Dinamica dos Gases - Gás Real, Gás Perfeito e Leis dos Gases

Dinâmica dos Gases Introdução Prof Carlos Alberto Rocha Pimentel Prof Alexandre Alves UFABC Gás Real e Gás Perfeito Gás Real É um gás onde as forças intermoleculares são importantes Gás Perfeito É um gás onde as forças intermoleculares são negligenciadas Leis dos Gases Lei de Boyle O volume de uma determinada massa de um gás em uma temperature constante é inversamente proporcional a sua pressão 1 Lei de Charles Se a pressão é mantida constante o volume de uma determinada massa de um gás crescerá se a temperature crescer Lei de Avogrado O volume de um gás a uma certa temperature e pressão é diretamente proporcional à quantidade do gás volumes iguais de gases nas mesmas condições de temperatura e pressão tem o mesmo número de moléculas onde é a constante de proporcionalidade Prof Carlos A R Pimentel UFABC 2 Combinando as três leis obtemos onde k é a constante universal dos gases ℛ Portanto ℛ Equação de estado para um gás perfeito Prof Carlos A R Pimentel UFABC 3 Equação de Estado Para um Gás Perfeito Pressão do Sistema Temperatura do Sistema Volume do Sistema Massa Total Número de Mols Total do Sistema Sistema Termodinâmico Prof Carlos A R Pimentel UFABC 4 As propriedades estão relacionadas através da equação de estado A equação que relaciona estas quantidades é 1 sendo a constante especifica do gás cuja a unidade é Dividindo a equação 1 pela massa total temos 2 Dividindo a equação 1 pelo volume temos 3 As vezes é conveniente descrever as propriedades de um gás ou uma mistura de gases em uma base molar A massa molar é determinada por 4 Volume Específico Massa Específica Prof Carlos A R Pimentel UFABC 5 Dividindo a equação 1 pela massa molar temos sendo ℛ 5 onde ℛ é a constante universal dos gases cuja unidade é Portanto ℛ 6 Dividindo a equação 6 pelo número de mols total temos ℛ ℛ 7 Dividindo a equação 6 pelo volume temos ℛ ℛ 8 Número de Mols Total Volume Molar Prof Carlos A R Pimentel UFABC 6 Concentração Molar Base Mássica Base Molar Prof Carlos A R Pimentel UFABC 7 Fluido de Trabalho Ar Atmosférico O ar atmosférico é composto de 79 de nitrogênio2 e 21 de oxigênio2 em volume 22 22 079 280134 021 319988 28850334 fração de mols da espécie química peso molecular da espécie química peso molecular da mistura Prof Carlos A R Pimentel UFABC 8 em massa Composição Química do Ar Atmosférico Seco 28850334 100 021 319988 2 2 2329175 28850334 100 079 280134 2 2 7670825 Em Volume Em Massa Prof Carlos A R Pimentel UFABC 9 Constante Específica do Ar Atmosférico ℛ 831451 28850334 28819458 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 10 Energia Interna e Entalpia Para uma molécula çã çã çã ô Para um átomo çã ô A energia de uma dada molécula é a soma de suas energias de translação rotação vibração e eletrônica Portanto a soma da energia de todas as moléculas em um determinado volume é definida como a energia interna do gás á Sistema Termodinâmico Prof Carlos A R Pimentel UFABC 11 Em geral a energia interna de uma substância pode ser expressa como Diferenciando O calor específico a volume constante é definido como então Mas para qualquer substância que siga a equação de estado temos 0 Portanto Prof Carlos A R Pimentel UFABC 12 então Logo A entalpia de uma substância pode ser expressa como ℎ ℎ Diferenciando ℎ ℎ ℎ O calor específico a pressão constante é definido como ℎ então ℎ ℎ Prof Carlos A R Pimentel UFABC 13 Mas para qualquer substância que siga a equação de estado temos ℎ 0 Portanto ℎ ℎ então ℎ Logo ℎ ℎ Prof Carlos A R Pimentel UFABC 14 A quantidade que relaciona o volume pressão e a energia interna de um sistema é a entalpia ou seja ℎ Para um gás perfeito ℎ ℎ são funções que dependem unicamente da temperatura Volume Específico Prof Carlos A R Pimentel UFABC 15 Classificação dos Gases Gás Caloricamente Perfeito É o gás onde os calores específicos e são constantes ℎ ℎ Gás Termicamente Perfeito É o gás onde os calores específicos e são variáveis com a temperatura OBS A variação dos valores específicos com a temperatura é devido a excitação da energia vibracional dentro da molécula do gás e a energia eletrônica associada com o movimento dos elétrons nos átomos Ou seja a energia cinética associda ao movimento translacional em torno de sua orbina sobre seu núcleo e sua energia potencial devido a sua localização em relação ao núcleo Para o Ar 1 2 ℎ Prof Carlos A R Pimentel UFABC 16 Vamos considerar o ar como um gás caloricamente perfeito Portanto ℎ ℎ A energia e a entalpiaℎ são variáveis do estado termodinâmico Portanto estas variáveis são independente do caminho e dependem somente do estado Para um gás perfeito ℎ ℎ Diferenciando ℎ ℎ 1 1 1 1 Volume Específico Prof Carlos A R Pimentel UFABC 17 1 1 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 18 Primeira Lei da Termodinâmica Fala sobre a conservação da energia para um sistema Existem várias maneiras pelo o qual o calor e trabalho podem ser adicionado ou retirado do sistema A taxa de variação da energia total do sistema é igual ao fluxo líquido de calor que entra no sistema menos a taxa líquida de trabalho realizado pelo sistema sobre a vizinhança Sistema Termodinâmico OBS A termodinâmica estuda as relações entre as propriedades de um sistema e as trocas de calor e trabalho com a vizinhaça Sistema Termodinâmico Prof Carlos A R Pimentel UFABC 19 Processos importantes para o estudo 1 Processo Adiabático Não há calor saindo ou entrando no sistema 2 Processo Reversível Não há processos dissipativos 3 Processo Isoentrópico É um processo que é adiabático e reversível ao mesmo tempo Efeitos Viscosos Difusão de Massa e etc são negligenciadas Prof Carlos A R Pimentel UFABC 20 Segunda Lei da Termodinâmica Diz a direção que a naturezaprocesso deve tomar e verifica se um processo é possivel ou não de ocorrer Definição de Entropia Define a troca de entropia em termos de uma adição de calor em um processo reversível A entropia é uma variável de estado e pode ser usada em conjunto com qualquer processo reversível ou irreversível Os fenômenos dissipativos sempre fazem crescer a entropia í 0 Da desiqualdade de Clausius processo reversível ou irreversível temos que 0 Como consequência estes resultados podem ser estendidos a Prof Carlos A R Pimentel UFABC 21 No caso de o sistema ser posto em contacto com um número infinito de fontes de calor com cada uma das quais o sistema troca um calor infinitesimal A igualdade na expressão anterior só se verifica se os processos que constituem o ciclo forem todos reversíveis Como consequência estes resultados podem ser estendidos a Para um processo adiabático 0 Portanto 0 í 0 0 í Prof Carlos A R Pimentel UFABC 22 Cálculo da Entropia Uma relação útil entre as propriedades pode ser obtida para uma consideração conjunta da 1º e 2º Leis da termodinâmica 1º í 2º OBS Trabalho de Fronteira se Movendo Sistema Fechado Gás A mudança do volume é positiva d u r a n t e u m p r o c e s s o d e expansãovolume cresce e negativa d u r a n t e u m p r o c e s s o d e compressãovolume decresce é a pressão absoluta Prof Carlos A R Pimentel UFABC 23 Esta equação é uma relação entre propriedades e é válida para todos os processos entre estados de equilíbrio Uma outra forma da equação pode ser obtida fazendo ℎ ℎ Diferenciando ℎ ℎ então ℎ ℎ Para um gás perfeito a variação entropia pode ser calculada facilmente a partir das equações de Prof Carlos A R Pimentel UFABC 24 Para um gás caloricamente perfeito passando por um processo termodinâmico com estados inicial e final teremos ℎ Prof Carlos A R Pimentel UFABC 25 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 ln 2 1 ln 2 1 2 1 ln 2 1 ln 2 1 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 26 Relação para um processo isoentrópico de um gás perfeito ln 2 1 ln 2 1 0 ln 2 1 ln 2 1 0 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 27 Como Portanto 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 28 Compressibilidade Quando aplicase pressão sobre um fluido ele sofre uma redução volumétrica e quando retira se a pressão aplicada ele se expande Portanto a compressibilidade de um fluido está relacionada à redução volumétrica decorrente para uma dada variação de pressão Por definição Prof Carlos A R Pimentel UFABC 29 Se a temperatura é mantida constante durante um processo então é definida como compressibilidade isotérmica 1 Se nao há calor sendo adicionado ou retirado e a compressão ocorre isoentropicamente então é definida como compressibilidade isoentrópica 1 OBS e são propriedades termodinâmicas de um fluido Prof Carlos A R Pimentel UFABC 30 Velocidade do Som Consideremos a propagação de uma onda de som de intensidade infinitesimal em um meio não perturbado Hipóteses Escoamento permanente 1D Escoamento adiabático Escoamento não viscoso Sem forças de massa Sem trabalho de eixo Sem energia potencial Sistema de Coordenada Estacionária Sistema de Coordenada em Movimento Gás em Repouso Onda de Choque em Movimento Onda de Choque Estacionária Prof Carlos A R Pimentel UFABC 31 Os gradientes dentro da onda são extremamente pequenos ou seja e são infinitesimais Portanto o ecoamento é isoentrópico Aplicando Equação de Conservação da Massa 0 1 Equação de Conservação da Quantidade de Movimento Linear 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 32 Negligenciável Negligenciável Negligenciável Negligenciável 2 2 2 2 2 Substituindo a equação 2 em 1 2 2 22 2 22 2 2 2 Como o escoamento através da onda é isoentrópico 3 Assumindo que o gás é caloricamente perfeito 2 1 2 1 1 1 2 2 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 33 Diferenciando em relação a 1 1 Substituindo na equação 3 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 34 Número de Mach Definimos o número de Mach como Regime de Escoamento Escoamento Subsônico Escoamento Sônico Escoamento Supersônico Se há ambas regiões onde 1 e 1 num escoamento o campo de escoamento é chamado transônico Propagação da Onda Consideremos agora uma fonte pontual emitindo pertubações infinitesimais instantâneas propagandose en todas as direções com velocidade Em um dado instante a localização da frente de onda da pertubação emitida no tempo será representada por uma esfera de raio 0 cujo centro coincide com a localização no tempo 0 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 35 Estamos interessado em determinar a natureza da propagação da pertubação para diferentes velocidades da fonte Caso A Velocidade da fonte O som se propaga uniformemente em todas as direções Um determinado pulso de som está localizado no instante Δ após a emissão num raio Δ a partir da fonte Todas as frentes de onda são esferas concêntricas Prof Carlos A R Pimentel UFABC 36 Fonte Estacionária Caso B Velocidade da fonte A concentricidade da frente de onda é menor Qualquer frente de onda é esférica mas cada som sucessivo é emitido de uma posição diferente à distância Δ da posição antecedente Escoamento Subsônico Prof Carlos A R Pimentel UFABC 37 Caso C Velocidade da fonte O lugar das superfícies de todas as ondas será um plano na fonte perpendicular ao caminho de movimento Nenhuma onda de som se propagará a frente da fonte Nenhum observador à frente da fonte escutará sua aproximação Escoamento Sônico Prof Carlos A R Pimentel UFABC 38 Caso D Velocidade da fonte Neste caso as superfícies das ondas de som formarão um cone De novo nenhum som será ouvido na frente deste cone O ângulo do cone é chamado ângulo de Mach Este é dado por sin 1 sin1 1 As regiões dentro e fora do cone são chamadas zona de ação e zona de silêncio Escoamento Supersônico Prof Carlos A R Pimentel UFABC 39 Condições de Estagnação ou Total Um estado termodinâmico de um gás perfeito é descrito em termos das propriedades Se desejamos descrever o estado de um fluido em qualquer ponto num campo de escoamento devemos especificar duas propriedades termodinâmicas independentes geralmente pressão e temperatura mas a velocidade do escoamento nesse ponto em questão Assim as propriedades de estagnação ou total em qualquer ponto num campo de escoamento são aquelas propriedades que existiriam naquele ponto no escoamento se a velocidade naquele ponto fosse reduzido a zero Afim de calcular as propriedades de estagnação devemos examinar o processo de desaceleração No começo do processo as condições são aquelas correspondentes ao escoamento atual no ponto no fim do processo a velocidade é zero e as condições correspondentes de estagnação ou total 0 0 0 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 40 Tubo de Corrente Hipóteses Escoamento permanente 1D Propriedades uniforme em cada seção transversal Escoamento adiabático Escoamento não viscoso Sem forças de massa Sem trabalho de eixo Sem energia potencial Prof Carlos A R Pimentel UFABC 41 Aplicando as equações de conservação Equação de Conservação da Massa 0 111 1 11 11 1 0 111 1 11 11 1 Equação de Conservação da Quantidade de Movimento Linear 0 0 0 0 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 42 11 11 1 1 1 11 11 1 11 1 11 1 1 1 2 1 OBS A força é aplicada ao longo do tubo de escoamento Ali a pressão média é 2 e a componente de área na direção é Isto é a força exercida pela parede do duto sobre o fluido dentro do volume de controle devido às distribuições de tensões normais e de cisalhamento 1121 1 1111 11 11 11 11 11 11 11 2 1121 1121 1111 11 1111 11 1 111 1 1 12 2 1 1 12 2 0 Negligenciável Negligenciável Prof Carlos A R Pimentel UFABC 43 Relação entre os parâmetros do processo durante o processo de desaceleração Desde que é pegueno a pressão média na superfície curvada pode ser considerada como a média da pressão atuando na duas superfícies inicial e final 2 2 2 2 Generalizando 2 2 0 Antes de integrar precisamos saber a relação que existe entre e ao longo do processo Como a desaceleração é isoentrópica 0 2 1 2 1 2 1 1 Como 1 1 Substituindo 1 1 2 2 0 1 1 2 2 0 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 44 0 2 2 1 0 1 2 2 0 1 1 1 1 1 0 2 2 0 1 1 1 0 2 2 1 1 1 0 2 2 1 1 0 1 1 2 2 1 1 1 0 1 1 1 2 2 1 0 1 1 0 1 1 1 2 2 0 1 1 1 2 2 0 1 1 1 2 2 0 1 1 1 2 2 0 1 1 1 2 2 2 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 45 0 1 1 1 2 2 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 46 Equação de Conservação da Energia 0 0 0 ℎ 2 2 0 0 0 0 0 0 0 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 47 ℎ 2 2 0 ℎ1 12 2 1 11 ℎ1 ℎ1 12 2 12 2 1 11 11 1 0 ℎ1 12 2 ℎ1 ℎ1 12 2 12 2 0 ℎ1 ℎ1 12 2 12 2 ℎ1 12 2 ℎ1 12 2 0 Generalizando ℎ 2 2 0 Integrando entre a entrada1 e a saída2 temos Prof Carlos A R Pimentel UFABC 48 1 2 ℎ 1 2 2 2 ℎ 2 1 2 2 2 1 ℎ2 ℎ1 2 2 2 1 2 2 ℎ1 1 2 2 ℎ2 2 2 2 ℎ 2 2 Portanto para um escoamento permanente adiabático e não viscoso ℎ 2 2 Constante ao longo de uma linha de corrente Prof Carlos A R Pimentel UFABC 49 No caso onde o fluido é desacelerado adiabaticamente a velocidade zero temos ℎ ℎ0 ℎ 0 2 2 ℎ0 ℎ 2 2 Então todos os estados em um escoamento isoentrópico tem a mesma entalpia de estagnação Além disso todos os estados em um escoamento isoentrópicoincluindo o estado de estagnação tem a mesma entropia Logo todos os estados de estagnação em um escoamento isoentrópico tem a mesma entalpia e entropia Como no estado de estagnação a velocidade é zero seguese que as propriedades de estagnação são constante para todos os pontos em um escoamento isoentrópico Entalpia Estática Prof Carlos A R Pimentel UFABC 50 Como OBS 0 e ℎ0 o escoamento é levado a velocidade zero adiabaticamente Portanto 0 e ℎ0 é constante ao longo de um escoamento 0 e 0 o escoamento é levado a velocidade zero isoentropicamente Portanto 0 e 0 é constante ao longo de um escoamento ℎ0 ℎ 2 2 ℎ0 ℎ 2 2 ℎ0 ℎ 2 2 ℎ0 ℎ 1 2 2 ℎ0 ℎ 1 2 2ℎ ℎ0 ℎ 1 1 2 2 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 51 Velocidade do Som de Estagnação Como 0 10 Temos então 0 0 0 0 0 0 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 52 Velocidade Máxima Da equação de Conservação da Energia ℎ0 ℎ 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 0 2 20 20 A velocidade máxima é alcançada quando a temperatura estática do fluido é zero 2 1 0 202 1 é sempre finita Em Porque a velocidade do som é zero É logico porque a temperatura de estagnação é a máxima possível Prova Imagine extremamente pequeno Prof Carlos A R Pimentel UFABC 53 Condições Críticas Como referência as condições de estagnação ou total são úteis para o cálculo das propriedades termodinâmicas Para o caso do cálculo da velocidade é conveniente usar a chamada velocidade crítica Velocidade do Som Crítica A velocidade crítica de um fluido é sua velocidade em número de Mach unitário 1 Número de Mach Crítica O número de Mach quando empregado como uma característica do escoamento sofre a desvantagem de que este não é somente diretamente proporcional a velocidade de escoamento já que é uma variável Por esta razão o então chamado número de Mach crítica é encontrado ser um parâmetro útil O número de Mach crítica pode ser definido pela adimensionalização da velocidade do escoamento pela velocidade do escoamento crítica Condição Sônica Prof Carlos A R Pimentel UFABC 54 Portanto podemos dizer que não significa 1 é outro tipo de número de Mach O número de Mach crítica é relacionado com o número de Mach local por 2 2 2 2 2 Para 1 e 14 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 55 Propriedades Estáticas em Função da Condição Crítica Sendo Prof Carlos A R Pimentel UFABC 56 Para a razão 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 Para a razão 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 57 Para a razão 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 Para a razão 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 58 Forma Cinética da Equação da Energia Aplicando a equação de conservação da energia para dois pontos em uma linha de corrente ℎ1 1 2 2 ℎ2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 12 1 1 2 2 22 1 2 2 2 Vamos considerar que o ponto 2 seja um ponto de estagnação ou total 2 0 2 0 12 1 1 2 2 02 1 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 59 Podese concluir que 12 1 1 2 2 22 1 2 2 2 02 1 Agora o ponto 2 esta na condição sônica 2 12 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 Então 1 2 1 2 02 1 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 60 Constante ao longo de uma linha de corrente Logo tiramos o número de Mach em função do número de Mach na condição crítica 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 12 1 2 1 2 12 1 12 1 2 12 1 2 1 12 1 12 2 12 2 12 12 1 12 22 2 1 12 2 22 1 12 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 61 12 2 12 2 12 2 2 12 OBS 2 2 1 1 1 2 1 2 12 1 1 se se se se Prof Carlos A R Pimentel UFABC 62 Efeito da Compressibilidade A pressão dinâmica para um escoamento incompressivel é dado por 1 2 2 Nesta equação a constante representa a pressão de estagnação0 desde que a pressão de estagnação é obtida pela desaceleração isoentrópica do escoamento para a velocidade zero temos 1 2 2 0 O crescimento na pressão devido a desaceleração do fluido a velocidade zero é chamada de pressão dinâmica e é a pressão inercial devido ao movimento da partícula fluida 0 1 2 2 1 Para um escoamento compressível a pressão de estagnação0 é superior ao equivalente no caso incompressível Isto pode ser provado fazendo os seguinte cálculos Para um gás perfeito a relação entre a pressão de estagnacão e a pressão estática é dada por 0 1 1 2 2 1 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 63 O mesmo estado temodinâmico Diferentes velocidades Dá equação 1 para um escoamento incompressível tiramos a pressão dinâmica para um escoamento compressível 0 0 1 1 1 2 2 1 1 Utilizando a série de potência 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 3 2 1 1 2 2 3 1 1 1 1 2 1 3 4 3 2 1 1 2 2 4 1 Prof Carlos A R Pimentel UFABC 64 1 2 2 8 4 2 48 6 2 3 2 384 8 1 2 2 8 4 2 48 6 2 3 2 384 8 Colocando em evidência 2 2 1 2 4 2 24 4 2 3 2 384 6 Para um gás perfeito 2 2 2 2 2 2 2 2 Portanto 2 2 1 2 4 2 24 4 2 3 2 384 6 Esta equação diz que a pressão dinâmica para um escoamento compressível é maior do que para um escoamento incompressível Prof Carlos A R Pimentel UFABC 65 FIM