽 ℝ𝟐 o vetor 𝒗 𝟑 𝟒 pode ser escrito de infinitas formas como combinação linear dos vetores 𝒗𝟏 𝟏 𝟎 𝒗𝟐 𝟎 𝟏 e 𝒗𝟑 𝟐 𝟏 Subespaços gerados Seja 𝑽 um espaço vetorial real ou complexo e 𝑨 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝒏 um subconjunto nãovazio de 𝑽 Dados 𝒖 𝒖𝟏 𝒗𝟏 𝒖𝟐 𝒗𝟐 𝒖𝒏 𝒗𝒏 𝒘 𝒘𝟏 𝒗𝟏 𝒘𝟐 𝒗𝟐 𝒘𝒏 𝒗𝒏 combinações lineares dos vetores de 𝑨 temos 𝒖 𝒘 𝒖𝟏 𝒘𝟏 𝒗𝟏 𝒖𝟐 𝒘𝟐 𝒗𝟐 𝒖𝒏 𝒘𝒏 𝒗𝒏 também é uma combinação linear dos vetores de 𝑨 e 𝒌 𝒖 𝒌𝒖𝟏 𝒗𝟏 𝒌𝒖𝟐 𝒗𝟐 𝒌𝒖𝒏 𝒗𝒏 também é uma combinação linear dos vetores de 𝑨 Logo tomando 𝑺 como o conjunto de todos os vetores de 𝑽 que são combinações lineares de 𝑨 temos que 𝒖 𝒘 estão em 𝑺 e 𝒖 𝒘 e 𝒌 𝒖 também estão em 𝑺 Assim concluímos que 𝑺 é um subespaço vetorial de 𝑽 Simbolicamente descrevemos o subespaço 𝑺 da seguinte forma 𝑺 𝒗 𝑽 𝒗 𝒂𝟏 𝒗𝟏 𝒂𝟐 𝒗𝟐 𝒂𝒏 𝒗𝒏 𝒂𝒊 ℝ 𝒐𝒖 ℂ Exemplo Verificar se os vetores 𝒊 𝟏 𝟎 e 𝒋 𝟎 𝟏 geram o espaço ℝ𝟐 Exemplo Vamos determinar o subespaço gerado por 𝒗 𝟐 𝟏 𝟓 Dependência e Independência Linear Dizemos que o conjunto 𝑨 é linearmente independente LI ou que os vetores 𝒗𝟏 𝒗𝒏 são linearmente independentes se a equação 𝒂𝟏 𝒗𝟏 𝒂𝒏 𝒗𝒏 𝟎𝒗 possui apenas a solução trivial Caso essa equação possua alguma solução que não seja a trivial dizemos que o conjunto 𝑨 é linearmente dependente LD ou que os vetores 𝒗𝟏 𝒗𝒏 são linearmente dependentes Exemplo No espaço vetorial 𝑽 ℝ𝟑 os vetores 𝒗𝟏 𝟏 𝟎 𝟑 𝒗𝟐 𝟐 𝟓 𝟏 e 𝒗𝟑 𝟏 𝟒 𝟐 são LI Teorema Um conjunto 𝑨 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝒏 é LD se e somente se pelo menos um desses vetores é combinação linear dos outros Observe que equivalentemente o teorema acima tem o seguinte enunciado Um conjunto 𝑨 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝒏 é LI se e somente se nenhum desses vetores for combinação linear dos outros Exemplos Os vetores 𝒗𝟏 𝟒 𝟗 𝟐 e 𝒗𝟐 𝟐𝟎 𝟒𝟓 𝟏𝟎 são LD pois 𝒗𝟐 𝟓 𝒗𝟏 Os vetores 𝒗𝟏 𝟏 𝟖 𝟒 e 𝒗𝟐 𝟐 𝟖 𝟖 são LI pois não existe um número real 𝒂 tal que 𝒂 𝒗𝟏 𝒗𝟐 Os vetores 𝒗𝟏 𝟏 𝟑 𝟐 𝒗𝟐 𝟓 𝟎 𝟑 e 𝒗𝟑 𝟑 𝟔 𝟕 são LD pois 𝒗𝟑 𝟐𝒗𝟏 𝒗𝟐