Dinamica dos Gases e Mecanica dos Fluidos - Conceitos e Metodos de Analise

Dinâmica dos Gases Mecânica dos Fluidos Prof Carlos Alberto Rocha Pimentel Prof Alexandre Alves UFABC Fluido é uma substância que se deforma continuamente sob ação de um esforçotensão tangencial não importando quão diminuto seja este esforço De maneira geral as forças podem ser classificadas em duas categorias Forças de Superfície ou de contato São forças que atuam nos meios contínuos pelo contato direto Forças devido a pressão Forças devido a fricção Forças de Massa ou de corpo ou de volume São forças que atuam nos meios contínuos sem o contato físicoa distância e distribuído na massa Ou seja são as forças que se manifestam através da interação com um campo Forças gravitacionais peso Forças eletromagnéticas campo elétrico campo magnético í Prof Carlos A R Pimentel UFABC Mecânica do Contínuo 2 Métodos de Análise Podese descrever o movimento de um fluido através de dois métodos distintos Representação LagrangeanaMétodo de Lagrange Descrevese o movimento das partículas fluidas ao longo de suas trajetórias em função do tempo ou seja o observador movimentase simultaneamente com as partículas fluida Representação EulerianaMétodo de Euler Descrevese o movimento das partículas fluida à medida que as partículas passam por determinados pontos em função do tempo ou seja escolhese um ponto fixo no espaço enquanto as partículas fluidas passam por este Prof Carlos A R Pimentel UFABC 3 Sistema e Volume de Controle Sistema Um sistema consiste em uma quantidade definida e identificada da matéria Também definida como objeto de análise identificado para estudo das interaçõestroca de energia eou matéria com o meio externo A composição da matéria dentro do sistema pode ser fixa ou variável A forma ou o volume do sistema não é necessariamente constante Volume de Controle É uma região arbitrária e imaginária no espaço através da qual o fluido escoa Prof Carlos A R Pimentel UFABC Superfície de Controle Parede do Duto Escoamento Escoamento Volume de Controle A superfície do contorno geométrico do volume de controle é chamado de superfície de controle que pode ser real ou imaginário indeformável ou deformável estacionário ou em movimento conforme a conveniência para o problema em estudo 4 Grandezas Extensivas Onde a propriedade é dependente da massa do sistema Se dois sistemas são colocados juntos a propriedade extensiva do novo sistema é a soma das propriedades extensivas dos dois sistemas originais Ex massa volume energia entalpia entropia quantidade de movimento etc Intensivas Onde a propriedade é independente da massa do sistema Se colocarmos dois sistemas juntos suas propriedades intensivas não são somadas uma vez que elas são as mesmas para todo o sistema ou para partes dele Ex pressão temperatura viscosidade massa específica velocidade etc Prof Carlos A R Pimentel UFABC 5 GRANDEZA INTENSIVA GRANDEZA EXTENSIVA B CORRESPONDENTE POR UNIDADE DE MASSA Prof Carlos A R Pimentel UFABC 6 Equação Básica da Formulação de Volume de Controle Na dedução da equação básica da formulação de volume de controle vamos considerar um sistema fluido em movimento e analisar a taxa de variação de uma grandeza extensiva genérica à medida que o fluido escoa através de uma superfície de controle realizando então a passagem da descrição de sistema para o método de volume de controle Consideração Escoamento de um fluido no interior de um duto de parede impermeável Campo de velocidade de escoamento descrito em relação a um referencial de coordenadas através de uma superfície de controle estacionária O sistema considerado é a massa fluida que ocupa o volume de controle no instante de tempo de forma que o cortorno do sistema neste instante de tempo é coincidente com a superfície de controlelinha cheia O fluido está em movimento de maneira que no instante de tempo o sistema ocupa outra região do espaçolinha tracejada Prof Carlos A R Pimentel UFABC 7 A figura representa 3 regiões distintas O sistema considerado no instante de tempo ocupa as regiões 1 e 2 enquanto que o mesmo sistema no instante de tempo ocupa as regiões 2 e 3 Assim uma propriedade extensiva genérica do sistema no instante de tempo pode ser escrita como 1 2 1 No instante de tempo o sistema considerado ocupa as regiões 2 e 3 de maneira que essa propriedade extensiva genérica pode ser expressa como 2 3 2 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 8 Subtraindo a equação 2 da equação 1 e dividindo pelo intervalo de tempo obtémse 2 3 1 2 Rearranjando os termos e fazendo o limite quando tende a zero lim 0 lim 0 2 2 lim 0 3 1 A equação básica da formulação de volume de controle que fornece a passagem da descrição de sistema para o método de volume de controle é obtida através da análise dos termos da equação Matematicamente temse que lim 0 onde a derivada é a taxa de variação da grandeza extensiva genérica do Sistema Prof Carlos A R Pimentel UFABC 9 O termo lim 0 2 2 2 é taxa de variação da grandeza extensiva na região 2 Entretanto no limite quando tende a zero a região 2 tende ao volume de controle de forma que esse termo é a taxa de variação da grandeza extensiva do fluido dentro do volume de controleVC Assim considerando a relação entre uma grandeza extensiva genérica e sua correspondente grandeza intensiva temse que 2 O significado físico do último termo da equação é obtido da seguinte análise ao observar a figura temse que no limite quando tende a zero as regiões 1 e 3 tornamse coincidentes com a superfície de controleSC sendo que a região 3 passa a ser a seção da SC através da qual o fluido sai do volume de controle enquanto que a região 1 tornase a seção da SC através da qual o fluido entra no VC Portanto esse termo representa a quantidade da propriedade que atravessa a seção de saída da SC menos a quantidade da propriedade que cruza a seçao de entrada da SC durante o intervalo de tempo Prof Carlos A R Pimentel UFABC 10 Em outras palavras Esse termo corresponde ao fluxo de saída menos o fluxo de entrada da grandeza extensiva no volume de controle ou seja é o fluxo líquido da grandeza extensiva que atravessa a superfície de controle Temos então lim 0 3 1 í é í O fluxo de massa numa seção que é a massa de fluido que escoa através da seção na unidade de tempo é dado por Considerando toda a superfície de controle temse que í é Prof Carlos A R Pimentel UFABC 11 Assim temse que í é í De maneira que temos agora a equação básica da formulação de volume de controle Prof Carlos A R Pimentel UFABC 12 Taxa de variação da grandeza extensiva B genérica do sistema Taxa de variação da grandeza extensiva B genérica do fluido dentro do volume de controle F l u x o l í q u i d o d a propriedade extensiva B genérica que cruza a superfície de controle Equação Básica da Formulação de Volume de Controle Teorema de Transporte de Reynolds Prof Carlos A R Pimentel UFABC 13 Em seguida consideramos outra forma alternativa do teorema de transporte de Reynolds Muitos sistemas práticos como pás de turbina e hélice envolvem volumes de controle não fixos A equação anterior também é válido para volumes de controle movendose eou deformandose desde que a velocidade absoluta do fluido no último termo seja substituída pela velocidade relativa No estudo da aeronave em vôo onde o volume de controle neste caso movese com velocidade o qual é idêntico a velocidade de cruzeiro da aeronave relativa a um ponto fixo na terra Quando queremos determinar o fluxo dos gases de exaustão que saem da tubeira a velocidade correta a ser usada é a velocidade dos gases de exaustão em relação ao plano de saída da tubeira ou seja a velocidade relativa Prof Carlos A R Pimentel UFABC 14 Desde que todo volume de controle movese em velocidade a velocidade relativa é dada por onde é a velocidade absoluta dos gases de exaustão isto é a velocidade relativa a um ponto fixo na terra Observe que é a velocidade do fluido expressa em relação a um sistema coordenado que se move com o volume de controle Além disso esta é uma equação vetorial e velocidades em direções opostas têm sinais opostos A forma geral do teorema do transporte de Reynolds para um volume de controle fixo movendose eou deformandose é dado por Prof Carlos A R Pimentel UFABC 15 Princípio de Conservação No estudos do movimento dos fluidos aplicase as três leis físicas fundamentais 1 O princípio de conservação da massa 2 O princípio de conservação da quantidade de movimento linear 3 O princípio de conservação da energia Prof Carlos A R Pimentel UFABC 16 Equação de Conservação da Massa O princípio da conservação estipula que a massa de um sistema permanece constante 0 Temse que a grandeza extensiva é a massa e sua grandeza intensiva correspondente a unidade 1 1 Forma Integral 0 0 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 17 Taxa de variação da massa dentro do vo l um e de controle Fluxo líquido de massa que atravessa a superfície de controle Para um volume de controle fixo no espaço Para um volume de controle movendose no espaço Equação de Conservação da Quantidade de Movimento Linear Pelo principio da 2ª Lei de Newton para o movimento de um sistema em relação a um referencial inercial Temse que a grandeza extensiva é a quantidade de movimento linear e sua grandeza intensiva correspondente a velocidade Prof Carlos A R Pimentel UFABC 18 Forma Integral Força resultante que atua sobre o fluido dentro do volume de controle Taxa de variação da q u a n t i d a d e d e movimento linear dentro do volume de controle F l u x o l í q u i d o d e q u a n t i d a d e d e movimento linear que atravessa a superfície de controle í Prof Carlos A R Pimentel UFABC 19 Para um volume de controle fixo no espaço Para um volume de controle movendose no espaço Cubo de Tensões Tensor das Tensões Prof Carlos A R Pimentel UFABC 20 Cubo de Tensões Prof Carlos A R Pimentel UFABC 21 Em geral a tensão sobre uma superfície é dependente de sua orientação Este pode ser normal cisalhantetangencial ou a combinação dos dois Em notação matricial 11 12 13 21 22 23 31 32 33 0 0 0 0 0 0 11 12 13 21 22 23 31 32 33 e em notação indexada A pressão em um fluido viscoso escoando não é igual a propriedade termodinâmica chamada pressão Isotropia é a propriedade que caracteriza as substâncias que possuem as mesmas propriedades físicas independentemente d a d i re ção considerada Parte isotrópica Devido ao stress pressão Parte não isotrópica Devido ao stress viscoso Matriz Identidade Prof Carlos A R Pimentel UFABC 22 As tensões nos lados das superfícies de controle são a soma da pressão hidrostática mais as tensões viscosas que surgem devido ao gradiente de velocidade Prof Carlos A R Pimentel UFABC 23 123 1 0 Stress Viscoso Notação de Einstein Pela hipótese de Stokes No estudo da estrutura das ondas de choque e na absorção e atenuação de ondas acústicas Prof Carlos A R Pimentel UFABC 24 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 25 Tensor das Tensões Prof Carlos A R Pimentel UFABC 26 Para um fluido Newtoniano que esta escoandofluindo o tensor das tensões viscosas na direção normal tornase 2 2 2 divergente de um campo vetorial Prof Carlos A R Pimentel UFABC 27 Equação de Conservação da Energia 1ª Lei da termodinâmica Fala sobre a conservação de energia para um sistema Temse que a grandeza extensiva é a energia e sua grandeza intensiva correspondente é Sistema A taxa de variação da energia total do sistema é igual ao fluxo líquido de calor que entra no sistema menos a taxa líquida de trabalho realizado pelo sistema sobre a vizinhança â Prof Carlos A R Pimentel UFABC 28 Forma Integral Fluxo líquido de calor que entra no volume de controle Taxa líquida de trabalho realizado pelo volume de c o n t r o l e s o b r e a vizinhança Taxa de variação da energia total dentro do volume de controle Fluxo líquido de energia total que atravessa a superfície de controle Prof Carlos A R Pimentel UFABC 29 Para um volume de controle fixo no espaço Para um volume de controle movendose no espaço Energia Total 2 2 Tipos de Trabalho ã É o trabalho realizado pelo fluido dentro do volume de controle e transferindo para a vizinhançaou da vizinhança para o volume de controle através de um eixo que atravessa a superfície de controle ã É o trabalho realizado pelo fluido ao escoar através da superfície de controle ou seja é o trabalho realizado devido as forças de pressão É o trabalho realizado pelo fluido para vencer as tensões cisalhantes no volume de controle de forma que este termo representa a energia mecânica que é dissipada pelos efeitos de atrito viscoso 2 2 é Prof Carlos A R Pimentel UFABC 30 Portanto Tipos de Fluxo de Calor Aquecimento volumétricoav do fluido dentro do volume de controle devido a absorção de radiação originada de fora do volume de controle ou emissão local de radiação pelo fluido se a temperatura dentro do volume de controle for bastante alta Transferência de calor através da superfície de controle devido ao gradiente de temperaturacondução térmica Prof Carlos A R Pimentel UFABC 31 Temos então OBS Convecção é a transferência de energia que combina os efeitos de condução de calor e movimento de fluido Prof Carlos A R Pimentel UFABC 32 Variação da velocidade do ar Variação da temperatura do ar fluxo de ar Bloco Quente Equações de NavierStokes Equação de Conservação da Massa 0 0 Equação de Conservação da Quantidade de Movimento Linear 2 2 2 Forma Conservativa ou forma do divergente Prof Carlos A R Pimentel UFABC 33 Equação de Conservação da Energia Prof Carlos A R Pimentel UFABC 34 Equação de Conservação da Massa 0 Equação de Conservação da Quantidade de Movimento Linear Equação de Conservação da Energia Forma NãoConservativa ou forma substantiva ou material Prof Carlos A R Pimentel UFABC 35 Equações de NavierStokes Equações Governantes na Forma Conservada onde U E F G e H são vetores dados por Prof Carlos A R Pimentel UFABC 36 2 2 2 0 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 37 onde 2 2 A transferência de calor por condução se caracteriza pela transferência de energia térmica causada pela existência de um gradiente de temperatura O sinal negativo na equação de Fourier para a condução de calor é devido ao fato do fluxo de calor por condução ser no sentido contrário ao gradiente de temperatura 2 2 é Prof Carlos A R Pimentel UFABC 38 Equações de Euler Equações Governantes na Forma Conservada onde U E F G e H são vetores dados por Prof Carlos A R Pimentel UFABC 39 2 2 2 0 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 40 FIM