Dinamica dos Gases - Escoamento de Prandtl-Meyer UFABC

Dinâmica dos Gases Escoamento de PrandtlMeyer Prof Carlos Alberto Rocha Pimentel UFABC CunhaPlaca SemiVértice Prof Carlos A R Pimentel UFABC 2 Cunha de Ar Estagnado Prof Carlos A R Pimentel UFABC 3 CunhaPlaca Devido ao disparo a ponta se curvou gerando ondas de choque fraca Prof Carlos A R Pimentel UFABC 4 Leque de Expansão Cone Convexo Rampa com Declive Onda de Mach Prof Carlos A R Pimentel UFABC 5 Leque de Compressão O Escoamento é isoentrópico através da compressão ou expansão PrandtlMeyer Cone Côncavo Rampa com Aclive Prof Carlos A R Pimentel UFABC 6 Ondas de expansão e de compressão são fenômenos que podem aparecer em escoamentos supersônicos Quando um escoamento supersônico é defletido através de um canto convexo o escoamento expandese resultando em um crescimento da velocidade e uma queda na pressão A variação nas propriedades não podem ocorrer abruptamente através de uma onda de expansão mas sim gradativamente através de uma série de ondas que emana da superfície A análise de PrandtlMeyer1908 para um escoamento supersônico de um fluido compressível que escoa através de um canto convexo é baseado nas seguintes hipóteses e observações O escoamento é 2D permanente e isentrópico através do campo de escoamento Antes do escoamento do fluido começar a defletir devido ao canto todas as linhas de corrente são retas e paralelas a superfície Todas as propriedades acima no campo de escoamento onde o fluido começa a defletir tem valores constantes Todas as propriedades no campo de escoamento são constantes depois que o defletimento do fluido é terminada de maneira que as linhas de corrente para o fluido defletido são paralelas a superfície Todas as propriedades do escoamento ao longo das ondas de Mach que emana do canto são constantes Portanto cada onda de Mach é uma linha reta Prof Carlos A R Pimentel UFABC 7 A onda de Mach é o caso limite para um choque oblíqua isto é uma onda de choque infinitesimalmente fraca Onda de Mach para Onda de Mach para Prof Carlos A R Pimentel UFABC 8 Equações para o Escoamento de PlandtlMeyer O processo de deflexão de escoamento é analizado de forma similar aquela empregada na análise de onda de choque oblíqua Onda de Mach sin1 1 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 9 Equação de Conservação da Massa 0 0 0 0 1 Equação de Conservação da Quantidade de Movimento Linear Para a componente normal 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Negligenciável Negligenciável Negligenciável Negligenciável Prof Carlos A R Pimentel UFABC 10 Substituindo a equação 1 na 2 temos 2 2 2 2 2 2 2 Considerando no caso limite de uma onda muito fraca Ou seja de uma onda de Mach 2 2 Portanto a componente normal da velocidade é igual a velocidade do som Não existe gradiente de pressão ao longo da onda de Mach de maneira que a componente tangencial da velocidade tem o mesmo valor em ambos os lados da onda cos Prof Carlos A R Pimentel UFABC 11 Igualando cos cos cos cos cos sin sin cos cos sin cos cos sin cos sin sin cos cos sin cot 3 é muito pequeno Negligenciável Prof Carlos A R Pimentel UFABC 12 Sabese que Portanto podemos fazer Substituindo na equação 3 2 1 4 Sendo o fluido um gás perfeito Deferenciando 2 2 5 sin Prof Carlos A R Pimentel UFABC 13 Sendo o escoamento adiabático ℎ0 é constante através de uma onda de expansão Portanto Sendo que 0 1 1 2 2 Diferenciando 0 1 1 2 2 1 0 1 1 1 2 2 6 Substituindo na equação 5 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 7 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 14 Substituindo na equação 4 2 1 1 1 2 2 8 Concluise que uma pequena variação na direção do escoamento produz um distúrbio isentrópico de maneira que 0 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 15 Para analiticamente determinar a mudança produzida pelo escoamento devemos observar que a equação 8 deve ser aplicada localmente em todos os pontos dentro do leque de expansão Para um dado fluido e integrando para o campo de escoamento da onda de expansão teremos 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1tan1 1 1 2 1 tan1 2 1 2 1 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 16 Para uma melhor análise é coveniente definir um estado de referência Se o número de Mach inicial é igual a unidade o ângulo de deflexão será igual a zero Ou seja Portanto 1 1tan1 1 1 2 1 tan1 2 1 9 O ângulo de deflexão dado pela equação 9 é conhecido como o ângulo de Prandlt Meyer que é o ângulo através do qual um escoamento sônico 1 inicial deve ser defletido para alcançar um escoamento supersônico 1 0 quando 1 0 Onda de Mach Onda de Mach Não tem significado para Prof Carlos A R Pimentel UFABC 17 O ângulo de deflexão que expande um fluido escoando de um número de Mach supersônico inicial 1 para um número de Mach final 2 onde 2 1 é dado por 2 1 Uma explicação do por que de 2 1 é ilustrado acima É assumido inicialmente que um escoamento sônico é expandido para um número de Mach 1 através de um ângulo de deflexão 1região A Agora imagine que um escoamento fictício é expandido de 0 1 para 2 através de um ângulo de deflexão 2região B A região C representa o resultado do processo de expansão na região A subtraída da região B O resultado é exatamente o processo de expansão de 1 para 2 através de um ângulo de deflexão 2 1 Região A Região B Região C Prof Carlos A R Pimentel UFABC 18 Aplicando a equação 9 temos 2 1 1 1tan1 1 1 2 2 1 tan1 2 2 1 1 1tan1 1 1 1 2 1 tan1 1 2 1 2 1 1 1tan1 1 1 2 2 1 tan1 2 2 1 1 1tan1 1 1 1 2 1 tan1 1 2 1 O resultado desenvolvido acima é aplicado para um escoamento defletido no sentido dos ponteiros do relógio ou seja no sentido horáriodireção ângular negativa Mas em um escoamento real o fluido também pode defletir em um sentido anti horáriodireção ângular positiva Ou seja Prof Carlos A R Pimentel UFABC 19 Portanto 1 1tan1 1 1 2 1 tan1 2 1 10 Onda de Mach Onda de Mach Prof Carlos A R Pimentel UFABC 20 Portanto the ângulo de deflexão do escoamento esta relacionada com os ângulos de Plandtl Meyer inicial1 e final2 Concluise que tanto para a defleção do escoamento no sentido horáriodireção ângular negativa como para anti horáriodireção ângular positiva Temos 1 1tan1 1 1 2 1 tan1 2 1 11 2 2 1 1 12 OBS 1 sin1 1 1 2 sin1 1 2 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 21 Máximo Ângulo de PrandtlMeyer O máximo valor do ângulo de PlandtlMeyer para um dado escoamento é obtido quando o numero de Mach é infinito Fazendo na equação 11 temos 2 1 1 2 2 1 1 1 14 13045 Vácuo Fonteira da Expansão Prof Carlos A R Pimentel UFABC 22 1 1tan1 1 1 2 1 tan1 2 1 A teoria portanto indica que um escoamento supersônico pode ser acelerado e girado através de grandes ângulos ao redor de um canto convexo afiado sem ocorrer o descolamento do escoamento que ocorreria em um escoamento subsônico A análise de PrandtlMeyer assume que o fluido é perfeito 0 O máximo ângulo de giro de 13045 para um 14 representa o maior giro que um escoamento inicialmente em 1 pode fazer Se o escoamento é inicialmente supersônico o máximo giro pode ser obtido pela determinação do valor da função de PrandtlMeyer em um dado número de Mach e então subtrair este valor do Prof Carlos A R Pimentel UFABC 23 FIM