Definição e Exemplos de Espaços Vetoriais em Álgebra Linear

Álgebra Linear Definição de espaço vetorial Subespaços vetoriais Graciela Moro Observações A definição de Espaço Vetorial não especifica nem a natureza dos vetores nem das operações Qualquer tipo de objeto pode ser um vetor uma matriz uma função um polinômio etc desde que considerado num conjunto munido de operações adequadas As operações de Adição e Multiplicação por Escalar podem não ter relação alguma com as operações usuais A única exigência é que o conjunto seja fechado para tais operações e que os 8 axiomas sejam satisfeitos Dentre os diferentes conjuntos que com operações apropriadas são considerados espaços vetoriais destacaremos três exemplos clássicos que serão bastante utilizados em ALI Esses exemplos nos permitem ver que vetores dimensionais polinômios de grau menor ou igual a ou matrizes de ordem apesar de possuírem naturezas totalmente distintas se comportam exatamente da mesma forma em relação à soma e à multiplicação por escalar E é esse comportamento único que nos interessa quando estudamos espaços vetoriais Exemplos Clássicos de Espaços Vetoriais Exemplos Clássicos de Espaços Vetoriais Ficastes com alguma dúvida Queres ver mais exemplos e contraexemplos de espaços vetoriais Assista às seguintes videoaulas do canal OMATEMATICO do professor Grings httpswwwyoutubecomwatchve8kAs458cVIt420s httpswwwyoutubecomwatchvKXVCjPjgpq4 Queres saber mais httpswwwyoutubecomwatchvelYMSfeS4 Por vezes a escolha de um conjunto de vetores de um espaço vetorial V pode conduzir à constituição de um novo conjunto subconjunto S de V e que verifica ainda todos os axiomas da definição de espaço vetorial sendo este subconjunto S também um espaço vetorial Nestas condições dizemos que S é um subespaço vetorial de V Para entender essa ideia assista o vídeo a seguir Subespaços Vetoriais Introdução Definição U subconjunto não vazio S de um espaço vetorial V é um subespaço de V quando S é ele próprio um espaço vetorial com as operações de soma e multiplicação por escalar definidas em V Ou seja S é um subespaço de V se 1 Para quaisquer vetores dizemos que S é fechado para a adição 2 dizemos que S é fechado para a multiplicação por escalar 𝑽 𝑆 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑘𝑢 Definição de Subespaço vetorial Podemos fazer 3 observações As condições da definição garantem que ao operarmos em S soma e multiplicação por escalar não obteremos um vetor fora de S Isto é suficiente para afirmar que S é ele próprio um EV espaço vetorial portanto ele deve conter o vetor nulo Todo espaço vetorial admite pelo menos dois subespaços O conjunto formado pelo vetor nulo Este é o subespaço nulo O próprio EV ou seja SV Justificativa Se V é um espaço vetorial ambos os conjuntos e são fechados para as operações de soma e multiplicação por escalar Verifique isso Nota Todo EV contém estes dois subespaços triviais e subespaços diferentes desses são chamados de subespaços próprios ou não triviais 4 Verifique se é um subespaço vetorial de Sejam 𝐴 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑈 e 𝐵 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑈 Logo 𝑐 𝑎 3𝑏 𝑑 2𝑏 e 𝑧 𝑥 3𝑦 𝑤 2𝑦 Assim temos que 𝑖 𝐴 𝐵 𝑎 𝑥 𝑏 𝑦 𝑐 𝑧 𝑑 𝑤 𝑈 pois 𝑐 𝑧 𝑎 3𝑏 𝑥 3𝑦 𝑎 𝑥 3𝑏 𝑦 𝑑 𝑤 2𝑏 2𝑦 2𝑏 𝑦 𝑖𝑖 𝑘𝐴 𝑘 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑘𝑎 𝑘𝑏 𝑘𝑐 𝑘𝑑 𝑈 pois 𝑘𝑐 𝑘 𝑎 3𝑏 𝑘𝑎 𝑘3𝑏 𝑘𝑎 3𝑘𝑏 𝑘𝑑 𝑘 2𝑏 2 𝑘𝑏 Portanto U é um subespaço vetorial de V 𝑀22 Exemplo