Transformações Lineares-Conceitos-Propriedades e Exemplos

Transformações Lineares Função Vetorial Uma Transformação Linear é uma Função Vetorial Linear são funções na qual tanto o domínio como o contradomínio são espaços vetoriais Observações T é uma transformação do espaço vetorial V no espaço vetorial W escrevese i Representação W T V ii Sendo T uma função então cada vetor v V tem um só vetor imagem w W 01 Considerando no R2 a função T que representa a reflexão de um vetor em torno do eixo x e é definida pela expressão Exemplo y x T x y W T V y x T x y Transformações Lineares 02 Considere uma função T R2 R3 que associa vetores v xy R2 com vetores w xyz R3 Se a lei que define essa função for teremos y y x x T x y 3 2 21 v1 Para 1 4 3 21 1 T v T 31 2 v Para 4 6 3 31 2 T v T 10 5 0 50 2 1 T v T v 0 10 5 31 21 2 1 T T T v T v 50 31 21 31 21 2 1 2 1 temos v e v v Para v 12 16 4 84 4 1 T v T 12 16 4 4 1 4 3 21 4 4 1 T v T 2 1 2 1 T v T v v T v 1 1 4 4 T v v T Transformação Linear sejam V e W dois espaços vetoriais Uma aplicação T é chamada Transformação Linear de V em W se são satisfeitas as condições I Para quaisquer vetores v1 e v2 V devemos ter 2 1 2 1 T v T v v T v II Para quaisquer k R e v1 V devemos ter 1 1 kT v T kv y y x x T x y 3 2 21 v1 Para 1 4 3 21 1 T v T 31 2 v Para 4 6 3 31 2 T v T 10 5 0 50 2 1 T v T v 10 5 0 31 21 2 1 T T T v T v 50 31 21 31 21 2 1 2 1 temos v e v v Para v 12 16 4 84 4 1 T v T 12 16 4 1 4 4 3 21 4 4 1 T v T 2 1 2 1 T v T v v T v 1 1 4 4 T v v T 2 1 2 1 T v T v v T v 1 1 kT v T kv Transformações Lineares Observações i Operador Linear é uma transformação linear de V em W quando V W ii Propriedade 1 em toda transformação linear T V W a imagem do vetor nulo em V é o vetor nulo em W isto é O O T iii Propriedade 2 se T V W for uma transformação linear bT v aT u bv T au temse isto é a imagem de uma combinação linear de vetores é uma combinação linear das imagens desses vetores com os mesmos coeficientes R a b e V u v para nv v v B 2 1 Se é uma base de V e tal que R a a a n 2 1 anvn a v a v v 2 2 1 1 2 2 1 1 n n a T v a T v a T v temos que T v T anvn a v a v v 2 2 1 1 n n a T v a T v a T v T v 2 2 1 1 O O T bT v aT u bv T au R a b e V u v para nv v v B 2 1 R a a a n 2 1 anvn a v a v v 2 2 1 1 2 2 1 1 n n a T v a T v a T v temos que T v T anvn a v a v v 2 2 1 1 n n a T v a T v a T v T v 2 2 1 1 Transformações Lineares 04 Seja uma transformação linear T R3 R2 onde B v1v2v3 é uma base do R3 com v1 010 v2 101 e v3 110 Sabendo que determine e T v T v 13 2 1 2 1 20 v3 T 2 35 a T b T x y z 05 Um operador linear T R2 R2 é tal que com v1 10 e v2 01 Assim determine Txy 41 2 3 2 1 e T v T v 03 Seja a transformação T R2 R3 que associa v R2 com w R3 definida por Verifique se T R2 R3 é uma Transformação Linear Exemplos x y y x x T x y 3 e T v T v 13 2 1 2 1 20 v3 T 2 35 a T b T x y z 41 2 3 2 1 e T v T v x y y x x T x y 3 Transformações Lineares Definição Núcleo de uma Transformação Linear o núcleo de uma transformação linear T V W é o conjunto de todos os vetores v V que são transformados em 0 W Indicase esse conjunto por NT ou kerT 0 V T v v N T Observamos que NT V e NT tendo em vista que T0 0 Propriedades do Núcleo 1 O núcleo de uma transformação linear T V W é um subespaço vetorial de V 2 Uma transformação linear T V W é injetora se e somente se NT 0 0 V T v v N T Transformações Lineares Definição Imagem de uma Transformação Linear a imagem de uma transformação linear T V W é o conjunto dos vetores w W que são imagens de pelo menos um vetor v V Indicase esse conjunto por ImT ou TV V w para alg um v W T v w Im T 1 Se ImT W T dizse sobrejetora isto é para todo w W existe pelos um v V tal que Tv w 3 Propriedade da Imagem 4Teorema da Dimensão W T V 2 Se é linear e gera V então gera a ImT n 2 1 v v v n 2 1 v T v T T v seja V um espaço vetorial de dimensão finita e TV W uma transformação linear dim NT dim ImT dim V o conjunto imagem de uma transformação T V W é um subespaço vetorial de W 5 Isomorfismo uma transformação linear TVW é um isomorfismo se for bijetora Observações V w para alg um v W T v w Im T W T V n 2 1 v v v n 2 1 v T v T T v Transformações Lineares 1 Verificar se v 53 pertence a ImT sendo T R2 R2 e Exemplo y x y x T x y 3 2 2 2 Determinar os conjuntos NT e ImT do operador linear T R3 R3 z 3y xz 2 z y 2y x zy x T y x y x T x y 3 2 2 z 3y 2 z x z y 2y x zy x T Transformações Lineares Transformação Linear associada a uma Matriz Quando obtemos a matriz de uma transformação estamos levando em conta as bases associadas ao domínio e contradomínio No caso acima estamos considerando as bases canônicas Logo a matriz T é chamada de matriz canônica da transformação Dada a transformação linear T R3 R2 3z 2y xz 30 20y 10x zy x T z y x T 3z 2y x 30z 20y x 10 z y x 3 2 1 30 20 10 v T T v Portanto a matriz T que denotamos por T é 3 2 1 30 20 10 T 3z 2y 30 z x 20y 10x zy x T z y x T 3z 2y x 30z 20y x 10 z y x 3 2 1 30 20 10 v T T v 3 2 1 30 20 10 T Transformações Lineares Exemplo Seja a Transformação Linear T R3 R2 definida pela expressão 3 0 1 01 2 2 3 1 0 1 01 1 11 4 2 3 2 4 3 2 1 3 1 1 2 3 4 2 T 2z y x 3z y 2x zy x T Considerando as bases canônicas temse 3 R 0 0 1 01 0 0 01 A 2 R 0 01 0 01 0 0 1 2 0 1 01 1 1 2 1 12 2 5 3 4 2 1 2 2 2 5 3 5 2 1 0 1 7 6 3 6 7 3 5 2 2 13 5 4 3 7 6 T Considerando bases quaisquer temse 3 R 0 0 1 11 0 111 A 2 R 111 0 11 0 0 1 5 5 3 13 2 1 1 2 10 31 T A B T 0 1 01 B 2 1 5 3 B z y x 2 1 3 1 1 2 zy x T Os elementos da matriz são os coeficientes da combinação linear das imagens da base A em relação a base B A B T z y x T x y z 5 2 2 13 5 4 3 0 1 01 2 2 3 1 0 1 01 1 11 4 2 3 2 4 3 2 1 3 1 1 2 3 4 2 T 2z y x 3z y 2x zy x T 3 R 0 0 1 01 0 0 01 A 2 R 0 01 0 01 0 0 1 2 0 1 01 1 1 2 1 12 2 5 3 4 2 1 2 2 2 5 3 5 2 1 0 1 7 6 3 6 7 3 5 2 2 13 5 4 3 7 6 T 3 R 0 0 1 11 0 111 A 2 R 111 0 11 0 0 1 5 5 3 13 2 1 1 2 10 31 T A B T 0 1 01 B 2 1 5 3 B z y x 2 1 3 1 1 2 zy x T A B T z y x T x y z 5 2 2 13 5 4 Transformações Lineares Exemplo Seja a Transformação Linear T R3 R2 definida pela expressão Considerando as bases e determine 2z y x 3z y 2x zy x T A B T 0 0 1 11 0 111 A 2 1 5 3 B 2z y x 3z y 2x zy x T A B T 0 0 1 11 0 111 A B 2 1 5 3 Transformações Lineares Exemplo Operações com transformações lineares 1 Adição V v v T T T v T v 2 1 2 1 2 Subtração V v v T T T v T v 2 1 2 1 3 Multiplicação por Escalar V v R e T v T v Sejam T1 R2 R3 e T2 R2 R3 transformações lineares definidas por Determine y xy x x y e T xy x 2y 2 x x y T 2 1 2 1 T a T 2 1 2T b 3T V v v T T T v T v 2 1 2 1 V v v T T T v T v 2 1 2 1 V v R e T v T v y xy x x y e T xy x 2y 2 x x y T 2 1 2 1 T a T 2 1 2T b 3T Transformações Lineares Composição de Transformações Lineares Sejam T1 V W e T2 W U transformações lineares Chamase aplicação composta de T1 e T2 e se representa T2 T1 a transformação linear V v T T v v T T 1 2 1 2 ou através da multiplicação das matrizes canônicas das transformações 1 2 1 2 T T v T T Exemplo Sejam S e T transformações lineares do R2 R2 definidos por e Determine as seguintes composições a S T S b T 2 x y x y S y xx x y T V v T T v v T T 1 2 1 2 1 2 1 2 T T v T T a S T S b T 2 x y x y S y xx x y T