Primeira Lista de Exercícios de Álgebra Linear - Semestre 20231

Professores participantes do Grupo Colaborativo no semestre 20231 Graciela Moro Ivanete Zuchi Siple Katiani da Conceição Loureiro e Marnei Mandler Este é um material de acesso livre distribuído sob os termos da licença Creative Commons BYSA 40 2 CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS CCT DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DMAT GRUPO COLABORATIVO DE ENSINO DE ÁLGEBRA LINEAR PRIMEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS DE ALI0001 Legenda Cálculos Conceitos Demonstração Questões 1 Suponha que 𝐴 seja uma matriz de ordem 9 7 e 𝐵 𝐶 matrizes tais que a operação 𝐴𝐵 5𝐶𝑇 esteja definida e resulte numa matriz de ordem 9 13 Sob essas condições determine a ordem a da matriz B b da matriz C c da matriz 𝐷 𝐵𝐶 d da matriz 𝐸 𝐶𝐴𝐵 e da matriz 𝐹 𝐶𝑇𝐵𝑇𝐴𝑇 2 Determine a matriz A de ordem 2 2 que satisfaz a igualdade 𝐴1 7𝐼𝑇 2 2 1 1 3 6 4 5 2 em que 𝐼 representa a matriz identidade de ordem dois por dois 3 Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas Apresente argumentos consistentes que justifiquem a veracidade da afirmação que julgar verdadeira e exiba um contraexemplo para a afirmação que julgar falsa a A matriz nula é uma matriz na forma escalonada reduzida por linhas b A matriz identidade 4 4 está na forma escalonada reduzida por linhas c Se 𝑈 e 𝑉 são matrizes diagonais então 𝑈𝑉 𝑉𝑈 d Existem matrizes 𝐴 e 𝐵 de mesma ordem tais que 𝐴 𝐵 e 𝐴 𝐵 sejam invertíveis e Existem matrizes 𝐴 e 𝐵 de mesma ordem e não invertíveis tais que 𝐴 𝐵 seja invertível f Não existem matrizes 𝐴 e 𝐵 de mesma ordem e invertíveis tais que 𝐴 𝐵 não seja invertível 2 4 Uma matriz quadrada A é considerada simétrica se 𝐴𝑇 𝐴 e antissimétrica se 𝐴𝑇 𝐴 Levando em conta as propriedades da transposição de matrizes determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas Justifique sua resposta com argumentos consistentes ou com a exibição de contraexemplos a Todas as entradas da diagonal principal de uma matriz antissimétrica devem ser nulas b Não existem matrizes simétricas que também sejam antissimétricas c Toda matriz simétrica é antissimétrica d Toda matriz antissimétrica não nula não é simétrica e Se uma matriz não é simétrica então ela é antissimétrica f Se uma matriz triangular superior é simétrica então ela é uma matriz diagonal g Nenhuma matriz quadrada pode ser triangular superior e simultaneamente triangular inferior h Se A é uma matriz antissimétrica então 𝐴𝑇 também é antissimétrica i A soma de duas matrizes simétricas de mesma ordem também é uma matriz simétrica j O produto de duas matrizes simétricas de mesma ordem também é uma matriz simétrica k A soma de duas matrizes antissimétricas de mesma ordem é uma matriz antissimétrica l Se 𝐴 é uma matriz quadrada qualquer então 𝐴 𝐴𝑇 e 𝐴𝐴𝑇 sempre são matrizes simétricas m Se 𝐴 é uma matriz quadrada qualquer então 𝐴 𝐴𝑇 e 𝐴𝐴𝑇 sempre são matrizes antissimétricas n Se 𝐴 é uma matriz antissimétrica inversível então 𝐴1 também é antissimétrica o Se 𝐴𝑛𝑛 é uma matriz antissimétrica e 𝑛 é ímpar então o determinante de 𝐴 é igual a zero p Se A é uma matriz simétrica e B é uma matriz quadrada de mesma ordem que A então 𝐵𝑇𝐴𝐵 também é simétrica 5 Sejam 𝐴 1 1 1 𝑦 𝑥 1 e 𝐵 𝑥 1 𝑥 𝑦 2 𝑦 𝑧 3 𝑧 matrizes tais que o produto 𝐴𝐵 é uma matriz antissimétrica Mostre que 𝐵𝐴 não é uma matriz antissimétrica e nem invertível 6 Uma matriz quadrada P é chamada ortogonal se 𝑃1 𝑃𝑇 Sejam 𝑃 e 𝑄 matrizes ortogonais de mesma ordem Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas Justifique sua resposta com argumentos consistentes a 𝑃𝑇 é uma matriz ortogonal b 𝑃Q é uma matriz ortogonal c 𝑃 𝑄 é uma matriz ortogonal d det𝑃 1 3 7 Classifique cada um dos sistemas lineares abaixo quanto ao seu número de soluções Caso o sistema admitir alguma solução exibaas a 2𝑥 4𝑦 6𝑧 6 3𝑥 2𝑦 4𝑧 38 𝑥 2𝑦 3𝑧 3 b 3𝑥 2𝑦 4𝑧 1 𝑥 𝑦 2𝑧 3 2𝑥 3𝑦 6𝑧 8 c 2𝑥 𝑦 3𝑧 4 4𝑥 2𝑧 10 2𝑥 3𝑦 13𝑧 8 d 𝑥 3𝑦 2𝑧 5 5𝑥 15𝑦 10𝑧 8 e 𝑥 𝑦 𝑧 0 𝑥 2𝑦 𝑧 6 f 2𝑥 𝑦 5 3𝑥 2𝑦 6 4𝑥 5𝑦 1 g 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 6 2𝑥 3𝑦 𝑤 0 3𝑥 4𝑦 𝑧 2𝑤 4 𝑥 2𝑦 𝑧 𝑤 0 h 𝑥 2𝑤 1 4𝑦 𝑧 𝑤 2 5𝑦 𝑤 0 3𝑥 2𝑦 3𝑧 4 8 Resolva o sistema linear 2𝑥 𝑦 3𝑧 11 4 𝑥 3𝑦 2𝑧 0 𝑥 𝑦 𝑧 6 3𝑥 𝑦 𝑧 4 escalonando a matriz ampliada do sistema e escrevendo o sistema final do qual se obterá a solução do sistema original 9 Encontre todas as soluções do sistema 𝑥1 3𝑥2 2𝑥3 3𝑥4 7𝑥5 14 2𝑥1 6𝑥2 𝑥3 2𝑥4 5𝑥5 2 𝑥1 3𝑥2 𝑥3 2𝑥5 1 10 Considere as matrizes 𝐷 1 1 0 1 0 1 6 2 3 e 𝐸 3 3 2 para determinar a matriz 𝑋 que satisfaz a equação 𝑋 𝐷𝑋 𝐸 11 O escalonamento da matriz ampliada de um sistema não homogêneo 𝐴𝑋 𝐵 composto por 4 equações e 3 variáveis é exibido abaixo com a omissão das operações efetuadas sobre as linhas 𝐴𝐵 1 4 2 𝒂 3 5 5 1 3 2 4 11 𝒃 7 17 𝒄 1 4 0 1 3 5 𝒅 9 0 𝒆 0 5 15 8 𝒇 𝒈 1 4 0 1 3 5 𝒅 9 0 0 0 0 1 𝒉 0 0 a Interprete o escalonamento e determine os valores de 𝒂 𝒃 𝒄 𝒅 𝒆 𝒇 𝒈 𝒉 que estão ocultos nas matrizes b Utilizando os valores obtidos no item anterior encontre a solução 𝑋 para esse sistema 12 Repita o exercício anterior considerando agora o seguinte escalonamento 𝐴𝐵 1 2 3 𝒂 3 5 13 2 4 7 5 9 𝒃 11 6 𝒄 1 2 0 1 3 5 𝒅 13 0 𝒆 0 1 20 9 𝒇 𝒈 1 2 3 0 1 𝒅 0 0 0 0 2 13 5 13 𝒉 𝟐𝒈 1 2 3 0 1 𝒅 0 0 0 0 1 0 5 13 𝒉𝟐 0 4 13 Reduza as matrizes à sua forma escada por meio das operações linhas A seguir determine a nulidade e o posto dessas matrizes a 𝐴 1 2 2 1 3 1 3 1 2 3 2 3 b 𝐴 0 2 2 1 1 3 3 4 2 2 3 1 14 Seja 𝐴 uma matriz não nula de ordem 3 5 Quais são os possíveis valores para a nulidade de 𝐴 E se a ordem de A fosse 4 2 15 Em cada item determine o maior valor possível para o posto de A e o menor valor possível para a nulidade de A supondo que 𝐴 seja uma matriz não nula de ordem a 4 4 b 3 5 c 5 3 d 6 9 16 Verifique como o posto das seguintes matrizes varia em relação a t a 𝐴 1 1 𝑡 1 𝑡 1 𝑡 1 1 b 𝐴 𝑡 3 1 3 6 2 1 3 𝑡 17 Existem valores reais de r e s para os quais o posto da matriz 𝐴 1 0 0 0 𝑟 2 2 0 𝑠 1 𝑟 2 0 0 3 seja igual a um ou dois Se existirem encontre estes valores 18 Determine os valores de 𝑘 ℝ para os qualis o sistema linear 4𝑥 3𝑦 2 5𝑥 4𝑦 0 2𝑥 𝑦 𝑘 admite solução 19 Considere o sistema linear 𝑥 𝑦 3𝑧 2 𝑥 2𝑦 4𝑧 3 𝑥 3𝑦 𝑎𝑧 𝑏 Para quais valores reais de a e b o sistema a tem uma infinidade de soluções b tem única solução c é impossível 20 Seja 𝐴 𝑎 0 𝑏 𝑎 𝑎 4 0 𝑎 2 2 4 𝑏 a matriz ampliada de um sistema linear Para quais valores de a e b o sistema possui a única solução b nenhuma solução c uma solução com duas variáveis livres 5 21 Encontre uma relação entre a b e c que faça com que o sistema linear 𝑥 2𝑦 3𝑧 𝑎 2𝑥 3𝑦 3𝑧 𝑏 5𝑥 9𝑦 6𝑧 𝑐 se torne possível 22 Considere o sistema linear não homogêneo 𝑥 2𝑦 3𝑧 5 3𝑥 5𝑦 6𝑧 4 2𝑥 4𝑦 𝑘2 15𝑧 7 𝑘 Determine todos os valores de 𝑘 ℝ para os quais o sistema se torna a possível e determinado b possível e indeterminado c impossível 23 Considere o sistema 𝑥 2𝑦 𝑧 1 4𝑥 8𝑦 5𝑧 𝑘 1 2𝑥 4𝑦 𝑘𝑧 4 Determine se existir os valores de 𝑘 ℝ que fazem com que o sistema a admita infinitas soluções b admita única solução c não admita nenhuma solução 24 Considere o sistema de equações lineares 𝑥 3𝑦 2𝑧 4𝑡 2 2𝑥 7𝑦 3𝑧 2𝑘𝑡 5 3𝑥 8𝑦 8𝑧 5𝑡 3𝑘 34 4𝑥 3𝑦 2𝑧 𝑘2 179𝑡 𝑘 Determine os valores de 𝑘 ℝ para os quais esse sistema se torna a Impossível b Possível e determinado c Possível e indeterminado Nesse caso usando o valor encontrado exiba todas as soluções do sistema 25 Considere o sistema de equações lineares 𝑥 5𝑦 3𝑧 𝑘 1𝑡 1 2𝑥 11𝑦 8𝑧 3𝑡 5 3𝑥 7𝑦 6𝑧 13𝑡 3𝑘 4𝑥 9𝑦 5𝑧 𝑘2 99𝑡 𝑘 4 Determine os valores de 𝑘 ℝ para os quais esse sistema se torna a Impossível b Possível e determinado c Possível e indeterminado Nesse caso usando o valor encontrado exiba todas as soluções do sistema 6 26 Seja 𝐴 uma matriz a Em cada item use a informação da tabela para determinar se o sistema 𝐴𝑋 𝐵 é possível Se for determine o número de variáveis livres da solução geral do sistema Justifique sua resposta i ii iii iv v Tamanho de A 3 3 9 5 4 4 3 3 6 8 Posto de A 2 4 0 3 5 Posto de 𝐴 𝐵 3 4 0 3 5 b Para cada uma das matrizes da tabela acima determine se o sistema homogêneo 𝐴𝑋 0 é possível ou não Caso seja possível indique a quantidade de variáveis livres em cada situação 27 Explique por que a nulidade de uma matriz nunca é negativa 28 Chamamos de sistema homogêneo de m equações e n incógnitas aquele sistema cujos termos independentes são todos nulos a Um sistema homogêneo admite pelo menos uma solução chamada de solução trivial Qual é essa solução b Encontre os valores de 𝑘 ℝ para os quais o sistema homogêneo 2𝑥 5𝑦 2𝑧 0 𝑥 𝑦 𝑧 0 2𝑥 𝑘𝑧 0 tenha uma solução distinta da solução trivial 29 Um sistema homogêneo com três equações e quatro incógnitas sempre admite uma solução não trivial Por quê 30 Se det𝐴 0 então o sistema homogêneo 𝐴𝑋 0 sempre admite infinitas soluções Justifique sua resposta 31 Apresente todos os possíveis resultados na discussão de um sistema nãohomogêneo de 6 equações lineares com 4 incógnitas 32 Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas Apresente argumentos consistentes que justifiquem a veracidade da afirmação que julgar verdadeira e exiba um contraexemplo para a afirmação que julgar falsa a Se A e B são matrizes de mesma ordem tais que os sistemas 𝐴𝑋 0 e 𝐴𝑋 𝐵 têm as mesmas soluções então 𝐴 𝐵 b Se 𝑋1 𝑋2 e 𝑋3 são soluções do sistema 𝐴𝑋 𝐵 então 𝑋 2 5 𝑋1 4 5 𝑋2 1 5 𝑋3 é também uma solução de 𝐴𝑋 𝐵 c Se 𝑋1 e 𝑋2 são soluções do sistema 𝐴𝑋 𝐵 então 𝑌 𝑋1 𝑋2 é solução do sistema homogêneo 𝐴𝑌 0 7 33 Considere as matrizes 𝐴 0 1 2 1 0 0 0 0 1 0 0 2 5 0 0 1 e 𝐷 2 1 3 1 1 4 5 1 10 a Discuta a solução do sistema linear homogêneo cuja matriz dos coeficientes é a matriz A b Construa um sistema linear não homogêneo cuja matriz dos coeficientes seja a matiz D e tal que 𝑋 2 1 5 seja uma solução desse sistema Existem outras soluções para esse sistema Em caso positivo exiba duas dessas soluções 34 Encontre se existir todos os valores de 𝑘 ℝ para os quais o sistema homogêneo associado à matriz abaixo não admita solução 𝐴 𝑘 3 0 3 0 𝑘 2 0 5 0 𝑘 5 35 Determine para quais valores reais de 𝑡 o sistema linear homogêneo 𝐴 𝑡𝐼𝑋 0 possui mais de uma solução sendo I a matriz identidade 𝐴 a matriz dada nos itens abaixo 𝐴 𝑡𝐼 a matriz de coeficientes do sistema e 0 uma matriz coluna nula de ordem apropriada a 𝐴 0 3 1 2 b 𝐴 0 0 0 1 0 20 0 1 1 c 𝐴 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 3 1 2 36 Podemos resolver um sistema linear utilizando a matriz inversa da matriz dos coeficientes do sistema procedendo da seguinte forma 𝐴𝑋 𝐵 𝐴1𝐴𝑋 𝐴1𝐵 𝑋 𝐴1𝐵 Isto é útil quando desejamos resolver vários sistemas lineares diferentes mas que possuem a mesma matriz dos coeficientes Usando a teoria acima descrita resolva os sistemas lineares 𝐴𝑋 𝐵 em que 𝐴 1 2 2 2 5 4 3 7 5 e a 𝐵 1 2 3 b 𝐵 1 3 100 c 𝐵 1000 10 100 d 𝐵 111 311 511 37 Resolva o sistema matricial 𝐷1𝑋 𝐴 onde 𝐷 𝑑𝑖𝑎𝑔123456 é uma matriz diagonal e 𝐴 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 1 1 2 2 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 8 38 Determine a expressão algébrica para a matriz 𝑋 que satisfaz a equação matricial 𝐴1𝑋1 𝐴𝐵2𝐴1 39 Obtenha a forma escalonada reduzida por linhas da matriz dos coeficientes de cada um dos sistemas lineares abaixo e a partir dela determine as soluções dos respectivos sistemas 𝑎 5𝑠 5𝜋𝑡 5𝜋2 𝑠 𝜋 3𝑡 𝜋𝜋 6 b 4𝑥1 4𝑥2 16 5𝑥2 15𝑥4 2 2𝑥1 2𝑥2 𝑥3 12 𝑥2 8𝑥4 3 5 c 3𝑥1 12𝑥2 6𝑥3 9𝑥5 21 𝑥1 4𝑥2 2𝑥3 3𝑥5 7 1 2 𝑥1 2𝑥2 𝑥3 𝑥4 3 2 𝑥5 5 7𝑥1 28𝑥2 15𝑥3 23𝑥5 53 d b 6c 6 a 6b 5c 3 3a 20b 3c 1 40 Utilize matrizes inversas para resolver os sistemas do exercício anterior quando for possível 41 Determine se existir a inversa das matrizes a 𝐴 0 5 21 3 7 13 1 2 3 b 𝐴 0 6 0 3 0 10 1 5 0 9 5 0 3 14 0 1 c 𝐴 1 0 0 0 2 4 0 3 0 0 2 1 2 0 2 3 0 6 0 1 2 5 0 0 6 3 6 2 0 4 0 1 3 0 3 10 42 Resolva os seguintes sistemas lineares usando matrizes inversas a 𝑦 5𝑧 2 𝑥 2𝑦 3𝑧 7 2𝑥 4𝑦 5𝑧 13 b 𝑣 5𝑤 0 𝑢 2𝑣 3𝑤 0 2𝑢 4𝑣 5𝑤 0 c 𝑞 5𝑟 2 𝑝 2𝑞 3𝑟 3 2𝑝 4𝑞 5𝑟 1 43 Seja 𝑀 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 a matriz dos coeficientes associada a um sistema linear homogêneo de duas equações e duas variáveis a Utilize a eliminação de GaussJordan para provar que se 𝑎𝑑 𝑏𝑐 0 então o sistema possui somente a solução trivial b Mostre por escalonamento que se 𝑎𝑑 𝑏𝑐 0 então a matriz inversa de 𝑀 é dada por 𝑀1 1 𝑎𝑑 𝑏𝑐 𝑑 𝑏 𝑐 𝑎 9 44 Uma editora publica um bestseller potencial com três encadernações diferentes capa mole capa dura e encardenação de luxo Cada exemplar necessita de certo tempo para costura e cola conforme mostra a tabela abaixo Costura Cola Capa mole 1 min 2 min Capa dura 2 min 4 min Luxo 3 min 5 min Se o local onde são feitas as costuras fica disponível 6 horas por dia e o local de colagem 11 horas por dia quantos livros de cada tipo devem ser feitos por dia de modo que os locais de trabalho sejam plenamente utilizados 45 Num grande acampamento militar há 150 blindados dos tipos BM3 BM4 e BM5 isto é equipados com 3 4 e 5 canhões do tipo MX9 respectivamente O total de canhões disponíveis é igual a 530 A soma dos BM4 com os BM5 corresponde a 23 dos BM3 Se para o início de uma manobra militar cada canhão carrega 12 projéteis quantos projéteis serão necessários para o grupo dos BM4 no início da operação 46 Pretendese construir um modelo matemático que analise a rede de tráfego representada na figura A unidade de medida é veículos por hora O tráfego flui ao longo das vias no sentido assinalado e sendo válida a lei de que o número de viaturas que entra num cruzamento é igual ao número de viaturas que sai a Represente a situação por meio de um sistema de equações lineares e resolvao b Apresente duas maneiras distintas segundo as quais o tráfego pode fluir c Qual o menor número de carros que pode passar por A em direção à B 47 Encontre a lei de uma função polinomial de segundo grau cujo gráfico passa pelos pontos 𝐴14 𝐵20 e 𝐶312 10 48 A água flui por meio de uma rede de tubos em milhares de metros cúbicos por hora como mostrado na figura abaixo O fluxo total de água que entra em cada junção indicadas pelos pontos A B C D E e F deve ser igual ao fluxo de saída da respectiva junção a Interprete matematicamente o fluxo de água apresentado na figura por meio de um sistema de equações lineares A seguir resolva esse sistema b Encontre o fluxo de água quando 𝑥1 𝑥2 100 c Encontre o fluxo de água quando 𝑥6 𝑥7 0 d Encontre o fluxo de água quando 𝑥5 1000 e 𝑥6 0 49 O fluxo de tráfego em veículos por hora em uma rede de ruas de sentido único interligadas por uma rotatória é mostrado na figura Na rotatória o sentido de fluxo é somente o antihorário O tráfego flui ao longo das ruas no sentido assinalado É válida a lei de que o número de veículos que entra numa interseção é igual ao número de veículos que sai dessa interseção a Interprete matematicamente o fluxo de tráfego apresentado na figura por meio de um sistema de equações lineares A seguir resolva esse sistema b Encontre o fluxo de tráfego quando 𝑥4 0 c Encontre o fluxo de tráfego quando 𝑥4 100 d Encontre o fluxo de tráfego quando 𝑥1 2𝑥2 11 50 O fluxo de tráfego em veículos por hora em uma rede de ruas com quatro cruzamentos em mão inglesa é mostrado na figura abaixo O tráfego flui ao longo das ruas conforme o sentido assinalado É válida a lei de que o número de veículos que entra num cruzamento é igual ao número de veículos que sai desse mesmo cruzamento a Podese representar o fluxo indicado na figura anterior por meio de um sistema de equações lineares em que cada equação modela a situação de cada cruzamento Obtenha tais equações simplifique as ao máximo e escreva o sistema linear que representa o fluxo de tráfego b Resolva o sistema encontrado no item anterior e interprete as soluçãoões obtidas para determinar o número mínimo de veículos que deve i entrar no cruzamento 𝐵 vindo de baixo ii sair do cruzamento D e seguir na direção superior iii sair do cruzamento A e seguir em direção ao cruzamento D c Inclua a condição 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 275 no sistema obtido no item a e encontre o fluxo de tráfego correspondente