Introdução a Variáveis Aleatórias Discretas

PROCESSOS ESTOCÁSTICOS PROF FABIANO CASTOLDI INTRODUÇÃO VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Um modelo de probabilidade sempre começa com um experimento o qual designa valores para os resultados no espaço amostras O conjunto de todas as observações possíveis é o espaço amostras S O conjunto dos valores possíveis de uma va X é definida como range de X SX Quando se observa um desses números referimos a observação como uma variável aleatória va Cada va é relacionada diretamente ao experimento existindo 3 tipos de relações A va é a observação Ex o experimento é colocar um foto detector em uma fibra ótica e contar o número de fótons chegando no intervalo de um microsegundo Cada observação é uma va X O range de X é SX0 1 2 Neste caso SX S INTRODUÇÃO VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS A va é uma função da observação Ex o experimento é testar 6 circuitos integrados e observar se o circuito é aceitável a ou rejeitado r Cada observação é uma sequência de 6 letras por exemplo sgaarraa O espaço amostral S consiste de 64 sequências possíveis A va para esse experimento pode ser o número de circuitos aceitáveis N Para o resultado sg N4 circuitos aceitáveis logo o range de N é SN 0 6 A va é função de outra va Ex no exemplo anterior a receita líquida obtida em um lote de 6 circuitos é R500 para cada circuito aceitável e menos R700 para cada circuito rejeitado Quando N circuitos são aceitáveis 6N são rejeitados e assim a receita líquida é dada pela função como SN 0 1 6 o range de R é SR 42 30 18 6 6 18 30 R gN 5N 76 N 12N 42 Reais Definição Variável Aleatória uma va consiste de um experimento com uma medida de probabilidade P definida sobre um espaço amostral S e uma função que designa um número real para cada resultado no espaço amostral do experimento Definição va Discreta X é uma va discreta se o range de X é um conjunto contável SX x1 x2 A característica que define uma va discreta é que o conjunto de valores possíveis possa em princípio ser listado mesmo que por uma lista infinita Diferentemente uma va que pode assumir qualquer valor real em um intervalo por exemplo a y b é uma va contínua Definição va Finita X é uma va finita se o range é um conjunto finito SX x1 Xn VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS INTRODUÇÃO Ex 25 Suponha que observamos 3 chamadas em uma central telefônica onde chamada de voz v e dados d são igualmente prováveis Denote X como o número de chamadas de voz Y o número de chamadas de dados e seja R XY O espaço amostral do experimento e os valores correspondentes das vas X Y e R são VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS INTRODUÇÃO Ex 25 Suponha que observamos 3 chamadas em uma central telefônica onde chamada de voz v e dados d são igualmente prováveis Denote X como o número de chamadas de voz Y o número de chamadas de dados e seja R XY O espaço amostral do experimento e os valores correspondentes das vas X Y e R são VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS INTRODUÇÃO Definição a PMF de uma va discreta X é Observe que X x é um evento consistindo de todos os resultados s de um experimento para o qual Xs x Por outro lado PXx é uma função abrangendo todos os números reais x Para qualquer valor de x a função PXx é a probabilidade do evento X x Os gráficos para PMFs são contidos em barras proporcionais Ex 26 Qual a PMF do ex 25 Observando a tabela do exemplo anterior e somando as contribuições das probabilidades podemos obter VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE PMF PXx PX x Definição a PMF de uma va discreta X é Observe que X x é um evento consistindo de todos os resultados s de um experimento para o qual Xs x Por outro lado PXx é uma função abrangendo todos os números reais x Para qualquer valor de x a função PXx é a probabilidade do evento X x Os gráficos para PMFs são contidos em barras proporcionais Ex 26 Qual a PMF do ex 25 Observando a tabela do exemplo anterior e somando as contribuições das probabilidades podemos obter VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE PMF PXx PX x Ex 27 Um jogador de basquete ao arremessar 2 lances livres tem uma igual probabilidade de acertar g ou errar b Cada arremesso vale 1 ponto Qual é a PMF de X o número de pontos marcados Há 4 possíveis resultados para este experimento gg gb bg bb Um simples diagrama de árvore indica que cada resultado tem possibilidade de 14 A va X tem 3 possíveis resultados correspondendo a 3 eventos VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE PMF Ex 27 Um jogador de basquete ao arremessar 2 lances livres tem uma igual probabilidade de acertar g ou errar b Cada arremesso vale 1 ponto Qual é a PMF de X o número de pontos marcados Há 4 possíveis resultados para este experimento gg gb bg bb Um simples diagrama de árvore indica que cada resultado tem possibilidade de 14 A va X tem 3 possíveis resultados correspondendo a 3 eventos VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE PMF X 0 bb X 1 gb bg X 2 gg Ex 27 Um jogador de basquete ao arremessar 2 lances livres tem uma igual probabilidade de acertar g ou errar b Cada arremesso vale 1 ponto Qual é a PMF de X o número de pontos marcados Há 4 possíveis resultados para este experimento gg gb bg bb Um simples diagrama de árvore indica que cada resultado tem possibilidade de 14 A va X tem 3 possíveis resultados correspondendo a 3 eventos VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE PMF X 0 bb X 1 gb bg X 2 gg Como cada resultado tem probabilidade 14 Ex 27 Um jogador de basquete ao arremessar 2 lances livres tem uma igual probabilidade de acertar g ou errar b Cada arremesso vale 1 ponto Qual é a PMF de X o número de pontos marcados Há 4 possíveis resultados para este experimento gg gb bg bb Um simples diagrama de árvore indica que cada resultado tem possibilidade de 14 A va X tem 3 possíveis resultados correspondendo a 3 eventos VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE PMF X 0 bb X 1 gb bg X 2 gg Como cada resultado tem probabilidade 14 PX0 14 PX1 12 PX2 14 Ex 27 Um jogador de basquete ao arremessar 2 lances livres tem uma igual probabilidade de acertar g ou errar b Cada arremesso vale 1 ponto Qual é a PMF de X o número de pontos marcados Há 4 possíveis resultados para este experimento gg gb bg bb Um simples diagrama de árvore indica que cada resultado tem possibilidade de 14 A va X tem 3 possíveis resultados correspondendo a 3 eventos VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE PMF X 0 bb X 1 gb bg X 2 gg Como cada resultado tem probabilidade 14 PX0 14 PX1 12 PX2 14 Assim podemos expressar a PMF como Ex 27 Um jogador de basquete ao arremessar 2 lances livres tem uma igual probabilidade de acertar g ou errar b Cada arremesso vale 1 ponto Qual é a PMF de X o número de pontos marcados Há 4 possíveis resultados para este experimento gg gb bg bb Um simples diagrama de árvore indica que cada resultado tem possibilidade de 14 A va X tem 3 possíveis resultados correspondendo a 3 eventos VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE PMF X 0 bb X 1 gb bg X 2 gg Como cada resultado tem probabilidade 14 PX0 14 PX1 12 PX2 14 Assim podemos expressar a PMF como A PMF contém toda a informação sobre a va X Por PXx ser a probabilidade do evento X x PXx tem uma quantidade de propriedades importantes TeoremaPara uma va discreta X com PMF PXx e range SX a Para qualquer x PXx 0 b c Para qualquer evento BSX a probabilidade que X está em B é VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE PMF X x2Sx PXx 1 PB X x2B PXx FAMÍLIAS DE VAS DISCRETAS 1 VA de Bernoulli p X é uma va de Bernoulli se a PMF de X tem a forma onde o parâmetro p está na faixa 0 p 1 Ex 29 210 Suponha o teste de um circuito Com probabilidade de p 02 o circuito é rejeitado Seja X o número de circuitos rejeitados em um teste Qual é PXx VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS PXx 8 1 p x 0 p x 1 0 caso contrario FAMÍLIAS DE VAS DISCRETAS 1 VA de Bernoulli p X é uma va de Bernoulli se a PMF de X tem a forma onde o parâmetro p está na faixa 0 p 1 Ex 29 210 Suponha o teste de um circuito Com probabilidade de p 02 o circuito é rejeitado Seja X o número de circuitos rejeitados em um teste Qual é PXx VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS PXx 8 1 p x 0 p x 1 0 caso contrario Como só estamos testando 1 circuito nosso espaço amostras possui só 2 elementos logo FAMÍLIAS DE VAS DISCRETAS 1 VA de Bernoulli p X é uma va de Bernoulli se a PMF de X tem a forma onde o parâmetro p está na faixa 0 p 1 Ex 29 210 Suponha o teste de um circuito Com probabilidade de p 02 o circuito é rejeitado Seja X o número de circuitos rejeitados em um teste Qual é PXx VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS PXx 8 1 p x 0 p x 1 0 caso contrario Como só estamos testando 1 circuito nosso espaço amostras possui só 2 elementos logo 2 VA Geométrica p X é uma va geométrica se a PMF de X tem a forma onde o parâmetro p está na faixa 0 p 1 Ex 211 212 No teste de circuitos integrados existe uma probabilidade p 02 de que o circuito seja rejeitado Seja Y o número de testes até e incluindo o primeiro teste que encontra uma rejeição Qual a PMF de Y FAMÍLIAS DE VAS DISCRETAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS PXx p1 px1 x 1 2 0 caso contrario 2 VA Geométrica p X é uma va geométrica se a PMF de X tem a forma onde o parâmetro p está na faixa 0 p 1 Ex 211 212 No teste de circuitos integrados existe uma probabilidade p 02 de que o circuito seja rejeitado Seja Y o número de testes até e incluindo o primeiro teste que encontra uma rejeição Qual a PMF de Y FAMÍLIAS DE VAS DISCRETAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS PXx p1 px1 x 1 2 0 caso contrario 2 VA Geométrica p X é uma va geométrica se a PMF de X tem a forma onde o parâmetro p está na faixa 0 p 1 Ex 211 212 No teste de circuitos integrados existe uma probabilidade p 02 de que o circuito seja rejeitado Seja Y o número de testes até e incluindo o primeiro teste que encontra uma rejeição Qual a PMF de Y FAMÍLIAS DE VAS DISCRETAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS PXx p1 px1 x 1 2 0 caso contrario A partir da árvore é possível deduzira PMF 2 VA Geométrica p X é uma va geométrica se a PMF de X tem a forma onde o parâmetro p está na faixa 0 p 1 Ex 211 212 No teste de circuitos integrados existe uma probabilidade p 02 de que o circuito seja rejeitado Seja Y o número de testes até e incluindo o primeiro teste que encontra uma rejeição Qual a PMF de Y FAMÍLIAS DE VAS DISCRETAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS PXx p1 px1 x 1 2 0 caso contrario A partir da árvore é possível deduzira PMF 3 VA Binomial np X é uma va binomial se a PMF possui a forma onde 0 p 1 e n é um inteiro tal que n 1 Ex 213 214 Suponha que testemos n 10 circuitos e cada circuito é rejeitado com probabilidade p 02 independente do resultado dos outros testes Seja K o número de rejeições em n testes Encontre a PMF de PKk FAMÍLIAS DE VAS DISCRETAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS PXx 8 n x px1 pnx x 1 2 0 caso contrario 3 VA Binomial np X é uma va binomial se a PMF possui a forma onde 0 p 1 e n é um inteiro tal que n 1 Ex 213 214 Suponha que testemos n 10 circuitos e cada circuito é rejeitado com probabilidade p 02 independente do resultado dos outros testes Seja K o número de rejeições em n testes Encontre a PMF de PKk FAMÍLIAS DE VAS DISCRETAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS PXx 8 n x px1 pnx x 1 2 0 caso contrario 4 VA Discreta Uniforme kl X é uma va discreta uniforme se a PMF de X tem a forma onde k e l são inteiros tais que k l Ex 218 No experimento de rolar um dado não viciado a va N é a observação do número de pontos que aparecem no lado virado para cima do dado Assim N é uma va discreta uniforme 1 6 FAMÍLIAS DE VAS DISCRETAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS PXx 1 lk1 x k k 1 l 0 caso contrario 4 VA Discreta Uniforme kl X é uma va discreta uniforme se a PMF de X tem a forma onde k e l são inteiros tais que k l Ex 218 No experimento de rolar um dado não viciado a va N é a observação do número de pontos que aparecem no lado virado para cima do dado Assim N é uma va discreta uniforme 1 6 FAMÍLIAS DE VAS DISCRETAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS PXx 1 lk1 x k k 1 l 0 caso contrario 5 VA de Poisson α X é uma va de Poisson se a PMF tem a forma onde o parâmetro α está na faixa α 0 O modelo de Poisson geralmente especifica uma taxa média λ chegadas por segundo e um intervalo de tempo T segundos Neste intervalo o número de chegadas X tem uma PMF de Poisson com α λT Ex 219 O número de hits em um site em qualquer intervalo de tempo é uma va de Poisson Um site em particular tem média λ 2 hits por segundo Qual a probabilidade de não acontecer hits em um intervalo de 025 segundos Qual a probabilidade de acontecer não mais de 2 hits no intervalo de um segundo FAMÍLIAS DE VAS DISCRETAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS PXx xe x x 0 1 0 caso contrario 5 VA de Poisson α X é uma va de Poisson se a PMF tem a forma onde o parâmetro α está na faixa α 0 O modelo de Poisson geralmente especifica uma taxa média λ chegadas por segundo e um intervalo de tempo T segundos Neste intervalo o número de chegadas X tem uma PMF de Poisson com α λT Ex 219 O número de hits em um site em qualquer intervalo de tempo é uma va de Poisson Um site em particular tem média λ 2 hits por segundo Qual a probabilidade de não acontecer hits em um intervalo de 025 segundos Qual a probabilidade de acontecer não mais de 2 hits no intervalo de um segundo FAMÍLIAS DE VAS DISCRETAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS No intervalo de 025 s o número de hits H é uma va de Poisson com α λT 2 hitss 025 s 05 hits Logo a PMF de H é PXx xe x x 0 1 0 caso contrario Ex 219 continuação FAMÍLIAS DE VAS DISCRETAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Ex 219 continuação FAMÍLIAS DE VAS DISCRETAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS PHh 05he05 h h 0 1 0 caso contrario Ex 219 continuação FAMÍLIAS DE VAS DISCRETAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Para este caso a probabilidade de nenhum hit é PHh 05he05 h h 0 1 0 caso contrario Ex 219 continuação FAMÍLIAS DE VAS DISCRETAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Para este caso a probabilidade de nenhum hit é PHh 05he05 h h 0 1 0 caso contrario PH 0 PH0 0 50e05 0 0 607 Ex 219 continuação FAMÍLIAS DE VAS DISCRETAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Para este caso a probabilidade de nenhum hit é PHh 05he05 h h 0 1 0 caso contrario PH 0 PH0 0 50e05 0 0 607 Para a segunda parte no intervalo de 1 s α λT 2 hitss 1 s 2 hits Seja J o número de hits em um segundo a PMF de J é Ex 219 continuação FAMÍLIAS DE VAS DISCRETAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Para este caso a probabilidade de nenhum hit é PHh 05he05 h h 0 1 0 caso contrario PJj 2je2 j j 0 1 0 caso contrario PH 0 PH0 0 50e05 0 0 607 Para a segunda parte no intervalo de 1 s α λT 2 hitss 1 s 2 hits Seja J o número de hits em um segundo a PMF de J é Ex 219 continuação FAMÍLIAS DE VAS DISCRETAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Para este caso a probabilidade de nenhum hit é PHh 05he05 h h 0 1 0 caso contrario PJj 2je2 j j 0 1 0 caso contrario PH 0 PH0 0 50e05 0 0 607 Para a segunda parte no intervalo de 1 s α λT 2 hitss 1 s 2 hits Seja J o número de hits em um segundo a PMF de J é Agora para achar a probabilidade de não mais que 2 hits temos a união dos eventos mutuamente exclusivos J 2 J 0 J 1 J 2 Ex 219 continuação FAMÍLIAS DE VAS DISCRETAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Para este caso a probabilidade de nenhum hit é PHh 05he05 h h 0 1 0 caso contrario PJj 2je2 j j 0 1 0 caso contrario PH 0 PH0 0 50e05 0 0 607 Para a segunda parte no intervalo de 1 s α λT 2 hitss 1 s 2 hits Seja J o número de hits em um segundo a PMF de J é Agora para achar a probabilidade de não mais que 2 hits temos a união dos eventos mutuamente exclusivos J 2 J 0 J 1 J 2 PJ 2 PJ 0 PJ 1 PJ 2 PJ0 PJ1 PJ2 e2 21e2 1 22e2 2 0 677 Ex 220 O número de pesquisas em um banco de dados processados por um computador em qualquer intervalo de 10 segundos é uma va de Poisson K com α 5 pesquisas Qual a probabilidade de não haver pesquisas processados em um intervalo de 10 segundos Qual a probabilidade que pelo menos 2 pesquisas sejam processadas em um intervalo de 2 segundos FAMÍLIAS DE VAS DISCRETAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Ex 220 O número de pesquisas em um banco de dados processados por um computador em qualquer intervalo de 10 segundos é uma va de Poisson K com α 5 pesquisas Qual a probabilidade de não haver pesquisas processados em um intervalo de 10 segundos Qual a probabilidade que pelo menos 2 pesquisas sejam processadas em um intervalo de 2 segundos FAMÍLIAS DE VAS DISCRETAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS PKk 5ke5 k k 0 1 0 caso contrario Ex 220 O número de pesquisas em um banco de dados processados por um computador em qualquer intervalo de 10 segundos é uma va de Poisson K com α 5 pesquisas Qual a probabilidade de não haver pesquisas processados em um intervalo de 10 segundos Qual a probabilidade que pelo menos 2 pesquisas sejam processadas em um intervalo de 2 segundos FAMÍLIAS DE VAS DISCRETAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Logo PK 0 PK0 e5 00067 Já para a segunda pergunta precisamos recalcular o novo α Para isso encontramos o valor de λ αT 510 05 pesquisas por segundo Agora considerando N o número de pesquisas processadas no intervalo de 2 segundos α 052 1 pesquisa e a PMF de N é PKk 5ke5 k k 0 1 0 caso contrario Ex 220 O número de pesquisas em um banco de dados processados por um computador em qualquer intervalo de 10 segundos é uma va de Poisson K com α 5 pesquisas Qual a probabilidade de não haver pesquisas processados em um intervalo de 10 segundos Qual a probabilidade que pelo menos 2 pesquisas sejam processadas em um intervalo de 2 segundos FAMÍLIAS DE VAS DISCRETAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Logo PK 0 PK0 e5 00067 Já para a segunda pergunta precisamos recalcular o novo α Para isso encontramos o valor de λ αT 510 05 pesquisas por segundo Agora considerando N o número de pesquisas processadas no intervalo de 2 segundos α 052 1 pesquisa e a PMF de N é PKk 5ke5 k k 0 1 0 caso contrario PNn e1 n n 0 1 0 caso contrario Ex 220 O número de pesquisas em um banco de dados processados por um computador em qualquer intervalo de 10 segundos é uma va de Poisson K com α 5 pesquisas Qual a probabilidade de não haver pesquisas processados em um intervalo de 10 segundos Qual a probabilidade que pelo menos 2 pesquisas sejam processadas em um intervalo de 2 segundos FAMÍLIAS DE VAS DISCRETAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Logo PK 0 PK0 e5 00067 Já para a segunda pergunta precisamos recalcular o novo α Para isso encontramos o valor de λ αT 510 05 pesquisas por segundo Agora considerando N o número de pesquisas processadas no intervalo de 2 segundos α 052 1 pesquisa e a PMF de N é PKk 5ke5 k k 0 1 0 caso contrario PNn e1 n n 0 1 0 caso contrario Assim Ex 220 O número de pesquisas em um banco de dados processados por um computador em qualquer intervalo de 10 segundos é uma va de Poisson K com α 5 pesquisas Qual a probabilidade de não haver pesquisas processados em um intervalo de 10 segundos Qual a probabilidade que pelo menos 2 pesquisas sejam processadas em um intervalo de 2 segundos FAMÍLIAS DE VAS DISCRETAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Logo PK 0 PK0 e5 00067 Já para a segunda pergunta precisamos recalcular o novo α Para isso encontramos o valor de λ αT 510 05 pesquisas por segundo Agora considerando N o número de pesquisas processadas no intervalo de 2 segundos α 052 1 pesquisa e a PMF de N é PKk 5ke5 k k 0 1 0 caso contrario PNn e1 n n 0 1 0 caso contrario Assim PN 2 1 PN0 PN1 1 e1 e1 0 264 FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO CUMULATIVA CDF Definição a CDF de uma va X é Para qualquer número real x a CDF é a probabilidade da va X não ser maior que x Todas as vas possuem CDF mas só as vas discretas possuem PMF Teorema Para qualquer va discreta X com range SX x1 x2 satisfazendo x1 x2 a FX 0 e FX 1 b para todo x x FXx FXx c para xi SX e ε um número positivo pequeno FXxi FXxiε PXxi d FXx FXxi para todo x tal que xi x xi1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FXx PX x FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO CUMULATIVA CDF Teorema para todo b a Ex 223 No exemplo 26 encontramos que a PMF da va R era Encontre e desenhe a CDF da va R VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FXb FXa Pa X b FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO CUMULATIVA CDF Teorema para todo b a Ex 223 No exemplo 26 encontramos que a PMF da va R era Encontre e desenhe a CDF da va R VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FXb FXa Pa X b FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO CUMULATIVA CDF Teorema para todo b a Ex 223 No exemplo 26 encontramos que a PMF da va R era Encontre e desenhe a CDF da va R VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FXb FXa Pa X b Observe que nas descontinuídades o valor de FRr são os valores superiores ie FR0 14 e FR2 1 VARIAVEIS ALEATORIAS DISCRETAS FUNCAO DISTRIBUICAO CUMULATIVA CDF Ex 2 24 No ex 211 Seja a probabilidade de um circuito ser rejeitado ser igual a p14 A PMF de Y o numero de testes até e incluindo a primeira rejeigao 6 uma va geométrica 14 com PMF ny s ray DO ve de 0 caso contrario Encontre A CDF de Y Y é uma va infinita como probabilidades nao zero para todas os inteiros positivos Para qualquer n 1 a CDF é n nm 1 3 jg1 Fyy Pr i z 7 jl jl Essa é uma série geométrica Podemos utilizar uma simplificagdo matematica onde ds 2 wt j1 Assim considerando x p 34 3 n 3 j1 1 n 3 j1 3 n vin 13 0 3 3 23 17 FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO CUMULATIVA CDF Ex 2 24 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Para completar a CDF precisamos considerar todos os valores inteiros e não inteiros de y Entretanto a va Y é discreta e portanto só possui valores inteiros Podemos utilizar a função floor a qual resulta no maior valor inteiro menor ou igual a y para descrevermos os passos na CDF byc FY y PY y FY byc Logo a CDF de Y resultando é Se quisermos saber por exemplo qual a probabilidade de Y ser um valor no conjunto 4 5 6 7 8 utilizamos o teorema anterior P3 Y 8 FY 8FY 3 1 3 4 8 1 3 4 3 3 4 3 3 4 8 0 322 MÉDIAS O valor da média de uma coleção de observações numéricas é uma estatística da coleção Existem várias médias sendo as mais usadas na estatística a média aritmética a media e a moda Definição a moda de uma va X é o número xmod satisfazendo PXxmod PXx para todo x Definição a mediana xmed de uma va X é o número que satisfaz PXXxmed PX Xxmed OBS uma va pode possuir várias Modas e Medianas EX 225 Em um teste 10 estudantes obtiveram as seguintes notas em uma escala de 0 à 10 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS 9 5 10 8 4 7 5 5 8 7 Encontre a média a mediana e a moda MÉDIAS O valor da média de uma coleção de observações numéricas é uma estatística da coleção Existem várias médias sendo as mais usadas na estatística a média aritmética a media e a moda Definição a moda de uma va X é o número xmod satisfazendo PXxmod PXx para todo x Definição a mediana xmed de uma va X é o número que satisfaz PXXxmed PX Xxmed OBS uma va pode possuir várias Modas e Medianas EX 225 Em um teste 10 estudantes obtiveram as seguintes notas em uma escala de 0 à 10 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS 9 5 10 8 4 7 5 5 8 7 Encontre a média a mediana e a moda Média 9510847558710 6810 68 MÉDIAS O valor da média de uma coleção de observações numéricas é uma estatística da coleção Existem várias médias sendo as mais usadas na estatística a média aritmética a media e a moda Definição a moda de uma va X é o número xmod satisfazendo PXxmod PXx para todo x Definição a mediana xmed de uma va X é o número que satisfaz PXXxmed PX Xxmed OBS uma va pode possuir várias Modas e Medianas EX 225 Em um teste 10 estudantes obtiveram as seguintes notas em uma escala de 0 à 10 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS 9 5 10 8 4 7 5 5 8 7 Encontre a média a mediana e a moda Média 9510847558710 6810 68 Mediana 7 4 valores abaixo e 4 valores acima MÉDIAS O valor da média de uma coleção de observações numéricas é uma estatística da coleção Existem várias médias sendo as mais usadas na estatística a média aritmética a media e a moda Definição a moda de uma va X é o número xmod satisfazendo PXxmod PXx para todo x Definição a mediana xmed de uma va X é o número que satisfaz PXXxmed PX Xxmed OBS uma va pode possuir várias Modas e Medianas EX 225 Em um teste 10 estudantes obtiveram as seguintes notas em uma escala de 0 à 10 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS 9 5 10 8 4 7 5 5 8 7 Encontre a média a mediana e a moda Média 9510847558710 6810 68 Mediana 7 4 valores abaixo e 4 valores acima Moda 5 ocorre 3x Um parâmetro de um modelo probabilístico corresponde a uma estatística de uma coleção de resultados onde cada parâmetro é um número que pode ser calculado a partir da PMF ou CDF de uma va Um dos parâmetros mais importantes é o valor esperado de uma va correspondendo ao valor médio de uma coleção de observações Definição Valor Esperado o valor esperado de uma va X é Esperança é sinônimo para valor esperado e algumas vezes valor médio é usado OBS de estudos sobre mecânica temos uma similaridade com a equação do valor esperado ie o centro de massa de um objeto em um linha µX é dado pela massa PXx multiplicada pela distância da origem x Esse é o motivo de PXx ser chamado de função massa de probabilidade VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS MÉDIAS EX µX X x2SX xPXx Para entendermos como essa definição de valor esperado corresponde a noção de somar um conjunto de medidas suponha que temos um experimento q produz uma va X e realizamos n testes independentes destes experimento Denotamos o valor de X no i ésimo teste por xi Dizemos que x1 xn é um conjunto de n amostras de X A média do conjunto de números após n testes do experimento é a média das amostras Cada xi possui um valor em SX Dos n testes assuma que cada x SX ocorre Nx vezes Então VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS MÉDIAS mn 1 n n X i1 xi mn 1 n X x2SX Nxx X x2SX Nx n x Definição frequência relativa observe que se em n observações de um experimento o evento A corre NA vezes podemos interpretar a probabilidade de A como Aplicando a frequência relativa ao experimento Isso sugere que Teorema A va de Bernoulli X tem valor esperado EX p VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS MÉDIAS PA limn1 NA n limn1mn X x2SX xPXx E x PXx limn1 Nx n Ex 226 A va R do exemplo 26 tem PMF Qual é o EX Teorema A va geométrica X tem valor esperado EX 1p Ex lembrando o exemplo do teste de circuitos integrados se a probabilidade de rejeição de um circuito é p15 então na média precisase realizar EY 1p 5 testes para observar a primeira rejeição Resultado intuitivo Teorema a va de Poisson possui valor esperado EX α λT Teorema a va binomial X possui valor esperado EX n p Teorema a va discreta uniforme X possui valor esperado EX kl2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS MÉDIAS PRr 8 14 r 0 34 r 2 0 caso contrario Ex 226 A va R do exemplo 26 tem PMF Qual é o EX Teorema A va geométrica X tem valor esperado EX 1p Ex lembrando o exemplo do teste de circuitos integrados se a probabilidade de rejeição de um circuito é p15 então na média precisase realizar EY 1p 5 testes para observar a primeira rejeição Resultado intuitivo Teorema a va de Poisson possui valor esperado EX α λT Teorema a va binomial X possui valor esperado EX n p Teorema a va discreta uniforme X possui valor esperado EX kl2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS MÉDIAS ER µR 0 PR0 2 PR2 2 3 4 3 2 PRr 8 14 r 0 34 r 2 0 caso contrario Em várias situações práticas observamos amostras de valores de va e usamos estas para calcular outras quantidades Um exemplo é a medição do nível de energia de um sinal recebido em um telefone celular A observação x é o nível de energia em miliwatts É comum convertermos as medidas de energia para decibéis ie y 10 log10 x dBM Se x é uma amostra da va X então y é uma amostra da va Y Como Y é obtido de outra va referimos a Y como uma va derivada Definição VA Derivada cada valor de amostra de y de uma va derivada Y é uma função matemática gx de uma amostra x de outra va X Adotamos a notação Y gX para descrever essa relação entre as duas vas OBS cuidado para não confundir PXx e gx PXx descreve o modelo probabilístico de uma va X enquanto gx pode ser qualquer função matemática VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA Para derivarmos PYy de PXx e g consideramos todos os valores possíveis de x Para cada x SX calculamos y gx Se gx transforma diferentes valores de x em diferentes valores de y ie gx1 gx2 se x1 x2 teremos simplesmente PYy PY gx PX x PXx A situação complica quando gx transforma vários x em um mesmo y Nesse caso para cada y Sy somamos as probabilidades de todos os valores de x SX para os quais gx y Teorema Para uma va discreta X a PMF de Y gX é VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA PY y X xgxy PXx Ex 227 228 Um va X é o número de páginas de uma transmissão de fax Baseado em estudos obtémse modelo de probabilidade PXx para o número de páginas em cada fax enviado A companhia telefônica oferece a você um novo plano de cobrança por fax 010 pela primeira página 009 pela segunda e assim sucessivamente até 006 pela quinta página Para os faxes entre 6 e 10 páginas a companhia cobra 050 por fax não são aceitos faxes com mais de 10 páginas Encontre a função de Y gX para a cobrança em centavos por um fax enviado Suponto que todos os faxes enviados são de 1 2 3 ou 4 páginas com igual probabilidade encontre a PMF e o valor esperado de Y VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA Ex 227 228 Um va X é o número de páginas de uma transmissão de fax Baseado em estudos obtémse modelo de probabilidade PXx para o número de páginas em cada fax enviado A companhia telefônica oferece a você um novo plano de cobrança por fax 010 pela primeira página 009 pela segunda e assim sucessivamente até 006 pela quinta página Para os faxes entre 6 e 10 páginas a companhia cobra 050 por fax não são aceitos faxes com mais de 10 páginas Encontre a função de Y gX para a cobrança em centavos por um fax enviado Suponto que todos os faxes enviados são de 1 2 3 ou 4 páginas com igual probabilidade encontre a PMF e o valor esperado de Y VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA Para encontrar a PMF de Y precisamos realizar alguns raciocínios lógicos e tentativas obtendo Ex 227 228 Um va X é o número de páginas de uma transmissão de fax Baseado em estudos obtémse modelo de probabilidade PXx para o número de páginas em cada fax enviado A companhia telefônica oferece a você um novo plano de cobrança por fax 010 pela primeira página 009 pela segunda e assim sucessivamente até 006 pela quinta página Para os faxes entre 6 e 10 páginas a companhia cobra 050 por fax não são aceitos faxes com mais de 10 páginas Encontre a função de Y gX para a cobrança em centavos por um fax enviado Suponto que todos os faxes enviados são de 1 2 3 ou 4 páginas com igual probabilidade encontre a PMF e o valor esperado de Y VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA Para encontrar a PMF de Y precisamos realizar alguns raciocínios lógicos e tentativas obtendo Y gX 10 5X 0 5X2 1 X 5 50 6 X 10 Ex 227 228 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA Ex 227 228 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA Como a probabilidade dos faxes é equiprovável a PMF de X é Ex 227 228 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA Como a probabilidade dos faxes é equiprovável a PMF de X é PXx 14 x 1 2 3 4 0 caso contrario Ex 227 228 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA Como a probabilidade dos faxes é equiprovável a PMF de X é PXx 14 x 1 2 3 4 0 caso contrario Já em Y teremos o espaço amostral SY 10 19 27 34 correspondentes a SX 1 2 3 4 Deste modo temos alocação direta de 1 resultado de x para 1 resultado de y Logo Ex 227 228 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA Como a probabilidade dos faxes é equiprovável a PMF de X é PXx 14 x 1 2 3 4 0 caso contrario Já em Y teremos o espaço amostral SY 10 19 27 34 correspondentes a SX 1 2 3 4 Deste modo temos alocação direta de 1 resultado de x para 1 resultado de y Logo Ex 227 228 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA Como a probabilidade dos faxes é equiprovável a PMF de X é PXx 14 x 1 2 3 4 0 caso contrario Já em Y teremos o espaço amostral SY 10 19 27 34 correspondentes a SX 1 2 3 4 Deste modo temos alocação direta de 1 resultado de x para 1 resultado de y Logo Por fim o valor esperado de Y é Ex 227 228 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA Como a probabilidade dos faxes é equiprovável a PMF de X é PXx 14 x 1 2 3 4 0 caso contrario Já em Y teremos o espaço amostral SY 10 19 27 34 correspondentes a SX 1 2 3 4 Deste modo temos alocação direta de 1 resultado de x para 1 resultado de y Logo Por fim o valor esperado de Y é EY 10 1 4 19 1 4 27 1 4 34 1 4 22 5 centavos Ex 229 Suponha que o modelo de probabilidade do exemplo anterior seja Qual a nova PMF e valor esperado de Y VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA Ex 229 Suponha que o modelo de probabilidade do exemplo anterior seja Qual a nova PMF e valor esperado de Y VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA Este é o caso onde temos mais de um resultado da va X mapeando em um único resultado da va Y Lembrese que nesses casos acumulados as probabilidades O gráfico abaixo exemplifica isso Ex 229 Suponha que o modelo de probabilidade do exemplo anterior seja Qual a nova PMF e valor esperado de Y VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA Este é o caso onde temos mais de um resultado da va X mapeando em um único resultado da va Y Lembrese que nesses casos acumulados as probabilidades O gráfico abaixo exemplifica isso Ex 229 Suponha que o modelo de probabilidade do exemplo anterior seja Qual a nova PMF e valor esperado de Y VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA Este é o caso onde temos mais de um resultado da va X mapeando em um único resultado da va Y Lembrese que nesses casos acumulados as probabilidades O gráfico abaixo exemplifica isso Ex 230 A amplitude V volts de um sinal senoidal é uma va com PMF Seja Y V22 watts a potência média do sinal transmitido Encontre PYy VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA Ex 230 A amplitude V volts de um sinal senoidal é uma va com PMF Seja Y V22 watts a potência média do sinal transmitido Encontre PYy VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA O espaço amostral de Y é SY 0 05 2 45 Revertendo a relação da va temos Observando que para o mesmo valor positivo e negativo de V temos uma correspondência em Y obtemos V p 2y Ex 230 A amplitude V volts de um sinal senoidal é uma va com PMF Seja Y V22 watts a potência média do sinal transmitido Encontre PYy VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA O espaço amostral de Y é SY 0 05 2 45 Revertendo a relação da va temos Observando que para o mesmo valor positivo e negativo de V temos uma correspondência em Y obtemos V p 2y Em muitas situações só nos interessa o valor esperado de uma va derivada ao invés de todo o modelo probabilístico Nesses casos podemos usar a seguinte propriedade do valor esperado Teorema Dado uma va X com PMF PXx e a va derivada Y gX o valor esperado de Y é Ex 231 No exemplo 228 qual é EY VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS VALOR ESPERADO DE UMA VA DERIVADA EY µY X x2SX gxPXx Em muitas situações só nos interessa o valor esperado de uma va derivada ao invés de todo o modelo probabilístico Nesses casos podemos usar a seguinte propriedade do valor esperado Teorema Dado uma va X com PMF PXx e a va derivada Y gX o valor esperado de Y é Ex 231 No exemplo 228 qual é EY VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS VALOR ESPERADO DE UMA VA DERIVADA EY EgX 4 X i1 gxPXx EY µY X x2SX gxPXx VARIAVEIS ALEATORIAS DISCRETAS VALOR ESPERADO DE UMA VA DERIVADA Em muitas situagoes so nos interessa o valor esperado de uma va derivada ao invés de todo o modelo probabilistico Nesses casos podemos usar a seguinte propriedade do valor esperado Teorema Dado uma va X com PMF Pxx e a va derivada Y gX o valor esperado de Y é EIY py gx Px2 rEeSx Ex 231 No exemplo 228 qual é EY 4 BY ElgX ga Px2 i1 Ely 1051 051 4 10 52 0 52 4 10 53 0 53 4 10 54 054 4 225 centavos Teorema Para qualquer va X Teorema Para qualquer va X Ex 232 Nos problems 26 e 226 encontramos a PMF de R como e ER 32 Qual o valor esperado de V gR 4R 7 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS VALOR ESPERADO DE UMA VA DERIVADA EX µX 0 EaX b aEX b PRr 8 14 r 0 34 r 2 0 caso contrario EV EgR E4R 7 4ER 7 13 Teorema Para qualquer va X Teorema Para qualquer va X Ex 232 Nos problems 26 e 226 encontramos a PMF de R como e ER 32 Qual o valor esperado de V gR 4R 7 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS VALOR ESPERADO DE UMA VA DERIVADA EX µX 0 EaX b aEX b PRr 8 14 r 0 34 r 2 0 caso contrario Utilizando o teorema acima temos EV EgR E4R 7 4ER 7 13 Quando se deseja saber qual a posição de uma medida em relação a média uma medida de dispersão ou distribuição do modelo é uma boa opção Se a medida for pequena a observação está próximo a média já uma medida grande sugere que não é usual observar o evento que está longe da média As medidas mais importantes de dispersão são o desvio padrão e a variância A variância de uma va X descreve a diferença entre X e seu valor esperado A raiz quadrada da variância é o desvio padrão de X Definição a variância de uma va X é Definição o desvio padrão de uma va X é VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO V arX σ2 X E X µX2 σX p V arX q σ2 X OBS é interessante utilizar o desvio padrão pois está na mesma unidade de X enquanto que a variância está na unidade ao quadrado Assim σX pode ser comparado direto com a média ie μX σX é o centro de uma distribuição informalmente Teorema Definição Momentos Para uma va X a O nésimo momento é EXn b O nésimo momento central é EX μXn OBS a média EX é o primeiro momento da va X e EX2 é o segundo momento de X Assim quando a média de um experimento é nula a VarX equivale ao segundo momento de X VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO V arX E X2 µ2 X E X2 EX2 EX 234 No exemplo 26 encontramos que a PMF da va R é Qual a variância de R VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO PRr 8 14 r 0 34 r 2 0 caso contrario EX 234 No exemplo 26 encontramos que a PMF da va R é Qual a variância de R VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO PRr 8 14 r 0 34 r 2 0 caso contrario Podemos encontrar a variância de 3 maneiras lembrando que EX 32 EX 234 No exemplo 26 encontramos que a PMF da va R é Qual a variância de R VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO PRr 8 14 r 0 34 r 2 0 caso contrario Podemos encontrar a variância de 3 maneiras lembrando que EX 32 a Pela definição de va derivada EX 234 No exemplo 26 encontramos que a PMF da va R é Qual a variância de R VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO PRr 8 14 r 0 34 r 2 0 caso contrario Podemos encontrar a variância de 3 maneiras lembrando que EX 32 a Pela definição de va derivada W R µR2 R 322 EX 234 No exemplo 26 encontramos que a PMF da va R é Qual a variância de R VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO PRr 8 14 r 0 34 r 2 0 caso contrario Podemos encontrar a variância de 3 maneiras lembrando que EX 32 a Pela definição de va derivada W R µR2 R 322 A PMF desta va é EX 234 No exemplo 26 encontramos que a PMF da va R é Qual a variância de R VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO PRr 8 14 r 0 34 r 2 0 caso contrario Podemos encontrar a variância de 3 maneiras lembrando que EX 32 a Pela definição de va derivada W R µR2 R 322 A PMF desta va é PW w 8 14 w 94 34 w 14 0 caso contrario EX 234 No exemplo 26 encontramos que a PMF da va R é Qual a variância de R VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO PRr 8 14 r 0 34 r 2 0 caso contrario Podemos encontrar a variância de 3 maneiras lembrando que EX 32 a Pela definição de va derivada W R µR2 R 322 A PMF desta va é PW w 8 14 w 94 34 w 14 0 caso contrario Assim EX 234 No exemplo 26 encontramos que a PMF da va R é Qual a variância de R VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO PRr 8 14 r 0 34 r 2 0 caso contrario Podemos encontrar a variância de 3 maneiras lembrando que EX 32 a Pela definição de va derivada W R µR2 R 322 A PMF desta va é PW w 8 14 w 94 34 w 14 0 caso contrario Assim V arR EW 1494 3414 34 EX 234 No exemplo 26 encontramos que a PMF da va R é Qual a variância de R VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO PRr 8 14 r 0 34 r 2 0 caso contrario Podemos encontrar a variância de 3 maneiras lembrando que EX 32 a Pela definição de va derivada W R µR2 R 322 A PMF desta va é PW w 8 14 w 94 34 w 14 0 caso contrario Assim V arR EW 1494 3414 34 b Pela aplicação da fórmula do valor esperado EX 234 No exemplo 26 encontramos que a PMF da va R é Qual a variância de R VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO PRr 8 14 r 0 34 r 2 0 caso contrario Podemos encontrar a variância de 3 maneiras lembrando que EX 32 a Pela definição de va derivada W R µR2 R 322 A PMF desta va é PW w 8 14 w 94 34 w 14 0 caso contrario Assim V arR EW 1494 3414 34 b Pela aplicação da fórmula do valor esperado V arR E R µR2 0 322PR0 2 322PR2 34 EX 234 No exemplo 26 encontramos que a PMF da va R é Qual a variância de R VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO PRr 8 14 r 0 34 r 2 0 caso contrario Podemos encontrar a variância de 3 maneiras lembrando que EX 32 a Pela definição de va derivada W R µR2 R 322 A PMF desta va é PW w 8 14 w 94 34 w 14 0 caso contrario Assim V arR EW 1494 3414 34 b Pela aplicação da fórmula do valor esperado V arR E R µR2 0 322PR0 2 322PR2 34 c Pelo Teorema anterior EX 234 No exemplo 26 encontramos que a PMF da va R é Qual a variância de R VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO PRr 8 14 r 0 34 r 2 0 caso contrario Podemos encontrar a variância de 3 maneiras lembrando que EX 32 a Pela definição de va derivada W R µR2 R 322 A PMF desta va é PW w 8 14 w 94 34 w 14 0 caso contrario Assim V arR EW 1494 3414 34 b Pela aplicação da fórmula do valor esperado V arR E R µR2 0 322PR0 2 322PR2 34 c Pelo Teorema anterior V arR E R2 02PR0 22PR2 3 EX 234 No exemplo 26 encontramos que a PMF da va R é Qual a variância de R VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO PRr 8 14 r 0 34 r 2 0 caso contrario Podemos encontrar a variância de 3 maneiras lembrando que EX 32 a Pela definição de va derivada W R µR2 R 322 A PMF desta va é PW w 8 14 w 94 34 w 14 0 caso contrario Assim V arR EW 1494 3414 34 b Pela aplicação da fórmula do valor esperado V arR E R µR2 0 322PR0 2 322PR2 34 c Pelo Teorema anterior V arR E R2 02PR0 22PR2 3 V arR E R2 µ2 R 3 322 34 Teorema EX 235 Uma nova máquina de fax transmite automaticamente uma página inicial que precede a transmissão regular de fax de X páginas de informação Usando esta nova máquina o número de páginas em um fax é Y X 1 Qual o valor esperado e a variância de Y EX 236 No exemplo 230 a amplitude V em volts tem a PMF Um novo multímetro registra a amplitude U em milivolts Qual a variância de U VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO V araX b a2V arX EY EX 1 V arY V arX PV v 17 v 3 2 3 0 caso contrario EX 236 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO EX 236 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO Observe que U 1000V Utilizando o teorema anterior temos EX 236 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO Observe que U 1000V Utilizando o teorema anterior temos µV 17 3 2 1 0 1 2 3 0 volts EX 236 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO Observe que U 1000V Utilizando o teorema anterior temos µV 17 3 2 1 0 1 2 3 0 volts EV 2 17 32 22 12 02 12 22 32 4 volts2 EX 236 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO Observe que U 1000V Utilizando o teorema anterior temos µV 17 3 2 1 0 1 2 3 0 volts EV 2 17 32 22 12 02 12 22 32 4 volts2 Dessa forma EX 236 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO Observe que U 1000V Utilizando o teorema anterior temos µV 17 3 2 1 0 1 2 3 0 volts EV 2 17 32 22 12 02 12 22 32 4 volts2 Dessa forma V arV EV 2 µ2 V 4 volts2 EX 236 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO Observe que U 1000V Utilizando o teorema anterior temos µV 17 3 2 1 0 1 2 3 0 volts EV 2 17 32 22 12 02 12 22 32 4 volts2 Dessa forma V arV EV 2 µ2 V 4 volts2 Logo pelo Teorema anterior EX 236 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO Observe que U 1000V Utilizando o teorema anterior temos µV 17 3 2 1 0 1 2 3 0 volts EV 2 17 32 22 12 02 12 22 32 4 volts2 Dessa forma V arV EV 2 µ2 V 4 volts2 Logo pelo Teorema anterior V arU 10002V arV 4000000 milivolts2 Teorema a Se X é va de Bernoulli então VarX p 1 p b Se X é va geométrica então VarX 1 p p2 c Se X é va binomial então VarX np 1 p d Se X é va de Poisson então VarX α e Se X é va discreta uniforme então VarX l kl k 2 12 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO Definição dado o evento B com PB 0 a PMF condicional de X é Isto é sendo A X x o evento condicional B contém informações sobre X mas não um valor preciso de X Teorema Uma va X resultado de um experimento com espaço de eventos B1 Bm tem PMF EX 238 Seja X o número de anos adicionais que uma pessoa com 70 anos de vida escolhida aleatoriamente viverá Se a pessoa tem pressão alta denotada pelo evento H então X é uma va geométrica p 01 Caso contrário se a pessoa possui pressão sanguínea regular evento R então X é uma va geométrica p 005 Encontre as PMFs condicionais PXHx e PXRx Se 40 de todas pessoas com 70 anos tem pressão alta qual a PMF de X VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE CONDICIONAL PXBx PX xB PXx m X i1 PXBiPBi EX 238 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE CONDICIONAL EX 238 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE CONDICIONAL O problema especifica as probabilidades condicionais EX 238 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE CONDICIONAL O problema especifica as probabilidades condicionais PXHx 0 10 9x1 x 1 2 0 caso contrario EX 238 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE CONDICIONAL O problema especifica as probabilidades condicionais PXHx 0 10 9x1 x 1 2 0 caso contrario PXRx 0 050 95x1 x 1 2 0 caso contrario EX 238 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE CONDICIONAL O problema especifica as probabilidades condicionais PXHx 0 10 9x1 x 1 2 0 caso contrario PXRx 0 050 95x1 x 1 2 0 caso contrario Como H R é um espaço de eventos então utilizando o teorema anterior EX 238 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE CONDICIONAL O problema especifica as probabilidades condicionais PXHx 0 10 9x1 x 1 2 0 caso contrario PXRx 0 050 95x1 x 1 2 0 caso contrario Como H R é um espaço de eventos então utilizando o teorema anterior PXx PXHxPH PXRxPR EX 238 continuação VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE CONDICIONAL O problema especifica as probabilidades condicionais PXHx 0 10 9x1 x 1 2 0 caso contrario PXRx 0 050 95x1 x 1 2 0 caso contrario Como H R é um espaço de eventos então utilizando o teorema anterior PXx PXHxPH PXRxPR 0 40 10 9x1 0 60 050 95x1 x 1 2 0 caso contrario Teorema EX 239 No modelo de probabilidade do EX 229 o comprimento de um fax tem PMF suponha que a companhia tem 2 máquinas de fax uma para faxes com menos de 5 páginas e outro para faxes com 5 páginas ou mais Qual é a PMF do comprimento de fax na segunda máquina VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE CONDICIONAL PXBx PXx P B x 2 B 0 caso contrario PXx 8 0 15 x 1 2 3 4 0 1 x 5 6 7 8 0 caso contrario Teorema EX 239 No modelo de probabilidade do EX 229 o comprimento de um fax tem PMF suponha que a companhia tem 2 máquinas de fax uma para faxes com menos de 5 páginas e outro para faxes com 5 páginas ou mais Qual é a PMF do comprimento de fax na segunda máquina VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE CONDICIONAL PXBx PXx P B x 2 B 0 caso contrario Buscamos a PMF condicional em relação a máquina de faxes longos L onde L 5 6 7 8 com a condição que x L Para utilizarmos o teorema anterior precisamos de PXx 8 0 15 x 1 2 3 4 0 1 x 5 6 7 8 0 caso contrario Teorema EX 239 No modelo de probabilidade do EX 229 o comprimento de um fax tem PMF suponha que a companhia tem 2 máquinas de fax uma para faxes com menos de 5 páginas e outro para faxes com 5 páginas ou mais Qual é a PMF do comprimento de fax na segunda máquina VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE CONDICIONAL PXBx PXx P B x 2 B 0 caso contrario Buscamos a PMF condicional em relação a máquina de faxes longos L onde L 5 6 7 8 com a condição que x L Para utilizarmos o teorema anterior precisamos de PL 8 X x5 PXx 0 4 PXx 8 0 15 x 1 2 3 4 0 1 x 5 6 7 8 0 caso contrario Teorema EX 239 No modelo de probabilidade do EX 229 o comprimento de um fax tem PMF suponha que a companhia tem 2 máquinas de fax uma para faxes com menos de 5 páginas e outro para faxes com 5 páginas ou mais Qual é a PMF do comprimento de fax na segunda máquina VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE CONDICIONAL PXBx PXx P B x 2 B 0 caso contrario Buscamos a PMF condicional em relação a máquina de faxes longos L onde L 5 6 7 8 com a condição que x L Para utilizarmos o teorema anterior precisamos de Assim PL 8 X x5 PXx 0 4 PXx 8 0 15 x 1 2 3 4 0 1 x 5 6 7 8 0 caso contrario Teorema EX 239 No modelo de probabilidade do EX 229 o comprimento de um fax tem PMF suponha que a companhia tem 2 máquinas de fax uma para faxes com menos de 5 páginas e outro para faxes com 5 páginas ou mais Qual é a PMF do comprimento de fax na segunda máquina VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE CONDICIONAL PXBx PXx P B x 2 B 0 caso contrario Buscamos a PMF condicional em relação a máquina de faxes longos L onde L 5 6 7 8 com a condição que x L Para utilizarmos o teorema anterior precisamos de Assim PXLx PXx P L x 5 6 7 8 0 caso contrario 01 04 0 25 x 5 6 7 8 0 caso contrario PL 8 X x5 PXx 0 4 PXx 8 0 15 x 1 2 3 4 0 1 x 5 6 7 8 0 caso contrario Algumas vezes ao invés de uma letra para denotar um subconjunto de SX que forma uma condição evento podemos escrever a própria condição na PMF EX 240 Suponha X o tempo em minutos inteiros que devese esperar por um ônibus tem PMF uniforme Supondo que o ônibus não chegou até os 8 minutos qual é a PMF condicional do tempo de espera X VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE CONDICIONAL PXx 120 x 1 2 20 0 caso contrario Algumas vezes ao invés de uma letra para denotar um subconjunto de SX que forma uma condição evento podemos escrever a própria condição na PMF EX 240 Suponha X o tempo em minutos inteiros que devese esperar por um ônibus tem PMF uniforme Supondo que o ônibus não chegou até os 8 minutos qual é a PMF condicional do tempo de espera X VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE CONDICIONAL PXx 120 x 1 2 20 0 caso contrario Seja A o evento X8 então PA 1220 Assim podemos escrever a PMF condicional como Algumas vezes ao invés de uma letra para denotar um subconjunto de SX que forma uma condição evento podemos escrever a própria condição na PMF EX 240 Suponha X o tempo em minutos inteiros que devese esperar por um ônibus tem PMF uniforme Supondo que o ônibus não chegou até os 8 minutos qual é a PMF condicional do tempo de espera X VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE CONDICIONAL PXx 120 x 1 2 20 0 caso contrario Seja A o evento X8 então PA 1220 Assim podemos escrever a PMF condicional como PXX8x 120 1220 1 12 x 9 10 20 0 caso contrario Teorema a Para qualquer x B PXBx 0 b c Para qualquer evento C B PCB a probabilidade condicional de x estar em C é Definição O valor esperado condicional de uma va X dado a condição B é Teorema Para uma va X resultante de um experimento com espaço de eventos B1 Bm VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE CONDICIONAL X x2B PXBx 1 EXB µXB X x2B xPXBx PCB X x2C PXBx EX m X i1 EXBiPBi Teorema O valor esperado condicional de Y gX dado a condição B é As equações para a variância e desvio padrão condicionais podem ser obtidas utilizando a definição e teoremas anteriores EX 241 Encontre o valor esperado condicional variância condicional e desvio padrão condicional para os faxes longos obtidos no exemplo 239 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE CONDICIONAL EY B EgXB X x2B gXPXBx Teorema O valor esperado condicional de Y gX dado a condição B é As equações para a variância e desvio padrão condicionais podem ser obtidas utilizando a definição e teoremas anteriores EX 241 Encontre o valor esperado condicional variância condicional e desvio padrão condicional para os faxes longos obtidos no exemplo 239 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE CONDICIONAL EY B EgXB X x2B gXPXBx EXL µXL 8 X x5 xPXLx 0 25 5 6 7 8 6 5 paginas Teorema O valor esperado condicional de Y gX dado a condição B é As equações para a variância e desvio padrão condicionais podem ser obtidas utilizando a definição e teoremas anteriores EX 241 Encontre o valor esperado condicional variância condicional e desvio padrão condicional para os faxes longos obtidos no exemplo 239 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE CONDICIONAL EY B EgXB X x2B gXPXBx EXL µXL 8 X x5 xPXLx 0 25 5 6 7 8 6 5 paginas EX2L 0 25 8 X x5 x2 43 5 paginas2 Teorema O valor esperado condicional de Y gX dado a condição B é As equações para a variância e desvio padrão condicionais podem ser obtidas utilizando a definição e teoremas anteriores EX 241 Encontre o valor esperado condicional variância condicional e desvio padrão condicional para os faxes longos obtidos no exemplo 239 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE CONDICIONAL EY B EgXB X x2B gXPXBx EXL µXL 8 X x5 xPXLx 0 25 5 6 7 8 6 5 paginas EX2L 0 25 8 X x5 x2 43 5 paginas2 V arXL EX2L µ2 XL 43 5 6 52 1 25paginas2 Teorema O valor esperado condicional de Y gX dado a condição B é As equações para a variância e desvio padrão condicionais podem ser obtidas utilizando a definição e teoremas anteriores EX 241 Encontre o valor esperado condicional variância condicional e desvio padrão condicional para os faxes longos obtidos no exemplo 239 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE CONDICIONAL EY B EgXB X x2B gXPXBx EXL µXL 8 X x5 xPXLx 0 25 5 6 7 8 6 5 paginas EX2L 0 25 8 X x5 x2 43 5 paginas2 V arXL EX2L µ2 XL 43 5 6 52 1 25paginas2 σXL p V arX2L p 1 25 1 12paginas QUIZ 29 Na Internet pados são transmitidos em pacotes Em um modelo simples para o tráfico da WWW o número de pacotes N necessários para transmitir um página da web depende se a página possui imagens Se a página tem imagens evento I então N é uniformemente distribuído entre 1 e 50 pacotes Se a página possui apenas textos evento T então N é uniforme entre 1 e 5 pacotes Assumindo que uma página tem imagem com probabilidade 14 encontre a PNIn b PNTn c PNn d PNN 10n e ENN 10 f VarNN 10 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE CONDICIONAL QUIZ 29 Na Internet pados são transmitidos em pacotes Em um modelo simples para o tráfico da WWW o número de pacotes N necessários para transmitir um página da web depende se a página possui imagens Se a página tem imagens evento I então N é uniformemente distribuído entre 1 e 50 pacotes Se a página possui apenas textos evento T então N é uniforme entre 1 e 5 pacotes Assumindo que uma página tem imagem com probabilidade 14 encontre a PNIn b PNTn c PNn d PNN 10n e ENN 10 f VarNN 10 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE CONDICIONAL a b f c d e QUIZ 29 Na Internet pados são transmitidos em pacotes Em um modelo simples para o tráfico da WWW o número de pacotes N necessários para transmitir um página da web depende se a página possui imagens Se a página tem imagens evento I então N é uniformemente distribuído entre 1 e 50 pacotes Se a página possui apenas textos evento T então N é uniforme entre 1 e 5 pacotes Assumindo que uma página tem imagem com probabilidade 14 encontre a PNIn b PNTn c PNn d PNN 10n e ENN 10 f VarNN 10 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE CONDICIONAL PNIn 150 n 1 50 0 caso contrario a b f c d e QUIZ 29 Na Internet pados são transmitidos em pacotes Em um modelo simples para o tráfico da WWW o número de pacotes N necessários para transmitir um página da web depende se a página possui imagens Se a página tem imagens evento I então N é uniformemente distribuído entre 1 e 50 pacotes Se a página possui apenas textos evento T então N é uniforme entre 1 e 5 pacotes Assumindo que uma página tem imagem com probabilidade 14 encontre a PNIn b PNTn c PNn d PNN 10n e ENN 10 f VarNN 10 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE CONDICIONAL PNIn 150 n 1 50 0 caso contrario PNT n 15 n 1 5 0 caso contrario a b f c d e QUIZ 29 Na Internet pados são transmitidos em pacotes Em um modelo simples para o tráfico da WWW o número de pacotes N necessários para transmitir um página da web depende se a página possui imagens Se a página tem imagens evento I então N é uniformemente distribuído entre 1 e 50 pacotes Se a página possui apenas textos evento T então N é uniforme entre 1 e 5 pacotes Assumindo que uma página tem imagem com probabilidade 14 encontre a PNIn b PNTn c PNn d PNN 10n e ENN 10 f VarNN 10 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE CONDICIONAL PNIn 150 n 1 50 0 caso contrario PNT n 15 n 1 5 0 caso contrario a b f c d e PNn 8 31200 n 1 5 1200 n 6 50 0 caso contrario QUIZ 29 Na Internet pados são transmitidos em pacotes Em um modelo simples para o tráfico da WWW o número de pacotes N necessários para transmitir um página da web depende se a página possui imagens Se a página tem imagens evento I então N é uniformemente distribuído entre 1 e 50 pacotes Se a página possui apenas textos evento T então N é uniforme entre 1 e 5 pacotes Assumindo que uma página tem imagem com probabilidade 14 encontre a PNIn b PNTn c PNn d PNN 10n e ENN 10 f VarNN 10 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE CONDICIONAL PNIn 150 n 1 50 0 caso contrario PNT n 15 n 1 5 0 caso contrario a b f c d e PNn 8 31200 n 1 5 1200 n 6 50 0 caso contrario PNN10n 8 31160 n 1 5 1160 n 6 10 0 caso contrario QUIZ 29 Na Internet pados são transmitidos em pacotes Em um modelo simples para o tráfico da WWW o número de pacotes N necessários para transmitir um página da web depende se a página possui imagens Se a página tem imagens evento I então N é uniformemente distribuído entre 1 e 50 pacotes Se a página possui apenas textos evento T então N é uniforme entre 1 e 5 pacotes Assumindo que uma página tem imagem com probabilidade 14 encontre a PNIn b PNTn c PNn d PNN 10n e ENN 10 f VarNN 10 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE CONDICIONAL PNIn 150 n 1 50 0 caso contrario PNT n 15 n 1 5 0 caso contrario a b f c d e PNn 8 31200 n 1 5 1200 n 6 50 0 caso contrario PNN10n 8 31160 n 1 5 1160 n 6 10 0 caso contrario ENN 10 505 160 QUIZ 29 Na Internet pados são transmitidos em pacotes Em um modelo simples para o tráfico da WWW o número de pacotes N necessários para transmitir um página da web depende se a página possui imagens Se a página tem imagens evento I então N é uniformemente distribuído entre 1 e 50 pacotes Se a página possui apenas textos evento T então N é uniforme entre 1 e 5 pacotes Assumindo que uma página tem imagem com probabilidade 14 encontre a PNIn b PNTn c PNn d PNN 10n e ENN 10 f VarNN 10 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE CONDICIONAL PNIn 150 n 1 50 0 caso contrario PNT n 15 n 1 5 0 caso contrario a b f c d e PNn 8 31200 n 1 5 1200 n 6 50 0 caso contrario PNN10n 8 31160 n 1 5 1160 n 6 10 0 caso contrario ENN 10 505 160 V arNN 10 70575 25600