Espaços e Subespaços Vetoriais

ESPAÇOS E SUBESPAÇOS VETORIAIS ProfMichele Lana Mourão Um espaço vetorial real é um conjunto 𝑽 nãovazio com duas operações Soma 𝑽 𝑽 𝑽 𝒙 𝒚 𝒙 𝒚 Multiplicação por escalar ℝ 𝑽 𝑽 𝒂 𝒙 𝒂 𝒙 PROPRIEDADES EM RELAÇÃO A ADIÇÃO iAssociatividade da adição 𝐮 𝒗 𝐰 𝐮 𝐯 𝒘 iComutatividade da adição 𝐮 𝐯 𝐯 𝐮 iElemento neutro da adição existe 𝟎𝒗 𝐕 tal que 𝟎𝒗 𝐯 𝐯 𝟎𝒗 𝐯 iElemento simétrico da adição para todo 𝐯 𝐕 existe 𝐯 𝐕 tal que 𝐯 𝒗 𝒗 𝐯 𝟎𝒗 PROPRIEDADES EM RELAÇÃO A MULTIPLICAÇÃO i Associatividade da multiplicação 𝑎 𝑏 𝑣 𝑎𝑏 𝑣 i Elemento neutro da multiplicação por escalar 𝟏 𝐯 𝐯 i Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma dos elementos de 𝑉 𝐚 𝐮 𝒗 𝐚 𝐮 𝐚 𝐯 i Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de números reais 𝐚 𝒃 𝐯 𝐚 𝐯 𝐛 𝐯 Verifique se o conjunto pode ser um espaço vetorial V xyxy 𝑹 EXEMPLO OBS Todo espaço vetorial 𝑽 admite pelo menos dois subespaços chamados de subespaços triviais 𝟎𝒗 conhecido também por subespaço nulo e o próprio espaço 𝑽 Os demais subespaços são chamados de subespaços próprios Por exemplo os subespaços triviais de ℝ𝟐 são ℝ𝟐 e 𝟎 𝟎 e um subespaço próprio de ℝ𝟐 são as retas que passam pela origem SUBESPAÇO VETORIAL Para quaisquer 𝒖 𝒗 𝑺 temse 𝒖 𝒗 𝑺 Para quaisquer 𝒌 ℝ ou 𝒌 ℂ se 𝑽 for um espaço vetorial complexo e 𝒗 𝑽 temse 𝒌𝒗 𝑺 TEOREMA DE CARACTERIZAÇÃO DOS SUBESPAÇOS VETORIAIS Sejam 𝑽 ℝ𝟐 e 𝑺 𝒙 𝒚 ℝ𝟐 𝒚 𝟎 verifique se S é subespaço vetorial de V Claramente 𝑺 pois 𝟎 𝟎 𝑺 EXEMPLO 𝐒𝐞𝐣𝐚𝐦 𝑽 𝑴𝟐 ℝ e seja 𝑺 𝑨 𝑴𝟐 ℝ 𝑨 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝟎 𝟎 ou seja 𝑺 é o conjunto das matrizes de ordem 2 com entradas que possui a segunda linha nula Note que 𝑺 é nãovazio pois a matriz nula está em 𝑺 Dados 𝑨 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝟎 𝟎 𝑩 𝒃𝟏𝟏 𝒃𝟏𝟐 𝟎 𝟎 em 𝑺 e 𝒌 ℝ ou 𝒌 ℂ temos Verifique se S é Subespaço de V EXEMPLO