Introdução a Variáveis Aleatórias Contínuas

PROCESSOS ESTOCÁSTICOS PROF FABIANO CASTOLDI INTRODUÇÃO VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS Muitos experimentos possuem va com intervalo de valores contínuos exemplos são medida de tensão V sobre um resistor SV v v ou ângulo A de uma onda senoidal de rádio SA a 0 a 2π Os axiomas da probabilidade se aplicam nesse caso também com uma característica distinta a probabilidade de um resultado individual é zero Isto é em vas contínuas as probabilidades se aplicam a faixas de valores EX Assuma que um professor chega para aula entre 8h55 e 9h05 Teremos o modelo da hora de chegada como uma va T em minutos relativo à 9h ST t 5 t 5 Agora pense sobre a perdição da hora de chegada do professor Quanto mais precisa for a predição menores as chances de estarem corretas Logo a probabilidade tende a zero quanto mais preciso ou singular for o intervalo INTRODUÇÃO VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS EX 31 Suponha que temos uma roda de circunferência de um metro No centro da roda temos uma seta que gira livremente Após girar a seta medimos a distância X metros ao redor da circunferência da roda movendo no sentido horário de um ponto inicial até a posição marcada na figura abaixo Claramente 0 X 1 Também é razoável imaginar que se girarmos fortemente a seta ela poderá parar em qualquer ponto da circunferência com mesma probabilidade Dado um x qual a probabilidade PXx INTRODUÇÃO VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS EX 31 Suponha que temos uma roda de circunferência de um metro No centro da roda temos uma seta que gira livremente Após girar a seta medimos a distância X metros ao redor da circunferência da roda movendo no sentido horário de um ponto inicial até a posição marcada na figura abaixo Claramente 0 X 1 Também é razoável imaginar que se girarmos fortemente a seta ela poderá parar em qualquer ponto da circunferência com mesma probabilidade Dado um x qual a probabilidade PXx Para resolver este problema iremos utilizar os conhecimentos desenvolvidos e vas discretas Podemos criar n pontos igualmente espaçados na circunferência e numerados de 1 à n Seja Y o número em que a seta para Então Y é uma va discreta com distribuição uniforme e range SY 1 2 n INTRODUÇÃO VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS EX 31 continuação Logo a PMF de Y é PY y 1n y 1 n 0 caso contrario INTRODUÇÃO VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS EX 31 continuação Logo a PMF de Y é Podemos agora aumentar n de modo que tenhamos infinitos pontos na circunferência Isto é similar a temos uma amostragem contínua e PY y 1n y 1 n 0 caso contrario INTRODUÇÃO VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS EX 31 continuação Logo a PMF de Y é Podemos agora aumentar n de modo que tenhamos infinitos pontos na circunferência Isto é similar a temos uma amostragem contínua e PY y 1n y 1 n 0 caso contrario PX x lim n1 PY y lim n1 1 n 0 Definição a CDF de uma va X é FXx PX x Todos os garfos de CDFs começam em zero na esquerda e acabam em 1 à direita A probabilidade de uma va estar em um intervalo é a diferença de valores da CDF entre os limites do intervalo Teorema Para qualquer va X a FX 0 b FX 1 c Px1 X x2 FXx2 FXx1 Observe que diferente da CDF de uma va discreta a CDF de uma va contínua não possui descontinuidade ie FXx é uma função contínua de X Definição VA Contínua X é uma va contínua se a CDF FXx é uma função contínua VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA CDF EX 32 Encontre a CDF de X do exemplo 31 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA CDF Podemos utilizar a mesma analogia sobre vas discretas usadas no exemplo 31 Imagine a CDF de uma va uniforme com n elementos A CDF resultante é um gráfico de escada com n amplitudes variando entre 0 e 1 igualmente espaçadas Imagine agora aumentar o número de elementos Os degraus irão começar a ficar cada vez menores até o ponto em que o gráfico se torna similar a uma reta com inclinação unitária entre os comprimentos de 0 à 1 Outra maneira de analisar isso é pela definição da CDF FXx PX x Logo uma vez que o espaçamento entre os pontos é uniforme a CDF aumenta na mesma proporção em que andamos pela circunferência Como resultado com n temos EX 32 Encontre a CDF de X do exemplo 31 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA CDF Podemos utilizar a mesma analogia sobre vas discretas usadas no exemplo 31 Imagine a CDF de uma va uniforme com n elementos A CDF resultante é um gráfico de escada com n amplitudes variando entre 0 e 1 igualmente espaçadas Imagine agora aumentar o número de elementos Os degraus irão começar a ficar cada vez menores até o ponto em que o gráfico se torna similar a uma reta com inclinação unitária entre os comprimentos de 0 à 1 Outra maneira de analisar isso é pela definição da CDF FXx PX x Logo uma vez que o espaçamento entre os pontos é uniforme a CDF aumenta na mesma proporção em que andamos pela circunferência Como resultado com n temos A inclinação slope de uma CDF contém as informações mais interessantes sobre uma va contínua Em um ponto x específico sua inclinação indica a probabilidade de X estar próximo de x Para entender melhor considere o grafo de uma CDF FXx na figura abaixo O teorema anterior nos diz que a probabilidade de X estar no intervalo de largura Δ a direita de x1 é VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE PDF p1 Px1 X x1 FXX1 FXx1 Observe que essa probabilidade é menor que a probabilidade do intervalo de largura Δ à direita de x2 Concluímos então que a inclinação da CDF em uma região próxima a qualquer número x é um indicador da probabilidade de observar a va X próxima a x A quantidade de probabilidade em uma pequena região é a inclinação da CDF vezes o tamanho dessa região Definição a PDF de uma va contínua X é A PDF é um modelo de probabilidade completo de uma va contínua Existem outros modelos completos mas a PDF é a mais útil Uma razão para isso é que o grafo da PDF fornece uma boa indicação de valores similares de observações VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE PDF p2 Px2 X x2 FXX2 FXx2 fXx dFXx dx EX 33 A figura abaixo mostra a PDF de uma va X que descreve a tensão no receptor de um modem Qual os valores mais prováveis de X Teorema para uma va contínua X com PDF fXx a fXx 0 para todo x b c VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE PDF FXx Z x 1 fXu du Z 1 1 fXx dx 1 Teorema Esse último teorema nos diz que a probabilidade de observar X em um intervalo é a área dentro do grafo da PDF entre os 2 pontos limitantes do intervalo Observe que o valor da PDF é qualquer número não negativo porém não é uma probabilidade e não precisa estar entre zero e um VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE PDF Px1 X x2 Z x2 x1 fXx dx EX 34 Para o experimento nos exemplos 31 e 32 encontre a PDF de X e a probabilidade do evento 14 X 34 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE PDF Pela definição podemos encontrar a PDF pela derivada da CDF Precisamos avaliar cada limite da função separadamente Assim fXx 0 para x 0 e x 1 Entre 0 e 1 temos a derivada de uma reta unitária ie fXx dFXxdx 1 Assim a PDF completa é Para a segunda parte do problema podemos utilizar a CDF ou a PDF P14 X 34 FX34 FX14 34 14 12 ou P14 X 34 Z 34 14 fXx dx x34 14 12 OBS quando trabalhamos com vas contínuas não precisamos saber se os pontos limitantes estão inclusos ou não Entretanto para vas discretas eles são essenciais Por exemplo os conjuntos de número no intervalos entre 14 e 34 são A 14 34 B 14 34 C 14 34 D 14 34 Apesar de serem todos eventos diferentes para vas contínuas eles possuem a mesma probabilidade Entretanto se as vas forem discretas digamos que com PMF Então as probabilidades são PA 16 PB 56 PC 13 PD 1 Além disso as relações das equação são similares VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE PDF PB X x2B PXx B x1 x2 Px1 x x2 Z x2 x1 fXxdx Definição o valor esperado de uma va contínua X é OBS quando consideramos Y uma aproximação discreta de X anteriormente intuitivamente o EY é o que se observa quando somamos um número muito grande de n observações independentes de Y e dividimos por n A mesma intuição é válida para vas contínuas X a medida que n a média de n amostras independentes de X se aproxima de EX Na teoria de probabilidade esta observação é conhecida como a Lei dos Grandes Números EX 36 No exemplo 34 encontramos que um ponto de parada X do experimento do ponteiro girando na roda tem va uniforme com PDF Encontre o valor esperado do ponto de parada do ponteiro EX VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS VALORES ESPERADOS fXx 1 0 x 1 0 caso contrario EX Z 1 1 xfXx dx EX 36 continuação OBS Similar as funções de va discretas existem funções gX de uma va contínua X A função de uma va contínua é também uma va entretanto não necessariamente contínua Independentemente da natureza da va W gX seu valor esperado pode ser calculado por uma integral EX 38 Seja X uma va uniforme com PDF Seja W gX 0 se X 12 e W gX 1 se X 12 W é uma va discreta com range SW 0 1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS Sem pontos de preferência no círculo o ponto de parada médio do ponteiro é exatamente na metade do círculo EX Z 1 1 xfXx dx Z 1 0 x dx 12 metros fXx 1 0 x 1 0 caso contrario VALORES ESPERADOS Teorema O valor esperado de uma função gX de uma va X é Teorema para qualquer va X a EX µX 0 b EaX b a EX b c VarX EX2 µX2 d VaraX b a2 VarX onde e EX 39 Encontre a variância e o desvio padrão de uma distribuição da distribuição uniforme do exemplo 31 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS E X2 Z 1 1 x2fXx dx V arX E h X µX2i Z 1 1 x µX2fXx dx EgX Z 1 1 gxfXx dx VALORES ESPERADOS Teorema O valor esperado de uma função gX de uma va X é Teorema para qualquer va X a EX µX 0 b EaX b a EX b c VarX EX2 µX2 d VaraX b a2 VarX onde e EX 39 Encontre a variância e o desvio padrão de uma distribuição da distribuição uniforme do exemplo 31 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS E X2 Z 1 1 x2fXx dx V arX E h X µX2i Z 1 1 x µX2fXx dx Do exemplo 36 temos EX 12 e como temos E X2 Z 1 1 x2fXx dx Z 1 0 x2 dx 13 EgX Z 1 1 gxfXx dx VALORES ESPERADOS Teorema O valor esperado de uma função gX de uma va X é Teorema para qualquer va X a EX µX 0 b EaX b a EX b c VarX EX2 µX2 d VaraX b a2 VarX onde e EX 39 Encontre a variância e o desvio padrão de uma distribuição da distribuição uniforme do exemplo 31 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS E X2 Z 1 1 x2fXx dx V arX E h X µX2i Z 1 1 x µX2fXx dx Do exemplo 36 temos EX 12 e como temos E X2 Z 1 1 x2fXx dx Z 1 0 x2 dx 13 V arX 1 3 1 2 2 1 12 EgX Z 1 1 gxfXx dx VALORES ESPERADOS Teorema O valor esperado de uma função gX de uma va X é Teorema para qualquer va X a EX µX 0 b EaX b a EX b c VarX EX2 µX2 d VaraX b a2 VarX onde e EX 39 Encontre a variância e o desvio padrão de uma distribuição da distribuição uniforme do exemplo 31 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS E X2 Z 1 1 x2fXx dx V arX E h X µX2i Z 1 1 x µX2fXx dx Do exemplo 36 temos EX 12 e como temos E X2 Z 1 1 x2fXx dx Z 1 0 x2 dx 13 V arX 1 3 1 2 2 1 12 σX r 1 12 0 289 EgX Z 1 1 gxfXx dx VALORES ESPERADOS 1 V A Uniforme X é uma va uniforme a b se a PDF de X é onde b a Teorema Se X é uma va uniforme a b então a A CDF de X é b O valor esperado de X é EX b a2 c A variância de X é VarX b a12 EX 311 O ângulo de fase de um sinal na entrada de um podem é uniformemente distribuído entre 0 e 2π radianos Encontre a CDF o valor esperado e a variância de VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FAMÍLIAS DE VAS CONTÍNUAS fXx 1 ba a x b 0 caso contrario FXx 8 0 x a xa ba a x b 1 x b EX 311 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FAMÍLIAS DE VAS CONTÍNUAS Como o ângulo possui distribuição uniforme a PDF de é F 1 2 0 2 0 caso contrario EX 311 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FAMÍLIAS DE VAS CONTÍNUAS Como o ângulo possui distribuição uniforme a PDF de é Logo integrando cada uma das partes da PDF ou utilizando o teorema anterio obtemos a CDF F 1 2 0 2 0 caso contrario EX 311 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FAMÍLIAS DE VAS CONTÍNUAS Como o ângulo possui distribuição uniforme a PDF de é Logo integrando cada uma das partes da PDF ou utilizando o teorema anterio obtemos a CDF F 1 2 0 2 0 caso contrario F 8 0 0 2 0 2 1 EX 311 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FAMÍLIAS DE VAS CONTÍNUAS Como o ângulo possui distribuição uniforme a PDF de é Logo integrando cada uma das partes da PDF ou utilizando o teorema anterio obtemos a CDF Utilizando o teorema anterior obtemos o valor espera e variância como F 1 2 0 2 0 caso contrario F 8 0 0 2 0 2 1 EX 311 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FAMÍLIAS DE VAS CONTÍNUAS Como o ângulo possui distribuição uniforme a PDF de é Logo integrando cada uma das partes da PDF ou utilizando o teorema anterio obtemos a CDF Utilizando o teorema anterior obtemos o valor espera e variância como F 1 2 0 2 0 caso contrario F 8 0 0 2 0 2 1 E 2 2 EX 311 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FAMÍLIAS DE VAS CONTÍNUAS Como o ângulo possui distribuição uniforme a PDF de é Logo integrando cada uma das partes da PDF ou utilizando o teorema anterio obtemos a CDF Utilizando o teorema anterior obtemos o valor espera e variância como F 1 2 0 2 0 caso contrario F 8 0 0 2 0 2 1 E 2 2 V ar 22 12 2 3 Teorema Seja X uma va uniforme a b onde a e b são inteiros Seja K Então K é uma va uniforme discreta a1 b OBS é o operador menor inteiro maior ou igual a c 2 V A Exponencial X é uma va exponencial λ se a PDF de X é onde λ 0 EX 312 A probabilidade que uma ligação telefônica dure não mais que t minutos é geralmente modela como um CDF exponencial Qual a PDF de T Qual a probabilidade de uma conversa durar entre 2 e 4 minutos VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FAMÍLIAS DE VAS CONTÍNUAS dXe dce fXx λeλx x 0 0 caso contrario EX 312 continuação EX 313 No exemplo anterior qual é ET Qual a variância e desvio padrão de T Qual a probabilidade de uma duração estar dentro de 1 do desvio padrão da duração esperada da chamada VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FAMÍLIAS DE VAS CONTÍNUAS Derivando a CDF obtemos a PDF EX 312 continuação EX 313 No exemplo anterior qual é ET Qual a variância e desvio padrão de T Qual a probabilidade de uma duração estar dentro de 1 do desvio padrão da duração esperada da chamada VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FAMÍLIAS DE VAS CONTÍNUAS Derivando a CDF obtemos a PDF fT t d FT t dt 1 3et3 t 0 0 caso contrario EX 312 continuação EX 313 No exemplo anterior qual é ET Qual a variância e desvio padrão de T Qual a probabilidade de uma duração estar dentro de 1 do desvio padrão da duração esperada da chamada VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FAMÍLIAS DE VAS CONTÍNUAS Derivando a CDF obtemos a PDF fT t d FT t dt 1 3et3 t 0 0 caso contrario Pela definição Px1 x x2 FXx2 FXx1 logo EX 312 continuação EX 313 No exemplo anterior qual é ET Qual a variância e desvio padrão de T Qual a probabilidade de uma duração estar dentro de 1 do desvio padrão da duração esperada da chamada VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FAMÍLIAS DE VAS CONTÍNUAS Derivando a CDF obtemos a PDF fT t d FT t dt 1 3et3 t 0 0 caso contrario Pela definição Px1 x x2 FXx2 FXx1 logo P2 T 4 FT 4FT 2 1e43 1 e23 e23e43 0 25 EX 312 continuação EX 313 No exemplo anterior qual é ET Qual a variância e desvio padrão de T Qual a probabilidade de uma duração estar dentro de 1 do desvio padrão da duração esperada da chamada VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FAMÍLIAS DE VAS CONTÍNUAS Derivando a CDF obtemos a PDF fT t d FT t dt 1 3et3 t 0 0 caso contrario Pela definição Px1 x x2 FXx2 FXx1 logo P2 T 4 FT 4FT 2 1e43 1 e23 e23e43 0 25 ET Z 1 1 tfT t dt Z 1 0 t1 3et3 dt EX 312 continuação EX 313 No exemplo anterior qual é ET Qual a variância e desvio padrão de T Qual a probabilidade de uma duração estar dentro de 1 do desvio padrão da duração esperada da chamada VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FAMÍLIAS DE VAS CONTÍNUAS Derivando a CDF obtemos a PDF fT t d FT t dt 1 3et3 t 0 0 caso contrario Pela definição Px1 x x2 FXx2 FXx1 logo P2 T 4 FT 4FT 2 1e43 1 e23 e23e43 0 25 ET Z 1 1 tfT t dt Z 1 0 t1 3et3 dt Utilizando integral por partes EX 312 continuação EX 313 No exemplo anterior qual é ET Qual a variância e desvio padrão de T Qual a probabilidade de uma duração estar dentro de 1 do desvio padrão da duração esperada da chamada VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FAMÍLIAS DE VAS CONTÍNUAS Derivando a CDF obtemos a PDF fT t d FT t dt 1 3et3 t 0 0 caso contrario Pela definição Px1 x x2 FXx2 FXx1 logo P2 T 4 FT 4FT 2 1e43 1 e23 e23e43 0 25 ET Z 1 1 tfT t dt Z 1 0 t1 3et3 dt Utilizando integral por partes ET tet31 0 Z 1 0 et3 dt 3 minutos EX 313 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FAMÍLIAS DE VAS CONTÍNUAS EX 313 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FAMÍLIAS DE VAS CONTÍNUAS ET 2 Z 1 1 t2fT t dt Z 1 0 t2 1 3et3 dt EX 313 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FAMÍLIAS DE VAS CONTÍNUAS ET 2 Z 1 1 t2fT t dt Z 1 0 t2 1 3et3 dt Novamente usando integral por partes EX 313 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FAMÍLIAS DE VAS CONTÍNUAS ET 2 Z 1 1 t2fT t dt Z 1 0 t2 1 3et3 dt Novamente usando integral por partes ET 2 t2et31 0 Z 1 0 2tet3 dt 2 Z 1 0 tet3 dt EX 313 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FAMÍLIAS DE VAS CONTÍNUAS ET 2 Z 1 1 t2fT t dt Z 1 0 t2 1 3et3 dt Novamente usando integral por partes Podemos agora utilizar o cálculo já realizado no valor esperado obtendo ET2 18 Assim ET 2 t2et31 0 Z 1 0 2tet3 dt 2 Z 1 0 tet3 dt EX 313 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FAMÍLIAS DE VAS CONTÍNUAS ET 2 Z 1 1 t2fT t dt Z 1 0 t2 1 3et3 dt Novamente usando integral por partes Podemos agora utilizar o cálculo já realizado no valor esperado obtendo ET2 18 Assim ET 2 t2et31 0 Z 1 0 2tet3 dt 2 Z 1 0 tet3 dt V arT E T 2 µ2 T 18 32 9 minutos2 EX 313 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FAMÍLIAS DE VAS CONTÍNUAS ET 2 Z 1 1 t2fT t dt Z 1 0 t2 1 3et3 dt Novamente usando integral por partes Podemos agora utilizar o cálculo já realizado no valor esperado obtendo ET2 18 Assim ET 2 t2et31 0 Z 1 0 2tet3 dt 2 Z 1 0 tet3 dt V arT E T 2 µ2 T 18 32 9 minutos2 σT p V arT 3 minutos EX 313 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FAMÍLIAS DE VAS CONTÍNUAS ET 2 Z 1 1 t2fT t dt Z 1 0 t2 1 3et3 dt Novamente usando integral por partes Podemos agora utilizar o cálculo já realizado no valor esperado obtendo ET2 18 Assim ET 2 t2et31 0 Z 1 0 2tet3 dt 2 Z 1 0 tet3 dt V arT E T 2 µ2 T 18 32 9 minutos2 σT p V arT 3 minutos Desse modo a probabilidade da duração de uma chamada estar dentro de 1 minuto do valor esperado é EX 313 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FAMÍLIAS DE VAS CONTÍNUAS ET 2 Z 1 1 t2fT t dt Z 1 0 t2 1 3et3 dt Novamente usando integral por partes Podemos agora utilizar o cálculo já realizado no valor esperado obtendo ET2 18 Assim ET 2 t2et31 0 Z 1 0 2tet3 dt 2 Z 1 0 tet3 dt V arT E T 2 µ2 T 18 32 9 minutos2 σT p V arT 3 minutos Desse modo a probabilidade da duração de uma chamada estar dentro de 1 minuto do valor esperado é P0 T 6 FT 6 FT 0 1 e2 0 865 Teorema Se X é uma va exponencial λ a b EX 1λ c VarX 1λ2 Teorema Se X é uma va exponencial λ então K é uma va geométrica com p 1 eλ EX 314 Uma companhia telefônica A cobra 015 por minuto de chamada telefônica Para qualquer fração de minuto em que a chamada é terminada cobrase como um minuto inteiro A companhia telefônica B também cobra 015 por minuto entretanto ela calcula a cobrança baseado na duração exata da chamada Se T a duração da chamada em minutos é uma va exponencial λ 13 qual as receitas por chamada ERA e ERB para as companhias A e B respectivamente VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FAMÍLIAS DE VAS CONTÍNUAS dXe FXx 1 eλx x 0 0 caso contrario EX 314 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FAMÍLIAS DE VAS CONTÍNUAS EX 314 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FAMÍLIAS DE VAS CONTÍNUAS Como T é uma va exponencial utilizando o teorema anterior obtemos ET 1λ 3 minutos por chamada Assim para a companhia telefônica B a qual cobra pela duração exata da chamada EX 314 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FAMÍLIAS DE VAS CONTÍNUAS Como T é uma va exponencial utilizando o teorema anterior obtemos ET 1λ 3 minutos por chamada Assim para a companhia telefônica B a qual cobra pela duração exata da chamada ERB 0 15ET 0 45 por chamada EX 314 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FAMÍLIAS DE VAS CONTÍNUAS Como T é uma va exponencial utilizando o teorema anterior obtemos ET 1λ 3 minutos por chamada Assim para a companhia telefônica B a qual cobra pela duração exata da chamada A companhia A entretanto coleta 015 por chamada com duração T minutos Pelo teorema anterior isto leva a uma va geométrica com parâmetro p 1 e13 Assim a receita da companhia A é dTe ERB 0 15ET 0 45 por chamada EX 314 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FAMÍLIAS DE VAS CONTÍNUAS Como T é uma va exponencial utilizando o teorema anterior obtemos ET 1λ 3 minutos por chamada Assim para a companhia telefônica B a qual cobra pela duração exata da chamada A companhia A entretanto coleta 015 por chamada com duração T minutos Pelo teorema anterior isto leva a uma va geométrica com parâmetro p 1 e13 Assim a receita da companhia A é dTe ERB 0 15ET 0 45 por chamada ERA 0 15EdTe 0 15 p 0 153 53 0 529 por chamada 3 VA ErlangX é uma va Erlang n λ se a PDF de X é O parâmetro n geralmente é chamado de ordem de uma va Erlang Teorema Se X é uma va Erlang n λ então a EX nλ b VarX nλ2 Teorema Seja Kα uma va de Poisson α Para qualquer x 0 a CDF de uma va Erlang n λ X satisfaz VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FAMÍLIAS DE VAS CONTÍNUAS fXx λnxn1eλx n1 x 0 0 caso contrario FXx 1 FKλxn 1 1 n1 X k0 λ xk eλx k Quiz 34 A va contínua X tem EX 3 e VarX 9 Encontre a PDF fXx se a X tem PDF exponencial b X tem PDF uniforme VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FAMÍLIAS DE VAS CONTÍNUAS Quiz 34 A va contínua X tem EX 3 e VarX 9 Encontre a PDF fXx se a X tem PDF exponencial b X tem PDF uniforme VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FAMÍLIAS DE VAS CONTÍNUAS Para va exponencial EX 1λ logo λ 13 e Quiz 34 A va contínua X tem EX 3 e VarX 9 Encontre a PDF fXx se a X tem PDF exponencial b X tem PDF uniforme VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FAMÍLIAS DE VAS CONTÍNUAS Para va exponencial EX 1λ logo λ 13 e fXx 1 3e 1 3 x x 0 0 caso contrario Quiz 34 A va contínua X tem EX 3 e VarX 9 Encontre a PDF fXx se a X tem PDF exponencial b X tem PDF uniforme VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FAMÍLIAS DE VAS CONTÍNUAS Para va exponencial EX 1λ logo λ 13 e fXx 1 3e 1 3 x x 0 0 caso contrario Para va exponencial EX b a2 logo b a 6 e VarX b a212 o que resulta em b2 2ab a2 108 Fazendo b 6 a temos Quiz 34 A va contínua X tem EX 3 e VarX 9 Encontre a PDF fXx se a X tem PDF exponencial b X tem PDF uniforme VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FAMÍLIAS DE VAS CONTÍNUAS Para va exponencial EX 1λ logo λ 13 e fXx 1 3e 1 3 x x 0 0 caso contrario Para va exponencial EX b a2 logo b a 6 e VarX b a212 o que resulta em b2 2ab a2 108 Fazendo b 6 a temos 6 a2 2a6 a a2 108 a2 6a 18 0 Quiz 34 A va contínua X tem EX 3 e VarX 9 Encontre a PDF fXx se a X tem PDF exponencial b X tem PDF uniforme VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FAMÍLIAS DE VAS CONTÍNUAS Para va exponencial EX 1λ logo λ 13 e fXx 1 3e 1 3 x x 0 0 caso contrario Para va exponencial EX b a2 logo b a 6 e VarX b a212 o que resulta em b2 2ab a2 108 Fazendo b 6 a temos 6 a2 2a6 a a2 108 a2 6a 18 0 a 3 3 p 3 8 196 3 3 p 3 2 196 b 3 3 p 3 2 196 3 3 p 3 8 196 Quiz 34 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FAMÍLIAS DE VAS CONTÍNUAS Quiz 34 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FAMÍLIAS DE VAS CONTÍNUAS Como para va uniforme b a temos a 2196 e b 8196 Assim a PDF é Quiz 34 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FAMÍLIAS DE VAS CONTÍNUAS Como para va uniforme b a temos a 2196 e b 8196 Assim a PDF é fXx 1 6 p 3 0 096 2 196 x 8 196 0 caso contrario Curvas em forma de sino aparecem em várias aplicações da teoria de probabilidade Os modelos probabilísticos nestas aplicações são membros da família de vas Gaussianas Fenômenos que podem ser descritos por esse modelo são tão frequentes que algumas vezes vas Gaussianas são referidas como vas normais Definição X é uma va Gaussiana μ σ se a PDF de X é onde o parâmetro μ pode ser qualquer número real e o parâmetro σ 0 Alguns textos utilizam a notação X é Nμ σ2 para uma va Gaussiana μ σ onde N é de normal VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS VARIÁVEL ALEATÓRIA GAUSSIANA fXx 1 p 2σ2 e xµ2 2σ2 O grafo de de fXx tem a forma d num sino centrado em x μ e σ reflete a largura do sino Se σ é pequeno o sino é estreito com pico alto e pontiagudo Se σ for grande o sino é largo com pico baixo e achatado A altura do pico é e a área é Os parâmetros da va Gaussiana são o valor esperado e o desvio padrão de X Teorema Se X é uma va Gaussiana μ σ então EX μ e VarX σ2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS VARIÁVEL ALEATÓRIA GAUSSIANA 1σ p 2 Z 1 1 fXx dx 1 pico 07979 pico 01995 É usual utilizarmos tabelas para encontrar as integrais das PDFs Gaussianas Veremos com usar essa tabelas utilizando algumas propriedades Teorema Se X é Gaussiana μ σ Y aX b é Gaussiana aμb aσ Definição A va normal padrão Z é a va Gaussiana 0 1 Para essa va EZ 0 e VarZ 1 As tabela que usamos para encontrar as integrais de PDFs Gaussianas contém valores da CDF de Z FZz Algumas vezes utilizase a notação para essa função Definição A CDF de uma va normal padrão é VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS VARIÁVEL ALEATÓRIA GAUSSIANA Φz Φz 1 p 2 Z z 1 eu22 du Teorema Se X é va Gaussiana μ σ a CDF de X é A probabilidade que X é interno à a b é Desse modo uma amostra x de uma va X corresponde a amostre de Z igual a OBS z é adimensional e representa x em relação ao número de desvios padrões referentes ao valor esperado de X Teorema simetria VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS VARIÁVEL ALEATÓRIA GAUSSIANA z x µ σ FXx Φ x µ σ Pa X b Φ b µ σ Φ a µ σ Φz 1 Φz EX 315 Suponha que sua nota em um teste é x 46 uma amostra de valor de uma va Gaussiana 61 10 Expresse seu teste como um valor de amostra de uma va normal padrão Z EX 316 Se X é va Gaussiana 61 10 qual a PX 46 EX 317 Se X é va Gaussiana 61 10 qual a P51 X 71 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS VARIÁVEL ALEATÓRIA GAUSSIANA EX 315 Suponha que sua nota em um teste é x 46 uma amostra de valor de uma va Gaussiana 61 10 Expresse seu teste como um valor de amostra de uma va normal padrão Z EX 316 Se X é va Gaussiana 61 10 qual a PX 46 EX 317 Se X é va Gaussiana 61 10 qual a P51 X 71 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS VARIÁVEL ALEATÓRIA GAUSSIANA Pela equação da transformação de X em Z temos EX 315 Suponha que sua nota em um teste é x 46 uma amostra de valor de uma va Gaussiana 61 10 Expresse seu teste como um valor de amostra de uma va normal padrão Z EX 316 Se X é va Gaussiana 61 10 qual a PX 46 EX 317 Se X é va Gaussiana 61 10 qual a P51 X 71 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS VARIÁVEL ALEATÓRIA GAUSSIANA Pela equação da transformação de X em Z temos z 46 61 10 1 5 EX 315 Suponha que sua nota em um teste é x 46 uma amostra de valor de uma va Gaussiana 61 10 Expresse seu teste como um valor de amostra de uma va normal padrão Z EX 316 Se X é va Gaussiana 61 10 qual a PX 46 EX 317 Se X é va Gaussiana 61 10 qual a P51 X 71 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS VARIÁVEL ALEATÓRIA GAUSSIANA Pela equação da transformação de X em Z temos z 46 61 10 1 5 Utilizando os teoremas anteriores e o resultado do exemplo acima EX 315 Suponha que sua nota em um teste é x 46 uma amostra de valor de uma va Gaussiana 61 10 Expresse seu teste como um valor de amostra de uma va normal padrão Z EX 316 Se X é va Gaussiana 61 10 qual a PX 46 EX 317 Se X é va Gaussiana 61 10 qual a P51 X 71 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS VARIÁVEL ALEATÓRIA GAUSSIANA Pela equação da transformação de X em Z temos z 46 61 10 1 5 Utilizando os teoremas anteriores e o resultado do exemplo acima PX 46 FX46 Φ1 5 1 Φ1 5 1 0 933 0 067 EX 315 Suponha que sua nota em um teste é x 46 uma amostra de valor de uma va Gaussiana 61 10 Expresse seu teste como um valor de amostra de uma va normal padrão Z EX 316 Se X é va Gaussiana 61 10 qual a PX 46 EX 317 Se X é va Gaussiana 61 10 qual a P51 X 71 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS VARIÁVEL ALEATÓRIA GAUSSIANA Pela equação da transformação de X em Z temos z 46 61 10 1 5 Utilizando os teoremas anteriores e o resultado do exemplo acima Isto indica que sua nota está entre as 67 dos alunos com as piores notas PX 46 FX46 Φ1 5 1 Φ1 5 1 0 933 0 067 EX 315 Suponha que sua nota em um teste é x 46 uma amostra de valor de uma va Gaussiana 61 10 Expresse seu teste como um valor de amostra de uma va normal padrão Z EX 316 Se X é va Gaussiana 61 10 qual a PX 46 EX 317 Se X é va Gaussiana 61 10 qual a P51 X 71 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS VARIÁVEL ALEATÓRIA GAUSSIANA Pela equação da transformação de X em Z temos z 46 61 10 1 5 Utilizando os teoremas anteriores e o resultado do exemplo acima Isto indica que sua nota está entre as 67 dos alunos com as piores notas PX 46 FX46 Φ1 5 1 Φ1 5 1 0 933 0 067 Pela equação da transformação de X em Z o evento 51 X 71 corresponde ao evento 1 Z 1 Assim temos a probabilidade deste evento como EX 315 Suponha que sua nota em um teste é x 46 uma amostra de valor de uma va Gaussiana 61 10 Expresse seu teste como um valor de amostra de uma va normal padrão Z EX 316 Se X é va Gaussiana 61 10 qual a PX 46 EX 317 Se X é va Gaussiana 61 10 qual a P51 X 71 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS VARIÁVEL ALEATÓRIA GAUSSIANA Pela equação da transformação de X em Z temos z 46 61 10 1 5 Utilizando os teoremas anteriores e o resultado do exemplo acima Isto indica que sua nota está entre as 67 dos alunos com as piores notas PX 46 FX46 Φ1 5 1 Φ1 5 1 0 933 0 067 Pela equação da transformação de X em Z o evento 51 X 71 corresponde ao evento 1 Z 1 Assim temos a probabilidade deste evento como P1 Z 1 Φ1 Φ1 Φ1 1 Φ1 2Φ1 1 0 683 OBS do exemplo anterior podemos verificar que 683 cerca de 23 dos resultados estão dentro de 1 desvio padrão do valor esperado Observase também que 95 dos resultados estão dentro de 2 desvios padrões do valor esperado Quando z 3 na cauda da PDF é muito próximo de 1 Definição A CDF de uma normal padrão complementar é OBS lembre Qz é a probabilidade de uma va Gaussiana exceder seu valor esperado por mais que z desvios padrões Isto significa que a probabilidade de uma va Gaussiana ser maior que 3 vezes o desvio padrão acima da média é 1 em mil Q3 00013 Esse fato também é denotado como o evento X μX 3σX ou evento 3sigma VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS VARIÁVEL ALEATÓRIA GAUSSIANA 2Φ2 1 Φz Qz PZ z 1 p 2 Z 1 z eu22 du 1 Φz VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS VARIÁVEL ALEATÓRIA GAUSSIANA EX 318 em um sistema de transmissão por fibra ótica a probabilidade de erro binário é onde γ é a Relação Sinal Ruído SNR Qual o valor mínimo de γ para o erro não exceder 106 QUIZ 35 X é va Gaussiana 0 1 e Y é va Gaussiana 0 2 a desenhe as PDFs de X e Y no mesmo gráfico b qual é P1 X 1 c qual é P1 Y 1 d qual é PX 35 e qual é PY 35 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS VARIÁVEL ALEATÓRIA GAUSSIANA Q p γ2 EX 318 em um sistema de transmissão por fibra ótica a probabilidade de erro binário é onde γ é a Relação Sinal Ruído SNR Qual o valor mínimo de γ para o erro não exceder 106 QUIZ 35 X é va Gaussiana 0 1 e Y é va Gaussiana 0 2 a desenhe as PDFs de X e Y no mesmo gráfico b qual é P1 X 1 c qual é P1 Y 1 d qual é PX 35 e qual é PY 35 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS VARIÁVEL ALEATÓRIA GAUSSIANA Q p γ2 Consultando a tabela podemos obter Qz 106 o que resulta em z 475 Desse modo precisamos que Revertendo a equação em função de γ p γ2 4 75 EX 318 em um sistema de transmissão por fibra ótica a probabilidade de erro binário é onde γ é a Relação Sinal Ruído SNR Qual o valor mínimo de γ para o erro não exceder 106 QUIZ 35 X é va Gaussiana 0 1 e Y é va Gaussiana 0 2 a desenhe as PDFs de X e Y no mesmo gráfico b qual é P1 X 1 c qual é P1 Y 1 d qual é PX 35 e qual é PY 35 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS VARIÁVEL ALEATÓRIA GAUSSIANA Q p γ2 Consultando a tabela podemos obter Qz 106 o que resulta em z 475 Desse modo precisamos que Revertendo a equação em função de γ p γ2 4 75 γ 4 75 para que o erro seja menor que 106 VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS VARIAVEL ALEATORIA GAUSSIANA EX 318 em um sistema de transmissao por fibra Otica a probabilidade de erro binario é Qv72 onde y é a Relagao Sinal Ruido SNR Qual o valor minimo de y para o erro nao exceder 10 Consultando a tabela podemos obter Qz 10 o que resulta em z 475 Desse modo precisamos que 72 475 Revertendo a equagao em fungao de y y 475 para que o erro seja menor que 10 OUIZ 35 X é va Gaussiana O 1 e Y é va Gaussiana 0 2 a desenhe as PDIz 04 tonmentevs 7 e c qual é P1 d qual é PX 3 5 0 5 e qual é PY 357 EX 318 em um sistema de transmissão por fibra ótica a probabilidade de erro binário é onde γ é a Relação Sinal Ruído SNR Qual o valor mínimo de γ para o erro não exceder 106 QUIZ 35 X é va Gaussiana 0 1 e Y é va Gaussiana 0 2 a desenhe as PDFs de X e Y no mesmo gráfico b qual é P1 X 1 c qual é P1 Y 1 d qual é PX 35 e qual é PY 35 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS VARIÁVEL ALEATÓRIA GAUSSIANA Q p γ2 Consultando a tabela podemos obter Qz 106 o que resulta em z 475 Desse modo precisamos que Revertendo a equação em função de γ p γ2 4 75 γ 4 75 para que o erro seja menor que 106 VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS VARIAVEL ALEATORIA GAUSSIANA EX 318 em um sistema de transmissao por fibra Otica a probabilidade de erro binario é Qv72 onde y é a Relagao Sinal Ruido SNR Qual o valor minimo de y para o erro nao exceder 10 Consultando a tabela podemos obter Qz 10 o que resulta em z 475 Desse modo precisamos que 72 4 75 Revertendo a equagao em fungao de y y A475 para que o erro seja menor que 10 OUIZ 35 X é va Gaussiana O 1 e Y é va Gaussiana 0 2 a desenhe as PDFs de X e Y no mesmo grafico b qual é P1 X s 1 P1X s1 Fx 1 Fx 1 1 1 21 1 06826 c qual é P1 Y 1 d qual é PX 35 e qual é PY 35 EX 318 em um sistema de transmissão por fibra ótica a probabilidade de erro binário é onde γ é a Relação Sinal Ruído SNR Qual o valor mínimo de γ para o erro não exceder 106 QUIZ 35 X é va Gaussiana 0 1 e Y é va Gaussiana 0 2 a desenhe as PDFs de X e Y no mesmo gráfico b qual é P1 X 1 c qual é P1 Y 1 d qual é PX 35 e qual é PY 35 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS VARIÁVEL ALEATÓRIA GAUSSIANA Q p γ2 Consultando a tabela podemos obter Qz 106 o que resulta em z 475 Desse modo precisamos que Revertendo a equação em função de γ p γ2 4 75 γ 4 75 para que o erro seja menor que 106 VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS VARIAVEL ALEATORIA GAUSSIANA EX 318 em um sistema de transmissao por fibra Otica a probabilidade de erro binario é Qv72 onde y é a Relagao Sinal Ruido SNR Qual o valor minimo de y para o erro nao exceder 10 Consultando a tabela podemos obter Qz 10 o que resulta em z 475 Desse modo precisamos que 72 475 Revertendo a equagao em fungao de y y A475 para que o erro seja menor que 10 OUIZ 35 X é va Gaussiana O 1 e Y é va Gaussiana 0 2 a desenhe as PDFs de X e Y no mesmo grafico b qual é P1 X s 1 c qual é P1 Y 1 eh et ee hr hr Ch d qual é PX 35 020 205 1 0383 e qual é PY 35 EX 318 em um sistema de transmissão por fibra ótica a probabilidade de erro binário é onde γ é a Relação Sinal Ruído SNR Qual o valor mínimo de γ para o erro não exceder 106 QUIZ 35 X é va Gaussiana 0 1 e Y é va Gaussiana 0 2 a desenhe as PDFs de X e Y no mesmo gráfico b qual é P1 X 1 c qual é P1 Y 1 d qual é PX 35 e qual é PY 35 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS VARIÁVEL ALEATÓRIA GAUSSIANA Q p γ2 Consultando a tabela podemos obter Qz 106 o que resulta em z 475 Desse modo precisamos que Revertendo a equação em função de γ p γ2 4 75 γ 4 75 para que o erro seja menor que 106 VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS VARIAVEL ALEATORIA GAUSSIANA EX 318 em um sistema de transmissao por fibra Otica a probabilidade de erro binario é Qv72 onde y é a Relagao Sinal Ruido SNR Qual o valor minimo de y para o erro nao exceder 10 Consultando a tabela podemos obter Qz 10 o que resulta em z 475 Desse modo precisamos que 72 475 Revertendo a equagao em fungao de y y 475 para que o erro seja menor que 10 OUIZ 35 X é va Gaussiana O 1 e Y é va Gaussiana 0 2 a desenhe as PDFs de X e Y no mesmo grafico b qual é P1 X s 1 c qual é P1 Y 1 d qual é PX 35 PX 35 Q35 233 x 1074 e qual é PY 35 EX 318 em um sistema de transmissão por fibra ótica a probabilidade de erro binário é onde γ é a Relação Sinal Ruído SNR Qual o valor mínimo de γ para o erro não exceder 106 QUIZ 35 X é va Gaussiana 0 1 e Y é va Gaussiana 0 2 a desenhe as PDFs de X e Y no mesmo gráfico b qual é P1 X 1 c qual é P1 Y 1 d qual é PX 35 e qual é PY 35 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS VARIÁVEL ALEATÓRIA GAUSSIANA Q p γ2 Consultando a tabela podemos obter Qz 106 o que resulta em z 475 Desse modo precisamos que Revertendo a equação em função de γ p γ2 4 75 γ 4 75 para que o erro seja menor que 106 VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS VARIAVEL ALEATORIA GAUSSIANA EX 318 em um sistema de transmissao por fibra Otica a probabilidade de erro binario é Qv72 onde y é a Relagao Sinal Ruido SNR Qual o valor minimo de y para o erro nao exceder 10 Consultando a tabela podemos obter Qz 10 o que resulta em z 475 Desse modo precisamos que 72 475 Revertendo a equagao em fungao de y y A475 para que o erro seja menor que 10 OUIZ 35 X é va Gaussiana O 1 e Y é va Gaussiana 0 2 a desenhe as PDFs de X e Y no mesmo grafico b qual é P1 X s 1 c qual é P1 Y 1 d qual é PX 35 e qual é PY 35 PLY 35 Q Q175 1 175 00401 EX 318 em um sistema de transmissão por fibra ótica a probabilidade de erro binário é onde γ é a Relação Sinal Ruído SNR Qual o valor mínimo de γ para o erro não exceder 106 QUIZ 35 X é va Gaussiana 0 1 e Y é va Gaussiana 0 2 a desenhe as PDFs de X e Y no mesmo gráfico b qual é P1 X 1 c qual é P1 Y 1 d qual é PX 35 e qual é PY 35 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS VARIÁVEL ALEATÓRIA GAUSSIANA Q p γ2 Consultando a tabela podemos obter Qz 106 o que resulta em z 475 Desse modo precisamos que Revertendo a equação em função de γ p γ2 4 75 γ 4 75 para que o erro seja menor que 106 A função delta ou Impulso nos permite usar as mesmas equações para ambos os tipos de vas discretas ou contínuas O uso dessa função é extremamente conveniente quando temos vas mistas Definição Função Impulso Unitário ou Delta Seja A função impulso unitário é Algumas propriedades dessa função são a a área da função é logo b para qualquer função contínua gx Esta propriedade é conhecida como propriedade do deslocamento VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FUNÇÃO DELTA DEGRAU E VA MISTAS δx lim 0 dx dx 1 2 x 2 0 caso contrario Z 1 1 dx dx Z 2 2 dx dx 1 Z 1 1 δx dx 1 Z 1 1 gxδx x0 dx gx0 A função Delta tem conexão com o degrau unitário Definição Degrau Unitário a função degrau unitário é c ou Utilizando essas propriedades podemos facilmente reescrever algumas equações das vas discretas a CDF b PDF c Valor Esperado VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FUNÇÃO DELTA DEGRAU E VA MISTAS FXx X xi2SX PXxiux xi fXx X xi2SX PXxiδx xi EX Z 1 1 x X xi2SX PXxiδx xi dx X xi2SX xiPXxi ux 1 x 0 0 x 0 Z x 1 δv dv ux δx dux dx EX 319 Suponha que Y tenha valores 1 2 3 com igual probabilidade A PMF e CDF correspondentes de Y são VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FUNÇÃO DELTA DEGRAU E VA MISTAS EX 319 Suponha que Y tenha valores 1 2 3 com igual probabilidade A PMF e CDF correspondentes de Y são VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FUNÇÃO DELTA DEGRAU E VA MISTAS PY y 13 y 1 2 3 0 caso contrario FY y 8 0 y 1 13 1 y 2 23 2 y 3 1 y 3 EX 319 Suponha que Y tenha valores 1 2 3 com igual probabilidade A PMF e CDF correspondentes de Y são VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FUNÇÃO DELTA DEGRAU E VA MISTAS PY y 13 y 1 2 3 0 caso contrario FY y 8 0 y 1 13 1 y 2 23 2 y 3 1 y 3 EX 319 Suponha que Y tenha valores 1 2 3 com igual probabilidade A PMF e CDF correspondentes de Y são VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FUNÇÃO DELTA DEGRAU E VA MISTAS PY y 13 y 1 2 3 0 caso contrario FY y 8 0 y 1 13 1 y 2 23 2 y 3 1 y 3 EX 319 Suponha que Y tenha valores 1 2 3 com igual probabilidade A PMF e CDF correspondentes de Y são VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FUNÇÃO DELTA DEGRAU E VA MISTAS PY y 13 y 1 2 3 0 caso contrario FY y 8 0 y 1 13 1 y 2 23 2 y 3 1 y 3 Usando a função degrau unitário uy a CDF pode ser reescrita na equação EX 319 Suponha que Y tenha valores 1 2 3 com igual probabilidade A PMF e CDF correspondentes de Y são VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FUNÇÃO DELTA DEGRAU E VA MISTAS PY y 13 y 1 2 3 0 caso contrario FY y 8 0 y 1 13 1 y 2 23 2 y 3 1 y 3 Usando a função degrau unitário uy a CDF pode ser reescrita na equação FY y 1 3uy 1 1 3uy 2 1 3uy 3 EX 319 Suponha que Y tenha valores 1 2 3 com igual probabilidade A PMF e CDF correspondentes de Y são VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FUNÇÃO DELTA DEGRAU E VA MISTAS PY y 13 y 1 2 3 0 caso contrario FY y 8 0 y 1 13 1 y 2 23 2 y 3 1 y 3 Usando a função degrau unitário uy a CDF pode ser reescrita na equação FY y 1 3uy 1 1 3uy 2 1 3uy 3 Derivando a CDF obtemos a PDF EX 319 Suponha que Y tenha valores 1 2 3 com igual probabilidade A PMF e CDF correspondentes de Y são VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FUNÇÃO DELTA DEGRAU E VA MISTAS PY y 13 y 1 2 3 0 caso contrario FY y 8 0 y 1 13 1 y 2 23 2 y 3 1 y 3 Usando a função degrau unitário uy a CDF pode ser reescrita na equação FY y 1 3uy 1 1 3uy 2 1 3uy 3 Derivando a CDF obtemos a PDF fY y dFY y dy 1 3δy 1 1 3δy 2 1 3δy 3 EX 319 Suponha que Y tenha valores 1 2 3 com igual probabilidade A PMF e CDF correspondentes de Y são VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FUNÇÃO DELTA DEGRAU E VA MISTAS PY y 13 y 1 2 3 0 caso contrario FY y 8 0 y 1 13 1 y 2 23 2 y 3 1 y 3 Usando a função degrau unitário uy a CDF pode ser reescrita na equação FY y 1 3uy 1 1 3uy 2 1 3uy 3 Derivando a CDF obtemos a PDF fY y dFY y dy 1 3δy 1 1 3δy 2 1 3δy 3 Com essa função contínua podemos calcular o valor esperado como EX 319 Suponha que Y tenha valores 1 2 3 com igual probabilidade A PMF e CDF correspondentes de Y são VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FUNÇÃO DELTA DEGRAU E VA MISTAS PY y 13 y 1 2 3 0 caso contrario FY y 8 0 y 1 13 1 y 2 23 2 y 3 1 y 3 Usando a função degrau unitário uy a CDF pode ser reescrita na equação FY y 1 3uy 1 1 3uy 2 1 3uy 3 Derivando a CDF obtemos a PDF fY y dFY y dy 1 3δy 1 1 3δy 2 1 3δy 3 Com essa função contínua podemos calcular o valor esperado como EY Z 1 1 yfY y dy Z 1 1 y 3δy 1 dy Z 1 1 y 3δy 2 dy Z 1 1 y 3δy 3 dy 1 3 2 3 3 3 2 Quando FXx possui uma descontinuidade em x usamos FXx e FXx para denotar os limites superior e inferior respectivamente em x Isto é Utilizando essa notação podemos dizer que se a CDF FXx possui um salto em x0 então fXx tem impulso em x0 ponderado pela altura da descontinuidade FXx0 FXx0 EX 320 Para a va Y do exercício anterior VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FUNÇÃO DELTA DEGRAU E VA MISTAS FXx lim h0 FXx h FXx lim h0 FXx h FY 2 13 FY 2 23 Teorema Para uma va X as seguintes afirmações são equivalentes a PX x0 q b PXx0 q c FXx0 FXx0 q d fXx0 q δ0 Definição X é uma va mista se e somente se fXx contém tanto impulsos quanto valores finitos diferentes de zero EX 321 Observe alguém discando um telefone e gravando a duração da chamada Em um modelo simples do experimento 13 das chamadas nunca iniciam devido a não haver resposta do outro lado ou linha ocupada A duração dessas chamadas é 0 minutos De outra forma com probabilidade 23 a duração da chamada é uniformemente distribuída entre 0 e 3 minutos Seja Y a duração da chamada Encontre a CDF FYy a PDF fYy e o valor esperado EY VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FUNÇÃO DELTA DEGRAU E VA MISTAS EX 321 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FUNÇÃO DELTA DEGRAU E VA MISTAS FY y PY y PY yAPA PY yAPA FY y 1 31 2 3 y 3 1 3 2y 9 EX 321 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FUNÇÃO DELTA DEGRAU E VA MISTAS Denotemos A o evento da chamada ser respondida Como Y 0 sabemos que para y 0 FYy 0 Similarmente para y 3 FYy 1 Para 0 y 3 aplicamos a lei da probabilidade total FY y PY y PY yAPA PY yAPA FY y 1 31 2 3 y 3 1 3 2y 9 EX 321 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FUNÇÃO DELTA DEGRAU E VA MISTAS Denotemos A o evento da chamada ser respondida Como Y 0 sabemos que para y 0 FYy 0 Similarmente para y 3 FYy 1 Para 0 y 3 aplicamos a lei da probabilidade total FY y PY y PY yAPA PY yAPA Quando A ocorre Y 0 então para 0 y 3 PY y A 1 Quando A ocorre a duração da chamada é uniformemente distribuída em 0 3 assim para 0 y 3 PY y A y3 Logo para 0 y 3 temos FY y 1 31 2 3 y 3 1 3 2y 9 EX 321 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FUNÇÃO DELTA DEGRAU E VA MISTAS Denotemos A o evento da chamada ser respondida Como Y 0 sabemos que para y 0 FYy 0 Similarmente para y 3 FYy 1 Para 0 y 3 aplicamos a lei da probabilidade total FY y PY y PY yAPA PY yAPA Quando A ocorre Y 0 então para 0 y 3 PY y A 1 Quando A ocorre a duração da chamada é uniformemente distribuída em 0 3 assim para 0 y 3 PY y A y3 Logo para 0 y 3 temos FY y 1 31 2 3 y 3 1 3 2y 9 Assim a CDF completa é VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS FUNCAO DELTA DEGRAU E VA MISTAS EX 321 continuagao 0 1 2 3 Ee pivi d 3 d w 2 Ul a f gw dut fo guduOrg o VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS FUNCAO DELTA DEGRAU E VA MISTAS EX 321 continuagao Derivando a CDF obtemos a PDF como 0 1 2 3 eee pivi d 3 d w 2 Ul a f ugh du J gudy0F 9 D VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS FUNCAO DELTA DEGRAU E VA MISTAS EX 321 continuagao Derivando a CDF obtemos a PDF como oo 12 3 eT Derivando a CDF obtemos a PDF como ie CO 1 3 2 2 y 3 he pwi v500 d Gvdy04 5 5 1 FUNCAO DELTA DEGRAU E VA MISTAS EX 321 continuagao Derivando a CDF obtemos a PDF como S po 5y329 Oy 3 fy Y 0 otherwise 0 12 3 Se Derivando a CDF obtemos a PDF como CO 1 3 2 2 y 3 Y 45 y y 94 yOt 6 Cabe ressaltar o que foi visto até agora MX sempre possui CDF Fxx PX s x Se Fxx tiver partes planas com saltos de descontinuidade entao X é discreta Se Fxx for uma fungao continua entao X é continua Se Fxx tiver partes de fungao continua com descontinuidades entao X é mista Quando X é discreta ou mista a PDF fxx contém um ou mais fungoes Delta QUIZ 36 A CDF da va X é Desenhe a CDF e encontre 1 PX 1 2 PX 1 3 PX 1 4 a PDF fXx VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS FUNÇÃO DELTA DEGRAU E VA MISTAS FXx 8 0 x 1 x 14 1 x 1 1 x 1 VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS FUNCAO DELTA DEGRAU E VA MISTAS QUIZ 36 A CDF dava X é Fxz x14 lal a 1 zr1l 0 2 e Desenhe a CDF e encontre east REX Sa 2 PIX 1 aS ERC al 4 a PDF fx VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS FUNCAO DELTA DEGRAU E VA MISTAS QUIZ 36 A CDF dava X é Fxz x14 lal aa 1 LX 1 3 0 2 e Desenhe a CDF e encontre enh REX Sale E11 2 PX 1 3 PX 1 4 a PDF fxx VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS FUNCAO DELTA DEGRAU E VA MISTAS QUIZ 36 A CDF dava X é Fxa 214 lal oO 1 LX 1 3 0 2 e Desenhe a CDF e encontre enh REX Sale E11 2PX1 F1 12 3 PX 1 4 a PDF fxx VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS FUNCAO DELTA DEGRAU E VA MISTAS QUIZ 36 A CDF dava X é 0 al 1 OS Fxa 214 lal 1 LX 1 3 0 2 e Desenhe a CDF e encontre enh REX Sale E11 2PX 1 F1 12 3 PX1 Fy1 Fy1 112 12 4 a PDF fx VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS FUNCAO DELTA DEGRAU E VA MISTAS QUIZ 36 A CDF da va X é 0 gl ST Fxa 214 lal oO 1 LX 1 3 0 2 Desenhe a CDF e encontre RIX S21 Ex1 1 2PX1 F1 12 3ePPC 1 SRF x 1S 12 12 4 a PDF fxx ot 14 lal fxz 4 126a21 w1 al 0 caso contrario Para o caso de vas contínuas o cálculo da PDF de uma va derivada YgX pode ser obtida em dois passos 1 Encontrar a CDF FYy PY y 2 Calcular a PDF pela derivada fYy dFYydy Este método sempre funciona entretanto encontrar FYy pode ser complicado Caso seja necessário encontrar EgX é mais fácil utilizar o teorema para valor esperado de vas derivadas ao invés de calcular a PDF de Y gX e então seu valor esperado Teorema Se Y aX onde a 0 então Y tem CDF e PDF VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS FY y FX y a fY y y afX y a EX 322 No exemplo 32 Y em centímetros é a localização do ponteiro em um círculo de circunferência de 1 metro Use a solução do exemplo 32 para derivar fYy VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS EX 322 No exemplo 32 Y em centímetros é a localização do ponteiro em um círculo de circunferência de 1 metro Use a solução do exemplo 32 para derivar fYy VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS A função Y gX 100 X onde X é a localização do ponteiro no exemplo 32 medido em metros Para encontrar a PDF de Y encontrarmos primeiro a CDF FYy Para isso podemos encontrar a CDF de X como FXx 8 0 x 0 x 0 x 1 1 x 1 EX 322 No exemplo 32 Y em centímetros é a localização do ponteiro em um círculo de circunferência de 1 metro Use a solução do exemplo 32 para derivar fYy VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS A função Y gX 100 X onde X é a localização do ponteiro no exemplo 32 medido em metros Para encontrar a PDF de Y encontrarmos primeiro a CDF FYy Para isso podemos encontrar a CDF de X como FXx 8 0 x 0 x 0 x 1 1 x 1 Agora usando a relação FYy P100 X y temos FY y PX y100 FXy100 8 0 y100 0 y100 0 y100 1 1 y100 1 8 0 y 0 y100 0 y 100 1 y 100 EX 322 No exemplo 32 Y em centímetros é a localização do ponteiro em um círculo de circunferência de 1 metro Use a solução do exemplo 32 para derivar fYy VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS A função Y gX 100 X onde X é a localização do ponteiro no exemplo 32 medido em metros Para encontrar a PDF de Y encontrarmos primeiro a CDF FYy Para isso podemos encontrar a CDF de X como FXx 8 0 x 0 x 0 x 1 1 x 1 Agora usando a relação FYy P100 X y temos FY y PX y100 FXy100 8 0 y100 0 y100 0 y100 1 1 y100 1 8 0 y 0 y100 0 y 100 1 y 100 Derivando obtemos fY y d FY y dy 1100 0 y 100 0 caso contrario EX 322 No exemplo 32 Y em centímetros é a localização do ponteiro em um círculo de circunferência de 1 metro Use a solução do exemplo 32 para derivar fYy VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS Logo Y é uma va uniforme 0 100 A função Y gX 100 X onde X é a localização do ponteiro no exemplo 32 medido em metros Para encontrar a PDF de Y encontrarmos primeiro a CDF FYy Para isso podemos encontrar a CDF de X como FXx 8 0 x 0 x 0 x 1 1 x 1 Agora usando a relação FYy P100 X y temos FY y PX y100 FXy100 8 0 y100 0 y100 0 y100 1 1 y100 1 8 0 y 0 y100 0 y 100 1 y 100 Derivando obtemos fY y d FY y dy 1100 0 y 100 0 caso contrario EX 323 Considere a va X com PDF triangular Encontre a PDF de Y aX Desenhe a PDF de Y para a 12 1 2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS fXx 2x 0 x 1 0 caso contrario EX 323 Considere a va X com PDF triangular Encontre a PDF de Y aX Desenhe a PDF de Y para a 12 1 2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS Para qualquer a 0 usando o teorema anterior temos fXx 2x 0 x 1 0 caso contrario EX 323 Considere a va X com PDF triangular Encontre a PDF de Y aX Desenhe a PDF de Y para a 12 1 2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS Para qualquer a 0 usando o teorema anterior temos fXx 2x 0 x 1 0 caso contrario EX 323 Considere a va X com PDF triangular Encontre a PDF de Y aX Desenhe a PDF de Y para a 12 1 2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS Para qualquer a 0 usando o teorema anterior temos A medida que a aumenta a PDF cresce horizontalmente fXx 2x 0 x 1 0 caso contrario Teorema Se Y aX a 0 a Se X é uniforme b c então Y é uniforme ab ac b Se X é exponencial λ então Y é exponencial λa c Se X é Erlang n λ então Y é Erlang n λa d Se X é Gaussiana µ σ então Y é Gaussiana aµ aσ Teorema Se Y X b então Ex 324 Seja X uma va com CDF FXx Seja Y a saída de um circuito limitador clipping com característica Y gX onde Expresse FYy e fYy em termos de FXx e fXx VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS FY y FXy b fY y fXy b Ex 324 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS Ex 324 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS Observe que pela definiçãoo de gX Y tem somente 2 valores possíveis Y 1 ou Y 3 Logo Y é uma va discreta com CDF possuindo saltos em y 1 e y 3 Para y 1 a CDF é zero e para y 3 a CDF é 1 Ex 324 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS Observe que pela definiçãoo de gX Y tem somente 2 valores possíveis Y 1 ou Y 3 Logo Y é uma va discreta com CDF possuindo saltos em y 1 e y 3 Para y 1 a CDF é zero e para y 3 a CDF é 1 Nos resta agora encontrar a relação para os valores dos saltos Ex 324 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS Observe que pela definiçãoo de gX Y tem somente 2 valores possíveis Y 1 ou Y 3 Logo Y é uma va discreta com CDF possuindo saltos em y 1 e y 3 Para y 1 a CDF é zero e para y 3 a CDF é 1 Nos resta agora encontrar a relação para os valores dos saltos FY 1 PY 1 PX 0 FX0 Ex 324 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS Observe que pela definiçãoo de gX Y tem somente 2 valores possíveis Y 1 ou Y 3 Logo Y é uma va discreta com CDF possuindo saltos em y 1 e y 3 Para y 1 a CDF é zero e para y 3 a CDF é 1 Nos resta agora encontrar a relação para os valores dos saltos FY 1 PY 1 PX 0 FX0 Logo a CDF salta para FX0 em y 1 Sabemos que em y 3 a CDF é a unidade logo Ex 324 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS Observe que pela definiçãoo de gX Y tem somente 2 valores possíveis Y 1 ou Y 3 Logo Y é uma va discreta com CDF possuindo saltos em y 1 e y 3 Para y 1 a CDF é zero e para y 3 a CDF é 1 Nos resta agora encontrar a relação para os valores dos saltos FY 1 PY 1 PX 0 FX0 Logo a CDF salta para FX0 em y 1 Sabemos que em y 3 a CDF é a unidade logo Ex 324 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS Observe que pela definiçãoo de gX Y tem somente 2 valores possíveis Y 1 ou Y 3 Logo Y é uma va discreta com CDF possuindo saltos em y 1 e y 3 Para y 1 a CDF é zero e para y 3 a CDF é 1 Nos resta agora encontrar a relação para os valores dos saltos FY 1 PY 1 PX 0 FX0 Logo a CDF salta para FX0 em y 1 Sabemos que em y 3 a CDF é a unidade logo Como visto anteriormente em vas discretas a PDF consiste em impulsos que no caso da va Y estão localizados em y 1 e y 3 A força desses impulsos é dada pelo tamanho dos saltos na CDF ou seja Ex 324 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS Observe que pela definiçãoo de gX Y tem somente 2 valores possíveis Y 1 ou Y 3 Logo Y é uma va discreta com CDF possuindo saltos em y 1 e y 3 Para y 1 a CDF é zero e para y 3 a CDF é 1 Nos resta agora encontrar a relação para os valores dos saltos FY 1 PY 1 PX 0 FX0 Logo a CDF salta para FX0 em y 1 Sabemos que em y 3 a CDF é a unidade logo Como visto anteriormente em vas discretas a PDF consiste em impulsos que no caso da va Y estão localizados em y 1 e y 3 A força desses impulsos é dada pelo tamanho dos saltos na CDF ou seja EX 325 A tensão de saída de um microfone é uma va Gaussiana V com valor esperado µV 0 e desvio padrão σX 5V O sinal do microfone é a entrada de um circuito limitador com valores de corte 10V A va W é a saída do limitador Qual a CDF e PDF de W VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS EX 325 A tensão de saída de um microfone é uma va Gaussiana V com valor esperado µV 0 e desvio padrão σX 5V O sinal do microfone é a entrada de um circuito limitador com valores de corte 10V A va W é a saída do limitador Qual a CDF e PDF de W VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS Para encontrar a CDF observe que o valor mínimo de W é 10 e máximo é 10 Assim FW w PW w 0 w 10 1 w 10 EX 325 A tensão de saída de um microfone é uma va Gaussiana V com valor esperado µV 0 e desvio padrão σX 5V O sinal do microfone é a entrada de um circuito limitador com valores de corte 10V A va W é a saída do limitador Qual a CDF e PDF de W VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS Para 10 v 10 W V e FW w PW w PV w FV w Para encontrar a CDF observe que o valor mínimo de W é 10 e máximo é 10 Assim FW w PW w 0 w 10 1 w 10 EX 325 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS EX 325 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS Como V é Gaussiana 0 5 temos que FVv Logo Φv5 EX 325 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS Como V é Gaussiana 0 5 temos que FVv Logo Φv5 FW w 8 0 w 10 Φw5 10 w 10 1 w 10 EX 325 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS Como V é Gaussiana 0 5 temos que FVv Logo Φv5 Observe que a CDF salta de 0 para em w 10 e salta de Φ105 0 023 Φ105 0 977 para 1 em w 10 Assim FW w 8 0 w 10 Φw5 10 w 10 1 w 10 EX 325 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS Como V é Gaussiana 0 5 temos que FVv Logo Φv5 Observe que a CDF salta de 0 para em w 10 e salta de Φ105 0 023 Φ105 0 977 para 1 em w 10 Assim fW w d FW w dw 8 0 023δw 10 w 10 1 5p 2ew250 10 w 10 0 023δw 10 w 10 0 caso contrario FW w 8 0 w 10 Φw5 10 w 10 1 w 10 EX 326 Suponha que X é uniformemente distribuído em 1 3 e Y X2 Encontre a CDF e PDF de Y VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS EX 326 Suponha que X é uniformemente distribuído em 1 3 e Y X2 Encontre a CDF e PDF de Y VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS A PDF de X é FXx 14 1 w 3 0 caso contrario EX 326 Suponha que X é uniformemente distribuído em 1 3 e Y X2 Encontre a CDF e PDF de Y VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS Seguindo o procedimento de 2 passos primeiro observamos que 0 Y 9 Assim FYy 0 para y 0 e FYy 1 para y 9 Para encontrar toda a CDF fazemos A PDF de X é FXx 14 1 w 3 0 caso contrario EX 326 Suponha que X é uniformemente distribuído em 1 3 e Y X2 Encontre a CDF e PDF de Y VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS Seguindo o procedimento de 2 passos primeiro observamos que 0 Y 9 Assim FYy 0 para y 0 e FYy 1 para y 9 Para encontrar toda a CDF fazemos A PDF de X é FXx 14 1 w 3 0 caso contrario FY y P X2 y P py X py Z py py fXx dx EX 326 Suponha que X é uniformemente distribuído em 1 3 e Y X2 Encontre a CDF e PDF de Y VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS Seguindo o procedimento de 2 passos primeiro observamos que 0 Y 9 Assim FYy 0 para y 0 e FYy 1 para y 9 Para encontrar toda a CDF fazemos A PDF de X é FXx 14 1 w 3 0 caso contrario FY y P X2 y P py X py Z py py fXx dx Observer que encontrar os valores de FYy pode ser complicado pois depende dos valores exatos de y Para 0 y 1 e py x py EX 326 Suponha que X é uniformemente distribuído em 1 3 e Y X2 Encontre a CDF e PDF de Y VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS Seguindo o procedimento de 2 passos primeiro observamos que 0 Y 9 Assim FYy 0 para y 0 e FYy 1 para y 9 Para encontrar toda a CDF fazemos A PDF de X é FXx 14 1 w 3 0 caso contrario FY y P X2 y P py X py Z py py fXx dx Observer que encontrar os valores de FYy pode ser complicado pois depende dos valores exatos de y Para 0 y 1 e py x py EX 326 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS EX 326 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS Para 1 y 9 1 x py EX 326 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS Para 1 y 9 1 x py EX 326 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS Para 1 y 9 1 x py Combinando cada pedaço das CDFs obtemos EX 326 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS Para 1 y 9 1 x py Combinando cada pedaço das CDFs obtemos EX 326 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS Para 1 y 9 1 x py Combinando cada pedaço das CDFs obtemos Derivando em cada intervalo obtemos a PDF EX 326 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS Para 1 y 9 1 x py Combinando cada pedaço das CDFs obtemos Derivando em cada intervalo obtemos a PDF Teorema Seja U uma va uniforme 0 1 e Fx a CDF com uma inversa F1u definida para 0 u 1 A va X F1U possui CDF FXx Fx EX 327 U é va uniforme 0 1 e X gU Derive gU tal que X é um va exponencial 1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS Teorema Seja U uma va uniforme 0 1 e Fx a CDF com uma inversa F1u definida para 0 u 1 A va X F1U possui CDF FXx Fx EX 327 U é va uniforme 0 1 e X gU Derive gU tal que X é um va exponencial 1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS A CDF de X é Teorema Seja U uma va uniforme 0 1 e Fx a CDF com uma inversa F1u definida para 0 u 1 A va X F1U possui CDF FXx Fx EX 327 U é va uniforme 0 1 e X gU Derive gU tal que X é um va exponencial 1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS A CDF de X é FXx 0 x 0 1 ex x 0 Teorema Seja U uma va uniforme 0 1 e Fx a CDF com uma inversa F1u definida para 0 u 1 A va X F1U possui CDF FXx Fx EX 327 U é va uniforme 0 1 e X gU Derive gU tal que X é um va exponencial 1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS A CDF de X é Note que se u FXx 1 ex então x ln1 u Isto é para qualquer u 0 FX1u ln1 u Pelo teorema acima FXx 0 x 0 1 ex x 0 Teorema Seja U uma va uniforme 0 1 e Fx a CDF com uma inversa F1u definida para 0 u 1 A va X F1U possui CDF FXx Fx EX 327 U é va uniforme 0 1 e X gU Derive gU tal que X é um va exponencial 1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS A CDF de X é Note que se u FXx 1 ex então x ln1 u Isto é para qualquer u 0 FX1u ln1 u Pelo teorema acima FXx 0 x 0 1 ex x 0 X gU ln1 U Teorema Seja U uma va uniforme 0 1 e Fx a CDF com uma inversa F1u definida para 0 u 1 A va X F1U possui CDF FXx Fx EX 327 U é va uniforme 0 1 e X gU Derive gU tal que X é um va exponencial 1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS A CDF de X é Note que se u FXx 1 ex então x ln1 u Isto é para qualquer u 0 FX1u ln1 u Pelo teorema acima FXx 0 x 0 1 ex x 0 X gU ln1 U é uma va exponencial com parâmetro λ 1 EX 328 Para a va uniforme 0 1 U encontre uma função g tal que X gU tenha distribuição uniforme a b VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS EX 328 Para a va uniforme 0 1 U encontre uma função g tal que X gU tenha distribuição uniforme a b VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS A CDF de X é EX 328 Para a va uniforme 0 1 U encontre uma função g tal que X gU tenha distribuição uniforme a b VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS A CDF de X é FXx 8 0 x a x ab a a x b 1 x b EX 328 Para a va uniforme 0 1 U encontre uma função g tal que X gU tenha distribuição uniforme a b VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS A CDF de X é FXx 8 0 x a x ab a a x b 1 x b Para qualquer u satisfazendo 0 u 1 u FXx x a b a se e somente se EX 328 Para a va uniforme 0 1 U encontre uma função g tal que X gU tenha distribuição uniforme a b VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS A CDF de X é FXx 8 0 x a x ab a a x b 1 x b Para qualquer u satisfazendo 0 u 1 u FXx x a b a se e somente se x F 1 X u a b au EX 328 Para a va uniforme 0 1 U encontre uma função g tal que X gU tenha distribuição uniforme a b VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS A CDF de X é FXx 8 0 x a x ab a a x b 1 x b Para qualquer u satisfazendo 0 u 1 u FXx x a b a se e somente se x F 1 X u a b au E assim X a b aU é uma va uniforme a b EX 328 Para a va uniforme 0 1 U encontre uma função g tal que X gU tenha distribuição uniforme a b VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS A CDF de X é FXx 8 0 x a x ab a a x b 1 x b Para qualquer u satisfazendo 0 u 1 u FXx x a b a se e somente se x F 1 X u a b au E assim X a b aU é uma va uniforme a b OBS podemos provar que a função esta correta utilizando teoremas anteriores 1 b aU resulta em uma va com distribuição uniforme 0 b a 2 a b aU resulta em uma va com distribuição uniforme a b a a a b QUIZ 37 A va X tem PDF Um limitador rígido produz Determine 1 FXx 2 PY 1 3 FYy 4 fYy VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS fXx 1 x2 0 x 2 0 caso contrario Y X X 1 1 X 1 QUIZ 37 A va X tem PDF Um limitador rígido produz Determine 1 FXx 2 PY 1 3 FYy 4 fYy VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS fXx 1 x2 0 x 2 0 caso contrario Y X X 1 1 X 1 FXx 8 0 x 0 x x24 0 x 2 1 x 2 QUIZ 37 A va X tem PDF Um limitador rígido produz Determine 1 FXx 2 PY 1 3 FYy 4 fYy VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS fXx 1 x2 0 x 2 0 caso contrario Y X X 1 1 X 1 QUIZ 37 A va X tem PDF Um limitador rígido produz Determine 1 FXx 2 PY 1 3 FYy 4 fYy VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS fXx 1 x2 0 x 2 0 caso contrario Y X X 1 1 X 1 PY 1 PX 1 1 FX1 1 34 14 QUIZ 37 A va X tem PDF Um limitador rígido produz Determine 1 FXx 2 PY 1 3 FYy 4 fYy VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS fXx 1 x2 0 x 2 0 caso contrario Y X X 1 1 X 1 QUIZ 37 A va X tem PDF Um limitador rígido produz Determine 1 FXx 2 PY 1 3 FYy 4 fYy VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS fXx 1 x2 0 x 2 0 caso contrario Y X X 1 1 X 1 Fyy 8 0 y 0 y y24 0 x 1 1 y 1 QUIZ 37 A va X tem PDF Um limitador rígido produz Determine 1 FXx 2 PY 1 3 FYy 4 fYy VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS fXx 1 x2 0 x 2 0 caso contrario Y X X 1 1 X 1 QUIZ 37 A va X tem PDF Um limitador rígido produz Determine 1 FXx 2 PY 1 3 FYy 4 fYy VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS fXx 1 x2 0 x 2 0 caso contrario Y X X 1 1 X 1 fY y 8 1 y2 0 x 1 14 y 1 0 caso contrario 1 y2 14δy 1 0 x 1 0 caso contrario QUIZ 37 A va X tem PDF Um limitador rígido produz Determine 1 FXx 2 PY 1 3 FYy 4 fYy VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS MODELOS PROBABILÍSTICOS DE VAS DERIVADAS fXx 1 x2 0 x 2 0 caso contrario Y X X 1 1 X 1 Definição PDF condicional dado um evento para uma va X com PDF fxx e um evento B SX com PB 0 a PDF condicional de X dado B é EX 330 Para o experimento do exemplo 31 encontre a PDF condicional da posição do ponteiro parar no lado esquerdo do círculo VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS CONDICIONANDO UMA VA CONTÍNUA fXBx fXx P B x 2 B 0 caso contrario Definição PDF condicional dado um evento para uma va X com PDF fxx e um evento B SX com PB 0 a PDF condicional de X dado B é EX 330 Para o experimento do exemplo 31 encontre a PDF condicional da posição do ponteiro parar no lado esquerdo do círculo VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS CONDICIONANDO UMA VA CONTÍNUA fXBx fXx P B x 2 B 0 caso contrario Considerando que o ponteiro parte do zero no topo do círculo o evento L 12 1 define o ponteiro parando no lado esquerdo do círculo Definição PDF condicional dado um evento para uma va X com PDF fxx e um evento B SX com PB 0 a PDF condicional de X dado B é EX 330 Para o experimento do exemplo 31 encontre a PDF condicional da posição do ponteiro parar no lado esquerdo do círculo VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS CONDICIONANDO UMA VA CONTÍNUA fXBx fXx P B x 2 B 0 caso contrario Considerando que o ponteiro parte do zero no topo do círculo o evento L 12 1 define o ponteiro parando no lado esquerdo do círculo PL Z 1 12 fXx dx Z 1 12 1 dx 12 Definição PDF condicional dado um evento para uma va X com PDF fxx e um evento B SX com PB 0 a PDF condicional de X dado B é EX 330 Para o experimento do exemplo 31 encontre a PDF condicional da posição do ponteiro parar no lado esquerdo do círculo VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS CONDICIONANDO UMA VA CONTÍNUA fXBx fXx P B x 2 B 0 caso contrario Considerando que o ponteiro parte do zero no topo do círculo o evento L 12 1 define o ponteiro parando no lado esquerdo do círculo PL Z 1 12 fXx dx Z 1 12 1 dx 12 e Definição PDF condicional dado um evento para uma va X com PDF fxx e um evento B SX com PB 0 a PDF condicional de X dado B é EX 330 Para o experimento do exemplo 31 encontre a PDF condicional da posição do ponteiro parar no lado esquerdo do círculo VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS CONDICIONANDO UMA VA CONTÍNUA fXBx fXx P B x 2 B 0 caso contrario Considerando que o ponteiro parte do zero no topo do círculo o evento L 12 1 define o ponteiro parando no lado esquerdo do círculo fXLx 2 12 x 1 0 caso contrario PL Z 1 12 fXx dx Z 1 12 1 dx 12 e EX 331 A va uniforme r2 r2 X é processado por um quantizador que produz a saída quantizada Y A va X é arredondada para o nível do quantizador mais próximo Com um quantizador de b bits existem n 2b níveis de quantização O tamanho de passo do quantizador é Δ rn e Y tem valores no conjunto QY yi Δ2 iΔ i n2 n2 1 n2 1 Esta relação é apresentada para b 3 na figura abaixo Dado o evento Bi que Y yi encontre a PDF condicional de X dado Bi VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS CONDICIONANDO UMA VA CONTÍNUA EX 331 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS CONDICIONANDO UMA VA CONTÍNUA EX 331 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS CONDICIONANDO UMA VA CONTÍNUA Em termos de X observamos que Bi iΔ X i 1 Δ Então EX 331 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS CONDICIONANDO UMA VA CONTÍNUA Em termos de X observamos que Bi iΔ X i 1 Δ Então PBi Z i1 i fXx dx r 1 n EX 331 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS CONDICIONANDO UMA VA CONTÍNUA Em termos de X observamos que Bi iΔ X i 1 Δ Então Assim PBi Z i1 i fXx dx r 1 n EX 331 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS CONDICIONANDO UMA VA CONTÍNUA Em termos de X observamos que Bi iΔ X i 1 Δ Então Assim PBi Z i1 i fXx dx r 1 n fXBix fXx P Bi x 2 Bi 0 caso contrario 1 i x i 1 0 caso contrario EX 331 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS CONDICIONANDO UMA VA CONTÍNUA Em termos de X observamos que Bi iΔ X i 1 Δ Então Assim PBi Z i1 i fXx dx r 1 n fXBix fXx P Bi x 2 Bi 0 caso contrario 1 i x i 1 0 caso contrario Ou seja a PDF condicional de X dado Bi é uniforme sobre o iésimo intervalo de quantização Teorema Dado um espaço de evento Bi e PDFs condicionais fXBix EX 332 Continuando o exemplo 33 quando o símbolo 0 é transmitido evento B0 X é va Gaussiana 5 2 Quando o símbolo 1 é transmitido evento B1 X é va Gaussiana 5 2 Dado que os símbolos 0 e 1 são igualmente prováveis de serem transmitidos qual a PDF de X VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS CONDICIONANDO UMA VA CONTÍNUA fXx X i fXBixPBi fXB0x 1 2 p 2 ex528 fXB1x 1 2 p 2 ex528 fXx fXB0xPB0 fXB1xPB1 1 4 p 2 ex528 ex528 Teorema Dado um espaço de evento Bi e PDFs condicionais fXBix EX 332 Continuando o exemplo 33 quando o símbolo 0 é transmitido evento B0 X é va Gaussiana 5 2 Quando o símbolo 1 é transmitido evento B1 X é va Gaussiana 5 2 Dado que os símbolos 0 e 1 são igualmente prováveis de serem transmitidos qual a PDF de X VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS CONDICIONANDO UMA VA CONTÍNUA As PDFs condicionais são fXx X i fXBixPBi fXB0x 1 2 p 2 ex528 fXB1x 1 2 p 2 ex528 fXx fXB0xPB0 fXB1xPB1 1 4 p 2 ex528 ex528 Teorema Dado um espaço de evento Bi e PDFs condicionais fXBix EX 332 Continuando o exemplo 33 quando o símbolo 0 é transmitido evento B0 X é va Gaussiana 5 2 Quando o símbolo 1 é transmitido evento B1 X é va Gaussiana 5 2 Dado que os símbolos 0 e 1 são igualmente prováveis de serem transmitidos qual a PDF de X VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS CONDICIONANDO UMA VA CONTÍNUA As PDFs condicionais são fXx X i fXBixPBi fXB0x 1 2 p 2 ex528 fXB1x 1 2 p 2 ex528 e fXx fXB0xPB0 fXB1xPB1 1 4 p 2 ex528 ex528 Teorema Dado um espaço de evento Bi e PDFs condicionais fXBix EX 332 Continuando o exemplo 33 quando o símbolo 0 é transmitido evento B0 X é va Gaussiana 5 2 Quando o símbolo 1 é transmitido evento B1 X é va Gaussiana 5 2 Dado que os símbolos 0 e 1 são igualmente prováveis de serem transmitidos qual a PDF de X VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS CONDICIONANDO UMA VA CONTÍNUA As PDFs condicionais são fXx X i fXBixPBi fXB0x 1 2 p 2 ex528 fXB1x 1 2 p 2 ex528 e Aplicando o teorema assim obtemos fXx fXB0xPB0 fXB1xPB1 1 4 p 2 ex528 ex528 Definição Se x B o valor esperado condicional de X é O valor esperado condicional de gX é A variância condicional de X é EX 333 Continuando o exemplo 330 encontre o valor esperado condicional e desvio padrão condicional da posição do ponteiro X dado o evento L que o ponteiro pare no lado esquerdo VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS CONDICIONANDO UMA VA CONTÍNUA EXB Z 1 1 xfxBx dx EgXB Z 1 1 gxfxBx dx V arXB E X µXB2B EX2B µ2 XB Definição Se x B o valor esperado condicional de X é O valor esperado condicional de gX é A variância condicional de X é EX 333 Continuando o exemplo 330 encontre o valor esperado condicional e desvio padrão condicional da posição do ponteiro X dado o evento L que o ponteiro pare no lado esquerdo VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS CONDICIONANDO UMA VA CONTÍNUA EXL Z 1 12 xfXLx dx Z 1 12 2x dx x21 12 34 EXB Z 1 1 xfxBx dx EgXB Z 1 1 gxfxBx dx V arXB E X µXB2B EX2B µ2 XB VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS CONDICIONANDO UMA VA CONTINUA Definigao Se x B o valor esperado condicional de X é BUXB f afyypa da O valor esperado condicional de gX é BlgXB 92foiax de A variancia condicional de X é VarXB EB X pxsB BLXB wxp EX 333 Continuando o exemplo 330 encontre o valor esperado condicional e desvio padrao condicional da posigao do ponteiro X dado o evento L que o ponteiro pare no lado esquerdo EXL xfxizx io f Qa dx xij34 ElXL 2a dx 7 a rs 12 we 12 zi ef 12 3 os 12 VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS CONDICIONANDO UMA VA CONTINUA Definigao Se x B o valor esperado condicional de X é BUXB f afyypa da O valor esperado condicional de gX é BlgXB 92foiax de A variancia condicional de X é VarXB B X px1pB BXB 124 EX 333 Continuando o exemplo 330 encontre o valor esperado condicional e desvio padrao condicional da posigao do ponteiro X dado o evento L que o ponteiro pare no lado esquerdo pixie f fxizx d 2a dx 27134 EX L ad 2 a a Ee ine se 3 uw ae we VarXL EX IL xin 75 a z VARIAVEIS ALEATORIAS CONTINUAS CONDICIONANDO UMA VA CONTINUA Definigao Se x B o valor esperado condicional de X é BUXB f afyypa da O valor esperado condicional de gX é BlgXB 92foiax de A variancia condicional de X é VarXB B X px1pB BXB 124 EX 333 Continuando o exemplo 330 encontre o valor esperado condicional e desvio padrao condicional da posigao do ponteiro X dado o evento L que o ponteiro pare no lado esquerdo pixie f fxizx d 2a dx 27134 EX L ad 2 a a Ee ine se 3 uw rT fey 1 VarlXd BIX 1 4 oxu Ve EX 334 Suponha que a duração T em minutos de uma chamada telefônica é uma va exponencial 13 Para chamadas que duram mais de 2 minutos qual a PDF condicional da duração da chamada Qual o valor esperado condicional para este caso VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS CONDICIONANDO UMA VA CONTÍNUA PT 2 Z 1 2 fT t dt e23 ETT 2 Z 1 2 t1 3et23 dt 5 QUIZ 38 A PDF da va Y é Encontre 1 PY 6 2 fYY6y 3 PY 8 4 fYY8y 5 EY Y 6 5 EY Y 8 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS CONDICIONANDO UMA VA CONTÍNUA fY y 110 0 y 10 0 caso contrario QUIZ 38 A PDF da va Y é Encontre 1 PY 6 2 fYY6y 3 PY 8 4 fYY8y 5 EY Y 6 5 EY Y 8 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS CONDICIONANDO UMA VA CONTÍNUA fY y 110 0 y 10 0 caso contrario PY Y 6 Z 6 0 1 10 dy 3 5 QUIZ 38 A PDF da va Y é Encontre 1 PY 6 2 fYY6y 3 PY 8 4 fYY8y 5 EY Y 6 5 EY Y 8 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS CONDICIONANDO UMA VA CONTÍNUA fY y 110 0 y 10 0 caso contrario QUIZ 38 A PDF da va Y é Encontre 1 PY 6 2 fYY6y 3 PY 8 4 fYY8y 5 EY Y 6 5 EY Y 8 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS CONDICIONANDO UMA VA CONTÍNUA fY y 110 0 y 10 0 caso contrario fY Y 6y 1 6 0 y 6 0 caso contrario QUIZ 38 A PDF da va Y é Encontre 1 PY 6 2 fYY6y 3 PY 8 4 fYY8y 5 EY Y 6 5 EY Y 8 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS CONDICIONANDO UMA VA CONTÍNUA fY y 110 0 y 10 0 caso contrario QUIZ 38 A PDF da va Y é Encontre 1 PY 6 2 fYY6y 3 PY 8 4 fYY8y 5 EY Y 6 5 EY Y 8 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS CONDICIONANDO UMA VA CONTÍNUA fY y 110 0 y 10 0 caso contrario PY Y 8 Z 10 8 1 10 dy 1 5 QUIZ 38 A PDF da va Y é Encontre 1 PY 6 2 fYY6y 3 PY 8 4 fYY8y 5 EY Y 6 5 EY Y 8 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS CONDICIONANDO UMA VA CONTÍNUA fY y 110 0 y 10 0 caso contrario QUIZ 38 A PDF da va Y é Encontre 1 PY 6 2 fYY6y 3 PY 8 4 fYY8y 5 EY Y 6 5 EY Y 8 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS CONDICIONANDO UMA VA CONTÍNUA fY y 110 0 y 10 0 caso contrario fY Y 8y 1 2 8 y 10 0 caso contrario QUIZ 38 A PDF da va Y é Encontre 1 PY 6 2 fYY6y 3 PY 8 4 fYY8y 5 EY Y 6 5 EY Y 8 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS CONDICIONANDO UMA VA CONTÍNUA fY y 110 0 y 10 0 caso contrario QUIZ 38 A PDF da va Y é Encontre 1 PY 6 2 fYY6y 3 PY 8 4 fYY8y 5 EY Y 6 5 EY Y 8 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS CONDICIONANDO UMA VA CONTÍNUA fY y 110 0 y 10 0 caso contrario EY Y 6 Z 6 0 1 6y dy 3 QUIZ 38 A PDF da va Y é Encontre 1 PY 6 2 fYY6y 3 PY 8 4 fYY8y 5 EY Y 6 5 EY Y 8 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS CONDICIONANDO UMA VA CONTÍNUA fY y 110 0 y 10 0 caso contrario QUIZ 38 A PDF da va Y é Encontre 1 PY 6 2 fYY6y 3 PY 8 4 fYY8y 5 EY Y 6 5 EY Y 8 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS CONDICIONANDO UMA VA CONTÍNUA fY y 110 0 y 10 0 caso contrario EY Y 8 Z 10 8 1 2y dy 9 QUIZ 38 A PDF da va Y é Encontre 1 PY 6 2 fYY6y 3 PY 8 4 fYY8y 5 EY Y 6 5 EY Y 8 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS CONDICIONANDO UMA VA CONTÍNUA fY y 110 0 y 10 0 caso contrario