Produto Interno e Vetorial entre Vetores

PRODUTO ProfMichele Lana Mourão O produto interno entre dois vetores 𝒖 𝒖𝟏 𝒖𝟐 𝒖𝒏 𝒗 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝒏 ℝ𝒏 representado por 𝒖 𝒗 é o número real 𝒖 𝒗 𝒖𝟏 𝒗𝟏 𝒖𝟐 𝒗𝟐 𝒖𝒏 𝒗𝒏 Esse produto também pode ser indicado por 𝒖 𝒗 e lêse 𝒖 escalar 𝒗 PRODUTO INTERNO Determine o produto interno entre os vetores 𝒖 𝟏 𝟓 𝟐 e 𝒗 𝟒 𝟎 𝟑 O módulo de um vetor 𝒖 𝒖𝟏 𝒖𝟐 𝒖𝟐 ℝ𝒏 que será denotado por 𝒖 é o número real nãonegativo dado por 𝒖 𝒖 𝒖 𝒖𝟏 𝟐 𝒖𝟐 𝟐 𝒖𝒏𝟐 Exemplo O módulo do vetor 𝒖 𝟑 𝟒 é EXEMPLO A partir de cada vetor nãonulo 𝒗 é possível obter um vetor unitário 𝒖 da seguinte forma 𝒖 𝒗 𝒗 Por exemplo dado 𝒗 𝟒 𝟑 temos o seguinte vetor unitário Além disso um dado vetor 𝑨𝑩 com extremidades nos pontos 𝑨 𝒂𝟏 𝒂𝟐 e 𝑩 𝒃𝟏 𝒃𝟐 tem módulo igual a 𝑨𝑩 𝒃𝟏 𝒂𝟏 𝟐 𝒃𝟐 𝒂𝟐 𝟐 Dados dois vetores 𝒖 𝒗 o produto interno entre eles também pode ser definido por 𝒖 𝒗 𝒖 𝒗 𝒄𝒐𝒔 𝜶 Conhecendo os valores numéricos de 𝒖 𝒗 𝒖 e 𝒗 podemos determinar o ângulo formado pelos vetores 𝒖 e 𝒗 utilizando a equação acima 𝒄𝒐𝒔 𝜶 𝒖 𝒗 𝒖 𝒗 Esse produto está definido apenas para vetores de ℝ𝟑 Consideremos 𝒖 𝒗 ℝ𝟑 vetores não colineares O produto vetorial de 𝒖 por 𝒗 que denotaremos por 𝒖 𝒗 é um vetor 𝒘 cujo módulo é equivalente à área do paralelogramo formado por 𝒖 e 𝒗 Lêse 𝒖 vetorial 𝒗 PRODUTO VETORIAL Dados 𝒖 𝒖𝟏 𝒖𝟐 𝒖𝟑 𝒗 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝟑 ℝ𝟑 podemos escrevêlos como combinação linear de Ƹ𝒊 Ƹ𝒋 𝒌 da seguinte forma 𝒖 𝒖𝟏 𝒖𝟐 𝒖𝟑 𝒖𝟏 Ƹ𝒊 𝒖𝟐 Ƹ𝒋 𝒖𝟑 𝒌 e 𝒗 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝟑 𝒗𝟏 Ƹ𝒊 𝒗𝟐 Ƹ𝒋 𝒗𝟑 𝒌 Assim o produto vetorial entre 𝒖 e 𝒗 é dado por 𝒖 𝒗 𝒖𝟐𝒗𝟑 𝒖𝟑𝒗𝟐 Ƹ𝒊 𝒖𝟑𝒗𝟏 𝒖𝟏𝒗𝟑 Ƹ𝒋 𝒖𝟏𝒗𝟐 𝒖𝟐𝒗𝟏 𝒌 Essa expressão do produto vetorial também pode ser vista como o determinante de uma matriz ou seja 𝒖 𝒗 𝒅𝒆𝒕 Ƹ𝒊 Ƹ𝒋 𝒌 𝒖𝟏 𝒖𝟐 𝒖𝟑 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝟑 Dados 𝒖 𝟏 𝟑 𝟐 e 𝒗 𝟎 𝟓 𝟑 Calcule 𝒖 𝒗 EXEMPLO Dados 𝒖 𝒗 𝒘 ℝ𝟑 e 𝛂 𝛃 ℝ temos 𝒖 𝒗 𝒗 𝒖 𝜶𝒖 𝜷𝒗 𝒘 𝛂 𝒖 𝒘 𝛃 𝒗 𝒘 𝒖 𝜶𝒗 𝜷𝒘 𝛂 𝒖 𝒗 𝛃 𝒖 𝒘 VEJAMOS AGORA ALGUMAS PROPRIEDADES DO PRODUTO VETORIAL O produto misto é uma operação de produto vetorial seguida de uma operação de produto escalar Seguindo essa ordem o resultado será um número Essa operação em módulo nos dá o volume do paralelepípedo formado por esses três vetores PRODUTO MISTO Calcule 𝒖 𝒗 𝒘 𝒖 𝒗 𝒘 onde 𝒖 𝟏 𝟐 𝟐 𝒗 𝟏 𝟏 𝟐 𝒆 𝒘 𝟏 𝟐 𝟑 EXEMPLO Considere 𝒖 𝒗 𝒘 𝒛 ℝ𝟑 e 𝛃 ℝ Temos i 𝒖 𝒗 𝒘 𝟎 se e somente se 𝒖 𝒗 𝒘 são colineares ii 𝒖 𝒗 𝒘 𝒗 𝒘 𝒖 𝒘 𝒖 𝒗 iii 𝒖 𝒗 𝒘 𝒗 𝒖 𝒘 iv 𝒖 𝒗 𝒘 𝒖 𝒗 𝒘 v 𝒖 𝒗 𝒘 𝒛 𝒖 𝒘 𝒛 𝒗 𝒘 𝒛 vi𝛃 𝒖 𝒗 𝒘 𝜷𝒖 𝒗 𝒘 𝒖 𝜷𝒗 𝒘 𝒖 𝒗 𝜷𝒘 VEJAMOS AGORA ALGUMAS PROPRIEDADES DO PRODUTO MISTO Uma forma mais rápida de calcularmos o produto misto 𝒖 𝒗 𝒘 com 𝒖 𝒖𝟏 𝒖𝟐 𝒖𝟑 𝒗 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝟑 e 𝒘 𝒘𝟏 𝒘𝟐 𝒘𝟑 é através do determinante da matriz 𝒖𝟏 𝒖𝟐 𝒖𝟑 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝟑 𝒘𝟏 𝒘𝟐 𝒘𝟑 Determine o volume do tetraedro de arestas 𝑶𝑨 𝟏 𝟑 𝟒 𝑶𝑩 𝟎 𝟒 𝟐 e 𝑶𝑪 𝟏 𝟑 𝟐 EXEMPLO