Processos Estocásticos: Análise de Pares de Variáveis Aleatórias

PROCESSOS ESTOCÁSTICOS PROF FABIANO CASTOLDI PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Na revisão anterior analizamos experimentos no qual um resultado é um número Agora analisaremos experimentos onde o resultado é uma coleção de números Começaremos avaliando um par de vas X e Y Pares de vas aparecem em uma variedade de situações Por exemplo um sinal emitido X por um radio transmissor e o sinal recebido Y no receptor formam um par de vas Na prática observamos Y mas desejamos mesmo é saber sobre X Ruídos e distorções impedem a observação direta de X e deste modo usamos o modelo probabilístico fXYxy para estimar X INTRODUÇÃO FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA CONJUNTA Em experimentos com 1 va os eventos são pontos ou intervalos em uma linha Em experimentos com 2 vas X e Y cada resultado x y é um ponto no plano e os eventos são pontos ou áreas em um plano Definição a função distribuição acumulada conjunta CDF conjunta das vas X e Y é FXYxy PX x Y y OBS A CDF conjunta é um modelo probabilístico completo PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS FUNÇÃO DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA CONJUNTA Teorema Para qualquer par de va X Y a 0 FXYxy 1 b FXx FXYx c FYy FXYy d FXYy FXYx 0 e Se x x1 e y y1 então FXYxy FXYx1y1 f FXY 1 Apesar da definição simples da CDF é mais fácil trabalhar com a PMF ou PDF nos casos discretos e contínuos respectivamente QUIZ 41 Determine a FXY2 b FXY c FXYy d FXY PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 0 1 FYy 0 FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE CONJUNTA Definição A PMF conjunta das vas X e Y é PXYxy PX x Y y Para um par de vas discretas a PMF conjunta PXYxy é um modelo probabilístico completo Assim como tínhamos para o range de SX para uma única va usaremos SXY para denotar o conjunto de valores do par X Y ie SXY xyPXYxy 0 Lembrese que X x Y y é um evento em um experimento Para qualquer x e y encontramos PXYxy somando as probabilidades de todos os resultados do experimento para o qual X x e Y y EX 41 Testamos 2 circuitos integrados um após o outro Em cada teste os resultados possíveis são a aceitável ou r rejeitado Assuma que todos os circuitos são aceitáveis com probabilidade 09 e que cada resultado de testes sucessivos são independentes PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS EX 41 continuação Conte o número de circuitos aceitáveis X e o número de testes com sucesso antes da primeira rejeição Y Desenhe o diagrama de árvore do experimento e encontre a PMF conjunta de X e Y O espaço amostral é S aa ar ra rr Observando a árvore obtemos as probabilidades para cada par de valores X e Y Seja gs a função que transforma cada resultado de s em uma amostra no espaço do par de vas X Y Assim PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS gaa 2 2 gar 1 1 gra 1 0 grr 0 0 Para cada par de valores x y PXYxy é a soma das probabilidades dos resultados onde X x e Y y FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE CONJUNTA EX 41 continuação Assim obtemos Uma representação alternativa para PXYxy é através da matriz PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Observe que todas as probabilidades somam para 1 Isto é reflexo do segundo axioma da probabilidade PS 1 ou para nosso exemplo X x2SX X y2SY PXY x y 1 FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE CONJUNTA Representamos um evento B como uma região no plano X Y Quando X Y B dizemos que o evento B ocorre e usaremos PB como uma versão reduzida para PXY B Teorema Para pares de vas discretas X e Y e qualquer conjunto B no plano X Y a probabilidade do evento XY B é PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE CONJUNTA PB X xy2B PXY x y EX 42 Continuando o exemplo 41 encontre a probabilidade do evento B que X o número de circuitos aceitáveis seja igual a Y o número de testes antes de observar a primeira falha QUIZ 42 Para a PMF conjunta PQGqg das vas Q e G é dada pela tabela abaixo calcule a PQ 0 b PQ G b PG 1 b PG Q PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE CONJUNTA Matematicamente o evento B é X Y Para esse caso temos os resultados B SXY 00 11 22 Logo PB PXY00 PXY11 PXY22 001 009 081 091 a PQ0 006 018 024 012 06 b PQG 006 012 018 c PQ0 024 016 012 008 060 d PGQ 018 024 012 016 008 078 É possível obter a PMF de uma das vas PYy a partir da PMF conjunta PXYxy Para isso realizamos o somatório sobre a outra va em todos os pontos dentro de SXY Na soma y é uma constante logo Teorema Para as vas discretas X e Y com PMF conjunta PXYxy Chamamos as PMFs de cada va separada obtida dessa forma como PMF marginal EX 43 No exemplo 41 encontramos Encontre as PMFs marginais das vas X e Y PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE MARGINAL PXx X y2SY PXY x y PY y X x2SX PXY x y EX 43 continuação PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE CONJUNTA Para encontrar PXx observamos que ambos os range de X e Y são 0 1 2 Assim PX0 2 X y0 PXY 0 y 0 01 PX1 2 X y0 PXY 1 y 0 18 PX2 2 X y0 PXY 2 y 0 81 PXx 0 x 6 0 1 2 Similarmente para Y temos PY 0 2 X x0 PXY x 0 0 10 PY 1 2 X x0 PXY x 1 0 09 PY 2 2 X x0 PXY x 2 0 81 PY y 0 6 0 1 2 EX 43 continuação PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS FUNÇÃO MASSA DE PROBABILIDADE CONJUNTA Observe que cada resultado obtido para PXx é a soma de todas as entradas em uma linha da matriz e similarmente a soma de uma coluna para PYy Assim podemos modificar a matriz para acomodar As PMFs marginais completas são PXx 8 0 01 x 0 0 18 x 1 0 81 x 2 0 caso contrario PY y 8 0 10 y 0 0 09 y 1 0 81 y 2 0 caso contrario PARES DE VARIAVEIS ALEATORIAS FUNCAO MASSA DE PROBABILIDADE CONJUNTA QUIZ 43 A PMF Pu phb das vas H e B é dada pela tabela abaixo Encontre as PMFs marginais Pyh e Ppb Pypthbb0 b2 b4 h1 0 04 02 h0 01 0 01 h1 01 01 0 Realizando a soma para cada resultado individual de H temos Py p h b b0 b2 d Py h h1 0 04 02 06 k 01 0 01 02 k 01 01 0 02 Pp b as 86 6S 03 060 h1 020 b0 020 Az J 050 b2 Pyh 020 h1 Ppl 030 b4 0 caso contrario 0 caso contrario Definição A função densidade de probabilidade conjunta PDF conjunta das vas contínuas X e Y é uma função fXYxy com a propriedade OBS Para uma va X a PDF fXx é uma medidas de probabilidade por unidade de comprimento Para 2 vas X e Y a PDF conjunta fXYxy mede a probabilidade por unidade de área Teorema Teorema Px1Xx2 y1Yy2 FXYx2y2 FXYx2y1 FXYx1y2 FXYx1y1 PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE CONJUNTA FXY x y Z x 1 Z y 1 fXY u vdvdu fXY x y 2FXY x y x y Teorema uma PDF conjunta fXYxy possui as seguintes propriedades correspondentes aos primeiro e segundo axiomas da probabilidade a fXYxy 0 para todo x y b Dado um experimento que produz um par de vas contínuas X e Y um evento A correspondente a uma região no plano XY A probabilidade de A ocorrer é igual a integral dupla de fXYxy sobre a região do plano XY correspondente a A Teorema a probabilidade de que as vas contínuas X Y estejam em A é PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE CONJUNTA PA Z A Z fXY x y dx dy Z 1 1 Z 1 1 fXY x y dx dy 1 EX 44 As vas X e Y tem PDF conjunta Encontre a constante c e PA P2 X 3 1 Y 3 PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE CONJUNTA fXY x y c 0 x 5 0 y 3 0 caso contrario Para a segunda parte podemos utilizar o gráfico abaixo para auxiliar na interpretação Para a primeira parte do problema devemos lembrar do segundo axioma Z 1 1 Z 1 1 fXY x y dy dx Z 5 0 Z 3 0 c dy dx 1 Dessa forma a probabilidade do evento A é a área do quadrado em preto ou seja PA Z 3 2 Z 3 1 1 15 dy dx Resolvendo para c obtemos c 1 15 PA 2 15 EX 45 Encontre a CDF conjunta FXYxy quando X e Y tem PDF conjunta PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE CONJUNTA A CDF conjunta pode ser obtida direto pela definição para a qual integramos na área da figura acima Para realizar a integração pode ser interessante verificarmos o diagrama com as áreas com probabilidades diferentes de zero e então utilizar a definição da CDF A dificuldade com esta integral está que os limites de integração dependem criticamente de x e y Primeiramente observamos que para x 0 e y 0 o triângulo está completamente fora da zona de integração logo FXYxy 0 para tanto x 0 ou y 0 Similarmente FXYxy 1 quando o triângulo está totalmente dentro da região de integração ie x 1 e y 1 Podemos ver isso graficamente EX 45 continuação PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE CONJUNTA Os demais casos são mais complicados Quando x y está dentro da área com probabilidade não nula a integral é FXY x y Z y 0 Z x v 2 du dv 2xy y2 EX 45 continuação PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE CONJUNTA Quando x y está acima do triângulo figura abaixo temos a integral FXY x y Z x 0 Z x v 2 du dv x2 A última situação é quando x y está a direita do triângulo de probabilidade não nula FXY x y Z y 0 Z 1 v 2 du dv 2y y2 EX 45 continuação PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE CONJUNTA A CDF conjunta resultante é Este exemplo demonstra a complexidade que pode ser encontrar a CDF pois devese considerar que as propriedades da CDF devem ser respeitadas além da análise ser desenvolvida para todos os valores de x e y Algumas vezes a análise da PDF é mais útil do que a CDF Neste exemplo a CDF esconde o fato que em áreas do mesmo tamanho dentro do triângulo da PDF tem a mesma probabilidade de ocorrer A superfície dessa CDF conjunta pode ser vista na figura abaixo onde os casos analisados correspondem aos contornos da superfície EX 46 No exemplo 44 as vas X e Y tem PDF conjunta Qual é PA PY X PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE CONJUNTA fXY x y 1 15 0 x 5 0 y 2 0 caso contrario Esse problema é consideravelmente mais fácil do que o anterior uma vez que apenas os limitantes do evento depende de X e Y Isso pode ser visto pela figura abaixo Assim temos PA Z 3 0 Z 3 x 1 15 dy dx 3 10 Assim como para a PMF marginal podemos obter a PDF de uma va contínua a partir da PDF conjunta das vas A PDF obtida dessa forma damos o nome de PDF marginal de fXYxy Teorema Se X e Y são vas com PDF conjunta fXYxy EX 47 A PDF conjunta de X e Y é Encontre as PDFs marginais fXx e fYy PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE MARGINAL fXx Z 1 1 fXY x y dy fY Y Z 1 1 fXY x y dx fXY x y 5y4 1 x 1 x2 y 1 0 caso contrario Começamos observando o gráfico referente a PDF conjunta EX 47 continuação PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE MARGINAL Podemos verificar que para x 1 e x 1 fXYxy 0 e logo fXx 0 Para o intervalo 1 x 1 temos fXx Z 1 x2 5y 4 dy 51 x4 8 E a expressão completa da PDF marginal é fY y Z py py 5y 4 dx 5 p y3 2 Analisando para Y temos que quando y 0 ou y 1 fXYxy 0 assim fyy 0 Para o intervalo 0 y 1 os limites da integração são Dessa forma py E Existem várias situações onde observase 2 vas e usase seus valores para calcular uma nova va Por exemplo uma estação base de rede celular com 2 antenas A amplitude dos sinais recebidos nas 2 antenas são modeladas com vas X e Y O radio receptor conectado as duas antenas pode usar os sinais recebidos de diversas formas pode escolher o sinal com maior energia e ignorar o outro Neste caso o receptor produz a va W X se X Y e W Y caso contrário pode somar os dois sinais e usar o resultado W X Y pode combinar os 2 sinais com pesos diferentes W aX bY Assim encontramos uma va W gXY O problema matemático é derivar o modelo de probabilidade de W PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Teorema para as vas discretas X e Y a va derivada W gX Y é discreta e possui PMF EX 48 Uma firma envia 2 tipos de facsímile Um que contem somente texto e precisa de 40s para transmitir uma página Outro que contem figuras em escala de cinza que leva 60s por página Os faxes podem tem 1 2 ou 3 páginas Seja a va L representando o comprimento de um fax em páginas SL 1 2 3 e a va T representando o tempo para enviar cada página ST 40 60 Após observar muitas transmissões de fax a fima deriva o seguinte modelo de probabilidade PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS PW w X xygxyw PXY x y EX 48 continuação Seja D gL T LT a duração total da transmissão de fax em segundos Encontre o range SD a PMF PDd e o valor esperado ED PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Examinando as 6 possíveis combinações de L e T obtemos os seguintes valores para o range de D SD 40 60 80 120 180 A PMF para esses cinco resultados pode ser obtida pela soma das probabilidades resultando na PMF PDd 8 0 15 d 40 0 10 d 60 0 30 d 80 0 35 d 120 0 10 d 180 0 caso contrario Assim o valor esperado é ED X d2SD dPDd ED 96 segundos Teorema para as vas contínuas X e Y a CDF de W gX Y uma função contínua é Isto é para vas contínuas e gX Y contínua primeiro achamos a CDF FWw para então derivarmos para obter a PDF fWw Teorema para as vas contínuas X e Y a CDF de W maxX Y é EX 49 Nos exemplos 44 e 46 X e Y tinham PDF conjunta Encontre a PDF de W maxXY PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS FW w PW w Z gxyW Z fXY x y dx dy FW w FXY w w Z w 1 Z w 1 fXY x y dx dy fXY x y 1 15 0 x 5 0 y 3 0 caso contrario EX 49 continuação PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Uma vez que X 0 e Y 0 então W 0 Assim para w 0 FWw 0 De forma similar como X 5 e Y 3 então FWw 1 para w 5 Nos demais intervalos precisamos avaliar Na figura acima observase 2 casos distintos 1 quando 0 w 3 o teorema anterior nos diz que FW w Z w 0 Z w 0 1 15 dx dy w2 15 2 quando 3 w 5 a integral em relação a X w Y w é simplesmente w 5 FW w Z w 0 Z 3 0 1 15 dy dx EX 49 continuação PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Combinando as duas partes temos a CDF de W E derivando obtemos a PDF como PARES DE VARIAVEIS ALEATORIAS FUNCOES DE DUAS VARIAVEIS ALEATORIAS e EX 410 X e Y tem PDF conjunta ff ApeO4 2 0y0 Ixy y 0 caso contrario Encontre a PDF de W YX Comecamos encontrando a CDF Fww PYX s w PIY s wX Sabemos que para w 0 Fww 0 Para w 2 0 integramos fxy sobre a regiao do plano XY para a qual Y s wX com X20eY 2 0 y PIY wX fxy xy dy dx YwX CO wer Jee X r ven 1 m qo dx 0 w 0 Oe Nd ee Fww 1a EX 410 continuação QUIZ 46 A Dois computadores usam modems e uma linha telefônica para transferir email e noticias da internet a cada hora No início da chamada de dados os modems em cada lado da linha negociam a velocidade da conexão que depende da qualidade da linha Quando o velocidade negociada é baixa os computadores reduzem a quantidade de noticias que eles transferem O número de bits transmitidos L e a velocidade B em bits por segundo possuem PDF conjunta como na tabela a seguir Seja T o número de segundos necessários para a transferência Expresse T como uma função de L e B Qual a PMF de T PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Derivando a CDF de W obtemos fW w λµ λµw2 w 0 0 caso contrario PARES DE VARIAVEIS ALEATORIAS FUNCOES DE DUAS VARIAVEIS ALEATORIAS QUIZ 46 A continuagao Pr pl b b 14400 b21600 b 28 800 I 518 400 02 01 005 I 2592 000 005 01 02 7776 000 0 01 02 A fungao é 0 tempo de transmissao logo T gLB LB Para a PMF basta encontrar o range de T e entao realizar a soma das probabilidades apropriadas 005 t18 01 t24 02 t 3690 01 120 PrO1 005 1M 02 t 2M 01 30 0 otherwise PARES DE VARIAVEIS ALEATORIAS FUNCOES DE DUAS VARIAVEIS ALEATORIAS QUIZ 46 B Encontre a CDF e a PDF de W XY quando as vas Xe Y tem PDF conjunta f 1 Ox10yl Fxy OY 0 otherwise Como W XYe0sXs1e0sY 1 entao 0 W 1 Logo Fwiw 0 paraw O0e Fyww 1 para w 2 1 Para os valores intermediarios temos Fyw PW s w PIXY s wl Entretanto integrar sobre essa regiao é relativamente complexo como pode ser visto na figura Y J W XY w x 2s Dessa forma é mais interessante realizar a integragado em XY w e usar a relagao Fyww PW s w 1 PW w PXY w PY wX Assim PARES DE VARIAVEIS ALEATORIAS FUNCOES DE DUAS VARIAVEIS ALEATORIAS QUIZ 46 B continuagao Como W XYe0sXs1e0sY 1 entao 0 W 1 Logo Fww 0 paraw Oe Fyww 1 para w 2 1 Fw w 1PXY wv t 1 1 dy dx w dwx 1 1 1 wx dx 1 x wInx3 1wwlinw wwinw Assim a CDF e a PDF completas sao 0 w 0 dF 0 w 0 Fw w4 wwinw Owl fv w 2 Inw Owl 1 wl 0 w l Existem situações em que o interesse é no valor esperado de uma va derivada W gX Y e não no modelo probabilístico nestes casos podemos utilizar PXYxy ou fXYxy para achar EW Teorema para as vas X e Y o valor esperado W gX Y é Discreto Contínuo EX 411 No exemplo 48 calcule ED diretamente de PLTlt PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS VALORES ESPERADOS ED 3 X l1 X l4060 ltPLT l t 1400 151600 102400 302600 203400 153600 10 96 segundos Que é o mesmo resultado obtido no exemplo 48 Teorema Teorema para quaisquer 2 vas X e Y Teorema A variância da soma de 2 vas é Definição covariância a covariância de 2 vas X e Y é Definição correlação a correlação de 2 vas X e Y é PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS VALORES ESPERADOS Eg1X Y gnX Y Eg1X Y EgnX Y EX Y EX EY V arX Y V arX V arY 2E X µXY µY CovX Y E X µXY µY σXY rXY E XY Teorema a b c Se X Y CovXY VarX VarY e rXY EX2 EY2 EX 412 Para os testes de circuitos integrados do exemplo 41 encontramos no exemplo 43 que o modelo de probabilidade de X e Y é dado pela matriz Encontre rXY e CovXY PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS VALORES ESPERADOS CovX Y rXY µXµY V arX Y V arX V arY 2CovX Y Pelas definições temos rXY EXY 2 X x0 2 X y0 xyPXY x y 3 33 EX 1 80 EY 1 71 CovX Y rXY µXµY 0 252 Definição As vas X e Y são ortogonais se rXY 0 Definição As vas X e Y são descorrelacionadas se CovXY 0 Definição O coeficiente de correlação de 2 vas X e Y é Teorema 1 ρXY 1 OBS ρXY descreve a informação que ganhamos sobre Y ao observar X e relaciona as vas com seus valores esperados Para ρXY 0 sugere que quando X é alto em relação ao seu valor esperado então Y também é alto e quando X é baixo Y é possivelmente baixo Para ρXY 0 o inverso é observado Teorema Se X e Y são vas tais que Y aX b então PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS VALORES ESPERADOS XY CovX Y p V arXV arY CovX Y σXσY XY 8 1 a 0 0 a 0 1 a 0 PARES DE VARIAVEIS ALEATORIAS VALORES ESPERADOS QUIZ 47 A As vas Le T dados no exemplo 48 tem PMF Prritit t40sec t 60sec Pir t t40 t 60 BLO 2 on 2 015 01 025 l 1 page 015 01 os 03 02 05 cere Pere Encontre tJpages ONO Rr 06 CO a EL e VarL EL 2 VarL 05 b ET e VarT ET48 VarT 96 CPir ryr ELT 96 d CovILT CovLT 0 e PLT PLT 0 PARES DE VARIAVEIS ALEATORIAS VALORES ESPERADOS QUIZ 47 B A PDF conjunta das vas Xe Y é IX a y 0 near dui Encontre a EX e VarX BIX 5 VarlX 5 b EY e Varl BIY 5 Varl 2 c ry ryy EXY d CovXY CovX Y 0 e Pxy pxy 0 pinot SSeS nol BF Oana Definição para as vas discretas X e Y e um evento B com PB 0 a PMF conjunta condicional de X e Y dado B é Teorema para qualquer evento B uma região do plano XY com PB 0 EX 413 As vas X e Y tem PMF PXYxy como mostrado abaixo Seja B o evento onde X Y 4 Encontre a PMF condicional de X e Y dado B PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONDICIONAMENTO POR UM EVENTO PXY Bx y PX x Y yB PXY Bx y PXY xy P B x y 2 B 0 caso contrario EX 413 continuação PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONDICIONAMENTO POR UM EVENTO O evento B consiste dos pontos 1 1 2 1 2 2 3 1 Somando as probabilidades desse conjunto obtemos PB 712 Assim a probabilidade condicional PXYBxy Definição dado um evento B com PB 0 a PDF conjunta condicional das vas contínuas X e Y é EX 414 X e Y são vas com PDF conjunta Encontre a PDF condicional de X e Y dado o evento B X Y 4 PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONDICIONAMENTO POR UM EVENTO fXY Bx y fXY xy P B x y 2 B 0 caso contrario fXY x y 115 0 x 5 0 y 3 0 caso contrario Assim a PDF conjunta resultante é fXY x y 215 0 x 5 0 y 3 x y 4 0 caso contrario Calculamos a PB integrando na região de B PB Z 3 0 Z 5 4y 1 15 dx dy 1 2 PARES DE VARIAVEIS ALEATORIAS CONDICIONAMENTO POR UM EVENTO Teorema para as vas X e Y e um evento B de probabilidade nao nula o valor esperado de W gX Y dado B é Discreto EWB o2yPxyia2y veSx yeSy Continuo pwial f sewtxywlew da dy OBS outra notagao para o valor esperado condicional 6 Uws Definicgado a variancia condicional de uma va W gX Y é VarWB E W wip B OBS outra notagao para a variancia condicional é Owe Teorema VarWIB EW2IB uwis2 EX 415 Continuando o exemplo 413 encontre o valor esperado condicional e a variância condicional de W X Y dado o evento B X Y 4 PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONDICIONAMENTO POR UM EVENTO Lembrando que PXYBxy tem 4 pontos com probabilidades diferentes de zero então EWB X xy x yPXY Bx y 23 7 3 3 14 41 7 4 3 14 41 14 e 22 3 7 32 3 14 42 1 7 42 3 14 EW 2B X xy x y2PXY Bx y 131 14 PARES DE VARIAVEIS ALEATORIAS CONDICIONAMENTO POR UM EVENTO e EX 415 continuagao Desse modo a variancia condicional é VarW B EWB EWB e ay 14 ls 196 EX 416 Continuando o exemplo 414 encontre o valor esperado condicional de W XY dado o evento B X Y 2 4 Do teorema anterior 3 5 9 EXYB ay dx dy 0 J4y 15 4 oon i Guerv wy PARES DE VARIAVEIS ALEATORIAS CONDICIONAMENTO POR UM EVENTO QUIZ 48 A Do exemplo 48 as vass L e T possuem PDF conjunta Prridt t40sec t 60sec l11 page 015 01 2 pages 03 02 1 3 pages 015 01 Para a va V LT definimos o evento A V 80 Encontre a PMF condicional PtaIt de Le T dado A Qual é EVIA e VarEIA Comegamos encontrando a probabilidade do evento A P A PV 80 Py 7 2 60 Pz7 3 40 Px7 3 60 045 Assim obtemos a PDF conjunta condicional Pr rial t t40 t60 Assim jas 8 BVA 22 ja 0 49 3 aie VarVA 1 QUIZ 48 B As vas X e Y possuem PDF conjunta Para a va W XY definimos o evento B W 80 Encontre a PDF condicional fXYBxy de X e Y dado B Qual é EWB e VarWB PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONDICIONAMENTO POR UM EVENTO fXY xy4000 1 x 3 40 y 60 0 caso contrario Começamos encontrando a probabilidade do evento B PB Z 60 40 Z 3 80y xy 4000 dx dy 9 8 4 5 ln 3 2 0 801 Assim a PDF conjunta condicional é fXY xy3204 80y x 3 40 y 60 0 caso contrario O valor esperado e variância condicionais são EWB 120 78 V arWB 1528 30 No estudo anterior considerouse o conhecimento parcial do resultado xy B de um experimento Agora vamos considerar que nosso conhecimento parcial consiste no valor de uma das vas B Xx ou B Yy Saber que Yy muda nosso conhecimento sobre as vas X e Y Definição para qualquer evento Y y tal que PYy 0 a PMF condicional de X dado Y y é PXYxy PXxYy Teorema para as vas X e Y com PMF conjunta PXYxy e x e y tais que PXx 0 e PYy 0 PXYxy PXYxy PYy PYXyx PXx PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONDICIONAMENTO POR UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA EX 417 Considere a PMF conjunta das vas X e Y do exemplo 413 Encontre a PMF condicional de Y dado X x para cada x SX PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONDICIONAMENTO POR UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA Para usarmos o teorema anterior e encontrarmos o que é pedido PYXyx começamos encontrando a PXx somando verticalmente as probabilidades para cada valor de x Agora para cada x 1 2 3 4 fazemos EX 417 continuação PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONDICIONAMENTO POR UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA Obtendo Teorema Sejam X e Y vas discretas Para qualquer y SY o valor esperado condicional de gXY dado Y y é O valor esperado de X dado Y y é um caso especial do teorema EX 418 No exemplo anterior derivamos as seguintes PMFs condicionais PYXy1 PYXy2 PYXy3 PYXy4 Encontre EYXx para x 1 2 3 4 EYX1 1 EYX2 15 EYX3 2 EYX4 25 Agora vamos ao caso das vas contínuas Nestes casos não podemos usar o evento B Y y pois PY y 0 Assim PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONDICIONAMENTO POR UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA EgX Y Y y X x2SX gx yPXY xy EXY y X x2SX xPXY xy Teorema Para y tal que fYy 0 a PDF condicional de X dado Y y é O mesmo pode ser reproduzido para Y dado X x EX 419 Voltando ao exemplo 45 as vas X e Y tem PDF conjunta Para 0 x 1 encontre a PDF condicional fYXyx Para 0 y 1 encontre a PDF condicional fXYxy PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONDICIONAMENTO POR UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA fXY xy fXY x y fY y fY Xyx fXY x y fXx EX 419 continuação PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONDICIONAMENTO POR UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA Para 0 x 1 temos fXx Z 1 1 fXY x y dy Z x 0 2 dy 2x Assim a PDF condicional de Y dado X é Similarmente para 0 y 1 Logo a PDF condicional de X dado Y é fY y Z 1 1 fXY x y dx Z 1 y 2 dx 21 y fY Xyx fXY x y fXx 1 x 0 y x 0 caso contrario fXY xy fXY x y fY y 1 1y y x 1 0 caso contrario Teorema fXYxy fYXyx fXx fXYxy fYy Definição para as vas contínuas X e Y e qualquer y tal que fYy 0 o valor esperado condicional de gXY dado Y y é O valor esperado condicional de X dado Y é um caso especial desse enunciado Definição o valor esperado condicional de EXY é uma função da va Y tal que se Y y então EXY EXYy PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONDICIONAMENTO POR UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA EgX Y Y y Z 1 1 gx yfXY xy dx EXY y Z 1 1 xfXY xy dx PARES DE VARIAVEIS ALEATORIAS CONDICIONAMENTO POR UMA VARIAVEL ALEATORIA EX 420 Para as vas X e Y do exemplo 45 encontramos a PDF condicional de X dado Y no exemplo 419 fxyty f tp ysesi Ixy aly fyy 0 caso contrario Encontre agora os valores esperados EXIYy e EXIY Encontrando o valor esperado de EXIYy Co BIXY u afxyyely de x fe Ly x e 2t L 2 Assim como o valor esperado é uma fungao de y temos que 1Y Teorema Iteração da Esperança Seja gY EXYy então EgY é uma iteração da esperança ie EEXY EX Teorema EEgXY EgX EX 421 Ao meio dia durante a um dia de semana começamos a gravar novas tentativas de chamadas na central telefônica Seja X o tempo de chegada da primeira chamada medida pelo número de segundos após o meio dia Seja Y o tempo de chegada da segunda chamada No modelo mais comum utilizado na indústria telefônica X e Y são vas contínuas com PDF conjunta onde λ 0 chamadassegundo é a taxa média de chegadas das ligações telefônicas Encontre as PDFs marginais fXx e fYy e as PDFs condicionais fXYxy e fYXyx PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONDICIONAMENTO POR UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA EX 421 continuação PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONDICIONAMENTO POR UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA Para x 0 temos fXx Z 1 x λ2eλy dy λeλx Dado X x a PDF condicional de Y dado X é fY Xyx fXY x y fXx λeλyx y x 0 caso contrario Agora para a PDF condicional de X dado Y primeiramente encontramos a PDF de Y para a qual temos com y 0 fXY xy fXY x y fY y 1 y 0 x y 0 caso contrario fY y Z y 0 λ2eλy dx λ2yeλy E assim EX 422 Seja R a va uniforme 0 1 Dado R r X é a va uniforme 0 r Encontre a PDF condicional de R dado X PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONDICIONAMENTO POR UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA O problema nos diz que Encontrando a PDF conjunta Agora basta encontrar a fXx para então encontrar a PDF condicional de R dado X Definição as vas X e Y são independentes se e somente se Discreto PXYxy PXx PYy Contínuo fXYxy fXx fYy Se X e Y são independentes PXYxy PXx e PYXyx PYy fXYxy fXx e fYXyx fYy EX 434 Seja As vas X e Y são independentes PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS INDEPENDENTES As PDFs marginais são Desta forma é fácil verificar que fXYxy fXx fYy Logo X e Y são independentes EX 424 Seja As vas U e V são independentes PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS INDEPENDENTES As PDFs marginais são Podese observar que claramente as vas não são independentes Por exemplo aprender que U 12 nos informa que PV 12 1 OBS as vas X e Y são independentes somente se a definição de va independente é válida para todos os x SX e y SY e não somente para alguns eventos Teorema para as vas independentes X e Y a EgXhY EgX EhY b rxy EXY EX EY c CovXY ρXY 0 d VarXY VarX VarY e EXYy EX y SY e EYXx EY x SX PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS INDEPENDENTES EX 425 As vas X e Y possuem PDF conjunta dada pela matrix As vas X e Y são independentes Elas são descorrelacionadas PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS INDEPENDENTES Lembrando que as vas devem obedecer a relação de independência para todos os valores de x SX e y SY verificase logo de início que PX1 025 PY1 025 resultando em PX1 PY1 00625 PXY11 025 Assim as vas X e Y não são independentes Em relação a correlação das variáveis temos que EX 05 EY 0 EXY 0 Dessa forma CovXY EXY EX EY ρXY 0 e pela definição as vas X e Y são descorrelacionadas Definição As vas X e Y tem uma PDF Gaussiana Bivariada com parâmetros µ1 σ1 µ2 σ2 e ρ se onde µ1 e µ2 podem ser qualquer número real σ1 0 σ2 0 e 1 ρ 1 Teorema Se X e Y são vas Gaussianas Bivariadas X é va Gaussiana µ1 σ1 e Y é va Gaussiana µ2 σ2 Teorema Se X e Y são vas Gaussianas Bivariadas a PDF condicional de Y dado X é PARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS GAUSSIANAS BIVARIADAS FXY x y e xµ1 σ1 2 2xµ1yµ2 σ1σ2 yµ2 σ2 2 212 2σ1σ2 p 1 2 FXx 1 σ1 p 2 e xµ12 2σ2 1 FY y 1 σ2 p 2 e yµ22 2σ2 2 FY Xyx 1 σ2 p 2 e yµ2x2 2σ2 2 PARES DE VARIAVEIS ALEATORIAS VARIAVEIS ALEATORIAS GAUSSIANAS BIVARIADAS onde dado X x o valor esperado e a variancia condicionais de Y sao es O2 1 fiol o p22em 63 031p e Teorema Se X e Y sao vas Gaussianas Bivariadas a PDF condicional de X dado Y é 1 H 6y Py wigs e 1 xy ly o12n onde dado X x o valor esperado e a variancia condicionais de Y sao O71 is faly e7yH2 a e 12 Teorema as vas Gaussianas Bivariadas X e Y possuem coeficiente de correlacao px y p Teorema As vas Gaussianas Bivariadas sao descorrelacionadas se e somente se elas forem independentes ie p 0 PARES DE VARIAVEIS ALEATORIAS VARIAVEIS ALEATORIAS GAUSSIANAS BIVARIADAS QUIZ 411 Sejam X e Y vas conjuntamente Gaussianas 01 com coeficiente de correlagao 12 1 Qual a PDF conjunta de X e Y Observando que Uy wx 2 wy O 0 ox l 09 oy 1 obtemos 1 2 2 fx Gy ee OHA V 3707 2 Qual a PDF condicional de X dado Y 2 Utilizando os teoremas anteriores temos que EXYyly2 EKY21 6G o71p 34 Assim fxiy x2 aa e7 213 3n2