Análise de Tensão em Circuitos RLC: Estudo de Caso

Determinar a tensão 𝑣𝑡 no capacitor para 𝑡 0 considerando as condições iniciais zeradas Substituindo os valores de indutância e capacitância dos componentes para os respectivos valores de impedância e a fonte para o domínio das frequências complexas Indutor 5 𝐻 𝐿𝑠 5𝑠 Capacitor 01 𝐹 1 𝐶𝑠 10𝑠 Resistor 10 3 Ω 10 3 Fonte 𝑣𝑠𝑡 ℒ10𝑢𝑡 10 𝑠 O circuito se torna 𝑣𝑠𝑡 10𝑢𝑡 A Usando a Lei dos Nós de Kirchoff no Nó A temse que a corrente que chega é igual a corrente que sai o somatório das correntes saindo é igual a 0 sendo a corrente igual a queda de tensão pela impedância do ramo Temos também que 𝑣𝑜 𝑣𝐴 sendo 𝑣𝐴 a tensão no nó A Assim 𝑉𝑜𝑠 10 𝑠 10 3 𝑉𝑜𝑠 5𝑠 𝑉𝑜𝑠𝑠 10 0 Rearranjando a equação temos 3 𝑉𝑜𝑠 10 𝑠 10 𝑉𝑜𝑠 5𝑠 𝑉𝑜𝑠𝑠 10 0 Aplicando o mínimo múltiplo comum no denominador da equação temse 3𝑉𝑜𝑠𝑠 30 2𝑉𝑜𝑠 𝑉𝑜𝑠𝑠2 10𝑠 0 Assim 3𝑉𝑜𝑠𝑠 30 2𝑉𝑜𝑠 𝑉𝑜𝑠𝑠2 0 𝑉𝑜𝑠3𝑠 2 𝑠2 30 0 𝑉𝑜𝑠 30 𝑠2 3𝑠 2 Para aplicar a transformada inversa de Laplace o lado direito da equação é separado por frações parciais As raízes do polinômio de segundo grau 𝑠2 3𝑠 2 são 𝑠 1 e 𝑠 2 assim 30 𝑠2 3𝑠 2 30 𝑠 1𝑠 2 30 𝐴 𝑠 1 𝐵 𝑠 2 1 𝑠 1𝑠 2 𝐴𝑠 2 𝐵𝑠 1 𝑠 1𝑠 2 1 𝑠 1𝑠 2 𝑠𝐴 𝐵 2𝐴 𝐵 𝑠 1𝑠 2 Comparando os coeficientes em 𝑠 temse o seguinte sistema linear 𝐴 𝐵 0 2𝐴 𝐵 1 Solucionando o sistema linear temse as constantes A e B dadas por 𝐴 𝐵 e 𝐵 1 𝐴 1 A equação da tensão de saída pode ser escrita como 𝑉𝑜𝑠 30 1 𝑠 1 1 𝑠 2 Das tabelas de transformada de Laplace temos que ℒ 1 𝑠 𝑎 𝑒𝑎𝑡 Assim a equação que descreve a saída de tensão 𝑣𝑜𝑡 no capacitor é dada por 𝑣𝑜𝑡 30𝑒𝑡 𝑒2𝑡