Gabarito da Segunda Lista de Exercícios de ALI001 - Espaços Vetoriais

Professores participantes do Grupo Colaborativo no semestre 20232 Graciela Moro Katiani da Conceição Loureiro e Marnei Luis Mandler Este é um material de acesso livre distribuído sob os termos da licença Creative Commons BYSA 40 2 CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS CCT DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DMAT GRUPO COLABORATIVO DE ENSINO DE ÁLGEBRA LINEAR GABARITO DA SEGUNDA LISTA DE EXERCÍCIOS DE ALI001 ESPAÇOS VETORIAIS RESPOSTAS 1 a 𝑊 é fechado para a adição e não é fechado para a multiplicação por escalar b 𝑊 é fechado para a adição e para a multiplicação por escalar c 𝑊 não é fechado para a adição e é fechado para a multiplicação por escalar d 𝑊 não é fechado para a adição e é fechado para a multiplicação por escalar e 𝑊 é fechado para a adição e não é fechado para a multiplicação por escalar f 𝑊 é fechado para a adição e para a multiplicação por escalar g 𝑊 não é fechado para a adição e não é fechado para a multiplicação por escalar h 𝑊 não é fechado para a adição e não é fechado para a multiplicação por escalar i 𝑊 não é fechado para a adição e não é fechado para a multiplicação por escalar j 𝑊 não é fechado para a adição e não é fechado para a multiplicação por escalar k 𝑊 não é fechado para a adição e não é fechado para a multiplicação por escalar 2 a 𝑊 não é fechado para a adição e não é fechado para a multiplicação por escalar b 𝑊 não é fechado para a adição e não é fechado para a multiplicação por escalar c 𝑊 não é fechado para a adição e não é fechado para a multiplicação por escalar d 𝑊 não é fechado para a adição e não é fechado para a multiplicação por escalar e 𝑊 é fechado para a adição e para a multiplicação por escalar f 𝑊 é fechado para a adição e para a multiplicação por escalar g 𝑊 é fechado para a adição e para a multiplicação por escalar h 𝑊 é fechado para a adição e não é fechado para a multiplicação por escalar i 𝑊 é fechado para a adição e para a multiplicação por escalar j 𝑊 é fechado para a adição e para a multiplicação por escalar k 𝑊 é fechado para a adição e para a multiplicação por escalar 2 3 a 𝑢 𝑣 0 1 e 2 𝑢 34 b 0𝑉 12 c 𝑢 2 𝑥 4 𝑦 d Basta verificar que 𝑥 𝑦 2 𝑥 4 𝑦 12 e V é um espaço vetorial 4 𝑉 não é um espaço vetorial com tais operações de adição e multiplicação por escalar O conjunto é fechado para as operações mas não existe elemento neutro para a adição não existe elemento oposto para a adição e 1 não é elemento neutro para a multiplicação por escalar 5 a V é fechado para as operações de adição e multiplicação por escalar b 0𝑉 01 c 𝑢 𝑥 1 𝑦 d V é um espaço vetorial 6 a 𝑉 é fechado para as operações de adição e multiplicação por escalar b 0 1 1 𝑉 c 𝑢 1 𝑥 1 𝑦 𝑉 d Basta notar que 1 𝑥 𝑦 12𝑥1 12𝑦1 𝑥 𝑦 e 𝑉 é um espaço vetorial para as operações dadas 7 V é fechado para as operações de adição e multiplicação por escalar O elemento neutro aditivo é o polinômio nulo 0 0𝑥 e o elemento oposto de 𝑝𝑥 𝑎 𝑏𝑥 é o elemento 𝑝𝑥 𝑏 𝑎𝑥 Porém V não é um espaço vetorial pois não são válidas a associatividade e a comutatividade da adição 8 a 0𝑉 1 7 2 𝑉 é o elemento neutro de 𝑉 b O oposto aditivo de 𝑢 𝑥 𝑦 𝑉 é o elemento 𝑢 1 49𝑥 4 𝑦 𝑉 c A propriedade não é válida pois 𝑘𝑢 𝑣 𝑘𝑢 𝑘𝑣 d A propriedade não é válida pois 𝑘1 𝑘2𝑢 𝑘1𝑢 𝑘2𝑢 e O conjunto 𝑊 é fechado para a adição e para a multiplicação por escalar não usuais 3 9 a 𝑊 é um subespaço vetorial de V b W não é um subespaço vetorial de 𝑉 pois não é fechado para a multiplicação por escalar c W não é um subespaço vetorial de V pois não é fechado para adição nem para a multiplicação por escalar d W é um subespaço vetorial de V e W é um subespaço vetorial de V f W não é um subespaço vetorial de V pois não é fechado para adição nem para a multiplicação por escalar g W é um subespaço vetorial de V h W é um subespaço vetorial de V i W não é um subespaço vetorial de V pois não é fechado para adição nem para a multiplicação por escalar j W não é um subespaço vetorial de V pois não é fechado para adição k W é um subespaço vetorial de V l W é um subespaço vetorial de V 10 a 𝑊 𝑥 𝑦 ℝ2 𝑦 𝑥3 não é um subespaço vetorial de 𝑉 pois não é fechado para a adição nem para a multiplicação por escalar b 𝑊 𝐴 𝑀22 𝐴𝑇 𝐴 é um subespaço vetorial de 𝑉 c 𝑊𝑓 ℝ ℝ 𝑓𝑥 𝑓𝑥 é um subespaço vetorial de 𝑉 d 𝑊 𝑝 ℝ ℝ 𝑝𝑥 𝑎 𝑏𝑥 𝑐𝑥2 𝑎 𝑏 𝑐 ℝ 𝑐 0 não é um subespaço vetorial de V pois não é fechado para a adição e para a multiplicação por escalar 11 a 𝑊 é um subespaço vetorial de 𝑉 b 𝑊 não é um subespaço vetorial de V c 𝑊 não é um subespaço vetorial de V d 𝑊 é um subespaço vetorial de V e 𝑊 é um subespaço vetorial de V 12 𝑘 125 𝑣 35𝑣1 5𝑣2 13 𝐵 não é combinação linear de 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴4 No entanto 𝐶 pode ser escrita de infinitas formas como combinação linear de 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴4 Tais formas são dadas por 𝐶 2 3𝑑𝐴1 25 5𝑑𝐴2 16 4𝑑𝐴3 𝑑𝐴4 com 𝑑 ℝ Nessa situação a matriz 𝐴4 poderia ser descartada sem causar prejuízo à combinação linear de 𝐶 pois tomandose 𝑑 0 temse que 𝐶 2𝐴1 25𝐴2 16𝐴3 4 14 Uma matriz simétrica de ordem 2 2 é da forma 𝐴 𝑎 𝑏 𝑏 𝑑 com 𝑎 𝑏 𝑑 ℝ Tal matriz pode ser escrita como 𝐴 𝑎 5 𝐴1 𝑏 3 𝐴2 𝑑 9 𝐴3 15 𝑞𝑥 não pode ser escrito como combinação linear de 𝑝1 𝑝2 𝑝3 e 𝑝4 Já 𝑝𝑥 pode ser escrito de infinitas formas como combinação linear de 𝑝1 𝑝2 𝑝3 e 𝑝4 Tais formas são dadas por 𝑝𝑥 3 2 𝑎3 𝑝1𝑥 4 𝑎3 𝑝2𝑥 𝑎3𝑝3𝑥 10 4 𝑎3 𝑝4𝑥 em que 𝑎3 ℝ 16 Se 𝑢 e 𝑣 são combinações lineares de 𝑣1 𝑣2 𝑣3 𝑉 então existem escalares 𝑎1 𝑎2 𝑎3 e 𝑏1 𝑏2 𝑏3 tais que 𝑢 𝑎1𝑣1 𝑎2𝑣2 𝑎3𝑣3 e 𝑣 𝑏1𝑣1 𝑏2𝑣2 𝑏3𝑣3 Com isso 𝑤 5𝑢 8𝑣 pode ser escrito como uma combinação linear de 𝑣1 𝑣2 𝑣3 como 𝑤 5𝑎1 8𝑏1𝑣1 5𝑎2 8𝑏2𝑣2 5𝑎3 8𝑏3𝑣3 17 a 𝑢 𝑣 𝑤 são LI pois não são coplanares Para ver isso basta tomar os vetores que são equipolentes a 𝑢 𝑣 𝑤 e que possuem sua origem na origem do sistema cartesiano b 𝑢 𝑣 𝑤 são LD pois são coplanares Para ver isso basta tomar os vetores que são equipolentes a 𝑢 𝑣 𝑤 que possuem origem na origem do sistema cartesiano 18 𝛽 é LD 19 𝛽 é LD 𝑣3 3𝑣1 4𝑣2 20 Uma possibilidade é 𝛼 1 1 3 1 2 1 0 1 3 21 As colunas da matriz formam um conjunto LD O sistema homogêneo 𝐴𝑋 0 possui infinitas soluções pois é SPI 22 a 𝛼 é LD b 𝛼 é LD c 𝛼 é LI d 𝛼 é LD 23 Os elementos são LD 24 Os elementos são LD 25 a 𝐻 é um plano em ℝ3 que passa pela orig A equação do plano é 𝑦 𝑥 b 𝐻 𝑔𝑒𝑟110 001 c 𝐻 não é gerado pelos elementos 2 2 0 e 1 1 0 Tais elementos geram o plano 𝑧 0 26 a Verdadeira b Verdadeira 27 𝑔𝑒𝑟𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑀22 𝑎 𝑏 2𝑐 2𝑑 0 28 a 𝑊 é um subespaço vetorial de 𝑃3 b 𝑊 𝑔𝑒𝑟1 𝑥 7 3𝑥2 𝑥3 5 29 a 𝑣 𝑆 pois 𝑣 é uma combinação linear dos geradores de 𝑆 b 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 𝑆 se e somente se 𝑡 𝑧 0 ou seja 𝑡 𝑧 c Uma base para 𝑆 é 𝛽 1 100 0011 1000 e dim𝑆 3 d 𝑆 ℝ4 pois dim𝑆 3 4 dimℝ4 30 a 3 1 0 e 1 0 1 b 27 22 1 c 0 0 0 31 𝑈 𝑔𝑒𝑟 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 𝑊 𝑔𝑒𝑟 1 0 0 0 0 0 1 0 0 2 0 1 e 𝑈 𝑊 𝑔𝑒𝑟 1 0 0 1 2 2 0 1 32 Para 𝑘 1 ou 𝑘 3 2 33 𝑈 𝑊 𝑎 𝑏𝑥 𝑐𝑥2 𝑑𝑥3 𝑃3 𝑐 𝑎 e 𝑏 2𝑐 3𝑑 34 Uma base para 𝑊 é 𝛽𝑊 5 2100 43021 e dim𝑊 2 35 a Uma base para 𝑊 é 𝛽𝑊 0 1 5 0 6 0 12 1 e dim𝑊 2 b 𝛼 6 2 2 1 12 0 24 2 também é uma base para 𝑊 36 a 𝑊 𝑎 𝑏𝑥 𝑐𝑥2 𝑑𝑥3 𝑃3 2𝑎 6𝑏 𝑐 8𝑑 0 b Uma base para 𝑊 é 𝛽𝑊 1 2𝑥2 𝑥 6𝑥2 𝑥2 𝑥3 e dim𝑊 3 37 a Existem diversos contraexemplos Você consegue exibir um deles b Existem diversos exemplos que satisfazem a condição desejada Você consegue exibir um deles 38 Se dim𝑈 2 e dim𝑊 3 então dim𝑈 𝑊 dim𝑈 dim𝑊 dim𝑈 𝑊 5 dim𝑈 𝑊 Como 𝑈 𝑊 é um subespaço de ℝ4 temse que dim𝑈 𝑊 dimℝ4 4 Assim dim𝑈 𝑊 5 dim𝑈 𝑊 5 4 1 Caso dim𝑈 𝑊 2 então obtémse que dim𝑈 𝑊 3 Além disso a dimensão de 𝑈 𝑊 não pode ser 3 pois 𝑈 tem dimensão 2 39 Se dim𝑈 7 e dim𝑊 6 então dim𝑈 𝑊 dim𝑈 dim𝑊 dim𝑈 𝑊 13 dim𝑈 𝑊 Como 𝑈 𝑊 é um subespaço de 𝑃9 temse que dim𝑈 𝑊 dim𝑃9 9 1 10 Assim 𝑑𝑖𝑚 𝑈 𝑊 13 𝑑𝑖𝑚 𝑈 𝑊 13 10 3 Portanto a interseção entre 𝑈 e 𝑊 é pelo menos três o que garante que eles possuem obrigatoriamente pelo menos um subespaço tridimensional em comum 6 40 a Basta mostrar que 𝑊 é fechado para a adição e multiplicação por escalar b Uma base para 𝑊 é 𝛽𝑊 1 1 1 1 e dim𝑊 1 41 a 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 𝑈 se e somente se 2𝑥 𝑦 3𝑧 0 b 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 𝑊 se e somente se 5𝑥 𝑦 3𝑧 0 c 𝛽𝑈𝑊 031 dim𝑈 𝑊 1 𝛽𝑈𝑊 1 20 111 112 dim𝑈 𝑊 3 d 𝑈 𝑊 ℝ3 pois dim𝑈 𝑊 3 dim ℝ3 A soma não é direta pois 𝑈 𝑊 42 a Uma base para 𝑆 é 𝛽𝑆 1 1 0 0 0 0 1 1 e dim𝑆 2 b Tal base para 𝑀22 deve ser formada por quatro matrizes LIs sendo que duas delas devem ser os elementos obtidos no item anterior 43 a Uma base é 𝛽𝑊1 1 0 0 6 0 1 0 2 0 0 1 3 e dim𝑊1 3 b Uma base é 𝛽𝑊2 25 5 0 14 15 0 5 9 e dim𝑊2 2 c Uma base é 𝛽𝑊1𝑊2 8 11 21 7 e dim𝑊1 𝑊2 1 d Uma base é 𝛽𝑊1𝑊2 1 0 0 6 0 1 0 2 0 01 3 25 5 0 14 e dim𝑊1 𝑊2 4 44 a 𝑊1 e 𝑊2 são subespaços vetoriais de 𝑀22 b i Uma base é 𝛽𝑊1 1 1 1 0 0 0 0 1 e dim𝑊1 2 ii Uma base é 𝛽𝑊2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 e dim𝑊2 3 iii Uma base é 𝛽𝑊1𝑊2 1 1 1 1 e dim𝑊1 𝑊2 1 iv Uma base é 𝛽𝑊1𝑊2 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 e dim𝑊1 𝑊2 4 45 a 𝑝𝑥 𝑎 𝑏𝑥 𝑐𝑥2 𝑑𝑥3 𝑊1 se e somente se 3𝑎 𝑏 3𝑐 𝑑 0 b 𝑝𝑥 𝑎 𝑏𝑥 𝑐𝑥2 𝑑𝑥3 𝑊2 se e somente se 𝑏 2𝑐 4𝑑 0 c i Uma base é 𝛽𝑊1 1 3𝑥3 𝑥 𝑥3 𝑥2 3𝑥3 e dim𝑊1 3 ii Uma base é 𝛽𝑊2 1 2𝑥 𝑥2 4𝑥 𝑥3 e dim𝑊2 3 iii Uma base é 𝛽𝑊1𝑊2 1 6𝑥 3𝑥2 11𝑥 3𝑥2 𝑥3 e dim𝑊1 𝑊2 2 iv Uma base é 𝛽𝑊1𝑊2 1 3𝑥3 𝑥 𝑥3 𝑥2 3𝑥3 1 e dim𝑊1 𝑊2 4 46 a Uma base é 𝛽𝑊1 1 2𝑥 𝑥 𝑥2 𝑥 𝑥3 e dim𝑊1 3 b Uma base é 𝛽𝑊2 1 3𝑥 𝑥2 4𝑥 𝑥3 e dim𝑊2 3 c Uma base é 𝛽𝑊1𝑊2 2 3𝑥 𝑥2 5 8𝑥 2𝑥3 e dim𝑊1 𝑊2 2 d Uma base é 𝛽𝑊1𝑊2 1 2𝑥 𝑥 𝑥2 𝑥 𝑥3 1 e dim𝑊1 𝑊2 4 7 47 a Uma base é 𝛽𝑊1𝑊2𝑊3 1 6 2 4 1 e dim𝑊1 𝑊2 𝑊3 1 b Uma base é 𝛽𝑊1𝑊3 1 0 2 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 20 0 0 1 0 0 e dim𝑊1 𝑊3 5 𝑐 𝑊1 𝑊2 ℝ5 pois dim𝑊1 𝑊2 5 dimℝ5 Porém a soma não é direta pois dim𝑊1 𝑊2 2 já que 𝑊1 𝑊2 𝑔𝑒𝑟01010 1 2 201 ou seja 𝑊1 𝑊2 48 a 𝑝𝑥 𝑎 𝑏𝑥 𝑐𝑥2 𝑑𝑥3 𝑈 se e somente se 4𝑎 3𝑏 2𝑐 0 b i Uma base é 𝛽𝑈 1 2𝑥2 2𝑥 3𝑥2 𝑥3 e dim𝑈 3 ii Uma base é 𝛽𝑊 𝑥 𝑥2 𝑥3 e dim𝑊 3 iii Uma base é 𝛽𝑈𝑊 2𝑥 3𝑥2 𝑥3 e dim𝑈 𝑊 2 iv Uma base é 𝛽𝑈𝑊 1 2𝑥2 2𝑥 3𝑥2 𝑥3 𝑥 e dim𝑈 𝑊 4 49 a Uma base é 𝛽𝑊1 34 13 1 0 53 19 0 1 e dim𝑊1 2 b Uma base é 𝛽𝑊2 1 0 0 2 0 1 0 5 0 0 1 4 e dim𝑊2 3 c Uma base é 𝛽𝑊1𝑊2 393 149 10 1 e dim𝑊1 𝑊2 1 d Uma base é 𝛽𝑊1𝑊2 34 13 1 0 53 19 0 1 1 0 0 2 0 1 0 5 e dim𝑊1 𝑊2 4 50 a 𝐴 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑊 se e somente se 𝑏 2𝑐 𝑑 0 b i Uma base é 𝛽𝑈 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 e dim𝑈 3 ii Uma base é 𝛽𝑊 1 0 0 0 0 2 1 0 0 1 0 1 e dim𝑊 3 iii Uma base é 𝛽𝑈𝑊 1 1 0 1 0 2 1 0 e dim𝑈 𝑊 2 iv Uma base é 𝛽𝑈𝑊 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 e dim𝑈 𝑊 4 51 a i 𝐼𝛽 𝛽1 1 1 1 1 ii 𝐼𝛽1 𝛽 1 2 1 1 1 1 iii 𝐼𝛽2 𝛽 1 6 3 3 3 3 iv 𝐼𝛽2 𝛽 1 2 1 0 0 1 b 𝑣𝛽 3 2 𝑣𝛽1 1 2 5 1 𝑣𝛽2 1 2 3 2 3 2 𝑣𝛽3 1 2 3 2 c i 𝑢𝛽 4 4 ii 𝑢𝛽2 1 3 23 6 23 62 iii 𝑢𝛽3 2 2 8 52 a 𝐼𝛽 𝛼 5 3 2 1 b 𝑣𝛽 1 1 e 𝑤𝛽 3 12 As representações geométricas dos elementos 𝑣 𝑤 e 𝑣 𝑤 estão na figura abaixo 53 a 𝐼𝛼 𝛽 1 2 4 7 b 𝐼𝛽 𝛼 7 2 4 1 c Em relação à base 𝛼 as coordenadas dos vetores posição dos vértices do quadrilátero 𝐶𝐷𝐸𝐹 são 𝐶𝛼 1 2 𝐷𝛼 2 1 𝐸𝛼 3 1 𝐹𝛼 2 3 Em relação à base 𝛽 as coordenadas dos vetores posição dos vértices do quadrilátero 𝐶𝐷𝐸𝐹 são 𝐶𝛽 3 2 𝐷𝛽 16 9 𝐸𝛽 19 11 𝐹𝛽 20 11 d Como 𝐾𝛼 1 1 𝐿𝛼 3 2 e 𝑀𝛼 0 4 os vetores posições dos vértices 𝐾 𝐿 e 𝑀 são dados respectivamente por 𝑣𝐾 1𝑣1 1𝑣2 𝑣𝐿 3𝑣1 2𝑣2 e 𝑣𝑀 0𝑣1 4𝑣2 4𝑣2 Com isso o triângulo 𝐾𝐿𝑀 está representado na figura abaixo 9 54 a 𝐼𝛽 𝛼 12 0 0 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 14 0 0 18 0 0 0 0 116 1 16 8 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 2 0 0 0 0 1 b 𝑝𝛽 1 2 1 3 4 1 2 5 16 1 16 8 16 12 8 5 e 𝑞𝛼 2 6 20 56 64 55 a 𝐼𝛽 𝛼 1 1 11 1 1 1 1 1 11 e 𝐼𝛼 𝛽 12 0 12 12 1112 512 0 112 112 1 12 6 0 6 6 11 5 0 1 1 b 𝐴𝛼 1 12 6𝜋 11𝑒 6𝜋 𝑒 c 𝐵𝛽 94 34 86 56 𝛽 1 2 2 0 1 1 0 1 2 57 a 𝛽 5 4 3 2 1 2 0 3 4 3 2 1 2 0 3 4 1 2 1 2 0 b 𝐴𝛼 0 3 1 58 a 𝐼𝛼 𝛼 1 0 0 0 1 0 0 0 1 𝐼33 b Basta mostrar que 𝛽 é LI pois dim𝑉 3 c 𝐼𝛼 𝛽 1 2 0 1 1 1 0 1 0 d 𝑤𝛼 3 3 1 59 a 𝐼𝛼 𝛽 0 3 6 1 3 5 3 5 11 b 𝑣𝛼 1 8 20 10 c 𝐼𝛽 𝛼 2 3 1 4 1 4 1 3 3 2 1 2 1 3 3 4 1 4 1 12 8 3 3 4 18 6 4 9 3 d 𝑣𝛽 7 12 7 6 5 12 1 12 7 14 5 60 a Verdadeira b Verdadeira c Verdadeira d Falsa 𝑊 é uma reta em ℝ3 que passa pela origem e Verdadeira pois 𝑝𝑥 17𝑝1𝑥 12𝑝2𝑥 f Falsa O conjunto 𝛽 é LD g Verdadeira h Verdadeira i Falsa Se o conjunto 𝛽 for LD não formará uma base para o subespaço gerado j Verdadeira k Verdadeira l Verdadeira pois 𝐼𝛽 𝛼 e 𝐼𝛼 𝛽 são matrizes inversas e o resultado desejado decorre de propriedade de determinantes det𝐴1 1 det𝐴