Onda de Choque Normal - Dinamica dos Gases UFABC

Dinâmica dos Gases Onda de Choque Normal Prof Carlos Alberto Rocha Pimentel Prof Alexandre Alves UFABC O que é uma Onda de Choque Ondas de choque são descontinuidades irreversíveis os quais podem ocorrer em qualquer campo de escoamento supersônico seja ele externo ou interno Características A onda de choque é uma região extremamente fina onde há gradientes de velocidade e temperatura extremente altos Portanto atrito e condução térmica possuem um papel muito importante na estrutura do escoamento dentro da onda A espessura de uma onda de choque é da ordem do livre caminho médio entre as moléculasLCM O crescimento da temperatura através de uma onda de choque é porque a energia cinética é convertida em energia interna Prof Carlos A R Pimentel UFABC 2 Idealização de uma Onda de Choque Prof Carlos A R Pimentel UFABC 3 Tipos de Ondas de Choque Onda de Choque Normal Onda de Choque Oblíqua Prof Carlos A R Pimentel UFABC 4 Onda de Choque Normal Escoamento Interno Prof Carlos A R Pimentel UFABC 5 Escoamento Externo Prof Carlos A R Pimentel UFABC 6 Supersonic Flight Sonic Booms AVweb Video Prof Carlos A R Pimentel UFABC 7 Onda de Choque Normal x y Hipóteses para o escoamento a montante e a jusante Escoamento permanente 1D Escoamento adiabático Escoamento não viscoso Sem forças de massa Sem trabalho de eixo Sem energia potencial a montante a jusante Prof Carlos A R Pimentel UFABC 8 Aplicando as equações de conservação Equação de Conservação da Massa 0 1 1 1 222 0 11 22 1 Equação de Conservação da Quantidade de Movimento Linear 11 1 1 2222 11 22 1121 2222 11 22 11 1121 22 2222 1 112 2 222 2 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 9 Equação de Conservação da Energia 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 222 111 222 1 1 2 2 111 2 2 2 2 222 111 222 111 1 1 2 2 111 222 2 2 2 2 222 11 1 1 2 2 11 22 2 2 2 2 22 1 1 1 12 2 2 2 2 22 2 ℎ1 12 2 ℎ2 22 2 3 é Equação Prof Carlos A R Pimentel UFABC 10 Equação de Conservação da Massa Equação de Conservação da Quantidade de Movimento Linear Equação de Conservação da Energia Para fecha o sistema de equações para um gás caloricamente perfeito Entalpia Equação de Estado Incógnitas Prof Carlos A R Pimentel UFABC 11 Da equação de Conservação da Energia ℎ1 12 2 ℎ2 22 2 Se 1 0 e 2 0 condições de estagnação ou total temos ℎ01 ℎ02 Sendo e ℎ temos 1 12 2 2 22 2 1 12 2 2 22 2 0 01 02 A entalpia de estagnação ou total do escoamento é constante pois não há adição ou subtração de energia A temperatura de estagnação ou total do escoamento é constante Prof Carlos A R Pimentel UFABC 12 Da equação de Conservação da Massa Sabendo que 01 1 1 1 2 1 2 02 2 1 1 2 2 2 Como 01 02 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 5 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 13 11 22 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 11 1 22 2 4 Da equação de Conservação da Quantidade de Movimento Linear Das equações 4 5 e 6 observase que existe 7 variáveis envolvidas nestas equações 1 1 1 2 2 2 Se o gás é conhecido é conhecido e um dado estado a montante do choque fixa 1 1 1 Assim as equações 4 5 e 6 são suficientes para calcular as variáveis desconhecidas depois do choque 2 2 2 Obtendo as equações que calcula 2 2 2 em função de 1 Da equação 4 11 22 1 2 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 14 1 112 2 222 1 1 1 1 21 2 2 2 2 22 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 6 Substituindo as equações 5 e 6 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 A solução trivial é 1 2 que representa o escoamento isoentrópico em um duto de área constante onde não existência da onda de choque ou mudança nas propriedades Para a solução não trivial 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 21 2 1 1 2 2 1 1 2 2 21 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 7 Plotando está equação para 14 temos Prof Carlos A R Pimentel UFABC 15 Assíntota Quando Prof Carlos A R Pimentel UFABC 16 A variação da entropia através da onda de choque normal é dado por 2 1 ln 2 1 ln 2 1 2 1 ln 2 1 1 ln 2 1 2 1 ln 2 1 ln 2 1 1 2 1 ln 2 1 ln 2 1 1 2 1 ln 2 1 2 1 1 OBS 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 02 01 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 01 02 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 02 01 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 02 01 1 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 17 2 1 1 2 1 01 02 02 01 1 2 1 2 1 1 02 01 02 01 1 2 1 2 1 1 1 02 01 1 2 1 2 1 1 02 01 1 Substituindo 2 1 ln 02 01 1 2 1 1 ln 02 01 2 1 ln 02 01 ln 02 01 2 1 02 01 2 1 02 01 Dá segunda Lei da termodinâmica 2 1 para que 02 01 para uma onda de choque normal fixa Prof Carlos A R Pimentel UFABC 18 2 1 ln 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 21 2 1 1 1 1 1 2 1 ln 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 21 2 1 1 1 1 1 2 1 ln 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 ln 21 2 1 1 1 1 1 2 1 1ln 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 ln 21 2 1 1 1 2 1 1 ln 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 ln 21 2 1 1 1 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 19 2 1 1 ln 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 ln 21 2 1 1 1 OBS 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 Substituindo 8 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 20 Uma outra forma da equação 2 1 ln 2 1 ln 2 1 2 1 1ln 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 ln 1 2 1 1 2 1 2 1 1ln 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 ln 1 2 1 1 2 1 Substituindo Prof Carlos A R Pimentel UFABC 21 Onda de Compressão A densidade aumenta Onda de Expansão A densidade diminui Não viola a segunda lei da termodinâmica Onda de expansão viola a segunda lei da termodinâmica e portanto é impossível Prof Carlos A R Pimentel UFABC 22 Esta curva representa um decréscimo da entropia Portanto ondas de choque não pode se desenvolver em escoamento subsônico Da equação 5 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 OBS 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 21 2 1 2 21 2 1 2 1 1 21 2 21 2 1 41 2 2 1 2 1 21 2 21 2 1 2 21 2 1 21 2 21 2 1 2 21 2 1 2 2 1 1 2 21 2 1 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 23 Retornando 2 1 2 1 1 2 1 21 2 21 2 1 2 1 2 1 1 2 21 2 1 1 21 2 21 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 OBS 21 2 1 1 21 2 1 1 1 21 2 1 1 1 21 2 1 2 1 1 21 2 1 2 1 1 1 21 2 1 2 1 1 Logo 9 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 24 Como 2 1 2 1 10 Da equação 6 2 1 1 1 2 1 2 2 OBS 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 21 2 1 21 2 1 2 1 1 2 21 2 1 2 1 1 2 1 2 21 2 1 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 25 2 2 1 2 1 21 2 1 Retornando 2 1 1 1 2 2 1 2 1 21 2 1 2 1 1 1 2 21 2 1 2 1 2 1 1 1 2 21 2 1 1 1 2 1 1 1 2 21 2 1 1 1 2 1 21 2 1 1 21 2 1 1 1 21 2 1 1 1 21 2 1 2 1 1 21 2 1 2 1 1 1 21 2 1 2 1 1 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 26 Logo 11 Da equação 1 11 22 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 27 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 OBS 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 21 2 1 2 2 1 2 1 1 2 21 2 1 41 2 2 1 2 1 1 21 2 21 2 1 41 2 1 21 2 21 2 1 4 1 2 1 2 21 2 1 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 28 4 2 2 1 1 2 21 2 1 2 2 1 1 2 21 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 21 2 1 2 1 2 1 1 2 21 2 1 21 2 1 2 1 1 2 21 2 1 21 2 1 2 1 1 2 21 2 1 21 2 1 1 1 2 21 2 1 2 1 1 2 1 21 2 1 2 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 21 2 1 1 1 2 1 21 2 1 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 29 Retornando 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 21 2 21 2 1 1 1 2 1 21 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 21 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 Logo 12 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 30 Tubo de Pitot O escoamento livre é l e v a d o a o r e p o u s o isentropicamente Prof Carlos A R Pimentel UFABC 31 Da equação 01 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 01 1 1 1 2 1 2 01 1 1 1 1 2 2 1 01 1 1 1 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 32 Tubo de Pitot A pressão de estagnação medida no p o n t o n ã o é a p r e s s ã o d e estagnação do escoamento livre É a pressão de estagnação atrás da onda de choque normal O escoamento livre é desacelerado não isentropicamente até a velocidade subsônica e depois isentropicamente comprimido para em Prof Carlos A R Pimentel UFABC 33 Da equação 02 1 02 2 2 1 02 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 02 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 02 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 34 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 21 2 1 41 2 2 1 2 1 1 21 2 41 2 2 1 41 2 1 21 2 41 2 2 1 41 2 2 2 1 1 2 41 2 2 1 4 2 2 1 1 2 41 2 2 1 2 2 1 1 2 41 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 21 2 2 1 Logo Prof Carlos A R Pimentel UFABC 35 Equação de Rayleigh Cálculo da razão 02 01 teremos 02 2 01 1 02 01 1 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 02 01 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 01 1 1 1 2 1 2 1 02 2 1 1 2 2 2 1 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 36 Sendo 2 1 e 2 2 02 01 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 OBS 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 21 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 11 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 7 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 37 1 2 1 1 2 1 1 21 2 2 1 21 2 1 1 Retornando 02 01 21 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 21 2 1 1 1 1 2 1 2 1 21 2 1 1 1 1 2 1 1 21 2 2 21 2 1 1 1 1 2 1 2 1 OBS 1 2 1 1 21 2 2 21 2 1 41 2 2 1 2 1 1 21 2 2 21 2 1 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 38 41 2 2 2 1 1 2 2 21 2 1 41 2 21 2 21 2 1 2 2 21 2 1 21 2 21 2 1 2 2 21 2 1 1 21 2 2 21 2 1 1 1 1 2 2 21 2 1 Retornando 02 01 21 2 1 1 1 1 2 1 2 21 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 39 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 21 2 1 1 1 1 21 2 1 1 1 1 Logo OBS Também é possível obter esta equação através de uma serie de razões de pressão formado da razão de pressão estagnaçãoestática no lado a jusante do choque a razão de pressão através do choque e a razão de pressão estáticaestagnação na lado a montante de choque Portanto 02 01 02 2 2 1 1 01 Para um processo adiabático a pressão de estagnação representa a medida da energia disponível do escoamento em um dado estado Um decréscimo na pressão de estagnação ou um crescimento na entrópia indica uma dissipação de energia ou uma perda de energia disponível Prof Carlos A R Pimentel UFABC 40 Forma Limite das Relações para Ondas de Choque Normal O desenvolvimento de equações limitantes para ondas de choque normal estacionária está relacionadas com as condições a mantante da onda que produz uma onda de choque forte ou um choque fraco A intensidade de uma onda de choque normal é definida como a razão da diferença de pressão através do choque dividida pela pressão a montante Dá equação 11 temos 2 1 1 2 1 1 2 1 Para o choque ser forte o lado esquerdo teve ser grande e portanto o número de Mach a mantante 1 deve ser grande Para o choque fraco a intensidade é próximo de zero o que leva o numero de Mach 1 próximo da unidade Choque Normal Forte Examinando as equações para o choque normal é possível determinar a forma limite para grandes valores de número de Mach a Montante Temos então 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 41 2 2 1 1 2 1 2 1 1 21 2 Fazendo 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 Para 14 2 não pode cair abaixo de 037796 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 42 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 43 Onda de Choque Normal Prof Carlos A R Pimentel UFABC 44 TABELA Onda de Choque Normal Prof Carlos A R Pimentel UFABC 45 TABELA Onda de Choque Normal Prof Carlos A R Pimentel UFABC 46 TABELA Prof Carlos A R Pimentel UFABC 47 FIM