Impedância e Transformada de Laplace em Circuitos Elétricos

Sistemas de Medição Prof Guilherme de Faveri Impedância Oposição que um circuito elétrico faz a passagem de corrente elétrica É a carga resistiva total de um circuito de CA Análise no domínio das frequências complexas s 𝑗𝜔 Domínio do Tempo Domínio das Frequências ℒ ℒ1 Transformada de Laplace ℒ 𝑓 𝑡 lim 𝛼0 න 𝛼 𝑓𝑡 𝑒𝑠𝑡𝑑𝑡 Ex ℒ 1 0 1 𝑒𝑠𝑡𝑑𝑡 1 න 0 𝑒𝑠𝑡𝑑𝑡 1 𝑒𝑠𝑡 𝑠 ቚ 0 1 𝑠 ℒ 1 1 𝑠 ℒ 𝑡 න 0 𝑡 𝑒𝑠𝑡𝑑𝑡 න 𝑎 𝑏 𝑢 𝑑𝑣 𝑢𝑣 ቚ 𝑎 𝑏 න 𝑎 𝑏 𝑣𝑑𝑢 𝑢 𝑡 𝑑𝑢 𝑑𝑡 𝑑𝑣 𝑒𝑠𝑡 𝑣 𝑒𝑠𝑡 𝑠 න 0 𝑡𝑒𝑠𝑡𝑑𝑡 𝑡𝑒𝑠𝑡 𝑠 ቚ 0 1 𝑠 න 0 𝑒𝑠𝑡𝑑𝑡 ℒ 𝑡 1 𝑠2 Transformada de Laplace Transformação ℒ 𝑓 𝑡 𝐹𝑠 Propriedades da Transformada de Laplace Linearidade ℒ 𝐾𝑓 𝑡 𝐾𝐹𝑠 Linearidade ℒ 𝑓1 𝑡 𝑓2𝑡 𝐹1 𝑠 𝐹2𝑠 Deslocamento da Frequência ℒ 𝑒𝑎𝑡𝑓 𝑡 𝐹𝑠 𝑎 Deslocamento no Tempo ℒ 𝑓 𝑡 𝑇 𝑒𝑇𝑠𝐹𝑠 Fator Escalar ℒ 𝑓 𝑎𝑡 1 𝑎 𝐹 𝑠 𝑎 Derivada ℒ 𝑑𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑠𝐹 𝑠 𝑓0 Derivada ℒ 𝑑2𝑓 𝑡 𝑑𝑡2 𝑠2𝐹 𝑠 𝑠𝑓 0 ሶ𝑓0 Transformada de Laplace Propriedades da Transformada de Laplace Integração ℒ 0 𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝐹 𝑠 𝑠 Valor Final 𝑓 lim 𝑠0 𝑠𝐹𝑠 Valor Inicial 𝑓 0 lim 𝑠 𝑠𝐹𝑠 Modelos no Domínio da Frequência Resistor 𝑣 𝑡 𝑅𝑖 𝑡 ℒ 𝑣𝑡 ℒ 𝑅𝑖𝑡 𝑉 𝑠 𝑅𝐼𝑠 Impedância do Resistor 𝑍𝑅 𝑅 𝑉𝑠 𝐼𝑠 𝑅 Modelos no Domínio da Frequência Indutor 𝑣 𝑡 𝐿 𝑑𝑖 𝑑𝑡 ℒ 𝑣𝑡 ℒ 𝐿 𝑑𝑖 𝑑𝑡 𝑉 𝑠 𝐿𝑠𝐼 𝑠 𝐿𝑖0 Impedância do Indutor 𝑍𝐼 𝑠𝐿 𝑉𝑠 𝐼𝑠 𝐿𝑖0 𝑠𝐿 Modelos no Domínio da Frequência Capacitor 𝑖 𝑡 𝐶 𝑑𝑣 𝑡 𝑑𝑡 ℒ 𝑖 𝑡 ℒ 𝐶 𝑑𝑣𝑡 𝑑𝑡 𝐼 𝑠 𝐶𝑠𝑉 𝑠 𝐶𝑣 0 Impedância do capacitor 𝑍𝐶 1 𝑠𝐶 𝑉𝑠 𝐼𝑠 𝐶𝑣0 1 𝑠𝐶 Modelos no Domínio da Frequência Capacitor 𝑖 𝑡 𝐶 𝑑𝑣 𝑡 𝑑𝑡 ℒ 𝑖 𝑡 ℒ 𝐶 𝑑𝑣𝑡 𝑑𝑡 𝐼 𝑠 𝐶𝑠𝑉 𝑠 𝐶𝑣 0 Impedância do capacitor 𝑍𝐶 1 𝑠𝐶 𝑉𝑠 𝐼𝑠 𝑣𝑜 𝑠 1 𝑠𝐶 Exercício Determinar a tensão 𝑣 𝑡 no capacitor para 𝑡 0 considerando as condições iniciais 𝑖 0 1 A e 𝑣 0 5𝑉 para uma fonte 𝑣𝑠 𝑡 10𝑢𝑡 V Exercício No domínio do tempo Transformada inversa de Laplace 𝑣 𝑡 35𝑒𝑡 30𝑒2𝑡 0 2 4 6 8 10 12 0 2 4 6 8 10 vt t s Resposta em Frequência Podese realizar a análise da Resposta em Frequência a partir da transformada de Laplace 𝑠 𝜎 𝑗𝜔 Variável da transformada de Laplace Parte Imaginária Parte Real 𝑗2 1 𝑗1 𝑗 Resposta em Frequência 𝑉𝑖𝑛 𝑉0cos𝜔𝑡 C Resposta em Frequência 𝑉𝑜𝑢𝑡 𝑅2 𝑅2𝑅1 𝑉𝑖𝑛 Divisor de Tensão 𝑉𝑜𝑢𝑡 1 𝑠𝐶 𝑅 1 𝑠𝐶 𝑉𝑖𝑛 𝑉𝑜𝑢𝑡 1 𝑠𝑅𝐶 1 𝑉𝑖𝑛 Função de Transferência Representação matemática da relação entre a entrada e a saída de um sistema físico no domínio das frequências complexas 𝐻 𝑠 𝑉𝑜𝑢𝑡 𝑠 𝑉𝑖𝑛𝑠 𝐻 𝑠 1 𝑅𝐶𝑠 1 𝐻𝑠 𝑉𝑖𝑛𝑠 𝑉𝑜𝑢𝑡𝑠 Função de Transferência 𝑠 𝜎 𝑗𝜔 Como estamos interessados apenas na resposta permanente do circuito faremos 𝜎 0 𝑠 𝑗𝜔 𝐻 𝑗𝜔 1 𝑅𝐶𝑗𝜔1 Número Complexo Função de Transferência Desejamos escrever a Função de Transferência na forma polar para encontrarmos a saída 𝑉𝑜𝑢𝑡 𝐾𝑉0cos𝜔t 𝜙1 𝐾 𝐻 𝑗𝜔 e 𝜙1 𝐻 𝑗𝜔 𝐻 𝑗𝜔 𝐾𝜙1 𝑉𝑖𝑛 Ganho Fase Função de Transferência 𝐻 j𝜔 𝑌 𝑗𝜔 𝑋𝑗𝜔 Módulo 𝐻𝑗𝜔 𝑌 𝑗𝜔 𝑋𝑗𝜔 𝑋 𝐴 𝑗𝐵 Número complexo 𝑋 𝐴2 𝐵2 Função de Transferência 𝐻 j𝜔 𝑌 𝑗𝜔 𝑋𝑗𝜔 Ângulo 𝐻 𝑗𝜔 𝜙𝑌 𝜙𝑋 𝑋 𝐴 𝑗𝐵 Número complexo 𝜙𝑋 atan 𝐵 𝐴 Função de Transferência 𝐻 𝑗𝜔 1 1 𝑅𝐶𝑗𝜔 𝐻𝑗𝜔 12 02 12 𝑅𝐶𝜔 2 1 12 𝑅𝐶𝜔 2 𝐻 𝑗𝜔 atan 0 1 atan 𝑅𝐶𝜔 1 atan𝑅𝐶𝜔 Resposta em Frequência A saída 𝑉𝑜𝑢𝑡 se torna uma função de 𝜔 isto é depende da frequência de entrada 𝑉𝑜𝑢𝑡 1 1 𝑅𝐶𝜔 2 𝑉0 cos 𝜔𝑡 atan 𝑅𝐶𝜔 Exemplo Encontrar a Resposta em Frequência do circuito RC com 𝑅 1 𝑘Ω e 𝐶 1 𝜇𝐹 C Diagrama de Bode Para melhorar a visualização da resposta em frequência é utilizado o Diagrama de Bode 𝐻 𝑗𝜔 𝑑𝐵 20 log 𝐻 𝑗𝜔 Diagrama de Bode de Ganho Filtro PassaBaixas O sistema apresentado é um filtro passabaixas pois permite que frequências inferiores a uma determinada frequência de corte quase não sofram interferência do filtro Frequências elevadas são eliminadas do sistema A frequência de corte é definida pela frequência em que o sistema dissipa a maior potência 𝐻 𝜔 1 2 Filtro PassaBaixas 𝐻 𝜔 1 2 1 2 1 12 𝑅𝐶𝜔𝑐 2 1 2 1 1 𝑅𝐶 2𝜔𝑐2 2 1 𝑅𝐶 2𝜔𝑐2 𝑅𝐶 2𝜔𝑐2 1 𝜔𝑐 1 𝑅𝐶 Convertendo para Hz 𝜔 rad𝑠 2𝜋𝑓 Hz 𝑓𝑐 1 2𝜋𝑅𝐶 Filtro PassaBaixas Encontre a função de transferência módulo ângulo de fase e frequência de corte para o seguinte filtro passabaixas 𝑉𝑖𝑛 𝑉𝑜𝑢𝑡 𝑉𝑜𝑢𝑡 𝑉𝑖𝑛 𝑅 𝑅 𝑠𝐿 𝐻 𝜔 1 1 𝑗𝜔 𝐿 𝑅 𝐻 𝜔 1 1 𝜔2 𝐿 𝑅 2 𝐻 𝜔 atan 𝜔 𝐿 𝑅 𝜔𝑐 𝑅 𝐿 𝑓𝑐 𝑅 2𝜋𝐿 Filtro PassaAltas 𝑉𝑖𝑛 𝑉𝑜𝑢𝑡 𝑉𝑖𝑛 𝑉𝑜𝑢𝑡 Filtro PassaAlta 𝑉𝑖𝑛 𝑉𝑜𝑢𝑡 𝐻 𝑠 𝑅 𝑅 1 𝑠𝐶 𝐻 𝑠 1 1 1 𝑠𝑅𝐶 𝐻 𝜔 1 1 1 𝑗𝜔𝑅𝐶 1 1 𝑗 1 𝜔𝑅𝐶 𝐻 𝜔 1 1 1 𝜔𝑅𝐶 2 𝜔 0 𝐻 1 1 0 𝐻 𝜔 atan 1 𝜔𝑅𝐶 𝐻 𝜔 atan 1 𝜔𝑅𝐶 1 2 1 1 1 𝜔𝑐𝑅𝐶 2 𝜔𝑐 1 𝑅𝐶 Filtro PassaAlta 𝑉𝑖𝑛 𝑉𝑜𝑢𝑡 𝐻 𝑠 𝑠𝐿 𝑅 𝑠𝐿 𝐻 𝑠 1 𝑅 𝑠𝐿 1 𝐻 𝜔 1 1 𝑅 𝑗𝜔𝐿 1 1 𝑗 𝑅 𝜔𝐿 𝐻 𝜔 1 1 𝑅 𝜔𝐿 2 𝜔 0 𝐻 1 1 0 𝐻 𝜔 atan 𝑅 𝜔𝐿 𝐻 𝜔 atan 𝑅 𝜔𝐿 1 2 1 1 𝑅 𝜔𝑐𝐿 2 𝜔𝑐 𝑅 𝐿 Filtro PassaAlta Diagramas de Bode Filtro PassaFaixa PassaFaixa em Série 𝑉𝑖𝑛 𝑉𝑜𝑢𝑡 𝐻 𝑠 𝑅 𝑅 𝑠𝐿 1 𝑠𝐶 𝐻 𝜔 𝑅 𝑗𝜔𝑅𝐶 𝑗2𝜔2𝐿𝐶 1 𝑗𝜔𝐶 𝐻 𝜔 𝑗𝜔𝑅𝐶 𝑗𝜔𝑅𝐶 𝜔2𝐿𝐶 1 𝐻 𝜔 1 1 𝜔2𝐿𝐶 1 𝑗𝜔𝑅𝐶 𝐻 𝜔 1 1 𝑗 1 𝜔2𝐿𝐶 𝜔𝑅𝐶 𝐻𝜔 1 1 1 𝜔2𝐿𝐶 𝜔𝑅𝐶 2 𝐻 𝜔 atan 1 𝜔2𝐿𝐶 𝜔𝑅𝐶 Filtro PassaFaixa Frequência de Corte 1 2 1 1 1𝜔2𝐿𝐶 𝜔𝑅𝐶 2 1𝜔2𝐿𝐶 𝜔𝑅𝐶 2 1 1𝜔2𝐿𝐶 𝜔𝑅𝐶 1 𝜔2𝐿𝐶 𝜔𝑅𝐶 1 0 𝜔2𝐿𝐶 𝜔𝑅𝐶 1 0 𝜔𝐶𝐼 𝑅𝐶 𝑅𝐶2 4𝐿𝐶 2𝐿𝐶 𝜔𝐶𝑆 𝑅𝐶 𝑅𝐶2 4𝐿𝐶 2𝐿𝐶 Filtro PassaFaixa Frequência Central 𝐻𝜔𝑅 1 quando 𝑋𝐶 𝑋𝐿 𝐻𝜔𝑅 1 1 1𝜔𝑅 2 𝐿𝐶 𝜔𝑅𝑅𝐶 2 1 1 𝜔𝑅 2𝐿𝐶 0 𝜔𝑅 1 𝐿𝐶 Filtro PassaFaixa Diagrama de Bode 𝜔𝑅 𝜔𝐶𝐼 𝜔𝐶𝑆 Filtro RejeitaFaixa Filtro RejeitaFaixa em Série 𝐻𝑗𝜔 1 𝐿𝐶𝜔2 2 1 𝐿𝐶𝜔2 2 𝑅𝐶𝜔 2 atan 𝑅𝐶𝜔 1 𝐿𝐶𝜔2 𝐻𝑗𝜔 1 𝐿𝐶𝜔2 1 𝐿𝐶𝜔2 𝑗𝑅𝐶𝜔 Filtro RejeitaFaixa 𝜔𝐶𝐼 𝜔𝐶𝑆 Aplicação de Filtros Sinal com ruído 𝑉 𝑡 𝑖1 3 𝐴𝑖 sin 𝜔𝑖𝑡 𝐴1 10 V 𝜔1 2 rads 𝐴1 1 V 𝜔1 20 rads 𝐴1 05 V 𝜔1 40 rads Aplicação de Filtros Filtro PassaBaixa Frequência de Corte 30 rads 𝜔𝐶 1 𝑅𝐶 𝑅𝐶 1 30 𝑅 1Ω e 𝐶 0033 𝐹 Aplicação de Filtros Filtro PassaBaixa Frequência de Corte 10 rads 𝜔𝐶 1 𝑅𝐶 𝑅𝐶 1 10 𝑅 1Ω e 𝐶 01 𝐹 Aplicação de Filtros Filtro PassaBaixa Frequência de Corte 100 rads 𝜔𝐶 1 𝑅𝐶 𝑅𝐶 1 100 𝑅 1Ω e 𝐶 001 𝐹