Método dos Mínimos Quadrados - Definição Aplicações e Equação Normal

Método dos Mínimos Quadrados Definição o Método dos Mínimos Quadrados MMQ é uma técnica de otimização matemática que procura encontrar o melhor ajuste para um conjunto de dados tentando minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre o valor estimado e os dados observados y u v u Observação Para o caso em que V é o R3 e E é o R2 temos i Aplicação declara que a melhor aproximação de um vetor u pertencente a um espaço vetorial euclidiano V a um subespaço vetorial de dimensão finita E que está contido em V está relacionado com a projeção ortogonal de u em E o MMQ é aplicado no Ajuste de curvas Solução de Sistemas Lineares Análise de Dispersão Solução de Equações Diferenciais etc ii Teorema da Melhor Aproximação x y z u v y v u 1e 2 e y u y u v u x y z u v y v u 1e 2 e y u Método dos Mínimos Quadrados Se ej e1e2en é uma base de E temos O problema está em determinar os coeficientes de v caso seja possível Para isso devemos considerar que uv seja ortogonal a todos os vetores de E e assim basta que uv seja ortogonal a base ej Então Substituindo o vetor v temos nen e e v 2 2 1 1 n para j v e u j 21 0 0 2 2 1 1 j n n e e e e u Reorganizando os termos j j n n j j u e e e e e e e 2 2 1 1 A equação acima é chamada de Equação Normal Podemos desenvolver a Equação Normal em um sistema linear que leva o nome de Sistema Normal n n n n n n n n e u e u e u e e e e e e e e e e e e e e e e e e 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 nen e e v 2 2 1 1 n para j v e u j 21 0 0 2 2 1 1 j n n e e e e u j j n n j j u e e e e e e e 2 2 1 1 n n n n n n n n e u e u e u e e e e e e e e e e e e e e e e e e 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1