Definição e Exemplos de Bases em Espaços Vetoriais

BASE ProfMichele Lana Mourão Um conjunto 𝑩 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝒏 𝑽 é uma base do espaço vetorial 𝐕 se 𝐁 é linearmente independente 𝐁 gera o espaço 𝑽 DEFINIÇÃO DE BASE Verifique se o conjunto 𝑩 𝟐 𝟎 𝟎 𝟏 é 𝐛𝐚𝐬𝐞 𝐝𝐞 ℝ𝟐 EXEMPLO Considere 𝐕 um espaço vetorial A dimensão de 𝐕 que denotaremos por 𝐝𝐢𝐦 𝐕 é o número de vetores de uma base de 𝐕 ou seja se uma base de 𝐕 contém 𝐧 vetores então 𝐝𝐢𝐦 𝑽 𝒏 Caso 𝐕 tenha uma base com infinitos vetores então a dimensão de 𝐕 é infinita 𝐝𝐢𝐦 𝑽 DIMENSÕES DE UM ESPAÇO VETORIAL Sejam os vetores 𝒖 𝟏 𝟑 𝟐 e 𝒗 𝟎 𝟐 𝟏 Completar o conjunto 𝒖 𝐯 de modo a formar uma base de ℝ𝟑 EXEMPLO Seja 𝐕 um espaço vetorial 𝑩 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝒏 uma base de 𝐕 e 𝒗 𝑽 tal que 𝒗 𝒂𝟏𝒗𝟏 𝒂𝟐𝒗𝟐 𝒂𝒏𝒗𝒏 Os números 𝒂𝟏 𝒂𝟐 𝒂𝒏 são chamados de componentes ou coordenadas de 𝐯 em relação à base 𝐁 e são representados da seguinte forma 𝒗𝑩 𝒂𝟏 𝒂𝟐 𝒂𝒏 ou na notação matricial 𝒗𝑩 𝒂𝟏 𝒂𝒏 A nupla 𝒂𝟏 𝒂𝟐 𝒂𝒏 é chamada vetorcoordenada de 𝐯 em relação à base 𝐁 e o vetor coluna 𝒂𝟏 𝒂𝒏 é chamado matrizcoordenada de 𝐯 em relação à base 𝐁 COMPONENTES DE UM VETOR Consideremos as seguintes bases de ℝ𝟐 𝑨 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 𝑩 𝟏 𝟑 𝟐 𝟎 e 𝑪 𝟐 𝟒 𝟏 𝟑 Dado o vetor 𝒗 𝟖 𝟔 temos EXEMPLO Vimos que o vetorcoordenada de um elemento de um espaço vetorial varia de acordo com a base que está sendo considerada Analisaremos agora como essa mudança ocorre ou seja como é possível calcular as coordenadas de um vetor com relação a uma base conhecendo as coordenadas desse vetor em outra base MUDANÇA DE BASE Seja 𝐕 um espaço vetorial 𝑨 𝒖𝟏 𝒖𝟐 𝒖𝒏 e 𝑩 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝒏 bases de 𝐕 Como 𝐀 é uma base existem 𝒂𝒊𝒋 ℝ ou ℂ com 𝟏 𝒊 𝐣 𝒏 tais que 𝒗𝟏 𝒂𝟏𝟏𝒖𝟏 𝒂𝟐𝟏𝒖𝟐 𝒂𝒏𝟏𝒖𝒏 𝒗𝟐 𝒂𝟏𝟐𝒖𝟏 𝒂𝟐𝟐𝒖𝟐 𝒂𝒏𝟐𝒖𝒏 𝒗𝒏 𝒂𝟏𝒏𝒖𝟏 𝒂𝟐𝒏𝒖𝟐 𝒂𝒏𝒏𝒖𝒏 𝒗𝟏𝑨 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝒏𝟏 𝒗𝟐𝑨 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝒏𝟐 𝒗𝒏𝑨 𝒂𝟏𝒏 𝒂𝒏𝒏 𝑴𝑨 𝑩 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝒏 𝒂𝒏𝟏 𝒂𝒏𝒏 A matriz 𝑴𝑨 𝑩 é chamada de matriz mudança de base da base 𝐀 para a base 𝑩 Considere as bases 𝑨 𝟏 𝟎 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 e 𝑩 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 de ℝ𝟑 Determine 𝑴𝑨 𝑩 EXEMPLO Sejam 𝐀 e 𝐁 bases de um espaço vetorial 𝐕 que possui dimensão finita Se 𝒗𝑨 e 𝒗𝑩 representam as coordenadas de 𝐯 em relação às bases 𝐀 e 𝐁 respectivamente e se 𝑴𝑨 𝑩 é a matriz de mudança de base da base 𝐀 para a base 𝐁 então 𝒗𝑨 𝑴𝑨 𝑩 𝒗𝑩 Consideremos 𝑨 𝑩 𝐂 bases de um espaço vetorial de dimensão finita 𝑽 Então 𝑴𝑨 𝑪 𝑴𝑨 𝑩 𝑴𝑩 𝑪 PROPOSIÇÕES Consideremos 𝐀 𝐁 bases de um espaço vetorial de dimensão finita 𝐕 Então a matriz 𝐌𝐀 𝐁 possui inversa e essa inversa é dada por 𝐌𝐁 𝐀 que é a matriz de mudança da base 𝐁 para a base 𝐀