Transformações Lineares: Propriedades e Exemplos

TRANSFORMAÇÕES LINEARES ProfMichele Lana Mourão Uma transformação linear 𝑻 𝐕 𝑾 é uma função que associa os elementos de 𝐕 aos elementos de 𝐖 que possui as seguintes propriedades 𝐓 𝒖 𝒗 𝐓 𝒖 𝐓 𝒗 para todos 𝒖 𝒗 𝑽 𝐓 𝜶𝒗 𝜶𝑻 𝒗 para todos 𝛂 𝑹 𝒐𝒖𝑪 e 𝒗 𝐕 Exemplo 𝑻 ℝ𝟐 ℝ𝟑 dada por 𝐓 𝒙 𝒚 𝟑𝒙 𝟐𝒚 𝒙 𝒚 é uma transformação linear De fato consideremos 𝒙 𝒚 𝒛 𝒘 ℝ𝟐 e 𝛂 𝐑 Temos Podemos fazer uma junção dos itens i e ii para obtermos a seguinte propriedade das transformações lineares Se 𝑻 𝐕 𝑾 for uma transformação linear então 𝐓 𝒂𝟏𝒗𝟏 𝒂𝟐𝒗𝟐 𝒂𝟏𝐓 𝒗𝟏 𝒂𝟐𝐓 𝒗𝟐 para todos 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝑽 e todos 𝒂𝟏 𝒂𝟐 𝑹 𝒐𝒖𝑪 Exemplo Seja 𝑻 ℝ𝟑 ℝ𝟐 uma transformação linear𝒗𝟏 𝟏 𝟎 𝟎 𝒗𝟐 𝟎 𝟏 𝟎 e 𝒗𝟑 𝟎 𝟎 𝟏 Determinar 𝐓 𝟓 𝟏 𝟒 sabendo que 𝐓 𝒗𝟏 𝟏 𝟐 𝐓 𝒗𝟐 𝟑 𝟏 e 𝐓 𝒗𝟑 𝟎 𝟐 PROPRIEDADE DAS TRANSFORMAÇÕES LINEARES O núcleo de uma transformação linear 𝑻 𝐕 𝑾é o conjunto de todos os vetores 𝒗 𝑽 tais que 𝐓 𝒗 𝟎𝑾 Esse conjunto é denotado por 𝐍 𝑻 ou por 𝐤𝐞𝐫 𝑻 𝐍 𝑻 𝒗 𝑽 𝑻 𝒗 𝟎𝑾 Exemplo Considere 𝑻 ℝ𝟑 ℝ𝟑 dada por 𝐓 𝒙 𝒚 𝒛 ሺ𝟑𝒙 𝒚 NÚCLEO DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR A imagem de uma transformação linear 𝑻 𝑽 𝑾 que denotaremos por 𝐈𝐦 𝑻 é o conjunto de vetores 𝒘 𝑾 que são imagens de pelo menos um vetor 𝒗 𝑽 ou seja 𝐈𝐦 𝑻 𝒘 𝑾 𝑻 𝒗 𝒘 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝒂𝒍𝒈𝒖𝒎 𝒗 𝑽 IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR Consideremos 𝑻 ℝ𝟑 ℝ𝟑 dada por 𝐓 𝒙 𝒚 𝒛 𝒙 𝒚 𝟎 a projeção ortogonal do ℝ𝟑 sobre o plano 𝐱𝐲 A imagem de 𝐓 é o próprio plano 𝐱𝐲 𝐈𝐦 𝑻 𝒙 𝒚 𝟎 ℝ𝟑 𝒙 𝒚 ℝ Claramente 𝐓 não é sobrejetora pois não existe 𝒙 𝒚 𝒛 ℝ𝟑 tal que 𝐓 𝒙 𝒚 𝒛 𝟎 𝟎 𝟏 EXEMPLO Teorema do núcleo e da imagem Seja 𝐕 um espaço vetorial de dimensão finita e 𝑻 𝐕 𝑾 uma transformação linear Então 𝐝𝐢𝐦 𝑵 𝑻 𝐝𝐢𝐦 𝑰𝒎 𝑻 𝐝𝐢𝐦 𝑽 Exemplo Considere 𝑻 ℝ𝟑 ℝ𝟐 uma transformação linear tal que 𝐓 𝒆𝟏 𝟏 𝟐 𝐓 𝒆𝟐 𝟎 𝟐 e 𝐓 𝒆𝟑 𝟏 𝟑 onde 𝒆𝟏 𝒆𝟐 𝒆𝟑 é a base canônica de ℝ𝟑 Determine o núcleo e a imagem de 𝐓 Solução Podemos escrever um vetor qualquer 𝒙 𝒚 𝒛 ℝ𝟑 como combinação linear de 𝒆𝟏 𝒆𝟐 𝒆𝟑 da seguinte forma TEOREMA DO NÚCLEO E DA IMAGEM 𝒚𝟏 𝒙𝟏𝒂𝟏𝟏 𝒙𝟐𝒂𝟏𝟐 𝒙𝟑𝒂𝟏𝟑 𝒚𝟐 𝒙𝟏𝒂𝟐𝟏 𝒙𝟐𝒂𝟐𝟐 𝒙𝟑𝒂𝟐𝟑 ou na forma matricial 𝒚𝟏 𝒚𝟐 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟏𝟑 𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐 𝒂𝟐𝟑 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 ou ainda simbolicamente 𝑻 𝒗 𝑩 𝑻 𝑩 𝑨 𝒗 𝑨 com 𝑻 𝑩 𝑨 uma matriz chamada matriz de 𝐓 em relação às bases 𝐀 e 𝐁 MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 𝑻 ℝ𝟑 ℝ𝟐 dada por 𝐓 𝒙 𝒚 𝒛 𝒙 𝒚 𝒛 𝟐𝒙 𝒚 𝟑𝒛 uma transformação linear e considere as bases 𝑨 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝟑 de ℝ𝟑 com 𝒗𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝒗𝟐 𝟎 𝟏 𝟏 e 𝒗𝟑 𝟎 𝟎 𝟏 e 𝑩 𝒘𝟏 𝒘𝟐 de ℝ𝟐 com 𝒘𝟏 𝟏 𝟐 e 𝒘𝟐 𝟑 𝟓 Determine 𝑻 𝑩 𝑨 Solução Calculando 𝐓 𝒗𝟏 𝐓 𝒗𝟐 𝐓 𝒗𝟑 temos EXEMPLO Vejamos agora algumas operações que podem ser realizadas com as operações lineares Adição Sejam 𝑻 𝐕 𝑾 e 𝑻 𝐕 𝑾 transformações lineares A transformação 𝑻 𝑻 𝐕 𝑾 dada por 𝑻 𝑻 𝒗 𝐓 𝒗 𝑻 𝒗 𝒗 𝑽 é chamada de soma Além disso se 𝐀 e 𝐁 são respectivamente bases de 𝐕 e 𝐖 então 𝑻 𝑻 𝑩 𝑨 𝑻 𝑩 𝑨 𝑻 𝑩 𝑨 OPERAÇÕES COM TRANSFORMAÇÕES LINEARES Multiplicação por escalar Sejam 𝑻 𝐕 𝑾 uma transformação linear e 𝛂 ℝ A transformação linear 𝜶𝑻 𝐕 𝑾 dada por 𝜶𝑻 𝒗 𝛂𝐓 𝒗 𝒗 𝑽 é chamada de produto pelo escalar 𝜶 Além disso se 𝐀 e 𝐁 são respectivamente bases de 𝐕 e 𝐖 então 𝜶𝑻 𝑩 𝑨 𝛂 𝑻 𝑩 𝑨 Composta Consideremos 𝑻 𝐕 𝑾 e 𝑺 𝐖 𝑼 transformações lineares A transformação linear 𝑺 𝑻 𝐕 𝑼 dada por 𝑺 𝑻 𝒗 𝐒 𝑻 𝒗 𝒗 𝑽 é chamada de composta de 𝑻 com 𝑺 Além disso se 𝑨 𝑩 𝐂 são respectivamente bases de 𝑽 𝑾 𝐔 então 𝑺 𝑻 𝑪 𝑨 𝑺 𝑪 𝑩 𝑻 𝑩 𝑨 Considere 𝑻 𝑽 𝑽 um operador linear Um vetor nãonulo 𝒗 𝑽 é chamado de autovetor do operador 𝑻 se existir 𝛌 ℝ tal que 𝑻 𝒗 𝝀𝒗 Esse escalar 𝛌 é chamado de autovalor associado ao autovetor 𝒗 AUTOVALORES E AUTOVETORES Considere 𝑻 ℝ𝟐 ℝ𝟐 dada por 𝑻 𝒙 𝒚 𝟒𝒙 𝟓𝒚 𝟐𝒙 𝒚 𝒗𝟏 𝟏 𝟏 e 𝒗𝟐 𝟓 𝟐 𝟏 EXEMPLO