Características Dinâmicas dos Sistemas de Medição

Sistemas de Medição Prof Guilherme de Faveri Características Dinâmicas Características Dinâmicas dos Sistemas de Medição Resposta Transiente Resposta em Frequência Tempo de Resposta Overshoot Representado por Equações Diferenciais Características Dinâmicas ሶ𝑥𝑆 𝑓 𝑥𝑆 𝑥 𝑢𝑖𝑛𝑡 𝑢𝑚𝑜𝑑 𝑦 ℎ 𝑥𝑆 𝑥 𝑢𝑖𝑛𝑡 𝑢𝑚𝑜𝑑 𝑦 Indicação 𝑥𝑆 Vetor de Estados 𝑥 Mensurando 𝑢𝑖𝑛𝑡 Grandeza de Influência Interferente 𝑢𝑚𝑜𝑑 Grandeza de Influência Modificante Características Dinâmicas O Vetor de Estado representa a Memória do SistemaInstrumento A saídaindicação não depende apenas das entradas no momento mas também do que aconteceu no passado e levou à modificação dos valores de variáveis internas A Ordem Dinâmica é dada pelo número de estados necessários para representar a memória interna Características Dinâmicas Exemplo Medidor de força baseado em uma deflexão de uma mola 𝑑 Circuito Eletrônico Indicação em Tensão Características Dinâmicas Modelo da mola 𝑚 ሷ𝑑 𝐹 𝑘1𝑑 𝑘2𝑑2 𝑏1 ሶ𝑑 𝑏2 ሶ𝑑 2 Tensão de saída do receptor ótico 𝑣𝑟 𝑐1 𝑐2 𝑑2 Tensão sobre o capacitor 𝑅𝐶 ሶ𝑣𝑐 𝑣𝑐 𝑣𝑟 Características Dinâmicas 𝑥𝑆 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑑 ሶ𝑑 𝑣𝑐 𝑥 𝐹 𝑦 𝑣𝑐 Vetor de estados Entrada Força aplicada Saída Tensão no capacitor Características Dinâmicas Transformando em variáveis de estado 𝑥1 𝑑 ሶ𝑥1 ሶ𝑑 𝑑 𝑑𝑡 𝑑 𝑥2 ሶ𝑥2 𝑑 𝑑𝑡 𝑥2 𝑑 𝑑𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝑑 𝑑2𝑑 𝑑𝑡2 ሶ𝑥2 ሷ𝑑 1 𝑚 𝑥 𝑘1𝑥1 𝑘2𝑥2 𝑏1𝑥2 𝑏2𝑥2 2 ሶ𝑥3 1 𝑅𝐶 𝑐1 𝑐2 𝑥12 𝑥3 𝑦 𝑥3 Características Dinâmicas Análise Linear Local Pequenas variações do mensurando variáveis de estado e da saída em torno de uma dada condição de equilíbrio Aproximação linear para um sistema nãolinear ሶ𝑥𝑆 𝑓 𝑥𝑆 𝑥 𝑢𝑖𝑛𝑡 𝑢𝑚𝑜𝑑 0 𝑦 ℎ 𝑥𝑆 𝑥 𝑢𝑖𝑛𝑡 𝑢𝑚𝑜𝑑 Características Dinâmicas 𝑥𝑠 𝑥 𝑘1𝑥1 𝑘2 𝑥1 2 𝑥2 𝑐1 𝑐2 𝑥1 2 𝑦 𝑥3 Desvios em relação ao equilíbrio 𝛿𝑥 𝑥 𝑥 𝛿𝑥𝑠 𝑥𝑠 𝑥𝑠 𝛿𝑦 𝑦 𝑦 𝑑 𝑑𝑡 𝛿𝑥𝑠 𝑑𝑥𝑠 𝑑𝑡 Características Dinâmicas 𝑑 𝑑𝑡 𝛿𝑥𝑠 𝑓 𝑥𝑠 𝑥𝑠 𝑥𝑠 𝑓 𝑥 𝑥 𝑥 𝛿𝑦 ℎ 𝑥𝑠 𝑥𝑠 𝑥𝑠 ℎ 𝑥 𝑥 𝑥 ቐ 𝑑 𝑑𝑡 𝛿𝑥𝑠 𝐴𝛿𝑥𝑠 𝐵𝛿𝑥 𝛿𝑦 𝐶𝛿𝑠 𝐷𝛿𝑥 Características Dinâmicas 𝑑 𝑑𝑡 𝛿𝑥1 𝛿𝑥2 𝑑 𝑑𝑡 𝛿 𝑥2 𝑘1 𝑚 2𝑘2 𝑚 𝛿𝑥1 𝛿𝑥1 𝑏1 𝑚 𝛿𝑥2 1 𝑚 𝛿𝑥2 𝑑 𝑑𝑡 𝛿𝑥3 2 𝑐2 𝑅𝐶 𝑥3 3 𝛿𝑥1 1 𝑅𝐶 𝛿𝑥3 𝛿𝑦 𝛿𝑥3 Características Dinâmicas 𝑑 𝑑𝑡 𝛿𝑥𝑠 𝛿 ሶ𝑥1 𝛿 ሶ𝑥2 𝛿 ሶ𝑥3 0 1 0 𝑎21 𝑎22 0 𝑎31 0 𝑎33 𝛿𝑥1 𝛿𝑥2 𝛿𝑥3 0 𝑏2 0 𝛿𝑥 𝑎11 𝑘1 𝑚 2𝑘2 𝑚 𝑥1 𝑎22 𝑏1 𝑚 𝑎31 2 𝑐2 𝑅𝐶 𝑥1 3 𝑎33 1 𝑅𝐶 𝑏2 1 𝑚 Características Dinâmicas 𝛿𝑦 𝐶𝛿𝑠 𝐷𝛿𝑥 𝛿𝑦 𝛿𝑥3 𝑐11 𝑐12 𝑐13 𝛿𝑥1 𝛿𝑥2 𝛿𝑥3 𝐷𝛿𝑥 𝑐11 0 𝑐12 0 𝑐13 1 𝐷 0 Características Dinâmicas Funções de Transferência Relação entre entrada e saída ℒ 𝛿𝑦𝑡 𝐺 𝑠 ℒ 𝛿𝑥𝑡 𝐺 𝑠 ℒ 𝛿𝑦𝑡 ℒ 𝛿𝑥𝑡 𝑁 𝑠 𝐷 𝑠 𝛽𝑚𝑠𝑚 𝛽𝑚1𝑠𝑚1 𝛽0 𝑠𝑛 𝛼𝑛1𝑠𝑛1 𝛼0 Entrada ℒ 𝛿𝑥 𝑡 Função de Transferência 𝐺𝑠 Saída ℒ 𝛿𝑦 𝑡 Características Dinâmicas Instrumentos de Ordem Zero Saída diretamente determinada pela entrada Não há estados internos Comportamento dinâmico muito rápido Ex Potenciômetros 𝑉𝑖𝑛 𝑉𝑜𝑢𝑡 𝑉𝑜𝑢𝑡 𝑅2 𝑅2 𝑅1 𝑉𝑖𝑛 ℒ 𝑉𝑜𝑢𝑡 𝑅2 𝑅2 𝑅1 ℒ 𝑉𝑖𝑛 𝐺 𝑠 𝑅2 𝑅2 𝑅1 Características Dinâmicas Instrumentos de Ordem 1 É comum aproximar o comportamento de um sistema pelo ganho estático 𝐺𝑑𝑐 e a constante de tempo dominante 𝜏 𝐺 𝑠 𝐺𝑑𝑐 𝜏𝑠 1 Características Dinâmicas Exemplo Termômetro de Bulbo 𝑥0 𝑘𝑒𝑥𝑉𝑏 𝐴𝑐 𝑇𝑡𝑓 𝑥0 Deslocamento do fluído 𝑇𝑡𝑓 Temperatura do fluído 𝐴𝑐 Área de seção transversal 𝑘𝑒𝑥 Coeficiente de expansão do fluído 𝑇𝑖 Temperatura Características Dinâmicas Exemplo Termômetro de Bulbo Δ ሶ𝐸 ሶ𝐸𝑖 ሶ𝐸𝑜 Δ ሶ𝑈𝑖 𝑚𝐶𝑝 𝑑𝑇𝑡𝑓 𝑑𝑡 𝑈𝐴𝑏𝑇𝑖 𝑇𝑓 𝑚𝜌𝑉 𝑑𝑇𝑡𝑓 𝑑𝑡 𝑈𝐴𝑏𝑇𝑓 𝑈𝐴𝑏𝑇𝑖 𝜌𝐶𝑝𝐴𝑐 𝑘𝑒𝑥 𝑑𝑥0 𝑑𝑡 𝑈𝐴𝑏𝐴𝑐 𝑘𝑒𝑥𝑉𝑏 𝑈𝐴𝑏𝑇𝑖 Características Dinâmicas Exemplo Termômetro de Bulbo 𝜏𝐷 1 𝑞0 𝐾𝑞𝑖 𝜌𝐶𝑝𝑉𝑏 𝑈𝐴𝑏 𝑑𝑥𝑜 𝑑𝑡 𝑥0 𝑘𝑒𝑥𝑉𝑏 𝐴𝑐 𝑇𝑖 𝜏 𝜌𝐶𝑝𝑉𝑏 𝑈𝐴𝑏 s 𝐾 𝑘𝑒𝑥𝑉𝑏 𝐴𝑐 𝑇𝑖 𝑚𝐶 Características Dinâmica Resposta ao Degrau 𝜏𝐷 1 𝑞0 𝐾𝑞𝑖 Solução geral 𝑞𝑐 𝐶𝑒𝑡 𝜏 Solução particular 𝑞𝑝 𝐾𝑞𝑖 Características Dinâmica 𝑞0 𝐶𝑒𝑡 𝜏 𝐾𝑞𝑖 Condição inicial 𝑞0 0 em 𝑡 0 0 𝐶𝑒0 𝐾𝑞𝑖 𝐶 𝐾𝑞𝑖 𝑞0 𝐾𝑞𝑖𝑒𝑡 𝜏 𝐾𝑞𝑖 𝐾𝑞𝑖 1 𝑒𝜏 𝑡 Características Dinâmicas 𝐺 𝑠 1 2𝑠 1 Resposta ao Degrau Características Dinâmicas 𝐺 𝑠 1 01𝑠 1 Características Dinâmicas 𝐺 𝑠 05 01𝑠 1 Características Dinâmicas Resposta a Rampa 𝑞𝑖 ቊ𝑞0 0 𝑡 0 ሶ𝑞𝑖𝑡 𝑡 0 𝜏𝐷 1 𝑞0 𝐾 ሶ𝑞𝑖 Solução Geral 𝑞𝑐 𝐶𝑒𝑡 𝜏 Solução Particular 𝑞𝑝 𝐾 ሶ𝑞𝑖𝑡 𝜏 Características Dinâmicas 𝑞0 𝐶𝑒𝑡 𝜏 𝐾 ሶ𝑞𝑖𝑡 𝜏 Condição inicial 𝑞0 0 em 𝑡 0 𝑞0 𝐾 ሶ𝑞𝑖 𝜏𝑒𝑡 𝜏 𝑡 𝜏 𝑒𝑚 𝑞𝑖 𝑞𝑜 𝐾 ሶ𝑞𝑖𝑡 ሶ𝑞𝑖𝜏𝑒𝜏 𝑡 ሶ𝑞𝑖𝑡 ሶ𝑞𝑖𝜏 𝑒𝑚 ሶ𝑞𝑖𝜏𝑒𝜏 𝑡 ሶ𝑞𝑖𝜏 Características Dinâmicas 𝐺 𝑠 1 2𝑠 1