Revisão sobre Processos Estocásticos e Modelos Probabilísticos

Processos Estocásticos Prof Fabiano Castoldi Conteúdo Revisão de sobre Experimentos Modelos e Probabilidades Variáveis Aleatórias vas Discretas Variáveis Aleatórias Contínuas Vetores Aleatórios Processos Estocásticos Processamento de Sinais Aleatórios Cadeias de Markov Revisão Motivação Diversos problemas na engenharia e áreas da ciência não são possíveis de se modelar deterministicamente ou são de difícil formulação Uma alternativa é descrever os fenômenos através de modelos probabilísticos que são assim denominados por se basearem em teorias de probabilidade e incertezas Ex Tráfego Telefônico Revisão imagine que desejamos saber o número de ramais n para atender 200 usuários de A ligando para B resposta óbvia seria 200 entretanto os recursos utilizados seriam muito caros e pouco utilizados dados determinísticos de horários e duração das chamadas poderiam ser obtidos e utilizados para determinar o número máximo de ramais Entretanto informações para isso não são possíveis pois o comportamento do usuário é imprevisível Revisão utilizando aproximação probabilística podese obter um número médio de ramais para se obter uma conexão com relação de de assinantes conectados segundo algum padrão utilizando o método probabilístico o problema passa a ter 3 variáveis tráfego de entrada utilizando modelo probabilístico fila tamanho e disciplina regra de escolha do proximo usuário posto de serviço duração do serviço utilizando modelo probabilístico Revisão Ex Sistema Digital de Comunicações Neste caso temos diversos agentes sinal transmitido determinístico ou aleatório canal representado por uma função de transferência ruido aditivo modelo probabilístico va modulações em geral funções determinísticas Teoria de Probabilidade Teoria de conjuntos base matemática para a teoria de probabilidade conjunto uma coleção de coisas elementos geralmente denotados por letra maiúscula elementos são representação de coisas geralmente denotados por letras minúsculas Um grupo de elementos compõem um conjunto Ex a b e c são elementos que formam um conjunto T Ta b c assim a T e z T Ex Cx²x1234 isto é igual a C14916 Teoria de Probabilidade subconjuntos são conjuntos formados exclusivamente com elementos de outro conjunto logo se A é subconjunto de B AB Além disso dois subconjuntos são iguais se e somente se AB logo AB e BA conjunto universal é o conjunto maior com todos os elementos possíveis sobre estudo geralmente denotado pela letras S conjunto nulo por definição não possui nenhum elemento sendo denotado por e faz parte de todo conjunto diagrama de Venn é comumente utilizado para demonstrar as relações entre conjuntos Teoria de Probabilidade existem 3 operações algébricas com conjuntos união intersecção e complemento existe ainda a diferença a qual é uma combinação das operações anteriores ie AbABc onde o c indica complemento o qual também pode ser representado por uma barra B uma coleção de conjuntos é mutuamente exclusiva se AiAj ij uma coleção de conjuntos é coletivamente exaustiva se e somente se A1A2An S Lei de Morgan ou ou A B A B A B A B AB A B A B A B Teoria de Probabilidade Espaço de Probabilidade usaremos o termo experimento para descrever modelo de um experimento o qual consiste de Procedimento Observação Modelo Definição resultado é qualquer observação possível do experimento Definição espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento Teoria de Probabilidade Ex considere jogar uma moeda para a qual temos Sh t onde h é o resultado da observação coroa e t é o resultado da observação cara Se jogarmos 3 vezes a moeda e observar a sequencia sequência de caras e coroas Shhh hht hth thh htt tht tth ttt Se jogarmos 3 vezes a moeda e observar número de caras S0 1 2 3 Teoria de Probabilidade Definição evento é o conjunto de todos os resultados de um experimento A aplicação desses conceitos simples pode ser complicado Definir o espaço amostral e seus resultados são peças chaves para a solução de qualquer problema de probabilidade Álgebra de Conjuntos Teoria de Probabilidade Conjunto Evento Conjunto Universal Espaço Amostral Elemento Resultado Teoria de Probabilidade Definição espaço de eventos é um conjunto de eventos coletivamente exaustivo e mutuamente exclusivos O espaço de eventos contém menos elementos para se trabalhar sendo mais simples O seu conceito é útil pois permite expressar qualquer evento pela união mutuamente exclusiva de eventos Teorema para um espaço de eventos BB1B2 e qualquer evento A no espaço amostras seja CiABi Para ij os eventos Ci e Cj são mutuamente exclusivos e AC1C2 Teoria de Probabilidade Ex 111 Em um experimento de jogar 4 moedas e observar se o resultado é caroa ou cara seja A igual ao conjunto de resultados com menos de 3 coroas Atttt httt thtt ttht ttth hhtt htht htth thth tthh thht Seja Biresultados com i coroas Como B0 B4 é um espaço de evento pelo teorema anterior temos AAB0AB1AB2AB3AB4 Neste exemplo BiA para i012 Logo ABiBi para i012 Além disso para i3 4 ABi de modo que AB0B1B2 é a união de conjuntos disjuntos Teoria de Probabilidade Axiomas da Probabilidade a medida de probabilidade P é uma função que mapeia eventos de um espaço amostras em números reais tal que Axioma 1 Para qualquer evento A PA0 ou 0PA1 Axioma 2 PS1 Axioma 3 Para qualquer coleção contável de eventos mutuamente excludentes A1 A2 PA1A2PA1PA2 ou se AB então PABPAPB Teorema Se AA1A2An e AiAj para ij então PA n X i1 PAi Teoria de Probabilidade Teorema A probabilidade de um evento BS1S2Sn é a soma das probabilidades dos resultados contidos nos eventos Teorema Para um experimento com espaço amostral Ss1s2 sn no qual os resultados si são igualmente prováveis Consequência dos Axiomas Teorema a medida de probabilidade satisfaz a P0 b PA1 PA c Para qualquer A e B não necessariamente disjuntos d Se AB então PA PB PB n X i1 PSi Psi 1 n 1 i n PA B PA PB PA B Teoria de Probabilidade Teorema Para qualquer evento A e espaço de evento B1B2 Bn Ex 114 Uma companhia utiliza o seguinte modelo de uso do telefone chamadas longas l se elas duram mais de 3 minutos ou breves b Ela também observa se as chamadas voz v dados d ou fax f Deste modo nosso modelo de experimento possui um espaço amostras com 6 resultados S Utilizando L para o evento de chamadas longas e B para chamadas breves LB é um espaço de eventos Similarmente podemos classificar os eventos voz V dados D e fax F obtendo outro espaço de eventos VDF PA n X i1 PA Bi n X i1 PABi Teoria de Probabilidade Teorema Para qualquer evento A e espaço de evento B1B2 Bn Ex 114 Uma companhia utiliza o seguinte modelo de uso do telefone chamadas longas l se elas duram mais de 3 minutos ou breves b Ela também observa se as chamadas voz v dados d ou fax f Deste modo nosso modelo de experimento possui um espaço amostras com 6 resultados S Utilizando L para o evento de chamadas longas e B para chamadas breves LB é um espaço de eventos Similarmente podemos classificar os eventos voz V dados D e fax F obtendo outro espaço de eventos VDF PA n X i1 PA Bi n X i1 PABi Slvldlfbvbdbf Teoria de Probabilidade Ex 114 continuação O espaço amostral pode ser representado na forma de tabela com linhas e colunas sendo eventos específicos e a intersecção de uma linha com uma coluna possui um único resultado Por exemplo Da tabela podemos ler que a probabilidade de uma chamada breve de dados é Pbd PBD 008 Podemos aplicar o teorema anterior para obter qualquer probabilidade de evento desejado por exemplo de uma chamada longa V D F L 03 012 015 B 02 008 015 Teoria de Probabilidade Ex 114 continuação O espaço amostral pode ser representado na forma de tabela com linhas e colunas sendo eventos específicos e a intersecção de uma linha com uma coluna possui um único resultado Por exemplo Da tabela podemos ler que a probabilidade de uma chamada breve de dados é Pbd PBD 008 Podemos aplicar o teorema anterior para obter qualquer probabilidade de evento desejado por exemplo de uma chamada longa V D F L 03 012 015 B 02 008 015 PL PLV PLD PLF 0 57 Teoria de Probabilidade Probabilidade Condicional descreve nosso conhecimento de um evento A quantos sabemos que o evento B ocorreu mas não sabemos o resultado preciso A notação da probabilidade condicional é PAB lido como probabilidade de A dado B Definição a probabilidade condicional do evento A dado a ocorrência do evento B é Essa probabilidade só é válida para PB0 PAB PAB PB Teoria de Probabilidade Teorema a medida de probabilidade condicional PAB possui as seguintes propriedades que correspondem aos axiomas de probabilidade Axioma 1 PAB 0 Axioma 2 PBB 1 Axioma 3 se AA1A2 com AiAj para ij então PAB PA1B PA2B Ex 116 Considere um experimento que consiste de testar 2 circuitos integrados que provem do mesmo wafer de silício e observar em cada caso se um circuito é aceitado a ou rejeitado r Se o modelo de probabilidade a priori é dado como Prr001 Pra001 Par001 Paa097 Teoria de Probabilidade Ex 116 continuação Encontre a probabilidade de A o segundo chip ser rejeitado e B o primeiro chip ser rejeitado Também encontre a probabilidade condicional que o segundo chip é rejeitado dado que o primeiro chip foi rejeitado Teoria de Probabilidade Ex 116 continuação Encontre a probabilidade de A o segundo chip ser rejeitado e B o primeiro chip ser rejeitado Também encontre a probabilidade condicional que o segundo chip é rejeitado dado que o primeiro chip foi rejeitado PA Prr Par 002 Teoria de Probabilidade Ex 116 continuação Encontre a probabilidade de A o segundo chip ser rejeitado e B o primeiro chip ser rejeitado Também encontre a probabilidade condicional que o segundo chip é rejeitado dado que o primeiro chip foi rejeitado PB Prr Pra 002 PA Prr Par 002 Teoria de Probabilidade Ex 116 continuação Encontre a probabilidade de A o segundo chip ser rejeitado e B o primeiro chip ser rejeitado Também encontre a probabilidade condicional que o segundo chip é rejeitado dado que o primeiro chip foi rejeitado A probabilidade condicional do segundo chip ser rejeitado dado que o primeiro chip foi rejeitado neste problema pode ser encontrada facilmente considerando PB Prr Pra 002 PA Prr Par 002 Teoria de Probabilidade Ex 116 continuação Encontre a probabilidade de A o segundo chip ser rejeitado e B o primeiro chip ser rejeitado Também encontre a probabilidade condicional que o segundo chip é rejeitado dado que o primeiro chip foi rejeitado A probabilidade condicional do segundo chip ser rejeitado dado que o primeiro chip foi rejeitado neste problema pode ser encontrada facilmente considerando PB Prr Pra 002 PAB PAB Pambos rejeitados 001 PA Prr Par 002 Teoria de Probabilidade Ex 116 continuação Encontre a probabilidade de A o segundo chip ser rejeitado e B o primeiro chip ser rejeitado Também encontre a probabilidade condicional que o segundo chip é rejeitado dado que o primeiro chip foi rejeitado A probabilidade condicional do segundo chip ser rejeitado dado que o primeiro chip foi rejeitado neste problema pode ser encontrada facilmente considerando PB Prr Pra 002 PAB PAB Pambos rejeitados 001 Logo PA Prr Par 002 Teoria de Probabilidade Ex 116 continuação Encontre a probabilidade de A o segundo chip ser rejeitado e B o primeiro chip ser rejeitado Também encontre a probabilidade condicional que o segundo chip é rejeitado dado que o primeiro chip foi rejeitado A probabilidade condicional do segundo chip ser rejeitado dado que o primeiro chip foi rejeitado neste problema pode ser encontrada facilmente considerando PB Prr Pra 002 PAB PAB Pambos rejeitados 001 Logo PAB PAB PB 0 01 0 02 0 5 PA Prr Par 002 Teoria de Probabilidade Ex 117 Embaralhe um maço de cartas e obter a última carta Qual a probabilidade condicional de que a última carta é o ás de espadas dado que a última carta é preta Teoria de Probabilidade Ex 117 Embaralhe um maço de cartas e obter a última carta Qual a probabilidade condicional de que a última carta é o ás de espadas dado que a última carta é preta Vamos denotar por A o evento da última carta ser um ás de espadas Teoria de Probabilidade Ex 117 Embaralhe um maço de cartas e obter a última carta Qual a probabilidade condicional de que a última carta é o ás de espadas dado que a última carta é preta Vamos denotar por A o evento da última carta ser um ás de espadas PA152 Teoria de Probabilidade Ex 117 Embaralhe um maço de cartas e obter a última carta Qual a probabilidade condicional de que a última carta é o ás de espadas dado que a última carta é preta Vamos denotar por A o evento da última carta ser um ás de espadas PA152 Vamos criar o evento B da última carta ser preta Teoria de Probabilidade Ex 117 Embaralhe um maço de cartas e obter a última carta Qual a probabilidade condicional de que a última carta é o ás de espadas dado que a última carta é preta Vamos denotar por A o evento da última carta ser um ás de espadas PA152 Vamos criar o evento B da última carta ser preta PB265212 Teoria de Probabilidade Ex 117 Embaralhe um maço de cartas e obter a última carta Qual a probabilidade condicional de que a última carta é o ás de espadas dado que a última carta é preta Vamos denotar por A o evento da última carta ser um ás de espadas PA152 Vamos criar o evento B da última carta ser preta PB265212 Agora a probabilidade condicional da última carta ser o ás de espadas dado que ela é preta é Teoria de Probabilidade Ex 117 Embaralhe um maço de cartas e obter a última carta Qual a probabilidade condicional de que a última carta é o ás de espadas dado que a última carta é preta Vamos denotar por A o evento da última carta ser um ás de espadas PA152 Vamos criar o evento B da última carta ser preta PB265212 Agora a probabilidade condicional da última carta ser o ás de espadas dado que ela é preta é PAB PAB PB PA PB 152 12 1 26 Teoria de Probabilidade Ex 117 Embaralhe um maço de cartas e obter a última carta Qual a probabilidade condicional de que a última carta é o ás de espadas dado que a última carta é preta Vamos denotar por A o evento da última carta ser um ás de espadas PA152 Vamos criar o evento B da última carta ser preta PB265212 Agora a probabilidade condicional da última carta ser o ás de espadas dado que ela é preta é PAB PAB PB PA PB 152 12 1 26 Obs observase que AB A pois se a última carta for o ás de espadas ela tem q ser preta logo AB o que resulta em AB A Teoria de Probabilidade Ex 118 Role 2 dados de 4 faces Seja X1 e X2 o número de pontos que aparecem nos dados 1 e 2 respectivamente Seja A o evento X12 Qual é a PA Seja B o evento X2X1 Qual é PB Qual é a PAB Para resolver esse problema é interessante utilizar um auxílio visual Teoria de Probabilidade Ex 118 Role 2 dados de 4 faces Seja X1 e X2 o número de pontos que aparecem nos dados 1 e 2 respectivamente Seja A o evento X12 Qual é a PA Seja B o evento X2X1 Qual é PB Qual é a PAB Para resolver esse problema é interessante utilizar um auxílio visual Teoria de Probabilidade Ex 118 Role 2 dados de 4 faces Seja X1 e X2 o número de pontos que aparecem nos dados 1 e 2 respectivamente Seja A o evento X12 Qual é a PA Seja B o evento X2X1 Qual é PB Qual é a PAB Para resolver esse problema é interessante utilizar um auxílio visual Assim PA 1216 34 Teoria de Probabilidade Ex 118 Role 2 dados de 4 faces Seja X1 e X2 o número de pontos que aparecem nos dados 1 e 2 respectivamente Seja A o evento X12 Qual é a PA Seja B o evento X2X1 Qual é PB Qual é a PAB Para resolver esse problema é interessante utilizar um auxílio visual Assim PA 1216 34 PB 616 38 Teoria de Probabilidade Ex 118 Role 2 dados de 4 faces Seja X1 e X2 o número de pontos que aparecem nos dados 1 e 2 respectivamente Seja A o evento X12 Qual é a PA Seja B o evento X2X1 Qual é PB Qual é a PAB Para resolver esse problema é interessante utilizar um auxílio visual Assim PA 1216 34 PB 616 38 E por fim Teoria de Probabilidade Ex 118 Role 2 dados de 4 faces Seja X1 e X2 o número de pontos que aparecem nos dados 1 e 2 respectivamente Seja A o evento X12 Qual é a PA Seja B o evento X2X1 Qual é PB Qual é a PAB Para resolver esse problema é interessante utilizar um auxílio visual Assim PA 1216 34 PB 616 38 E por fim PAB PAB PB PA B PB 316 616 1 2 Teoria de Probabilidade Teorema Lei da Probabilidade Total para um espaço de evento B1 Bn com PBi0 para todo i Teorema de Bayes Ex 11920 Uma companhia possui 3 máquinas B1 B2 e B3 que produzem resistores de 1kΩ Foi observado que 80 dos resistores produzidos por B1 estão dentro de 50Ω do valor nominal A maquina B2 produz 90 dos resistores dentro de 50Ω do valor nominal e a máquina B3 tem porcentagem de 60 Cada hora a máquina B1 produz 3000 resistores B2 produz 4000 resistores e B3 produz 3000 resistores PA n X i1 PABiPBi PBA PABPB PA Teoria de Probabilidade Ex 11920 continuação Todos os resistores são misturados aleatoriamente em um balde e empacotados para transporte Qual a probabilidade da companhia enviar um resistor dentro de 50Ω do valor nominal Qual a probabilidade que um resistor aceitável foi produzido pela máquina B3 PB3A PAB3PB3 PA 0 60 3 0 78 0 23 Teoria de Probabilidade Ex 11920 continuação Todos os resistores são misturados aleatoriamente em um balde e empacotados para transporte Qual a probabilidade da companhia enviar um resistor dentro de 50Ω do valor nominal Qual a probabilidade que um resistor aceitável foi produzido pela máquina B3 Seja A o evento do resistor estar dentro de 50Ω do valor nominal então PB3A PAB3PB3 PA 0 60 3 0 78 0 23 Teoria de Probabilidade Ex 11920 continuação Todos os resistores são misturados aleatoriamente em um balde e empacotados para transporte Qual a probabilidade da companhia enviar um resistor dentro de 50Ω do valor nominal Qual a probabilidade que um resistor aceitável foi produzido pela máquina B3 Seja A o evento do resistor estar dentro de 50Ω do valor nominal então PAB1 08 PAB209 PAB306 PB3A PAB3PB3 PA 0 60 3 0 78 0 23 Teoria de Probabilidade Ex 11920 continuação Todos os resistores são misturados aleatoriamente em um balde e empacotados para transporte Qual a probabilidade da companhia enviar um resistor dentro de 50Ω do valor nominal Qual a probabilidade que um resistor aceitável foi produzido pela máquina B3 Seja A o evento do resistor estar dentro de 50Ω do valor nominal então PAB1 08 PAB209 PAB306 Considerando que a produção total por hora é de 10000 resistores por hora a fração da máquina B1 é PB130001000003 a fração da máquina B2 é PB204 a fração da máquina B3 é PB303 Assim PB3A PAB3PB3 PA 0 60 3 0 78 0 23 Teoria de Probabilidade Ex 11920 continuação Todos os resistores são misturados aleatoriamente em um balde e empacotados para transporte Qual a probabilidade da companhia enviar um resistor dentro de 50Ω do valor nominal Qual a probabilidade que um resistor aceitável foi produzido pela máquina B3 Seja A o evento do resistor estar dentro de 50Ω do valor nominal então PAB1 08 PAB209 PAB306 Considerando que a produção total por hora é de 10000 resistores por hora a fração da máquina B1 é PB130001000003 a fração da máquina B2 é PB204 a fração da máquina B3 é PB303 Assim PA PAB1PB1 PAB2PB2 PAB3PB3 PA 0803 0604 0603 078 PB3A PAB3PB3 PA 0 60 3 0 78 0 23 Teoria de Probabilidade Ex 11920 continuação Todos os resistores são misturados aleatoriamente em um balde e empacotados para transporte Qual a probabilidade da companhia enviar um resistor dentro de 50Ω do valor nominal Qual a probabilidade que um resistor aceitável foi produzido pela máquina B3 Seja A o evento do resistor estar dentro de 50Ω do valor nominal então PAB1 08 PAB209 PAB306 Considerando que a produção total por hora é de 10000 resistores por hora a fração da máquina B1 é PB130001000003 a fração da máquina B2 é PB204 a fração da máquina B3 é PB303 Assim PA PAB1PB1 PAB2PB2 PAB3PB3 PA 0803 0604 0603 078 Já para a segunda pergunta PB3A PAB3PB3 PA 0 60 3 0 78 0 23 Teoria de Probabilidade Independência independência estatística Definição Dois eventos A e B são ditos independentes se e somente se PAB PA PB quando os eventos A e B possuem probabilidades diferentes de zero temos PAB PA e PBA PB Obs independência e disjuntos não são sinônimos Eventos disjuntos não possuem resultados em comum ie PAB 0 Na maioria das situações eventos independentes não são disjuntos A exceção ocorre somente quando PA 0 ou PB 0 Teoria de Probabilidade Ex 122 Na verificação de circuitos integrados estes passam por 2 testes teste mecânico que determina se os pinos estão corretamente espaçados e teste elétrico que verifica a relação das saídas para as entradas Assumimos que as falhas mecânicas e elétricas ocorrem independentemente Se soubermos que dos circuitos em produção falhas mecânicas ocorrem com probabilidade de 005 e as falhas elétricas ocorrem com probabilidade de 02 qual o modelo de probabilidade de um experimento que consiste de testar um circuito integrado e observar os resultados dos testes mecânicos e elétricos Para criar o modelo de probabilidade observamos que o espaço amostral é Smaea maer mrea mrer onde m e e denotam os testes mecânicos e elétricos respectivamente e a e r denotam aceito e rejeitado Seja os eventos M e E relativos aos testes mecânicos e elétricos respectivamente serem aceitáveis Teoria de Probabilidade Ex 122 continuação Assim Pmaea PME PM PE 095 08 076 Pmaer PME PM PE 095 02 019 Pmrea PME PM PE 005 08 004 Pmrer PME PM PE 005 02 001 Teoria de Probabilidade Definição Se n3 os eventos A1 A2 An são independentes se e somente se a cada conjunto de n1 eventos pegos de A1 A2 An são independentes b PA1 A2 An PA1 PA2 PAn E x Tr ê s c h a v e s c o n e c t a s e m p a r a l e l o o p e r a m independentemente Cada chave permanece fechada com probabilidade p Encontre a probabilidade do sinal na entrada chegar a saída Encontre a probabilidade da chave S1 estar aberta dado que o sinal da entrada é recebido na saída Teoria de Probabilidade Ex continuação Seja o evento Ai a chave Si esta fechada então PAi p para i123 Como as chaves operam independentemente PA1 A2 A3 PA1 PA2 PA3 Seja o evento R o sinal da entrada é recebido na saída Para este evento ocorrer ao menos uma das chaves deve estar fechada logo R A1 A2 A3 PR 1 PR 1 PA1 A2 A3 1 PA1 PA2 PA3 PR 1 1 p 1 p 1 p 1 1 p3 3p 3p2 p3 PR 1 1 p 1 p 1 p 1 1 p3 3p 3p2 p3 Teoria de Probabilidade Ex continuação Para a segunda parte da questão precisamos encontrar PA1R Para isso usaremos o teorema de Bayer Teoria de Probabilidade Ex continuação Para a segunda parte da questão precisamos encontrar PA1R Para isso usaremos o teorema de Bayer PA1R PRA1PA1 PR Teoria de Probabilidade Ex continuação Para a segunda parte da questão precisamos encontrar PA1R Para isso usaremos o teorema de Bayer PA1R PRA1PA1 PR onde Teoria de Probabilidade Ex continuação Para a segunda parte da questão precisamos encontrar PA1R Para isso usaremos o teorema de Bayer PA1R PRA1PA1 PR onde PRA1 PA2 PA3 PA2 PA3 PA2 PA3 Teoria de Probabilidade Ex continuação Para a segunda parte da questão precisamos encontrar PA1R Para isso usaremos o teorema de Bayer PA1R PRA1PA1 PR onde PRA1 PA2 PA3 PA2 PA3 PA2 PA3 PRA1 p 1p 1p p p p 2p p2 Teoria de Probabilidade Ex continuação Para a segunda parte da questão precisamos encontrar PA1R Para isso usaremos o teorema de Bayer PA1R PRA1PA1 PR onde PRA1 PA2 PA3 PA2 PA3 PA2 PA3 PRA1 p 1p 1p p p p 2p p2 assim Teoria de Probabilidade Ex continuação Para a segunda parte da questão precisamos encontrar PA1R Para isso usaremos o teorema de Bayer PA1R PRA1PA1 PR onde PRA1 PA2 PA3 PA2 PA3 PA2 PA3 PRA1 p 1p 1p p p p 2p p2 assim PA1R 2p p21 p 3p 3p2 p3 2 3p p2 3 3p p2 Teoria de Probabilidade Experimentos Sequenciais e Diagrama de Árvore Muitos experimentos consistem de uma sequência de subexperimentos O procedimento para cada subexperimento pode depender dos resultados dos anteriores ou não Geralmente é útil utilizar algum tipo de grafo o qual é referido como diagrama de árvore para representar a sequência de subexperimentos para a criação dessa árvore unimos os resultados de cada subexperimento em conjuntos dentro de um espaço de evento Começando pela raiz representamos cada evento do espaço de evento do primeiro subexperimento como um ramo e nomeamos o ramo com as probabilidades do evento Cada ramo leva a um nó Teoria de Probabilidade Eventos no mesmo espaço de evento do segundo subexperimento aparecem como ramos crescendo de cada nó Os nomes nos ramos do segundo subexperimento são as probabilidades condicionais dos eventos no segundo subexperimento Esse procedimento continua para os demais subexperimentos em ordem os nós ao final de cada série de subexperimento são as folhas da árvore cada uma correspondendo a um resultado de uma sequência inteira de experimentos a probabilidade de cada resultado é o produto das probabilidades e probabilidades condicionais no caminho da raiz às folhas Usualmente se nomeia cada folha com o nome do evento e a probabilidade do evento Teoria de Probabilidade Ex 124 para o exemplo 119 dos resistires nós utilizamos A para denotar o evento de um resistor escolhido aleatoriamente estar dentro de 50Ω do valor nominal Isto pode ser visto como aceitável tendo seu complemento ie não aceitável representado pelo evento N O experimento pode ser visto como um procedimentos em 2 passos primeiramente identificamos qual máquina produziu o resistor e em seguida descobrimos se o resistor é aceitável Desenhe o diagrama de árvore para este experimento Qual a probabilidade de escolher um resistor da máquina B2 que não seja aceitável Para encontrar o evento B2N começamos identificando que PB2 04 Depois andamos no próximo ramo para obter B2N através da multiplicação de PB2 por PNB2 obtendo PB2N 04 01 Teoria de Probabilidade Ex 126 Considere um jogo de 3 onde você embaralha 3 cartas às 2 e 3 com às valendo 1 ponto A idéia é comprar até o total de pontos ser 3 ou mais Você ganha se seu total é 3 Encontre PW a probabilidade que você ganhou Seja Ci o evento que a carta C é a iésima carta comprada Por exemplo 32 é o evento que o 3 é a segunda carta comprada A árvore resultante é PW PA122 P21A2 P31 1312 1312 13 23 Teoria de Probabilidade Métodos de Contagem Definição princípio fundamental da contagem se um subexperimento A tem n possíveis resultados e o subexperimento B tem k possíveis resultados então existem nk possíveis resultados quando realizados ambos os subexperimentos Definição kpermutações kpermutações é uma sequência ordenada de objetos distinguíveis ie o número de objetos vai diminuindo Assim o número de kpermutações de n objetos distinguíveis é nk nn 1n 2 n k 1 n n k Teoria de Probabilidade amostragem é a escolha de objetos de uma coleção Amostragem sem reposição o número de maneiras de escolher k objetos de n objetos distinguíveis é Amostragem com reposição dado m objetos distinguíveis existem mn maneiras de escolher com reposição uma amostra ordenada de n objetos Amostragem com reposição também acontecem quando realizamos n repetições de um subexperimento idêntico Cada subexperimento possui o mesmo espaço amostral S Teorema para n repetições de um subexperimento com espaço amostral SS0 Sm1 existem mn possíveis sequências de observação n k nk k n kn k Teoria de Probabilidade Teorema o número de sequências de observação para n subexperimentos com espaço amostral S0 1 com 0 aparecendo n0 vezes e 1 aparecendo n1nn0 vezes é Teorema para n repetições de um subexperimento com espaço amostral Ss0 sm1 o número de tamanho de sequências de observação nn0 nm1 com Si aparecendo ni vezes é Definição Coeficiente Multinomial para um inteiro n0 n n1 n n0 nm1 n n0n1 nm1 n n0 nm1 n n0n1nm1 n0 nm1 n ni 2 0 n i 0 m 1 0 caso contrario Teoria de Probabilidade Testes Independentes Teorema a probabilidade de n0 falhas e n1 sucessos em n n0 n1 testes independentes é onde p é a probabilidade de sucesso Ex 140 no exemplo 119 encontramos que um resistor testado aleatoriamente era aceitável com probabilidade PA 078 Se testarmos 100 resistores aleatoriamente qual a probabilidade de Ti o evento que i resistores testados sejam aceitáveis PSn0n1 n n1 1 pnn1 pn1 n n0 1 pn0 pnn0 Cada teste de resistor é um teste independente com sucesso acontecendo quando o resistor é aceitável Assim para 0 i 100 PTi 100 i 1 0 78100i 0 78i Teoria de Probabilidade Ex 141 Para comunicar um bit de informação de maneira confiável um sistema de comunicação transmite o mesmo símbolo binário 5 vezes Assim a informação zero é transmitida como 00000 e um como 11111 O receptor detecta a informação corretamente se 3 ou mais símbolos binários são recebidos corretamente Qual é a probabilidade de erro de informação PE se a probabilidade de erro de um símbolo binário é q 01 Neste problema temos 5 testes correspondendo a cada repetição do símbolo binário enviado Em cada teste sucesso ocorre quando o símbolo binário é recebido corretamente A probabilidade de sucesso é p 1 q 09 O evento erro E ocorre quando o número de sucessos é estritamente menor que 3 PE PS05 PS14 PS23 5 0 q5 5 1 pq4 5 2 p2q3 0 00856 Teoria de Probabilidade Teorema um subexperimento tem espaço amostras Ss0 sm1 com Psi pi Para n n0 nm1 testes independentes a probabilidade de ni ocorrências de si i 0 m1 é Ex 142 Cada chamada chegando em um switch telefônico é independentemente uma chamada de voz com probabilidade 710 chamada de fax com probabilidade 210 ou uma chamada de modem com probabilidade 110 Seja Svfm o evento que observamos v chamadas de voz f chamada de fax e m chamadas de modem de cada 100 chamadas observadas Qual o modelo de cálculo de probabilidade para esse problema PSn0 Snm1 n n0 nm1 pn0 0 pnm1 m1 PSvfm 100 v f m 7 10 v 2 10 f 1 10 m observe que v f m 100