Dinamica dos Gases - Equacao de Euler e Linhas de Corrente

Dinâmica dos Gases Equação de Euler Prof Carlos Alberto Rocha Pimentel Prof Alexandre Alves UFABC Linha de CorrenteStreamline É definida como as linhas que são tangentes em qualquer lugar com o vetor velocidade em qualquer instante de tempo dado É um conceito estritamente Euleriano TrajetóriaPathline É definida como o traçado sequido por uma partícula fluida É um conceito Lagrangeano Linha de Corrente e Trajetória posição da partícula no tempo Para um escoamento permanente as linhas de corrente e trajetória são idênticas Prof Carlos A R Pimentel UFABC 2 Por definição é uma diferencial de comprimento ao longo de uma linha de corrente 0 Linha de Corrente Prof Carlos A R Pimentel UFABC 3 0 0 0 Temos que 0 0 0 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 4 Logo 1 Se as componentes de velocidade são conhecidas como função do tempo então a equação 1 pode ser integrada para encontrar a equação da linha de corrente Todas as linhas de corrente passam por alguma curva fechada C em algum momento formando um tubo que é chamado de tubo de corrente e nenhuma massa pode cruzar o tubo de corrente porque o vetor velocidade é tangente a esta superfície Prof Carlos A R Pimentel UFABC 5 Trajetória e linha de corrente são i dênt i co s em um es co am e n t o permanente porêm não em um escoamento permanente Linha de Corrente Superfície do Tubo de Corrente A equação diferencial para uma linha de corrente para um escoamento permanente e 2 é dado por Integrando para o campo de escoamento teremos a equação algébrica para a linha de corrente Função de Corrente e são funções de e Constante de integração com diferentes valores para d i f e r e n t e s l i n h a s d e corrente Prof Carlos A R Pimentel UFABC 6 Logo simbolizando a função por psi teremos 1 2 3 que é a função chamada de função de corrente Prof Carlos A R Pimentel UFABC 7 Interpretação Física O fluxo de massa entre os pontos e entre as duas linhas de corrente é dado por onde é a largura da passagem do escoamento Sendo a diferença entre as linhas de corrente igual ao fluxo de massa por unidade de profundidade perpendicular a figura Unidade Prof Carlos A R Pimentel UFABC 8 Da equação de conservação da massa 0 0 Sendo o escoamento permanente e 2 temos 0 Definimos a função de corrente como e Desde que aplicando a regra da cadeia teremos Comparando e temos Portanto é o fluxo de massa entre duas linhas de corrente Prof Carlos A R Pimentel UFABC 9 Da linha de corrente para um escoamento permanente e 2 temos 0 Sendo que Logo 0 ao longo de uma linha de corrente Integrando Portanto tem um valor constante ao longo de uma linha de corrente Prof Carlos A R Pimentel UFABC 10 Equação de Euler Dedução Considerando a componente na direção x da equação da conservação da quantidade de movimento linear Fundamentos de Escoamento Incompressível e NãoViscoso Hipóteses Escoamento permanente Escoamento não viscoso Sem forças de massa Expansão do 1º termo Expansão do 2º termo Gradiente de um Campo Escalar Prof Carlos A R Pimentel UFABC 11 Multiplicandose cada termo por Considerando o escoamento ao longo de uma linha de corrente no espaço tridimensional A equação de uma linha de corrente é dado por 0 0 0 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 12 Substituindo 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 Para as componentes de direção e a dedução é semelhante Prof Carlos A R Pimentel UFABC 13 Para o caso de escoamento incompressível teremos 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 14 Somando as equações 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 ou Esta equação relaciona a variação da velocidade ao longo de uma linha de corrente com a variação da pressão ao longo da mesma linha de corrente Equação de Euler Prof Carlos A R Pimentel UFABC 15 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 Esta equação relaciona 1 e 1 no ponto 1 em uma linha de corrente com 2 e 2 em outro ponto 2 na mesma linha de corrente Portanto 1 2 2 O significado físico da equação de Bernoulli diz que quando a velocidade cresce a pressão decresce e quando a velocidade decresce a pressão cresce Equação de Bernoulli Equação de Bernoulli relaciona a pressão com a velocidade ao longo de uma linha de corrente em um escoamento incompressível e não viscoso Prof Carlos A R Pimentel UFABC 16 Pressão Para um escoamento incompressível temos 1 2 2 onde é a pressão estáticaforça de pressão e 1 2 2 é a pressão dinâmicaforça de inércia Se o fluido é levado ao repouso então a pressão no estado de repouso 0 é chamado de pressão de estagnação ou total0 Portanto 1 2 2 0 A equação diz que a pressão dinâmica 1 2 2 é igual ao crescimento na pressão estática que ocorre quando um fluido incompressível e nãoviscoso é levado ao repolso Prof Carlos A R Pimentel UFABC 17 Para um escoamento compressível temos 0 0 Para poder integrar entre os estados inicial e finalde estagnação devemos antes especificar a relação existente entre a pressão e a massa específica ao longo do caminho do processo Em um escoamento isoentrópico de um gás perfeito a pressão e a massa específica são relacionados por Equação de Euler Prof Carlos A R Pimentel UFABC 18 Escoamento Incompressível em um Duto Hipóteses Escoamento permanente 1D Escoamento não viscoso Sem forças de massa Escoamento quasiunidimensional As propriedades são uniformes através de qualquer secção transversal As propriedades variam somente na direção Prof Carlos A R Pimentel UFABC 19 Aplicando sobre o volume de controle Equação de Conservação da Massa 0 1 2 0 111 222 0 111 222 11 22 A velocidade do escoamento é tangente na parede Portanto Prof Carlos A R Pimentel UFABC 20 Da equação podese dizer que se a área decresce ao longo do escoamento a velocidade cresceduto convergente e se a área cresce a velocidade decresceduto divergente Prof Carlos A R Pimentel UFABC 21 Aplicando a equação da Bernoulli e a equação de conservação da massa teremos 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 3 1 2 3 2 Túnel de Vento de Baixa Velocidade Venturi Prof Carlos A R Pimentel UFABC 22 A velocidade na secção de teste 11 22 A velocidade de saída do difusor 22 33 se Se Prof Carlos A R Pimentel UFABC 23 Velocidade 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 21 1 2 22 2 2 1 2 22 21 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 24 Velocidade 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 25 Tunel de Vento de Circuito Aberto Prof Carlos A R Pimentel UFABC 26 Tunel de Vento de Circuito Fechado Prof Carlos A R Pimentel UFABC 27 FIM