Processos Estocásticos: Vetores Aleatórios e Modelos Probabilísticos

PROCESSOS ESTOCÁSTICOS PROF FABIANO CASTOLDI VETORES ALEATÓRIOS Um vetor aleatório trata uma coleção de vas como uma única entidade Nos estudos anteriores aprendemos a trabalhar com 2 vas Agora vamos generalizar as definições e teoremas para qualquer número de vas Definição CDF Conjunta Multivariada A CDF conjunta de X1 Xn é Definição PMF Conjunta Multivariada A PMF conjunta das vas discretas X1 Xn é MODELOS PROBABILÍSSIMOS DE N VAS FX1 Xnx1 xn PX1 x1 Xn xn PX1 Xnx1 xn PX1 x1 Xn xn VETORES ALEATÓRIOS Definição PDF Conjunta Multivariada A PMF conjunta das vas contínuas X1 Xn é a função Teorema Se X1 Xn são vas discretas com PMF conjunta PX1 Xnx1xn a b MODELOS PROBABILÍSSIMOS DE N VAS fX1 Xnx1 xn nFX1 Xnx1 xn x1 xn PX1 Xnx1 xn 0 X x12SX1 X xn2SXn PX1 Xnx1 xn 1 VETORES ALEATÓRIOS Teorema Se X1 Xn são vas contínuas com PDF conjunta fX1Xnx1xn a b c Teorema A probabilidade de um evento A expresso em termo das vas X1 Xn é Discreto Contínuo MODELOS PROBABILÍSSIMOS DE N VAS fX1 Xnx1 xn 0 FX1 Xnx1 xn Z x1 1 Z xn 1 fX1 Xnu1 un du1 dun Z 1 1 Z 1 1 fX1 Xnx1 xn dx1 dxn 1 PA Z A Z fX1 Xnx1 xn dx1 dxn 1 PA X x1 xn2A X PX1 Xnx1 xn dx1 dxn 1 VETORES ALEATÓRIOS EX 52 Na resposta a um pedido de informação um companhia envia faxes que podem ter 1 2 ou 3 páginas de comprimento dependendo da informação pedida A PMF de L o comprimento de um fax é Para um conjunto de quatro pedidos de informações independentes a Qual a PMF conjunta das vas X Y e Z o número de faxes com 1 2 e 3 páginas respectivamente b Qual a PA Pcomprimento total dos 4 faxes é 8 páginas c Qual a PB Ppelo menos metade dos 4 faxes ter mais de 1 página MODELOS PROBABILÍSSIMOS DE N VAS VETORES ALEATÓRIOS EX 52 continuação MODELOS PROBABILÍSSIMOS DE N VAS VETORES ALEATÓRIOS EX 52 continuação MODELOS PROBABILÍSSIMOS DE N VAS Cada fax enviado é um teste independente com possíveis resultados L 1 L 2 L 3 Assim o número de faxes de cada comprimento é descrito por uma PDF multinomial VETORES ALEATÓRIOS EX 52 continuação MODELOS PROBABILÍSSIMOS DE N VAS Cada fax enviado é um teste independente com possíveis resultados L 1 L 2 L 3 Assim o número de faxes de cada comprimento é descrito por uma PDF multinomial VETORES ALEATÓRIOS EX 52 continuação MODELOS PROBABILÍSSIMOS DE N VAS Cada fax enviado é um teste independente com possíveis resultados L 1 L 2 L 3 Assim o número de faxes de cada comprimento é descrito por uma PDF multinomial A qual é descrita pela tabela abaixo já destacando os resultados dos eventos A e B VETORES ALEATÓRIOS EX 52 continuação MODELOS PROBABILÍSSIMOS DE N VAS Cada fax enviado é um teste independente com possíveis resultados L 1 L 2 L 3 Assim o número de faxes de cada comprimento é descrito por uma PDF multinomial A qual é descrita pela tabela abaixo já destacando os resultados dos eventos A e B VETORES ALEATÓRIOS EX 52 continuação MODELOS PROBABILÍSSIMOS DE N VAS Cada fax enviado é um teste independente com possíveis resultados L 1 L 2 L 3 Assim o número de faxes de cada comprimento é descrito por uma PDF multinomial A qual é descrita pela tabela abaixo já destacando os resultados dos eventos A e B Assim PA 107432 PB 89 VETORES ALEATÓRIOS EX 53 As vas X1 Xn tem PDF conjunta Seja A o evento maxi Xi 12 Encontre PA MODELOS PROBABILÍSSIMOS DE N VAS VETORES ALEATÓRIOS EX 53 As vas X1 Xn tem PDF conjunta Seja A o evento maxi Xi 12 Encontre PA MODELOS PROBABILÍSSIMOS DE N VAS Temos n vas uniformes 01 independentes e VETORES ALEATÓRIOS EX 53 As vas X1 Xn tem PDF conjunta Seja A o evento maxi Xi 12 Encontre PA MODELOS PROBABILÍSSIMOS DE N VAS Temos n vas uniformes 01 independentes e VETORES ALEATÓRIOS EX 53 As vas X1 Xn tem PDF conjunta Seja A o evento maxi Xi 12 Encontre PA MODELOS PROBABILÍSSIMOS DE N VAS Temos n vas uniformes 01 independentes e VETORES ALEATÓRIOS EX 53 As vas X1 Xn tem PDF conjunta Seja A o evento maxi Xi 12 Encontre PA MODELOS PROBABILÍSSIMOS DE N VAS Temos n vas uniformes 01 independentes e Assim a medida que o número de vas n aumenta a probabilidade que o máximo é menor que 12 rapidamente tende a zero VETORES ALEATÓRIOS QUIZ 51 As vas Y1 Y4 tem PDF conjunta Seja C o evento que maxi Yi 12 Encontre PC MODELOS PROBABILÍSSIMOS DE N VAS VETORES ALEATÓRIOS QUIZ 51 As vas Y1 Y4 tem PDF conjunta Seja C o evento que maxi Yi 12 Encontre PC MODELOS PROBABILÍSSIMOS DE N VAS Encontramos PC integrando a PDF conjunta sobre a região de interesse em relação a cada variável VETORES ALEATORIOS MODELOS PROBABILISSIMOS DE N VAS QUIZ 51 As vas Yi Ya tem PDF conjunta 4 0y 52510535 y41 FY 04 y1 tees y4 0 stherwine 7 3 Seja C o evento que max Y 12 Encontre PC Encontramos PC integrando a PDF conjunta sobre a regido de interesse em relagao a cada variavel 12 12 PC dn dy f dys Ady 0 0 0 0 VETORES ALEATORIOS MODELOS PROBABILISSIMOS DE N VAS QUIZ 51 As vas Yi Ya tem PDF conjunta 4 0y 52510535 y41 FY 04 y1 tees y4 0 stherwine 7 3 Seja C o evento que max Y 12 Encontre PC Encontramos PC integrando a PDF conjunta sobre a regido de interesse em relagao a cada variavel 12 12 PC dn dy f dys Ady 0 0 0 0 12 12 4 dr rsdn 14 VETORES ALEATÓRIOS Quanto temos 2 ou mais vas é conveniente trabalharmos com vetores e matrizes Definição Um vetor aleatório é um vetor coluna X X1 XnT Cada Xi é uma va Definição Vetor de Valores de Amostras um valor de amostra de um vetor aleatório é o vetor coluna x x1 xnT O iésimo componente xi do vetor x é um valor de amostra de uma va Xi OBS estamos utilizando letra maiúscula para vetores aleatórios e minúsculas para vetores de valores de amostras ambos em negrito Entretanto letras maiúsculas também serão utilizadas para a representação de matrizes e minúsculas para vetores quaisquer NOTAÇÃO VETORIAL VETORES ALEATÓRIOS Definição Funções de Probabilidade de Vetores Aleatórios a A CDF de um vetor aleatório X é FXx FX1Xnx1xn b A PMF de um vetor aleatório discreto é PXx PX1Xnx1xn c A PDF de um vetor aleatório contínuo é fXx fX1Xnx1xn Usaremos uma notação similar para uma função gX gX1Xn de n vas e uma função gx x1xn de n números Assim como tínhamos relações de probabilidades para 2 vas podemos explorar o par de vetores aleatórios NOTAÇÃO VETORIAL VETORES ALEATÓRIOS Definição Função de Probabilidade de um Par de Vetores Aleatórios para os vetores aleatórios X com n componentes e Y com m componentes a A CDF conjunta de X e Y é FXYxy FX1XnY1Ymx1xny1ym b A PMF conjunta dos vetores aleatórios discretos X e Y é PXYxy PX1XnY1Ymx1xny1ym C A PDF conjunta dos vetores aleatórios contínuos X e Y é fXYxy fX1XnY1Ymx1xny1ym Podemos definir os vetores aleatórios X e Y em um só vetor através da concatenação dos vetores ie W XT YTT Assim as funções de probabilidade de X e Y correspondem as funções de W eg FXYxy é a mesma CDF de FWw NOTAÇÃO VETORIAL EX 54 O vetor aleatório X tem PDF onde a 1 2 3T Qual a CDF de X VETORES ALEATÓRIOS NOTAÇÃO VETORIAL EX 54 O vetor aleatório X tem PDF onde a 1 2 3T Qual a CDF de X VETORES ALEATÓRIOS NOTAÇÃO VETORIAL Como a tem 3 componentes podemos deduzir que X é um vetor aleatório tridimensional Assim expandindo aTx EX 54 O vetor aleatório X tem PDF onde a 1 2 3T Qual a CDF de X VETORES ALEATÓRIOS NOTAÇÃO VETORIAL Como a tem 3 componentes podemos deduzir que X é um vetor aleatório tridimensional Assim expandindo aTx EX 54 O vetor aleatório X tem PDF onde a 1 2 3T Qual a CDF de X VETORES ALEATÓRIOS NOTAÇÃO VETORIAL Como a tem 3 componentes podemos deduzir que X é um vetor aleatório tridimensional Assim expandindo aTx Integrando a PDF com relação as 3 vas obtemos EX 54 O vetor aleatório X tem PDF onde a 1 2 3T Qual a CDF de X VETORES ALEATÓRIOS NOTAÇÃO VETORIAL Como a tem 3 componentes podemos deduzir que X é um vetor aleatório tridimensional Assim expandindo aTx Integrando a PDF com relação as 3 vas obtemos VETORES ALEATÓRIOS QUIZ 52 Os vetores aleatórios discretos X x1 x2 x3T e Y y1 y2 y3T são relacionados por Y AX Encontre a PMF conjunta PYy se X tem PMF conjunta NOTAÇÃO VETORIAL VETORES ALEATÓRIOS QUIZ 52 Os vetores aleatórios discretos X x1 x2 x3T e Y y1 y2 y3T são relacionados por Y AX Encontre a PMF conjunta PYy se X tem PMF conjunta NOTAÇÃO VETORIAL Pela aplicação da transformação dada pela matriz A temos Y1 X1 Y2 X1 X2 Y3 X2 X3 VETORES ALEATÓRIOS QUIZ 52 Os vetores aleatórios discretos X x1 x2 x3T e Y y1 y2 y3T são relacionados por Y AX Encontre a PMF conjunta PYy se X tem PMF conjunta NOTAÇÃO VETORIAL Pela aplicação da transformação dada pela matriz A temos Y1 X1 Y2 X1 X2 Y3 X2 X3 Rearrumando para utilizar no cálculo das probabilidades X1 Y1 X2 Y1 Y2 X3 Y2 Y3 Y1 Y2 Y3 VETORES ALEATÓRIOS QUIZ 52 Os vetores aleatórios discretos X x1 x2 x3T e Y y1 y2 y3T são relacionados por Y AX Encontre a PMF conjunta PYy se X tem PMF conjunta NOTAÇÃO VETORIAL Pela aplicação da transformação dada pela matriz A temos Y1 X1 Y2 X1 X2 Y3 X2 X3 Rearrumando para utilizar no cálculo das probabilidades X1 Y1 X2 Y1 Y2 X3 Y2 Y3 Y1 Y2 Y3 Como 0 X1 X2 X3 então Y tem que ser um inteiro estritamente positivo logo NOTACAO VETORIAL QUIZ 52 Os vetores aleatorios discretos X x x2 x3 e Y y y2 y3 sao relacionados por Y AX Encontre a PMF conjunta Pyy se X tem PME conjunta lpp3 x1 x2 x3 1 0 O Px x x12x3 12 A i 1 0 0 otherwise 0 1 11 Pela aplicagao da transformagao dada pela matriz A temos Y1 X13 Yo X1 Xo Y3 X2 X3 Rearrumando para utilizar no calculo das probabilidades A 141 Ao Vet Yo X23 Yo Yo Yu 2 Yo Como 0 X X2 X3 entao Y tem que ser um inteiro estritamente positivo logo Py y PY 1 Y2 yo 3 ys VETORES ALEATORIOS NOTACAO VETORIAL QUIZ 52 Os vetores aleatorios discretos X x x2 x3 e Y y y2 y3 sao relacionados por Y AX Encontre a PMF conjunta Pyy se X tem PME conjunta lpp3 x1 x2 x3 1 0 0 Px x x12x3 12 A i 1 0 0 otherwise 0 1 11 Pela aplicagao da transformagao dada pela matriz A temos Yipee se A A eg See AS Rearrumando para utilizar no calculo das probabilidades X1 Y1 X2 Y1 Yo X3 Yo Y3 Y1 Yo Y3 Como 0 X X2 X3 entao Y tem que ser um inteiro estritamente positivo logo Py y PY 1 Yo ya 3 ys PXiy12y2ty3y3 t y2 Vil VETORES ALEATORIOS NOTACAO VETORIAL QUIZ 52 Os vetores aleatorios discretos X x x2 x3 e Y y y2 y3 sao relacionados por Y AX Encontre a PMF conjunta Pyy se X tem PME conjunta lpp3 x1 x2 x3 1 0 0 Px x x12x3 12 A i 1 0 0 otherwise 0 1 11 Pela aplicagao da transformagao dada pela matriz A temos Yipee ae A A 1s et Rearrumando para utilizar no calculo das probabilidades X1 Y1 X2 Y1 Yo X3 Yo Y3 Y1 Yo Y3 Como 0 X X2 X3 entao Y tem que ser um inteiro estritamente positivo logo Py y PY 1 Yo ya 3 ys PXiy12y2ty3y3 t y2 Vil VETORES ALEATÓRIOS QUIZ 52 continuação NOTAÇÃO VETORIAL VETORES ALEATÓRIOS QUIZ 52 continuação NOTAÇÃO VETORIAL Assim definindo o vetor a 1 1 1T temos a PDF conjunta de Y igual a VETORES ALEATORIOS NOTACAO VETORIAL QUIZ 52 continuagao Assim definindo o vetora1 1 1 temos a PDF conjunta de Y igual a pp y1y293 125 Ae 0 otherwise VETORES ALEATÓRIOS Teorema para uma PMF conjunta PWXYZwxyz das vas discretas W X Y Z algumas PMFs marginais são PXYZxyz PWZwz PXx Teorema para uma PDF conjunta fWXYZwxyz das vas contínuas W X Y Z algumas PMFs marginais são fXYZxyz fWZwz fXx FUNÇÕES DE PROBABILIDADES MARGINAIS X w2SW PWXYZw x y z X x2SX X y2SY PWXYZw x y z X w2SW X y2SY X z2SZ PWXYZw x y z Z 1 1 Z 1 1 Z 1 1 fWXYZw x y z dw dy dz Z 1 1 Z 1 1 fWXYZw x y z dx dy Z 1 1 fWXYZw x y z dw VETORES ALEATÓRIOS EX 55 Do QUIZ 51 as vas Y1 Y4 tem PDF conjunta Encontre as PDFs marginais fY1Y4y1y4 fY2Y3y2y3 e fY3y3 FUNÇÕES DE PROBABILIDADES MARGINAIS VETORES ALEATÓRIOS EX 55 Do QUIZ 51 as vas Y1 Y4 tem PDF conjunta Encontre as PDFs marginais fY1Y4y1y4 fY2Y3y2y3 e fY3y3 FUNÇÕES DE PROBABILIDADES MARGINAIS Aplicando o teorema anterior a parte difícil é encontrar os limitantes Para 0 y1 1 e 0 y4 1 temos VETORES ALEATÓRIOS EX 55 Do QUIZ 51 as vas Y1 Y4 tem PDF conjunta Encontre as PDFs marginais fY1Y4y1y4 fY2Y3y2y3 e fY3y3 FUNÇÕES DE PROBABILIDADES MARGINAIS Aplicando o teorema anterior a parte difícil é encontrar os limitantes Para 0 y1 1 e 0 y4 1 temos VETORES ALEATÓRIOS EX 55 Do QUIZ 51 as vas Y1 Y4 tem PDF conjunta Encontre as PDFs marginais fY1Y4y1y4 fY2Y3y2y3 e fY3y3 FUNÇÕES DE PROBABILIDADES MARGINAIS Aplicando o teorema anterior a parte difícil é encontrar os limitantes Para 0 y1 1 e 0 y4 1 temos Assim a PDF marginal completa é VETORES ALEATÓRIOS EX 55 Do QUIZ 51 as vas Y1 Y4 tem PDF conjunta Encontre as PDFs marginais fY1Y4y1y4 fY2Y3y2y3 e fY3y3 FUNÇÕES DE PROBABILIDADES MARGINAIS Aplicando o teorema anterior a parte difícil é encontrar os limitantes Para 0 y1 1 e 0 y4 1 temos Assim a PDF marginal completa é VETORES ALEATÓRIOS EX 55 Do QUIZ 51 as vas Y1 Y4 tem PDF conjunta Encontre as PDFs marginais fY1Y4y1y4 fY2Y3y2y3 e fY3y3 FUNÇÕES DE PROBABILIDADES MARGINAIS Aplicando o teorema anterior a parte difícil é encontrar os limitantes Para 0 y1 1 e 0 y4 1 temos Assim a PDF marginal completa é Similarmente para 0 y2 1 e 0 y3 1 temos VETORES ALEATÓRIOS EX 55 Do QUIZ 51 as vas Y1 Y4 tem PDF conjunta Encontre as PDFs marginais fY1Y4y1y4 fY2Y3y2y3 e fY3y3 FUNÇÕES DE PROBABILIDADES MARGINAIS Aplicando o teorema anterior a parte difícil é encontrar os limitantes Para 0 y1 1 e 0 y4 1 temos Assim a PDF marginal completa é Similarmente para 0 y2 1 e 0 y3 1 temos VETORES ALEATÓRIOS EX 55 continuação FUNÇÕES DE PROBABILIDADES MARGINAIS VETORES ALEATÓRIOS EX 55 continuação FUNÇÕES DE PROBABILIDADES MARGINAIS A PDF marginal completa é VETORES ALEATÓRIOS EX 55 continuação FUNÇÕES DE PROBABILIDADES MARGINAIS A PDF marginal completa é VETORES ALEATÓRIOS EX 55 continuação FUNÇÕES DE PROBABILIDADES MARGINAIS A PDF marginal completa é Finalmente para 0 y3 1 podemos utilizar a PDF marginal anterior e obter VETORES ALEATÓRIOS EX 55 continuação FUNÇÕES DE PROBABILIDADES MARGINAIS A PDF marginal completa é Finalmente para 0 y3 1 podemos utilizar a PDF marginal anterior e obter VETORES ALEATÓRIOS EX 55 continuação FUNÇÕES DE PROBABILIDADES MARGINAIS A PDF marginal completa é Finalmente para 0 y3 1 podemos utilizar a PDF marginal anterior e obter Resultando na PDF marginal VETORES ALEATÓRIOS EX 55 continuação FUNÇÕES DE PROBABILIDADES MARGINAIS A PDF marginal completa é Finalmente para 0 y3 1 podemos utilizar a PDF marginal anterior e obter Resultando na PDF marginal VETORES ALEATORIOS FUNCOES DE PROBABILIDADES MARGINAIS e QUIZ 53 Para o vetor aleatorio X X X2 X3 com PDF 6 O x1 2 3 1 Fx 0 otherwise Encontre as PDFs marginais fx1x2x1X2 x1x3x1X3 fx2x3x2X3 e fx1X1 fx2x2 fx3x3 eC fxX 41 2 dx3 6dx3 61 x2 XK a He mw x3 X3 a2 i Meo x1 X2 x2 Pa i CO X3 5x x Gi 8 Ix x dx2 6 dx2 6x3 x1 a x VETORES ALEATORIOS FUNCOES DE PROBABILIDADES MARGINAIS QUIZ 53 Para o vetor aleatério X X X2 X3 com PDF 6 O x1 2 3 1 Fx Q otherwise Encontre as PDFs marginais fx1x2x1X2 x1x3x1X3 fx2x3x2X3 e fx1X1 fx2x2 fx3x3 Para O x S x2 S 1 temos que x2 S x3 S 1 logo eC FXX 41 X2 dx3 6dx3 61 x2 XK a He mw x3 X3 a2 i Meo a 2 x2 Pa i CO X3 tx x Ga Ix x dx2 6 dx2 6x3 x1 00 x1 VETORES ALEATORIOS FUNCOES DE PROBABILIDADES MARGINAIS QUIZ 53 Para o vetor aleatério X X X2 X3 com PDF 6 O0 x1 x2 3 1 Fx Q otherwise Encontre as PDFs marginais fx1x2x1X2 x1x3x1X3 fx2x3x2X3 e fx1X1 fx2x2 fx3x3 Para O x S x2 S 1 temos que x2 S x3 S 1 logo eC FXX 41 X2 dx3 6dx3 61 x2 XK a He mw x3 X3 a2 E a PDF completa é i Meo a 2 x2 Pa i CO X3 tx x Ga Ix x dx2 6 dx2 6x3 x1 00 x1 VETORES ALEATORIOS FUNCOES DE PROBABILIDADES MARGINAIS QUIZ 53 Para o vetor aleatério X X X2 X3 com PDF 6 O0 x1 x2 3 1 SK 0 otherwise Encontre as PDFs marginais fx1x2x1X2 x1x3x1X3 fx2x3x2X3 e fx1X1 fx2xX2 fx3Xx3 Para O x S x2 S 1 temos que x2 S x3 S 1 logo eC 1 FXX 41 42 dx3 6dx3 61 x2 X1X 1 X2 mw x3 x3 i E a PDF completa é i Meo a 2 x2 Pa i Para O x S x3 S 1 temos que x S x2 S 1 CO X3 tx x Ga fx x dx2 6 dx2 6x3 x1 00 x1 VETORES ALEATÓRIOS QUIZ 53 continuação FUNÇÕES DE PROBABILIDADES MARGINAIS VETORES ALEATÓRIOS QUIZ 53 continuação FUNÇÕES DE PROBABILIDADES MARGINAIS Assim PDF marginal é VETORES ALEATORIOS FUNCOES DE PROBABILIDADES MARGINAIS QUIZ 53 continuagao Assim PDF marginal é 6031 OF mH XB 1 TxX3 41 3 0 oat VETORES ALEATORIOS FUNCOES DE PROBABILIDADES MARGINAIS QUIZ 53 continuagao Assim PDF marginal é 6031 OF mH XB 1 tx x Ga 4 0 oat Para O x2 S x3 S 1 temos que 0 S x S x2 VETORES ALEATORIOS FUNCOES DE PROBABILIDADES MARGINAIS QUIZ 53 continuagao Assim PDF marginal é 6031 OF mH XB 1 Fis3 Ga 49 0 otherwise Para O x2 S x3 S 1 temos que 0 S x S x2 IXX3 X2 X3 Fx x dx 6dx 6x2 VETORES ALEATORIOS FUNCOES DE PROBABILIDADES MARGINAIS QUIZ 53 continuagao Assim PDF marginal é 6031 OF mH XB 1 Py Gas 0 otherwise Para O x2 S x3 S 1 temos que 0 S x S x2 tx Ge Hs Fx x dx 6dx 6x2 E a PDF marginal é VETORES ALEATORIOS FUNCOES DE PROBABILIDADES MARGINAIS QUIZ 53 continuagao Assim PDF marginal é 60341 OS m1 5x3 1 Fx1X3 OA 43 0 otherwise Para O x2 S x3 S 1 temos que 0 S x S x2 tx Ge Hs Fx x dx 6dx 6x2 E a PDF marginal é 6x2 0 x3 1 IX2X3 2 43 ni VETORES ALEATORIOS FUNCOES DE PROBABILIDADES MARGINAIS QUIZ 53 continuagao Assim PDF marginal é 604341 O54 59351 Fx1X3 Gis 3 0 otherwise Para O x2 S x3 S 1 temos que 0 S x S x2 GO X2 IXX3 X2 X3 Fx x dx 6dx 6x2 00 E a PDF marginal é 6x2 O 242 43 1 fans 029 1 0 oiherwiag Para as demais PDFs marginais podemos utilizar as PDFs que acabamos de encontrar VETORES ALEATORIOS FUNCOES DE PROBABILIDADES MARGINAIS QUIZ 53 continuagao Assim PDF marginal é 60341 OS 41 4351 Fx1X3 Gis 3 0 otherwise Para O x2 S x3 S 1 temos que 0 S x S x2 Ce X2 he x2 x3 Ix x dx 6dx 6x2 0o E a PDF marginal é 6x OSx2 54351 Pia q Gia 3 0 otherwise Para as demais PDFs marginais podemos utilizar as PDFs que acabamos de encontrar 0 1 fis si f fisyte 142 din 601 aa dso 30 4 VETORES ALEATORIOS FUNCOES DE PROBABILIDADES MARGINAIS QUIZ 53 continuagao Assim PDF marginal é 603 x1 OS m 54351 Fx1X3 CA 3 0 otherwise Para O x2 S x3 S 1 temos que 0 S x S x2 Ce X2 IXX3 X2 X3 Fx x dx 6dx 6x2 0o E a PDF marginal é x 6x2 O x2 x3 1 Pia a Gy 3 0 otherwise Para as demais PDFs marginais podemos utilizar as PDFs que acabamos de encontrar 0 1 fis si f fisyte 142 din 601 aa dso 30 4 CO fx 42 IX2X3 2 3 dx3 6x2 dx3 6x21 x2 Oo x2 VETORES ALEATORIOS FUNCOES DE PROBABILIDADES MARGINAIS QUIZ 53 continuagao Assim PDF marginal é 603 x1 OS m 54351 Fx1X3 CA 3 0 otherwise Para O x2 S x3 S 1 temos que 0 S x S x2 Ce X2 he x2 x3 Ix x dx 6dx 6x2 00 E a PDF marginal é x 6x2 O x2 x3 1 IX2X3 2 3 0 otherwise Para as demais PDFs marginais podemos utilizar as PDFs que acabamos de encontrar 0 1 fis si f fisyte 142 din 601 aa dso 30 4 CO fx 42 IX2X5 2 3 dx3 6x2 dx3 6x21 x2 Oo x2 oO x3 Sx 3 FXX3 2 3 dx2 6x2 dx2 3x3 VETORES ALEATÓRIOS QUIZ 53 continuação FUNÇÕES DE PROBABILIDADES MARGINAIS VETORES ALEATÓRIOS QUIZ 53 continuação FUNÇÕES DE PROBABILIDADES MARGINAIS Resultando nas PDFs marginais de X1 X2 e X3 VETORES ALEATORIOS FUNCOES DE PROBABILIDADES MARGINAIS QUIZ 53 continuagao Resultando nas PDFs marginais de Xj X2 e X3 30 2x Ox 1 Ix Ga 0 otherwise 6x21 x2 Ox2 1 Ix 2 0 otherwise f dat O my at Ix 3 0 otherwise VETORES ALEATÓRIOS Definição n VAs Independentes As vas X1 Xn são independentes se para todos os x1 xn Discreto PX1Xnx1xn PX1x1 PXnxn Contínuo fX1Xnx1xn fX1x1 fXnxn EX 56 As vas Y1 Y4 do exemplo anterior 55 são independentes INDEPENDÊNCIA DE VAS E VETORES ALEATÓRIOS VETORES ALEATÓRIOS Definição n VAs Independentes As vas X1 Xn são independentes se para todos os x1 xn Discreto PX1Xnx1xn PX1x1 PXnxn Contínuo fX1Xnx1xn fX1x1 fXnxn EX 56 As vas Y1 Y4 do exemplo anterior 55 são independentes INDEPENDÊNCIA DE VAS E VETORES ALEATÓRIOS Encontrando as PDFs marginais de Y1 Y2 e Y4 Y3 já foi encontrada VETORES ALEATÓRIOS Definição n VAs Independentes As vas X1 Xn são independentes se para todos os x1 xn Discreto PX1Xnx1xn PX1x1 PXnxn Contínuo fX1Xnx1xn fX1x1 fXnxn EX 56 As vas Y1 Y4 do exemplo anterior 55 são independentes INDEPENDÊNCIA DE VAS E VETORES ALEATÓRIOS Encontrando as PDFs marginais de Y1 Y2 e Y4 Y3 já foi encontrada VETORES ALEATÓRIOS Definição n VAs Independentes As vas X1 Xn são independentes se para todos os x1 xn Discreto PX1Xnx1xn PX1x1 PXnxn Contínuo fX1Xnx1xn fX1x1 fXnxn EX 56 As vas Y1 Y4 do exemplo anterior 55 são independentes INDEPENDÊNCIA DE VAS E VETORES ALEATÓRIOS Encontrando as PDFs marginais de Y1 Y2 e Y4 Y3 já foi encontrada VETORES ALEATÓRIOS Definição n VAs Independentes As vas X1 Xn são independentes se para todos os x1 xn Discreto PX1Xnx1xn PX1x1 PXnxn Contínuo fX1Xnx1xn fX1x1 fXnxn EX 56 As vas Y1 Y4 do exemplo anterior 55 são independentes INDEPENDÊNCIA DE VAS E VETORES ALEATÓRIOS Encontrando as PDFs marginais de Y1 Y2 e Y4 Y3 já foi encontrada VETORES ALEATÓRIOS Definição n VAs Independentes As vas X1 Xn são independentes se para todos os x1 xn Discreto PX1Xnx1xn PX1x1 PXnxn Contínuo fX1Xnx1xn fX1x1 fXnxn EX 56 As vas Y1 Y4 do exemplo anterior 55 são independentes INDEPENDÊNCIA DE VAS E VETORES ALEATÓRIOS Encontrando as PDFs marginais de Y1 Y2 e Y4 Y3 já foi encontrada Multiplicando as PDFs marginais temos VETORES ALEATÓRIOS Definição n VAs Independentes As vas X1 Xn são independentes se para todos os x1 xn Discreto PX1Xnx1xn PX1x1 PXnxn Contínuo fX1Xnx1xn fX1x1 fXnxn EX 56 As vas Y1 Y4 do exemplo anterior 55 são independentes INDEPENDÊNCIA DE VAS E VETORES ALEATÓRIOS Encontrando as PDFs marginais de Y1 Y2 e Y4 Y3 já foi encontrada Multiplicando as PDFs marginais temos fY1y1fY2y2fY3y3fY4y4 161 y1y21 y3y4 0 y1 y2 y3 y4 1 0 caso contrario 6 fY1Y2Y3Y4y1 y2 y3 y4 VETORES ALEATÓRIOS Definição n VAs Independentes As vas X1 Xn são independentes se para todos os x1 xn Discreto PX1Xnx1xn PX1x1 PXnxn Contínuo fX1Xnx1xn fX1x1 fXnxn EX 56 As vas Y1 Y4 do exemplo anterior 55 são independentes INDEPENDÊNCIA DE VAS E VETORES ALEATÓRIOS Encontrando as PDFs marginais de Y1 Y2 e Y4 Y3 já foi encontrada Multiplicando as PDFs marginais temos fY1y1fY2y2fY3y3fY4y4 161 y1y21 y3y4 0 y1 y2 y3 y4 1 0 caso contrario 6 fY1Y2Y3Y4y1 y2 y3 y4 ou seja as vas Y1 Y2 Y3 e Y4 não são independentes VETORES ALEATÓRIOS Independência de n vas é uma propriedade típica de um experimento consistindo de n subexperimentos independentes Neste caso o subexperimento i produz a va Xi Se todos os subexperimentos seguem o mesmo procedimento todas as Xi tem a mesma PMF ou PDF Neste caso dizemos que as vas Xi são identicamente distribuídas Definição as vas X1 Xn são independentes e identicamente distribuídas iid se Discreto PX1Xnx1xn PXx1 PXxn Contínuo fX1Xnx1xn fXx1 fXxn Definição Vetores Aleatórios Independentes os vetores aleatórios X e Y são independentes se Discreto PXYxy PXx PYy Contínuo fXYxy fXx fYy INDEPENDÊNCIA DE VAS E VETORES ALEATÓRIOS VETORES ALEATÓRIOS EX 57 Seguindo o exemplo 55 as vas Y1 Y4 tem PDF Seja VY1 Y4T e WY2 Y3T Os vetores V e W são independentes INDEPENDÊNCIA DE VAS E VETORES ALEATÓRIOS VETORES ALEATÓRIOS EX 57 Seguindo o exemplo 55 as vas Y1 Y4 tem PDF Seja VY1 Y4T e WY2 Y3T Os vetores V e W são independentes INDEPENDÊNCIA DE VAS E VETORES ALEATÓRIOS Primeiramente podemos reescrever a PDF conjunta em relação as componentes de V e W onde V1 Y1 V2 Y4 W1 Y2 e W2 Y3 VETORES ALEATÓRIOS EX 57 Seguindo o exemplo 55 as vas Y1 Y4 tem PDF Seja VY1 Y4T e WY2 Y3T Os vetores V e W são independentes INDEPENDÊNCIA DE VAS E VETORES ALEATÓRIOS Primeiramente podemos reescrever a PDF conjunta em relação as componentes de V e W onde V1 Y1 V2 Y4 W1 Y2 e W2 Y3 VETORES ALEATÓRIOS EX 57 Seguindo o exemplo 55 as vas Y1 Y4 tem PDF Seja VY1 Y4T e WY2 Y3T Os vetores V e W são independentes INDEPENDÊNCIA DE VAS E VETORES ALEATÓRIOS Primeiramente podemos reescrever a PDF conjunta em relação as componentes de V e W onde V1 Y1 V2 Y4 W1 Y2 e W2 Y3 No exemplo anterior já calculamos as PDFs marginais de Y1 e Y4 isto é V e Y2 e Y3 ou seja W Reescrevendo na forma dos vetores VETORES ALEATÓRIOS EX 57 Seguindo o exemplo 55 as vas Y1 Y4 tem PDF Seja VY1 Y4T e WY2 Y3T Os vetores V e W são independentes INDEPENDÊNCIA DE VAS E VETORES ALEATÓRIOS Primeiramente podemos reescrever a PDF conjunta em relação as componentes de V e W onde V1 Y1 V2 Y4 W1 Y2 e W2 Y3 No exemplo anterior já calculamos as PDFs marginais de Y1 e Y4 isto é V e Y2 e Y3 ou seja W Reescrevendo na forma dos vetores VETORES ALEATÓRIOS EX 57 Seguindo o exemplo 55 as vas Y1 Y4 tem PDF Seja VY1 Y4T e WY2 Y3T Os vetores V e W são independentes INDEPENDÊNCIA DE VAS E VETORES ALEATÓRIOS Primeiramente podemos reescrever a PDF conjunta em relação as componentes de V e W onde V1 Y1 V2 Y4 W1 Y2 e W2 Y3 No exemplo anterior já calculamos as PDFs marginais de Y1 e Y4 isto é V e Y2 e Y3 ou seja W Reescrevendo na forma dos vetores Verificando se existe a independência dos vetores aleatórios VETORES ALEATÓRIOS EX 57 Seguindo o exemplo 55 as vas Y1 Y4 tem PDF Seja VY1 Y4T e WY2 Y3T Os vetores V e W são independentes INDEPENDÊNCIA DE VAS E VETORES ALEATÓRIOS Primeiramente podemos reescrever a PDF conjunta em relação as componentes de V e W onde V1 Y1 V2 Y4 W1 Y2 e W2 Y3 No exemplo anterior já calculamos as PDFs marginais de Y1 e Y4 isto é V e Y2 e Y3 ou seja W Reescrevendo na forma dos vetores Verificando se existe a independência dos vetores aleatórios VETORES ALEATÓRIOS EX 57 Seguindo o exemplo 55 as vas Y1 Y4 tem PDF Seja VY1 Y4T e WY2 Y3T Os vetores V e W são independentes INDEPENDÊNCIA DE VAS E VETORES ALEATÓRIOS Primeiramente podemos reescrever a PDF conjunta em relação as componentes de V e W onde V1 Y1 V2 Y4 W1 Y2 e W2 Y3 No exemplo anterior já calculamos as PDFs marginais de Y1 e Y4 isto é V e Y2 e Y3 ou seja W Reescrevendo na forma dos vetores Verificando se existe a independência dos vetores aleatórios Logo os vetores V e W não são independentes VETORES ALEATÓRIOS QUIZ 54 Use os componentes de Y Y1 Y4T do exemplo anterior para construir dois vetores aleatórios independentes V e W Prove que esses vetores construídos são independentes INDEPENDÊNCIA DE VAS E VETORES ALEATÓRIOS VETORES ALEATÓRIOS QUIZ 54 Use os componentes de Y Y1 Y4T do exemplo anterior para construir dois vetores aleatórios independentes V e W Prove que esses vetores construídos são independentes INDEPENDÊNCIA DE VAS E VETORES ALEATÓRIOS Observando os limites de Y podemos deduzir uma possível separação das vas como os vetores como V Y1 Y2T e W Y3 Y4T VETORES ALEATORIOS INDEPENDENCIA DE VAS E VETORES ALEATORIOS QUIZ 54 Use os componentes de Y Y Ya do exemplo anterior para construir dois vetores aleatorios independentes V e W Prove que esses vetores construidos sao independentes Observando os limites de Y podemos deduzir uma possivel separagao das vas como os vetores como V Y Y2 eWY3 Ya 4 0sy10Sememezl Jyw WW 0 otherwise VETORES ALEATORIOS INDEPENDENCIA DE VAS E VETORES ALEATORIOS QUIZ 54 Use os componentes de Y Y Ya do exemplo anterior para construir dois vetores aleatorios independentes V e W Prove que esses vetores construidos sao independentes Observando os limites de Y podemos deduzir uma possivel separagao das vas como os vetores como V Y Y2 eWY3 Ya 4 0sy10Sememezl Jyw WW 0 otherwise Assim fyv e fww sao VETORES ALEATORIOS INDEPENDENCIA DE VAS E VETORES ALEATORIOS QUIZ 54 Use os componentes de Y Y Ya do exemplo anterior para construir dois vetores aleatorios independentes V e W Prove que esses vetores construidos sao independentes Observando os limites de Y podemos deduzir uma possivel separagao das vas como os vetores como V Y Y2 eWY3 Yal 4 0sy10Sememezl Jyw WW 0 otherwise Assim fyv e fww sao 2 Oum 1 f2 Oswisul Ja Q otherwise fw W 0 otherwise VETORES ALEATORIOS INDEPENDENCIA DE VAS E VETORES ALEATORIOS QUIZ 54 Use os componentes de Y Y Ya do exemplo anterior para construir dois vetores aleatorios independentes V e W Prove que esses vetores construidos sao independentes Observando os limites de Y podemos deduzir uma possivel separagao das vas como os vetores como V Y Y2 eWY3 Yal 4 0sy10Sememezl Jyw WW 0 otherwise Assim fyv e fww sao 2 2y w1 os 2 Os wi wo 1 Iv W Q otherwise fw w 0 otherwise Dessa forma fica facil confirmar a independéncia uma vez que VETORES ALEATORIOS INDEPENDENCIA DE VAS E VETORES ALEATORIOS QUIZ 54 Use os componentes de Y Y Ya do exemplo anterior para construir dois vetores aleatorios independentes V e W Prove que esses vetores construidos sao independentes Observando os limites de Y podemos deduzir uma possivel separagao das vas como os vetores como V Y Y2 eWY3 Yal 4 0sy10Sememezl Fy WW 0 otherwise Assim fyv e fww sao 2 Oum 1 f2 Oswisul Iv W QO otherwise fw w 0 otherwise Dessa forma fica facil confirmar a independéncia uma vez que fv wvw Tvv tww VETORES ALEATÓRIOS Teorema Para a va W gX Discreto Contínuo Teorema Seja X um vetor aleatório de n vas iid cada com CDF FXx e PDF fXx a A CDF e a PDF de Y maxX1 Xn são b A CDF e a PDF de W minX1 Xn são FUNÇÕES DE VETORES ALEATÓRIOS PW w PW w X xgxw PXx FW w PW w Z gxw Z fXx dx1 dxn FY y FXyn e fY y n FXyn1 fXy FW w 1 1 FXwn e fW w n 1 FXwn1 fXw VETORES ALEATÓRIOS EX Seja W maxX1 Xn e Z minX1 Xn onde os Xi são vas iid Encontre FWw e fZz FUNÇÕES DE VETORES ALEATÓRIOS VETORES ALEATÓRIOS EX Seja W maxX1 Xn e Z minX1 Xn onde os Xi são vas iid Encontre FWw e fZz FUNÇÕES DE VETORES ALEATÓRIOS Esse exemplo demonstra os teoremas anteriores Para W temos VETORES ALEATÓRIOS EX Seja W maxX1 Xn e Z minX1 Xn onde os Xi são vas iid Encontre FWw e fZz FUNÇÕES DE VETORES ALEATÓRIOS Esse exemplo demonstra os teoremas anteriores Para W temos 310 Chapter 6 Vector Random Variables may correspond to samples of a speech waveform and we may be interested in extracting features that are defined as functions of X for use in a speech recognition system 621 One Function of Several Random Variables Let the random variable Z be defined as a function of several random variables 617 The cdf of Z is found by finding the equivalent event of that is the set then 618 The pdf of Z is then found by taking the derivative of Example 69 Maximum and Minimum of n Random Variables Let and where the are independent random variables with the same distribution Find and The maximum of is less than x if and only if each is less than x so The minimum of is greater than x if and only if each is greater than x so and Example 610 Merging of Independent Poisson Arrivals Web page requests arrive at a server from n independent sources Source j generates packets with exponentially distributed interarrival times with rate Find the distribution of the inter arrival times between consecutive requests at the server Let the interarrival times for the different sources be given by Each satisfies the memoryless property so the time that has elapsed since the last arrival from each source is irrelevantThe time until the next arrival at the multiplexer is then Therefore the pdf of Z is P3X1 7 z4P3X2 7 z4 Á P3Xn 7 z4 1 FZ1z2 P3min1X1 X2 Á Xn2 7 z4 Z min1X1 X2 Á Xn2 Xj X1 X2 Á Xn lj FZ1z2 1 11 FX1z22n P3X1 7 z4P3X2 7 z4 Á P3Xn 7 z4 11 FX1z22n 1 FZ1z2 P3min1X1 X2 Á Xn2 7 z4 Xi X1 X2 Á Xn P3X1 w4P3X2 w4 Á P3Xn w4 1FX1w22n FW1w2 P3max1X1 X2 Á Xn2 w4 Xi X1 X2 Á Xn FZ1z2 FW1w2 Xi Z min1X1 X2 Á Xn2 W max1X1 X2 Á Xn2 FZ1z2 FZ1z2 P3X in Rz4 Lx in Rz Á L fX1 Á Xn1x1 œ Á xn œ 2 dx1 œ Á dxn œ Rz 5x g1x2 z6 5Z z6 Z g1X1 X2 Á Xn2 X 1X1 X2 Á Xn2 VETORES ALEATÓRIOS EX Seja W maxX1 Xn e Z minX1 Xn onde os Xi são vas iid Encontre FWw e fZz FUNÇÕES DE VETORES ALEATÓRIOS Esse exemplo demonstra os teoremas anteriores Para W temos 310 Chapter 6 Vector Random Variables may correspond to samples of a speech waveform and we may be interested in extracting features that are defined as functions of X for use in a speech recognition system 621 One Function of Several Random Variables Let the random variable Z be defined as a function of several random variables 617 The cdf of Z is found by finding the equivalent event of that is the set then 618 The pdf of Z is then found by taking the derivative of Example 69 Maximum and Minimum of n Random Variables Let and where the are independent random variables with the same distribution Find and The maximum of is less than x if and only if each is less than x so The minimum of is greater than x if and only if each is greater than x so and Example 610 Merging of Independent Poisson Arrivals Web page requests arrive at a server from n independent sources Source j generates packets with exponentially distributed interarrival times with rate Find the distribution of the inter arrival times between consecutive requests at the server Let the interarrival times for the different sources be given by Each satisfies the memoryless property so the time that has elapsed since the last arrival from each source is irrelevantThe time until the next arrival at the multiplexer is then Therefore the pdf of Z is P3X1 7 z4P3X2 7 z4 Á P3Xn 7 z4 1 FZ1z2 P3min1X1 X2 Á Xn2 7 z4 Z min1X1 X2 Á Xn2 Xj X1 X2 Á Xn lj FZ1z2 1 11 FX1z22n P3X1 7 z4P3X2 7 z4 Á P3Xn 7 z4 11 FX1z22n 1 FZ1z2 P3min1X1 X2 Á Xn2 7 z4 Xi X1 X2 Á Xn P3X1 w4P3X2 w4 Á P3Xn w4 1FX1w22n FW1w2 P3max1X1 X2 Á Xn2 w4 Xi X1 X2 Á Xn FZ1z2 FW1w2 Xi Z min1X1 X2 Á Xn2 W max1X1 X2 Á Xn2 FZ1z2 FZ1z2 P3X in Rz4 Lx in Rz Á L fX1 Á Xn1x1 œ Á xn œ 2 dx1 œ Á dxn œ Rz 5x g1x2 z6 5Z z6 Z g1X1 X2 Á Xn2 X 1X1 X2 Á Xn2 e para Z VETORES ALEATÓRIOS EX Seja W maxX1 Xn e Z minX1 Xn onde os Xi são vas iid Encontre FWw e fZz FUNÇÕES DE VETORES ALEATÓRIOS Esse exemplo demonstra os teoremas anteriores Para W temos 310 Chapter 6 Vector Random Variables may correspond to samples of a speech waveform and we may be interested in extracting features that are defined as functions of X for use in a speech recognition system 621 One Function of Several Random Variables Let the random variable Z be defined as a function of several random variables 617 The cdf of Z is found by finding the equivalent event of that is the set then 618 The pdf of Z is then found by taking the derivative of Example 69 Maximum and Minimum of n Random Variables Let and where the are independent random variables with the same distribution Find and The maximum of is less than x if and only if each is less than x so The minimum of is greater than x if and only if each is greater than x so and Example 610 Merging of Independent Poisson Arrivals Web page requests arrive at a server from n independent sources Source j generates packets with exponentially distributed interarrival times with rate Find the distribution of the inter arrival times between consecutive requests at the server Let the interarrival times for the different sources be given by Each satisfies the memoryless property so the time that has elapsed since the last arrival from each source is irrelevantThe time until the next arrival at the multiplexer is then Therefore the pdf of Z is P3X1 7 z4P3X2 7 z4 Á P3Xn 7 z4 1 FZ1z2 P3min1X1 X2 Á Xn2 7 z4 Z min1X1 X2 Á Xn2 Xj X1 X2 Á Xn lj FZ1z2 1 11 FX1z22n P3X1 7 z4P3X2 7 z4 Á P3Xn 7 z4 11 FX1z22n 1 FZ1z2 P3min1X1 X2 Á Xn2 7 z4 Xi X1 X2 Á Xn P3X1 w4P3X2 w4 Á P3Xn w4 1FX1w22n FW1w2 P3max1X1 X2 Á Xn2 w4 Xi X1 X2 Á Xn FZ1z2 FW1w2 Xi Z min1X1 X2 Á Xn2 W max1X1 X2 Á Xn2 FZ1z2 FZ1z2 P3X in Rz4 Lx in Rz Á L fX1 Á Xn1x1 œ Á xn œ 2 dx1 œ Á dxn œ Rz 5x g1x2 z6 5Z z6 Z g1X1 X2 Á Xn2 X 1X1 X2 Á Xn2 310 Chapter 6 Vector Random Variables may correspond to samples of a speech waveform and we may be interested in extracting features that are defined as functions of X for use in a speech recognition system 621 One Function of Several Random Variables Let the random variable Z be defined as a function of several random variables 617 The cdf of Z is found by finding the equivalent event of that is the set then 618 The pdf of Z is then found by taking the derivative of Example 69 Maximum and Minimum of n Random Variables Let and where the are independent random variables with the same distribution Find and The maximum of is less than x if and only if each is less than x so The minimum of is greater than x if and only if each is greater than x so and Example 610 Merging of Independent Poisson Arrivals Web page requests arrive at a server from n independent sources Source j generates packets with exponentially distributed interarrival times with rate Find the distribution of the inter arrival times between consecutive requests at the server Let the interarrival times for the different sources be given by Each satisfies the memoryless property so the time that has elapsed since the last arrival from each source is irrelevantThe time until the next arrival at the multiplexer is then Therefore the pdf of Z is P3X1 7 z4P3X2 7 z4 Á P3Xn 7 z4 1 FZ1z2 P3min1X1 X2 Á Xn2 7 z4 Z min1X1 X2 Á Xn2 Xj X1 X2 Á Xn lj FZ1z2 1 11 FX1z22n P3X1 7 z4P3X2 7 z4 Á P3Xn 7 z4 11 FX1z22n 1 FZ1z2 P3min1X1 X2 Á Xn2 7 z4 Xi X1 X2 Á Xn P3X1 w4P3X2 w4 Á P3Xn w4 1FX1w22n FW1w2 P3max1X1 X2 Á Xn2 w4 Xi X1 X2 Á Xn FZ1z2 FW1w2 Xi Z min1X1 X2 Á Xn2 W max1X1 X2 Á Xn2 FZ1z2 FZ1z2 P3X in Rz4 Lx in Rz Á L fX1 Á Xn1x1 œ Á xn œ 2 dx1 œ Á dxn œ Rz 5x g1x2 z6 5Z z6 Z g1X1 X2 Á Xn2 X 1X1 X2 Á Xn2 e para Z VETORES ALEATÓRIOS EX Seja W maxX1 Xn e Z minX1 Xn onde os Xi são vas iid Encontre FWw e fZz FUNÇÕES DE VETORES ALEATÓRIOS Esse exemplo demonstra os teoremas anteriores Para W temos 310 Chapter 6 Vector Random Variables may correspond to samples of a speech waveform and we may be interested in extracting features that are defined as functions of X for use in a speech recognition system 621 One Function of Several Random Variables Let the random variable Z be defined as a function of several random variables 617 The cdf of Z is found by finding the equivalent event of that is the set then 618 The pdf of Z is then found by taking the derivative of Example 69 Maximum and Minimum of n Random Variables Let and where the are independent random variables with the same distribution Find and The maximum of is less than x if and only if each is less than x so The minimum of is greater than x if and only if each is greater than x so and Example 610 Merging of Independent Poisson Arrivals Web page requests arrive at a server from n independent sources Source j generates packets with exponentially distributed interarrival times with rate Find the distribution of the inter arrival times between consecutive requests at the server Let the interarrival times for the different sources be given by Each satisfies the memoryless property so the time that has elapsed since the last arrival from each source is irrelevantThe time until the next arrival at the multiplexer is then Therefore the pdf of Z is P3X1 7 z4P3X2 7 z4 Á P3Xn 7 z4 1 FZ1z2 P3min1X1 X2 Á Xn2 7 z4 Z min1X1 X2 Á Xn2 Xj X1 X2 Á Xn lj FZ1z2 1 11 FX1z22n P3X1 7 z4P3X2 7 z4 Á P3Xn 7 z4 11 FX1z22n 1 FZ1z2 P3min1X1 X2 Á Xn2 7 z4 Xi X1 X2 Á Xn P3X1 w4P3X2 w4 Á P3Xn w4 1FX1w22n FW1w2 P3max1X1 X2 Á Xn2 w4 Xi X1 X2 Á Xn FZ1z2 FW1w2 Xi Z min1X1 X2 Á Xn2 W max1X1 X2 Á Xn2 FZ1z2 FZ1z2 P3X in Rz4 Lx in Rz Á L fX1 Á Xn1x1 œ Á xn œ 2 dx1 œ Á dxn œ Rz 5x g1x2 z6 5Z z6 Z g1X1 X2 Á Xn2 X 1X1 X2 Á Xn2 310 Chapter 6 Vector Random Variables may correspond to samples of a speech waveform and we may be interested in extracting features that are defined as functions of X for use in a speech recognition system 621 One Function of Several Random Variables Let the random variable Z be defined as a function of several random variables 617 The cdf of Z is found by finding the equivalent event of that is the set then 618 The pdf of Z is then found by taking the derivative of Example 69 Maximum and Minimum of n Random Variables Let and where the are independent random variables with the same distribution Find and The maximum of is less than x if and only if each is less than x so The minimum of is greater than x if and only if each is greater than x so and Example 610 Merging of Independent Poisson Arrivals Web page requests arrive at a server from n independent sources Source j generates packets with exponentially distributed interarrival times with rate Find the distribution of the inter arrival times between consecutive requests at the server Let the interarrival times for the different sources be given by Each satisfies the memoryless property so the time that has elapsed since the last arrival from each source is irrelevantThe time until the next arrival at the multiplexer is then Therefore the pdf of Z is P3X1 7 z4P3X2 7 z4 Á P3Xn 7 z4 1 FZ1z2 P3min1X1 X2 Á Xn2 7 z4 Z min1X1 X2 Á Xn2 Xj X1 X2 Á Xn lj FZ1z2 1 11 FX1z22n P3X1 7 z4P3X2 7 z4 Á P3Xn 7 z4 11 FX1z22n 1 FZ1z2 P3min1X1 X2 Á Xn2 7 z4 Xi X1 X2 Á Xn P3X1 w4P3X2 w4 Á P3Xn w4 1FX1w22n FW1w2 P3max1X1 X2 Á Xn2 w4 Xi X1 X2 Á Xn FZ1z2 FW1w2 Xi Z min1X1 X2 Á Xn2 W max1X1 X2 Á Xn2 FZ1z2 FZ1z2 P3X in Rz4 Lx in Rz Á L fX1 Á Xn1x1 œ Á xn œ 2 dx1 œ Á dxn œ Rz 5x g1x2 z6 5Z z6 Z g1X1 X2 Á Xn2 X 1X1 X2 Á Xn2 e para Z Isolando FZz VETORES ALEATÓRIOS EX Seja W maxX1 Xn e Z minX1 Xn onde os Xi são vas iid Encontre FWw e fZz FUNÇÕES DE VETORES ALEATÓRIOS Esse exemplo demonstra os teoremas anteriores Para W temos 310 Chapter 6 Vector Random Variables may correspond to samples of a speech waveform and we may be interested in extracting features that are defined as functions of X for use in a speech recognition system 621 One Function of Several Random Variables Let the random variable Z be defined as a function of several random variables 617 The cdf of Z is found by finding the equivalent event of that is the set then 618 The pdf of Z is then found by taking the derivative of Example 69 Maximum and Minimum of n Random Variables Let and where the are independent random variables with the same distribution Find and The maximum of is less than x if and only if each is less than x so The minimum of is greater than x if and only if each is greater than x so and Example 610 Merging of Independent Poisson Arrivals Web page requests arrive at a server from n independent sources Source j generates packets with exponentially distributed interarrival times with rate Find the distribution of the inter arrival times between consecutive requests at the server Let the interarrival times for the different sources be given by Each satisfies the memoryless property so the time that has elapsed since the last arrival from each source is irrelevantThe time until the next arrival at the multiplexer is then Therefore the pdf of Z is P3X1 7 z4P3X2 7 z4 Á P3Xn 7 z4 1 FZ1z2 P3min1X1 X2 Á Xn2 7 z4 Z min1X1 X2 Á Xn2 Xj X1 X2 Á Xn lj FZ1z2 1 11 FX1z22n P3X1 7 z4P3X2 7 z4 Á P3Xn 7 z4 11 FX1z22n 1 FZ1z2 P3min1X1 X2 Á Xn2 7 z4 Xi X1 X2 Á Xn P3X1 w4P3X2 w4 Á P3Xn w4 1FX1w22n FW1w2 P3max1X1 X2 Á Xn2 w4 Xi X1 X2 Á Xn FZ1z2 FW1w2 Xi Z min1X1 X2 Á Xn2 W max1X1 X2 Á Xn2 FZ1z2 FZ1z2 P3X in Rz4 Lx in Rz Á L fX1 Á Xn1x1 œ Á xn œ 2 dx1 œ Á dxn œ Rz 5x g1x2 z6 5Z z6 Z g1X1 X2 Á Xn2 X 1X1 X2 Á Xn2 310 Chapter 6 Vector Random Variables may correspond to samples of a speech waveform and we may be interested in extracting features that are defined as functions of X for use in a speech recognition system 621 One Function of Several Random Variables Let the random variable Z be defined as a function of several random variables 617 The cdf of Z is found by finding the equivalent event of that is the set then 618 The pdf of Z is then found by taking the derivative of Example 69 Maximum and Minimum of n Random Variables Let and where the are independent random variables with the same distribution Find and The maximum of is less than x if and only if each is less than x so The minimum of is greater than x if and only if each is greater than x so and Example 610 Merging of Independent Poisson Arrivals Web page requests arrive at a server from n independent sources Source j generates packets with exponentially distributed interarrival times with rate Find the distribution of the inter arrival times between consecutive requests at the server Let the interarrival times for the different sources be given by Each satisfies the memoryless property so the time that has elapsed since the last arrival from each source is irrelevantThe time until the next arrival at the multiplexer is then Therefore the pdf of Z is P3X1 7 z4P3X2 7 z4 Á P3Xn 7 z4 1 FZ1z2 P3min1X1 X2 Á Xn2 7 z4 Z min1X1 X2 Á Xn2 Xj X1 X2 Á Xn lj FZ1z2 1 11 FX1z22n P3X1 7 z4P3X2 7 z4 Á P3Xn 7 z4 11 FX1z22n 1 FZ1z2 P3min1X1 X2 Á Xn2 7 z4 Xi X1 X2 Á Xn P3X1 w4P3X2 w4 Á P3Xn w4 1FX1w22n FW1w2 P3max1X1 X2 Á Xn2 w4 Xi X1 X2 Á Xn FZ1z2 FW1w2 Xi Z min1X1 X2 Á Xn2 W max1X1 X2 Á Xn2 FZ1z2 FZ1z2 P3X in Rz4 Lx in Rz Á L fX1 Á Xn1x1 œ Á xn œ 2 dx1 œ Á dxn œ Rz 5x g1x2 z6 5Z z6 Z g1X1 X2 Á Xn2 X 1X1 X2 Á Xn2 e para Z 310 Chapter 6 Vector Random Variables may correspond to samples of a speech waveform and we may be interested in extracting features that are defined as functions of X for use in a speech recognition system 621 One Function of Several Random Variables Let the random variable Z be defined as a function of several random variables 617 The cdf of Z is found by finding the equivalent event of that is the set then 618 The pdf of Z is then found by taking the derivative of Example 69 Maximum and Minimum of n Random Variables Let and where the are independent random variables with the same distribution Find and The maximum of is less than x if and only if each is less than x so The minimum of is greater than x if and only if each is greater than x so and Example 610 Merging of Independent Poisson Arrivals Web page requests arrive at a server from n independent sources Source j generates packets with exponentially distributed interarrival times with rate Find the distribution of the inter arrival times between consecutive requests at the server Let the interarrival times for the different sources be given by Each satisfies the memoryless property so the time that has elapsed since the last arrival from each source is irrelevantThe time until the next arrival at the multiplexer is then Therefore the pdf of Z is P3X1 7 z4P3X2 7 z4 Á P3Xn 7 z4 1 FZ1z2 P3min1X1 X2 Á Xn2 7 z4 Z min1X1 X2 Á Xn2 Xj X1 X2 Á Xn lj FZ1z2 1 11 FX1z22n P3X1 7 z4P3X2 7 z4 Á P3Xn 7 z4 11 FX1z22n 1 FZ1z2 P3min1X1 X2 Á Xn2 7 z4 Xi X1 X2 Á Xn P3X1 w4P3X2 w4 Á P3Xn w4 1FX1w22n FW1w2 P3max1X1 X2 Á Xn2 w4 Xi X1 X2 Á Xn FZ1z2 FW1w2 Xi Z min1X1 X2 Á Xn2 W max1X1 X2 Á Xn2 FZ1z2 FZ1z2 P3X in Rz4 Lx in Rz Á L fX1 Á Xn1x1 œ Á xn œ 2 dx1 œ Á dxn œ Rz 5x g1x2 z6 5Z z6 Z g1X1 X2 Á Xn2 X 1X1 X2 Á Xn2 Isolando FZz VETORES ALEATÓRIOS EX Os pedidos de acesso a uma página chegam ao servidor a partir de n fontes diferentes Cada fonte j gera pacotes com distribuição exponencial de tempos de entre chegadas com taxa λj Encontre a distribuição do tempo de entre chegadas entre pedidos consecutivos no servidor FUNÇÕES DE VETORES ALEATÓRIOS VETORES ALEATÓRIOS EX Os pedidos de acesso a uma página chegam ao servidor a partir de n fontes diferentes Cada fonte j gera pacotes com distribuição exponencial de tempos de entre chegadas com taxa λj Encontre a distribuição do tempo de entre chegadas entre pedidos consecutivos no servidor FUNÇÕES DE VETORES ALEATÓRIOS Começamos definindo os tempos de entre chegadas para diferentes fontes como as vas X1 Xn Cada Xj não possui informação da chegada dos outros Xj de modo que o último tempo de chegada de cada fonte é irrelevante Desse modo o tempo até a próxima chegada é VETORES ALEATÓRIOS EX Os pedidos de acesso a uma página chegam ao servidor a partir de n fontes diferentes Cada fonte j gera pacotes com distribuição exponencial de tempos de entre chegadas com taxa λj Encontre a distribuição do tempo de entre chegadas entre pedidos consecutivos no servidor FUNÇÕES DE VETORES ALEATÓRIOS Começamos definindo os tempos de entre chegadas para diferentes fontes como as vas X1 Xn Cada Xj não possui informação da chegada dos outros Xj de modo que o último tempo de chegada de cada fonte é irrelevante Desse modo o tempo até a próxima chegada é 310 Chapter 6 Vector Random Variables may correspond to samples of a speech waveform and we may be interested in extracting features that are defined as functions of X for use in a speech recognition system 621 One Function of Several Random Variables Let the random variable Z be defined as a function of several random variables 617 The cdf of Z is found by finding the equivalent event of that is the set then 618 The pdf of Z is then found by taking the derivative of Example 69 Maximum and Minimum of n Random Variables Let and where the are independent random variables with the same distribution Find and The maximum of is less than x if and only if each is less than x so The minimum of is greater than x if and only if each is greater than x so and Example 610 Merging of Independent Poisson Arrivals Web page requests arrive at a server from n independent sources Source j generates packets with exponentially distributed interarrival times with rate Find the distribution of the inter arrival times between consecutive requests at the server Let the interarrival times for the different sources be given by Each satisfies the memoryless property so the time that has elapsed since the last arrival from each source is irrelevantThe time until the next arrival at the multiplexer is then Therefore the pdf of Z is P3X1 7 z4P3X2 7 z4 Á P3Xn 7 z4 1 FZ1z2 P3min1X1 X2 Á Xn2 7 z4 Z min1X1 X2 Á Xn2 Xj X1 X2 Á Xn lj FZ1z2 1 11 FX1z22n P3X1 7 z4P3X2 7 z4 Á P3Xn 7 z4 11 FX1z22n 1 FZ1z2 P3min1X1 X2 Á Xn2 7 z4 Xi X1 X2 Á Xn P3X1 w4P3X2 w4 Á P3Xn w4 1FX1w22n FW1w2 P3max1X1 X2 Á Xn2 w4 Xi X1 X2 Á Xn FZ1z2 FW1w2 Xi Z min1X1 X2 Á Xn2 W max1X1 X2 Á Xn2 FZ1z2 FZ1z2 P3X in Rz4 Lx in Rz Á L fX1 Á Xn1x1 œ Á xn œ 2 dx1 œ Á dxn œ Rz 5x g1x2 z6 5Z z6 Z g1X1 X2 Á Xn2 X 1X1 X2 Á Xn2 VETORES ALEATÓRIOS EX Os pedidos de acesso a uma página chegam ao servidor a partir de n fontes diferentes Cada fonte j gera pacotes com distribuição exponencial de tempos de entre chegadas com taxa λj Encontre a distribuição do tempo de entre chegadas entre pedidos consecutivos no servidor FUNÇÕES DE VETORES ALEATÓRIOS Começamos definindo os tempos de entre chegadas para diferentes fontes como as vas X1 Xn Cada Xj não possui informação da chegada dos outros Xj de modo que o último tempo de chegada de cada fonte é irrelevante Desse modo o tempo até a próxima chegada é 310 Chapter 6 Vector Random Variables may correspond to samples of a speech waveform and we may be interested in extracting features that are defined as functions of X for use in a speech recognition system 621 One Function of Several Random Variables Let the random variable Z be defined as a function of several random variables 617 The cdf of Z is found by finding the equivalent event of that is the set then 618 The pdf of Z is then found by taking the derivative of Example 69 Maximum and Minimum of n Random Variables Let and where the are independent random variables with the same distribution Find and The maximum of is less than x if and only if each is less than x so The minimum of is greater than x if and only if each is greater than x so and Example 610 Merging of Independent Poisson Arrivals Web page requests arrive at a server from n independent sources Source j generates packets with exponentially distributed interarrival times with rate Find the distribution of the inter arrival times between consecutive requests at the server Let the interarrival times for the different sources be given by Each satisfies the memoryless property so the time that has elapsed since the last arrival from each source is irrelevantThe time until the next arrival at the multiplexer is then Therefore the pdf of Z is P3X1 7 z4P3X2 7 z4 Á P3Xn 7 z4 1 FZ1z2 P3min1X1 X2 Á Xn2 7 z4 Z min1X1 X2 Á Xn2 Xj X1 X2 Á Xn lj FZ1z2 1 11 FX1z22n P3X1 7 z4P3X2 7 z4 Á P3Xn 7 z4 11 FX1z22n 1 FZ1z2 P3min1X1 X2 Á Xn2 7 z4 Xi X1 X2 Á Xn P3X1 w4P3X2 w4 Á P3Xn w4 1FX1w22n FW1w2 P3max1X1 X2 Á Xn2 w4 Xi X1 X2 Á Xn FZ1z2 FW1w2 Xi Z min1X1 X2 Á Xn2 W max1X1 X2 Á Xn2 FZ1z2 FZ1z2 P3X in Rz4 Lx in Rz Á L fX1 Á Xn1x1 œ Á xn œ 2 dx1 œ Á dxn œ Rz 5x g1x2 z6 5Z z6 Z g1X1 X2 Á Xn2 X 1X1 X2 Á Xn2 Desse modo temos VETORES ALEATÓRIOS EX Os pedidos de acesso a uma página chegam ao servidor a partir de n fontes diferentes Cada fonte j gera pacotes com distribuição exponencial de tempos de entre chegadas com taxa λj Encontre a distribuição do tempo de entre chegadas entre pedidos consecutivos no servidor FUNÇÕES DE VETORES ALEATÓRIOS Começamos definindo os tempos de entre chegadas para diferentes fontes como as vas X1 Xn Cada Xj não possui informação da chegada dos outros Xj de modo que o último tempo de chegada de cada fonte é irrelevante Desse modo o tempo até a próxima chegada é 310 Chapter 6 Vector Random Variables may correspond to samples of a speech waveform and we may be interested in extracting features that are defined as functions of X for use in a speech recognition system 621 One Function of Several Random Variables Let the random variable Z be defined as a function of several random variables 617 The cdf of Z is found by finding the equivalent event of that is the set then 618 The pdf of Z is then found by taking the derivative of Example 69 Maximum and Minimum of n Random Variables Let and where the are independent random variables with the same distribution Find and The maximum of is less than x if and only if each is less than x so The minimum of is greater than x if and only if each is greater than x so and Example 610 Merging of Independent Poisson Arrivals Web page requests arrive at a server from n independent sources Source j generates packets with exponentially distributed interarrival times with rate Find the distribution of the inter arrival times between consecutive requests at the server Let the interarrival times for the different sources be given by Each satisfies the memoryless property so the time that has elapsed since the last arrival from each source is irrelevantThe time until the next arrival at the multiplexer is then Therefore the pdf of Z is P3X1 7 z4P3X2 7 z4 Á P3Xn 7 z4 1 FZ1z2 P3min1X1 X2 Á Xn2 7 z4 Z min1X1 X2 Á Xn2 Xj X1 X2 Á Xn lj FZ1z2 1 11 FX1z22n P3X1 7 z4P3X2 7 z4 Á P3Xn 7 z4 11 FX1z22n 1 FZ1z2 P3min1X1 X2 Á Xn2 7 z4 Xi X1 X2 Á Xn P3X1 w4P3X2 w4 Á P3Xn w4 1FX1w22n FW1w2 P3max1X1 X2 Á Xn2 w4 Xi X1 X2 Á Xn FZ1z2 FW1w2 Xi Z min1X1 X2 Á Xn2 W max1X1 X2 Á Xn2 FZ1z2 FZ1z2 P3X in Rz4 Lx in Rz Á L fX1 Á Xn1x1 œ Á xn œ 2 dx1 œ Á dxn œ Rz 5x g1x2 z6 5Z z6 Z g1X1 X2 Á Xn2 X 1X1 X2 Á Xn2 Desse modo temos 310 Chapter 6 Vector Random Variables may correspond to samples of a speech waveform and we may be interested in extracting features that are defined as functions of X for use in a speech recognition system 621 One Function of Several Random Variables Let the random variable Z be defined as a function of several random variables 617 The cdf of Z is found by finding the equivalent event of that is the set then 618 The pdf of Z is then found by taking the derivative of Example 69 Maximum and Minimum of n Random Variables Let and where the are independent random variables with the same distribution Find and The maximum of is less than x if and only if each is less than x so The minimum of is greater than x if and only if each is greater than x so and Example 610 Merging of Independent Poisson Arrivals Web page requests arrive at a server from n independent sources Source j generates packets with exponentially distributed interarrival times with rate Find the distribution of the inter arrival times between consecutive requests at the server Let the interarrival times for the different sources be given by Each satisfies the memoryless property so the time that has elapsed since the last arrival from each source is irrelevantThe time until the next arrival at the multiplexer is then Therefore the pdf of Z is P3X1 7 z4P3X2 7 z4 Á P3Xn 7 z4 1 FZ1z2 P3min1X1 X2 Á Xn2 7 z4 Z min1X1 X2 Á Xn2 Xj X1 X2 Á Xn lj FZ1z2 1 11 FX1z22n P3X1 7 z4P3X2 7 z4 Á P3Xn 7 z4 11 FX1z22n 1 FZ1z2 P3min1X1 X2 Á Xn2 7 z4 Xi X1 X2 Á Xn P3X1 w4P3X2 w4 Á P3Xn w4 1FX1w22n FW1w2 P3max1X1 X2 Á Xn2 w4 Xi X1 X2 Á Xn FZ1z2 FW1w2 Xi Z min1X1 X2 Á Xn2 W max1X1 X2 Á Xn2 FZ1z2 FZ1z2 P3X in Rz4 Lx in Rz Á L fX1 Á Xn1x1 œ Á xn œ 2 dx1 œ Á dxn œ Rz 5x g1x2 z6 5Z z6 Z g1X1 X2 Á Xn2 X 1X1 X2 Á Xn2 Section 62 Functions of Several Random Variables 311 The interarrival time is an exponential random variable with rate Example 611 Reliability of Redundant Systems A computing cluster has n independent redundant subsystems Each subsystem has an exponen tially distributed lifetime with parameter The cluster will operate as long as at least one sub system is functioning Find the cdf of the time until the system fails Let the lifetime of each subsystem be given by The time until the last sub system fails is Therefore the cdf of W is 622 Transformations of Random Vectors Let be random variables in some experiment and let the random vari ables be defined by a transformation that consists of n functions of The joint cdf of at the point is equal to the probabil ity of the region of x where for 619a If have a joint pdf then 619b Example 612 Given a random vector X find the joint pdf of the following transformation Zn gn1Xn2 anXn bn o Z2 g21X22 a2X2 b2 Z1 g11X12 a1X1 b1 FZ1 Á Zn1z1 Á zn2 1 Á xgk1x2zk 1 fX1 Á Xn1x1 œ Á xn œ 2 dx1 œ Á dx X1 Á Xn FZ1 Á Zn1z1 Á zn2 P3g11X2 z1 Á gn1X2 zn4 k 1 Á n gk1x2 zk z 1z1 Á zn2 Z 1Z1 Á Zn2 Z1 g11X2 Z2 g21X2 Á Zn gn1X2 X 1X1 Á Xn2 Z1 Á Zn X1 Á Xn FW1w2 AFX1w2Bn 11 elw2n 1 n 1elw n 2e2lw Á W max1X1 X2 Á Xn2 X1 X2 Á Xn l l1 l2 Á ln el1zel2z Á elnz e1l1l2 Á ln2z A1 FX11z2B A1 FX21z2B Á A1 FXn1z2B VETORES ALEATÓRIOS EX Os pedidos de acesso a uma página chegam ao servidor a partir de n fontes diferentes Cada fonte j gera pacotes com distribuição exponencial de tempos de entre chegadas com taxa λj Encontre a distribuição do tempo de entre chegadas entre pedidos consecutivos no servidor FUNÇÕES DE VETORES ALEATÓRIOS Começamos definindo os tempos de entre chegadas para diferentes fontes como as vas X1 Xn Cada Xj não possui informação da chegada dos outros Xj de modo que o último tempo de chegada de cada fonte é irrelevante Desse modo o tempo até a próxima chegada é 310 Chapter 6 Vector Random Variables may correspond to samples of a speech waveform and we may be interested in extracting features that are defined as functions of X for use in a speech recognition system 621 One Function of Several Random Variables Let the random variable Z be defined as a function of several random variables 617 The cdf of Z is found by finding the equivalent event of that is the set then 618 The pdf of Z is then found by taking the derivative of Example 69 Maximum and Minimum of n Random Variables Let and where the are independent random variables with the same distribution Find and The maximum of is less than x if and only if each is less than x so The minimum of is greater than x if and only if each is greater than x so and Example 610 Merging of Independent Poisson Arrivals Web page requests arrive at a server from n independent sources Source j generates packets with exponentially distributed interarrival times with rate Find the distribution of the inter arrival times between consecutive requests at the server Let the interarrival times for the different sources be given by Each satisfies the memoryless property so the time that has elapsed since the last arrival from each source is irrelevantThe time until the next arrival at the multiplexer is then Therefore the pdf of Z is P3X1 7 z4P3X2 7 z4 Á P3Xn 7 z4 1 FZ1z2 P3min1X1 X2 Á Xn2 7 z4 Z min1X1 X2 Á Xn2 Xj X1 X2 Á Xn lj FZ1z2 1 11 FX1z22n P3X1 7 z4P3X2 7 z4 Á P3Xn 7 z4 11 FX1z22n 1 FZ1z2 P3min1X1 X2 Á Xn2 7 z4 Xi X1 X2 Á Xn P3X1 w4P3X2 w4 Á P3Xn w4 1FX1w22n FW1w2 P3max1X1 X2 Á Xn2 w4 Xi X1 X2 Á Xn FZ1z2 FW1w2 Xi Z min1X1 X2 Á Xn2 W max1X1 X2 Á Xn2 FZ1z2 FZ1z2 P3X in Rz4 Lx in Rz Á L fX1 Á Xn1x1 œ Á xn œ 2 dx1 œ Á dxn œ Rz 5x g1x2 z6 5Z z6 Z g1X1 X2 Á Xn2 X 1X1 X2 Á Xn2 Desse modo temos 310 Chapter 6 Vector Random Variables may correspond to samples of a speech waveform and we may be interested in extracting features that are defined as functions of X for use in a speech recognition system 621 One Function of Several Random Variables Let the random variable Z be defined as a function of several random variables 617 The cdf of Z is found by finding the equivalent event of that is the set then 618 The pdf of Z is then found by taking the derivative of Example 69 Maximum and Minimum of n Random Variables Let and where the are independent random variables with the same distribution Find and The maximum of is less than x if and only if each is less than x so The minimum of is greater than x if and only if each is greater than x so and Example 610 Merging of Independent Poisson Arrivals Web page requests arrive at a server from n independent sources Source j generates packets with exponentially distributed interarrival times with rate Find the distribution of the inter arrival times between consecutive requests at the server Let the interarrival times for the different sources be given by Each satisfies the memoryless property so the time that has elapsed since the last arrival from each source is irrelevantThe time until the next arrival at the multiplexer is then Therefore the pdf of Z is P3X1 7 z4P3X2 7 z4 Á P3Xn 7 z4 1 FZ1z2 P3min1X1 X2 Á Xn2 7 z4 Z min1X1 X2 Á Xn2 Xj X1 X2 Á Xn lj FZ1z2 1 11 FX1z22n P3X1 7 z4P3X2 7 z4 Á P3Xn 7 z4 11 FX1z22n 1 FZ1z2 P3min1X1 X2 Á Xn2 7 z4 Xi X1 X2 Á Xn P3X1 w4P3X2 w4 Á P3Xn w4 1FX1w22n FW1w2 P3max1X1 X2 Á Xn2 w4 Xi X1 X2 Á Xn FZ1z2 FW1w2 Xi Z min1X1 X2 Á Xn2 W max1X1 X2 Á Xn2 FZ1z2 FZ1z2 P3X in Rz4 Lx in Rz Á L fX1 Á Xn1x1 œ Á xn œ 2 dx1 œ Á dxn œ Rz 5x g1x2 z6 5Z z6 Z g1X1 X2 Á Xn2 X 1X1 X2 Á Xn2 Section 62 Functions of Several Random Variables 311 The interarrival time is an exponential random variable with rate Example 611 Reliability of Redundant Systems A computing cluster has n independent redundant subsystems Each subsystem has an exponen tially distributed lifetime with parameter The cluster will operate as long as at least one sub system is functioning Find the cdf of the time until the system fails Let the lifetime of each subsystem be given by The time until the last sub system fails is Therefore the cdf of W is 622 Transformations of Random Vectors Let be random variables in some experiment and let the random vari ables be defined by a transformation that consists of n functions of The joint cdf of at the point is equal to the probabil ity of the region of x where for 619a If have a joint pdf then 619b Example 612 Given a random vector X find the joint pdf of the following transformation Zn gn1Xn2 anXn bn o Z2 g21X22 a2X2 b2 Z1 g11X12 a1X1 b1 FZ1 Á Zn1z1 Á zn2 1 Á xgk1x2zk 1 fX1 Á Xn1x1 œ Á xn œ 2 dx1 œ Á dx X1 Á Xn FZ1 Á Zn1z1 Á zn2 P3g11X2 z1 Á gn1X2 zn4 k 1 Á n gk1x2 zk z 1z1 Á zn2 Z 1Z1 Á Zn2 Z1 g11X2 Z2 g21X2 Á Zn gn1X2 X 1X1 Á Xn2 Z1 Á Zn X1 Á Xn FW1w2 AFX1w2Bn 11 elw2n 1 n 1elw n 2e2lw Á W max1X1 X2 Á Xn2 X1 X2 Á Xn l l1 l2 Á ln el1zel2z Á elnz e1l1l2 Á ln2z A1 FX11z2B A1 FX21z2B Á A1 FXn1z2B Assim o tempo de entre chegadas é uma va exponencial com taxa λ1 λn VETORES ALEATÓRIOS Teorema Para um vetor aleatório X a va gX possui valor esperado Discreto Contínuo Se W gX é o produto de n funções univariadas e os componentes de X são mutualmente independentes EW é o produtos dos n valores esperados Teorema Quando as componentes de X são vas independentes Agora vamos estudar o caso de funções de vetores aleatórios gerando outro vetor aleatório FUNÇÕES DE VETORES ALEATÓRIOS EgX X x12SX1 X xn2SXn gxPXx EgX Z 1 1 Z 1 1 gxfX dx1 dxnx Eg1X1 gnXn Eg1X1 EgnXn VETORES ALEATORIOS FUNCOES DE VETORES ALEATORIOS Teorema Dado um vetor aleatdério X defina o vetor aleatorio derivado Y tal que Y aX b para constantesaOebACDFe PDF de Y sao b nb b nO Fyy Fx BO e fry ix B B Esse teorema é um caso especial da transformagao Y AX b Teorema Se X é um vetor aleatorio e A uma matriz inversivel entao Y AX b tem PDF 1 af ee lyb VETORES ALEATÓRIOS EX Dado o vetor aleatório X X1 X2 X3T encontre a PDF conjunta da soma Z X1 X2 X3 FUNÇÕES DE VETORES ALEATÓRIOS VETORES ALEATÓRIOS EX Dado o vetor aleatório X X1 X2 X3T encontre a PDF conjunta da soma Z X1 X2 X3 FUNÇÕES DE VETORES ALEATÓRIOS Começamos por definir variáveis auxiliares VETORES ALEATÓRIOS EX Dado o vetor aleatório X X1 X2 X3T encontre a PDF conjunta da soma Z X1 X2 X3 FUNÇÕES DE VETORES ALEATÓRIOS Começamos por definir variáveis auxiliares Z1 X1 Z2 X1 X2 Z3 X1 X2 X3 Z VETORES ALEATÓRIOS EX Dado o vetor aleatório X X1 X2 X3T encontre a PDF conjunta da soma Z X1 X2 X3 FUNÇÕES DE VETORES ALEATÓRIOS Começamos por definir variáveis auxiliares Z1 X1 Z2 X1 X2 Z3 X1 X2 X3 Z Revertendo em função de Xi para derivar a CDF do vetor aleatório Z VETORES ALEATÓRIOS EX Dado o vetor aleatório X X1 X2 X3T encontre a PDF conjunta da soma Z X1 X2 X3 FUNÇÕES DE VETORES ALEATÓRIOS Começamos por definir variáveis auxiliares Z1 X1 Z2 X1 X2 Z3 X1 X2 X3 Z Revertendo em função de Xi para derivar a CDF do vetor aleatório Z X1 Z1 X2 Z2 Z1 X3 Z3 Z2 VETORES ALEATÓRIOS EX Dado o vetor aleatório X X1 X2 X3T encontre a PDF conjunta da soma Z X1 X2 X3 FUNÇÕES DE VETORES ALEATÓRIOS Começamos por definir variáveis auxiliares Z1 X1 Z2 X1 X2 Z3 X1 X2 X3 Z Revertendo em função de Xi para derivar a CDF do vetor aleatório Z X1 Z1 X2 Z2 Z1 X3 Z3 Z2 Assim podemos descrever a transformação do vetor X para o vetor Z como uma transformação linear do tipo Z AX onde VETORES ALEATÓRIOS EX Dado o vetor aleatório X X1 X2 X3T encontre a PDF conjunta da soma Z X1 X2 X3 FUNÇÕES DE VETORES ALEATÓRIOS Começamos por definir variáveis auxiliares Z1 X1 Z2 X1 X2 Z3 X1 X2 X3 Z Revertendo em função de Xi para derivar a CDF do vetor aleatório Z X1 Z1 X2 Z2 Z1 X3 Z3 Z2 Assim podemos descrever a transformação do vetor X para o vetor Z como uma transformação linear do tipo Z AX onde A 2 4 1 0 0 1 1 0 1 1 1 3 5 VETORES ALEATÓRIOS EX Dado o vetor aleatório X X1 X2 X3T encontre a PDF conjunta da soma Z X1 X2 X3 FUNÇÕES DE VETORES ALEATÓRIOS Começamos por definir variáveis auxiliares Z1 X1 Z2 X1 X2 Z3 X1 X2 X3 Z Revertendo em função de Xi para derivar a CDF do vetor aleatório Z X1 Z1 X2 Z2 Z1 X3 Z3 Z2 Assim podemos descrever a transformação do vetor X para o vetor Z como uma transformação linear do tipo Z AX onde A 2 4 1 0 0 1 1 0 1 1 1 3 5 Como detA 1 a PDF conjunta de Z é VETORES ALEATÓRIOS EX Dado o vetor aleatório X X1 X2 X3T encontre a PDF conjunta da soma Z X1 X2 X3 FUNÇÕES DE VETORES ALEATÓRIOS Começamos por definir variáveis auxiliares Z1 X1 Z2 X1 X2 Z3 X1 X2 X3 Z Revertendo em função de Xi para derivar a CDF do vetor aleatório Z X1 Z1 X2 Z2 Z1 X3 Z3 Z2 Assim podemos descrever a transformação do vetor X para o vetor Z como uma transformação linear do tipo Z AX onde A 2 4 1 0 0 1 1 0 1 1 1 3 5 Como detA 1 a PDF conjunta de Z é Section 62 Functions of Several Random Variables 317 In the special case of a linear transformation we have The components of Z are Since the Jacobian is then simply Assuming that A is invertible1 we then have that Example 615 Sum of Random Variables Given a random vector find the joint pdf of the sum We will use the transformation by introducing auxiliary variables as follows The inverse transformation is given by The Jacobian matrix is Therefore the joint pdf of Z is The pdf of is obtained by integrating with respect to and This expression can be simplified further if and X3 are independent random variables X1 X2 fZ31z2 3 q q 3 q q fX1z1 z2 z1 z z22 dz1dz2 z2 z1 Z3 fZ1z1 z2 z32 fX1z1 z2 z1 z3 z22 J1x1 x2 x32 detC 1 0 0 1 1 0 1 1 1 S 1 X1 Z1 X2 Z2 Z1 X3 Z3 Z2 Z1 X1 Z2 X1 X2 Z3 X1 X2 X3 Z X1 X2 X3 X 1X1 X2 X32 fZ1z2 fX1x2 ƒ det A ƒ xA1z fX1A1z2 ƒ det A ƒ J1x1 x2 Á xn2 detD a11 a12 Á a1n a21 a22 Á a2n Á an1 an2 Á ann T det A dzjdxi aji Zj aj1X1 aj2X2 Á ajnXn Z AX D a11 a12 Á a1n a21 a22 Á a2n Á an1 an2 Á ann T D X1 X2 Á Xn T 1Appendix C provides a summary of definitions and useful results from linear algebra VETORES ALEATÓRIOS EX Dado o vetor aleatório X X1 X2 X3T encontre a PDF conjunta da soma Z X1 X2 X3 FUNÇÕES DE VETORES ALEATÓRIOS Começamos por definir variáveis auxiliares Z1 X1 Z2 X1 X2 Z3 X1 X2 X3 Z Revertendo em função de Xi para derivar a CDF do vetor aleatório Z X1 Z1 X2 Z2 Z1 X3 Z3 Z2 Assim podemos descrever a transformação do vetor X para o vetor Z como uma transformação linear do tipo Z AX onde A 2 4 1 0 0 1 1 0 1 1 1 3 5 Como detA 1 a PDF conjunta de Z é Section 62 Functions of Several Random Variables 317 In the special case of a linear transformation we have The components of Z are Since the Jacobian is then simply Assuming that A is invertible1 we then have that Example 615 Sum of Random Variables Given a random vector find the joint pdf of the sum We will use the transformation by introducing auxiliary variables as follows The inverse transformation is given by The Jacobian matrix is Therefore the joint pdf of Z is The pdf of is obtained by integrating with respect to and This expression can be simplified further if and X3 are independent random variables X1 X2 fZ31z2 3 q q 3 q q fX1z1 z2 z1 z z22 dz1dz2 z2 z1 Z3 fZ1z1 z2 z32 fX1z1 z2 z1 z3 z22 J1x1 x2 x32 detC 1 0 0 1 1 0 1 1 1 S 1 X1 Z1 X2 Z2 Z1 X3 Z3 Z2 Z1 X1 Z2 X1 X2 Z3 X1 X2 X3 Z X1 X2 X3 X 1X1 X2 X32 fZ1z2 fX1x2 ƒ det A ƒ xA1z fX1A1z2 ƒ det A ƒ J1x1 x2 Á xn2 detD a11 a12 Á a1n a21 a22 Á a2n Á an1 an2 Á ann T det A dzjdxi aji Zj aj1X1 aj2X2 Á ajnXn Z AX D a11 a12 Á a1n a21 a22 Á a2n Á an1 an2 Á ann T D X1 X2 Á Xn T 1Appendix C provides a summary of definitions and useful results from linear algebra Para obter a PDF da va da soma Z basta encontrar a PDF marginal de Z3 VETORES ALEATÓRIOS EX Dado o vetor aleatório X X1 X2 X3T encontre a PDF conjunta da soma Z X1 X2 X3 FUNÇÕES DE VETORES ALEATÓRIOS Começamos por definir variáveis auxiliares Z1 X1 Z2 X1 X2 Z3 X1 X2 X3 Z Revertendo em função de Xi para derivar a CDF do vetor aleatório Z X1 Z1 X2 Z2 Z1 X3 Z3 Z2 Assim podemos descrever a transformação do vetor X para o vetor Z como uma transformação linear do tipo Z AX onde A 2 4 1 0 0 1 1 0 1 1 1 3 5 Como detA 1 a PDF conjunta de Z é Section 62 Functions of Several Random Variables 317 In the special case of a linear transformation we have The components of Z are Since the Jacobian is then simply Assuming that A is invertible1 we then have that Example 615 Sum of Random Variables Given a random vector find the joint pdf of the sum We will use the transformation by introducing auxiliary variables as follows The inverse transformation is given by The Jacobian matrix is Therefore the joint pdf of Z is The pdf of is obtained by integrating with respect to and This expression can be simplified further if and X3 are independent random variables X1 X2 fZ31z2 3 q q 3 q q fX1z1 z2 z1 z z22 dz1dz2 z2 z1 Z3 fZ1z1 z2 z32 fX1z1 z2 z1 z3 z22 J1x1 x2 x32 detC 1 0 0 1 1 0 1 1 1 S 1 X1 Z1 X2 Z2 Z1 X3 Z3 Z2 Z1 X1 Z2 X1 X2 Z3 X1 X2 X3 Z X1 X2 X3 X 1X1 X2 X32 fZ1z2 fX1x2 ƒ det A ƒ xA1z fX1A1z2 ƒ det A ƒ J1x1 x2 Á xn2 detD a11 a12 Á a1n a21 a22 Á a2n Á an1 an2 Á ann T det A dzjdxi aji Zj aj1X1 aj2X2 Á ajnXn Z AX D a11 a12 Á a1n a21 a22 Á a2n Á an1 an2 Á ann T D X1 X2 Á Xn T 1Appendix C provides a summary of definitions and useful results from linear algebra Para obter a PDF da va da soma Z basta encontrar a PDF marginal de Z3 Section 62 Functions of Several Random Variables 317 In the special case of a linear transformation we have The components of Z are Since the Jacobian is then simply Assuming that A is invertible1 we then have that Example 615 Sum of Random Variables Given a random vector find the joint pdf of the sum We will use the transformation by introducing auxiliary variables as follows The inverse transformation is given by The Jacobian matrix is Therefore the joint pdf of Z is The pdf of is obtained by integrating with respect to and This expression can be simplified further if and X3 are independent random variables X1 X2 fZ31z2 3 q q 3 q q fX1z1 z2 z1 z z22 dz1dz2 z2 z1 Z3 fZ1z1 z2 z32 fX1z1 z2 z1 z3 z22 J1x1 x2 x32 detC 1 0 0 1 1 0 1 1 1 S 1 X1 Z1 X2 Z2 Z1 X3 Z3 Z2 Z1 X1 Z2 X1 X2 Z3 X1 X2 X3 Z X1 X2 X3 X 1X1 X2 X32 fZ1z2 fX1x2 ƒdet Aƒ xA1z fX1A1z2 ƒdet Aƒ J1x1 x2 Á xn2 detD a11 a12 Á a1n a21 a22 Á a2n Á an1 an2 Á ann T det A dzjdxi aji Zj aj1X1 aj2X2 Á ajnXn Z AX D a11 a12 Á a1n a21 a22 Á a2n Á an1 an2 Á ann T D X1 X2 Á Xn T 1Appendix C provides a summary of definitions and useful results from linear algebra VETORES ALEATÓRIOS QUIZ 55 A Um teste de lâmpadas produzidas por uma máquina tem 3 possíveis resultados L vida longa A vida médiana e R rejeitado Os resultados de diferentes testes são independentes Todos os testes possuem o seguinte modelo de probabilidade PL 03 PA 06 e PR 01 Sejam X1 X2 e X3 o número de lâmpadas que são L A e R respectivamente em 5 testes Encontre a PMF PXx as PMFs marginais PX1x1 PX2x2 PX3x3 e a PMF de W maxX1X2X3 FUNÇÕES DE VETORES ALEATÓRIOS VETORES ALEATORIOS FUNCOES DE VETORES ALEATORIOS QUIZ 55 A Um teste de lampadas produzidas por uma maquina tem 3 possiveis resultados L vida longa A vida médiana e R rejeitado Os resultados de diferentes testes sao independentes Todos os testes possuem o seguinte modelo de probabilidade PL 03 PA 06 e PR 01 Sejam Xi X2 e X3 o numero de lampadas que sao L A e R respectivamente em 5 testes Encontre a PMF P xx as PMFs marginals Px1x1 Px2x2 Px3x3 e a PME de W maxX1X2X3 2 x 0306201 xy 42 x3 5 Px x x1 Ho e 15 0 otherwise VETORES ALEATORIOS FUNCOES DE VETORES ALEATORIOS QUIZ 55 A Um teste de lampadas produzidas por uma maquina tem 3 possiveis resultados L vida longa A vida médiana e R rejeitado Os resultados de diferentes testes sao independentes Todos os testes possuem o seguinte modelo de probabilidade PL 03 PA 06 e PR 01 Sejam Xi X2 e X3 o numero de lampadas que sao L A e R respectivamente em 5 testes Encontre a PMF P xx as PMFs marginals Px1x1 Px2x2 Px3x3 e a PME de W maxX1X2X3 2 x 0306201 xy 42 x3 5 Px x x1 Ho e 15 0 otherwise Podemos derivar cada PDF marginal utilizando o teorema porém uma maneira mais simples é verificar que para cada X 6 a observagao do numero de ocorréncia de L A ou R em 5 testes independentes Logo cada X tem distribuigao binomial 5 p VETORES ALEATORIOS FUNCOES DE VETORES ALEATORIOS QUIZ 55 A Um teste de lampadas produzidas por uma maquina tem 3 possiveis resultados L vida longa A vida médiana e R rejeitado Os resultados de diferentes testes sao independentes Todos os testes possuem o seguinte modelo de probabilidade PL 03 PA 06 e PR 01 Sejam Xi X2 e X3 o numero de lampadas que sao L A e R respectivamente em 5 testes Encontre a PMF P xx as PMFs marginals Px1x1 Px2x2 Px3x3 e a PME de W maxX1X2X3 2 x 0306201 xy 42 x3 5 Px x x1 Ho e 15 0 otherwise Podemos derivar cada PDF marginal utilizando o teorema porém uma maneira mais simples é verificar que para cada X 6 a observagao do numero de ocorréncia de L A ou R em 5 testes independentes Logo cada X tem distribuigao binomial 5 p Py x ei por x 015 VETORES ALEATÓRIOS QUIZ 55 A continuação FUNÇÕES DE VETORES ALEATÓRIOS VETORES ALEATÓRIOS QUIZ 55 A continuação FUNÇÕES DE VETORES ALEATÓRIOS Podemos derivar cada PDF marginal utilizando o teorema porém uma maneira mais simples é verificar que para cada Xi é a observação do número de ocorrência de L A ou R em 5 testes independentes Logo cada Xi tem distribuição binomial 5 pi VETORES ALEATORIOS FUNCOES DE VETORES ALEATORIOS QUIZ 55 A continuagao Podemos derivar cada PDF marginal utilizando o teorema porém uma maneira mais simples é verificar que para cada X 6 a observagao do numero de ocorréncia de L A ou Rem 5 testes independentes Logo cada Xj tem distribuigao binomial 5 p Cpdp xO15 a 0 otherwise FUNCOES DE VETORES ALEATORIOS QUIZ 55 A continuagao Podemos derivar cada PDF marginal utilizando o teorema porém uma maneira mais simples é verificar que para cada X 6 a observagao do numero de ocorréncia de L A ou Rem 5 testes independentes Logo cada Xj tem distribuigao binomial 5 p p71 piy uwi8 a otherwise Podese observar que as vas X1 X2 e X3 sao dependentes Para encontrar a PMF de W analisamos cada um dos casos possiveis ie Sw 0 1 2 3 4 5 FUNCOES DE VETORES ALEATORIOS QUIZ 55 A continuagao Podemos derivar cada PDF marginal utilizando o teorema porém uma maneira mais simples é verificar que para cada X 6 a observagao do numero de ocorréncia de L A ou Rem 5 testes independentes Logo cada Xj tem distribuigao binomial 5 p e p71 piy uwi8 a otherwise Podese observar que as vas X1 X2 e X3 sao dependentes Para encontrar a PMF de W analisamos cada um dos casos possiveis ie Sw 0 1 2 3 4 5 Para w 0 e w 1 nao existe a possibilidade de nenhum x x2 ou x3 serem o maximo Assim Pw0 Pw1 0 FUNCOES DE VETORES ALEATORIOS QUIZ 55 A continuagao Podemos derivar cada PDF marginal utilizando o teorema porém uma maneira mais simples é verificar que para cada X 6 a observagao do numero de ocorréncia de L A ou Rem 5 testes independentes Logo cada Xj tem distribuigao binomial 5 p e p71 piy uwi8 a otherwise Podese observar que as vas X1 X2 e X3 sao dependentes Para encontrar a PMF de W analisamos cada um dos casos possiveis ie Sw 0 1 2 3 4 5 Para w 0 e w 1 nao existe a possibilidade de nenhum x x2 ou x3 serem o maximo Assim Pw0 Pw1 0 Para w 2 temos FUNCOES DE VETORES ALEATORIOS QUIZ 55 A continuagao Podemos derivar cada PDF marginal utilizando o teorema porém uma maneira mais simples é verificar que para cada X 6 a observagao do numero de ocorréncia de L A ou Rem 5 testes independentes Logo cada Xj tem distribuigao binomial 5 p e p71 piy uwi8 a otherwise Podese observar que as vas X1 X2 e X3 sao dependentes Para encontrar a PMF de W analisamos cada um dos casos possiveis ie Sw 0 1 2 3 4 5 Para w 0 e w 1 nao existe a possibilidade de nenhum x x2 ou x3 serem o maximo Assim Pw0 Pw1 0 Para w 2 temos Py w Px1 22 Px212 Px2 21 FUNCOES DE VETORES ALEATORIOS QUIZ 55 A continuagao Podemos derivar cada PDF marginal utilizando o teorema porém uma maneira mais simples é verificar que para cada X 6 a observagao do numero de ocorréncia de L A ou Rem 5 testes independentes Logo cada X tem distribuigado binomial 5 pj e pr piy uwi8 Px x 0 ining Podese observar que as vas X1 X2 e X3 sao dependentes Para encontrar a PMF de W analisamos cada um dos casos possiveis ie Sw 0 1 2 3 4 5 Para w 0 e w 1 nao existe a possibilidade de nenhum xi x2 ou x3 serem 0 maximo Assim Pw0 Pw1 0 Para w 2 temos Py w Px1 22 Px212 Px2 21 5 Foray 9 30 60 1 0 3 0 60 1 03 0 6 0 1 0 1458 VETORES ALEATÓRIOS QUIZ 55 A continuação FUNÇÕES DE VETORES ALEATÓRIOS VETORES ALEATÓRIOS QUIZ 55 A continuação FUNÇÕES DE VETORES ALEATÓRIOS Por fim para w 3 w 4 e w 5 o evento W w ocorre se somente se um dos seguintes eventos mutuamente exclusivos ocorre X1 w X2 w X3 w Assim VETORES ALEATÓRIOS QUIZ 55 A continuação FUNÇÕES DE VETORES ALEATÓRIOS Por fim para w 3 w 4 e w 5 o evento W w ocorre se somente se um dos seguintes eventos mutuamente exclusivos ocorre X1 w X2 w X3 w Assim PW 3 PX13 PX23 PX33 0 4860 VETORES ALEATÓRIOS QUIZ 55 A continuação FUNÇÕES DE VETORES ALEATÓRIOS Por fim para w 3 w 4 e w 5 o evento W w ocorre se somente se um dos seguintes eventos mutuamente exclusivos ocorre X1 w X2 w X3 w Assim PW 3 PX13 PX23 PX33 0 4860 PW 4 PX14 PX24 PX34 0 2880 VETORES ALEATÓRIOS QUIZ 55 A continuação FUNÇÕES DE VETORES ALEATÓRIOS Por fim para w 3 w 4 e w 5 o evento W w ocorre se somente se um dos seguintes eventos mutuamente exclusivos ocorre X1 w X2 w X3 w Assim PW 3 PX13 PX23 PX33 0 4860 PW 4 PX14 PX24 PX34 0 2880 PW 5 PX15 PX25 PX35 0 0802 VETORES ALEATÓRIOS QUIZ 55 A continuação FUNÇÕES DE VETORES ALEATÓRIOS Por fim para w 3 w 4 e w 5 o evento W w ocorre se somente se um dos seguintes eventos mutuamente exclusivos ocorre X1 w X2 w X3 w Assim PW 3 PX13 PX23 PX33 0 4860 PW 4 PX14 PX24 PX34 0 2880 PW 5 PX15 PX25 PX35 0 0802 A PMF completa é VETORES ALEATÓRIOS QUIZ 55 A continuação FUNÇÕES DE VETORES ALEATÓRIOS Por fim para w 3 w 4 e w 5 o evento W w ocorre se somente se um dos seguintes eventos mutuamente exclusivos ocorre X1 w X2 w X3 w Assim PW 3 PX13 PX23 PX33 0 4860 PW 4 PX14 PX24 PX34 0 2880 PW 5 PX15 PX25 PX35 0 0802 PW w 8 0 1458 w 2 0 4860 w 3 0 2880 w 4 0 0802 w 5 0 caso contrario A PMF completa é VETORES ALEATÓRIOS Definição O valor esperado de um vetor aleatório X é o vetor coluna EX μX EX1 EX2 EXnT A correlação e covariância de um vetor aleatório são conhecidos como estatísticas de segunda ordem Na notação matricial observamos que os vetores aleatórios X com n componentes e Y com m componentes possui o produto de todos os seus conjuntos em uma matriz aleatória nm XYT Se Y X a matriz se torna XXT Definição Para uma matriz aleatória A com variáveis aleatórias Aij como seu ijésimo componente EA é a matriz com ijésimo elemento EAij Definição A correlação de um vetor aleatório X é uma matriz RX com ijésimo elemento RXij Exixj Em notação matricial RX EXXT VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELAÇÃO VETORES ALEATÓRIOS Definição A covariância de um vetor X é uma matrix nn CX com componentes CovXiXj Em notação matricial CX EX µX X µXT EX 59 510 e 511 Se X X1 X2 X3T quais são os componentes de XXT Qual a matriz de correlação de X Qual a matriz de covariância de X VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELAÇÃO VETORES ALEATÓRIOS Definição A covariância de um vetor X é uma matrix nn CX com componentes CovXiXj Em notação matricial CX EX µX X µXT EX 59 510 e 511 Se X X1 X2 X3T quais são os componentes de XXT Qual a matriz de correlação de X Qual a matriz de covariância de X VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELAÇÃO XXT 2 4 X1 X2 X3 3 5 X1 X2 X3 2 4 X2 1 X1X2 X1X3 X2X1 X2 2 X2X3 X3X1 X3X2 X2 3 3 5 VETORES ALEATÓRIOS Definição A covariância de um vetor X é uma matrix nn CX com componentes CovXiXj Em notação matricial CX EX µX X µXT EX 59 510 e 511 Se X X1 X2 X3T quais são os componentes de XXT Qual a matriz de correlação de X Qual a matriz de covariância de X VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELAÇÃO XXT 2 4 X1 X2 X3 3 5 X1 X2 X3 2 4 X2 1 X1X2 X1X3 X2X1 X2 2 X2X3 X3X1 X3X2 X2 3 3 5 RX 2 4 EX2 1 EX1X2 EX1X3 EX2X1 EX2 2 EX2X3 EX3X1 EX3X2 EX2 3 3 5 2 4 EX2 1 rX1X2 rX1X3 rX2X1 EX2 2 rX2X3 rX3X1 rX3X2 EX2 3 3 5 VETORES ALEATÓRIOS Definição A covariância de um vetor X é uma matrix nn CX com componentes CovXiXj Em notação matricial CX EX µX X µXT EX 59 510 e 511 Se X X1 X2 X3T quais são os componentes de XXT Qual a matriz de correlação de X Qual a matriz de covariância de X VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELAÇÃO XXT 2 4 X1 X2 X3 3 5 X1 X2 X3 2 4 X2 1 X1X2 X1X3 X2X1 X2 2 X2X3 X3X1 X3X2 X2 3 3 5 RX 2 4 EX2 1 EX1X2 EX1X3 EX2X1 EX2 2 EX2X3 EX3X1 EX3X2 EX2 3 3 5 2 4 EX2 1 rX1X2 rX1X3 rX2X1 EX2 2 rX2X3 rX3X1 rX3X2 EX2 3 3 5 CX 2 4 V arX1 CovX1 X2 CovX1 X3 CovX2 X1 V arX2 CovX2 X3 CovX3 X1 CovX3 X2 V arX3 3 5 VETORES ALEATÓRIOS Teorema Para um vetor aleatório X com matriz de correlação RX matriz de covariância CX e vetor de valor esperado µX CX RX µXµXT EX 512 Encontre EX RX e CX para o vetor aleatório bidimensional X com PDF VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELAÇÃO VETORES ALEATÓRIOS Teorema Para um vetor aleatório X com matriz de correlação RX matriz de covariância CX e vetor de valor esperado µX CX RX µXµXT EX 512 Encontre EX RX e CX para o vetor aleatório bidimensional X com PDF VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELAÇÃO Os valores esperados são VETORES ALEATÓRIOS Teorema Para um vetor aleatório X com matriz de correlação RX matriz de covariância CX e vetor de valor esperado µX CX RX µXµXT EX 512 Encontre EX RX e CX para o vetor aleatório bidimensional X com PDF VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELAÇÃO Os valores esperados são EXi Z 1 1 Z 1 1 xifXx dx1 dx2 Z 1 0 Z x2 0 2xifXx dx1 dx2 i 1 2 VETORES ALEATÓRIOS Teorema Para um vetor aleatório X com matriz de correlação RX matriz de covariância CX e vetor de valor esperado µX CX RX µXµXT EX 512 Encontre EX RX e CX para o vetor aleatório bidimensional X com PDF VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELAÇÃO Os valores esperados são Assim EXi Z 1 1 Z 1 1 xifXx dx1 dx2 Z 1 0 Z x2 0 2xifXx dx1 dx2 i 1 2 VETORES ALEATORIOS VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELACAO Teorema Para um vetor aleatoério X com matriz de correlagao Rx matriz de covariancia Cx e vetor de valor esperado px Cx Rx pxpx EX 512 Encontre EX Rx e Cx para o vetor aleatorio bidimensional X com PDF 2 Ox x 1 fxs 0 otherwise Os valores esperados sao oo oo 1 p22 Bix tifxx da dx2 2x fxx dx dxa 2 a2 i Ti o Jo Assim 13 Lx EX VETORES ALEATÓRIOS EX 512 continuação VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELAÇÃO VETORES ALEATÓRIOS EX 512 continuação VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELAÇÃO Para os elementos da correlação temos VETORES ALEATÓRIOS EX 512 continuação VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELAÇÃO Para os elementos da correlação temos EX2 1 Z 1 1 Z 1 1 x2 1fXx dx1 dx2 Z 1 0 Z x2 0 2x2 1fXx dx1 dx2 1 6 VETORES ALEATÓRIOS EX 512 continuação VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELAÇÃO Para os elementos da correlação temos EX2 1 Z 1 1 Z 1 1 x2 1fXx dx1 dx2 Z 1 0 Z x2 0 2x2 1fXx dx1 dx2 1 6 EX2 2 Z 1 1 Z 1 1 x2 2fXx dx1 dx2 Z 1 0 Z x2 0 2x2 2fXx dx1 dx2 1 2 VETORES ALEATÓRIOS EX 512 continuação VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELAÇÃO Para os elementos da correlação temos EX2 1 Z 1 1 Z 1 1 x2 1fXx dx1 dx2 Z 1 0 Z x2 0 2x2 1fXx dx1 dx2 1 6 EX2 2 Z 1 1 Z 1 1 x2 2fXx dx1 dx2 Z 1 0 Z x2 0 2x2 2fXx dx1 dx2 1 2 EX1X2 Z 1 1 Z 1 1 x1x2fXx dx1 dx2 Z 1 0 Z x2 0 2x1x2fXx dx1 dx2 1 4 VETORES ALEATÓRIOS EX 512 continuação VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELAÇÃO Para os elementos da correlação temos EX2 1 Z 1 1 Z 1 1 x2 1fXx dx1 dx2 Z 1 0 Z x2 0 2x2 1fXx dx1 dx2 1 6 EX2 2 Z 1 1 Z 1 1 x2 2fXx dx1 dx2 Z 1 0 Z x2 0 2x2 2fXx dx1 dx2 1 2 EX1X2 Z 1 1 Z 1 1 x1x2fXx dx1 dx2 Z 1 0 Z x2 0 2x1x2fXx dx1 dx2 1 4 Logo VETORES ALEATORIOS VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELACAO e EX 512 continuagao Para os elementos da correlagao temos CO CO 1 L2 EX vi fx x dx dx Qu fx x dx dxy BI 0 Jo CO CO 1 12 BIX fake der dea ff au fxee dry dra 5 Ea as 0 Jo oe Oo 1 x2 EX 1X 1229 fxx dx dro 2x22 fxx dx dxy Ss oes 0 Jo Logo 16 14 aa 14 12 VETORES ALEATORIOS VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELACAO e EX 512 continuagao Para os elementos da correlagao temos CO CO 1 22 EX vi fx x dx dx Qu fx x dx dxy Dc a 0 Jo CO CO 1 22 EX3 v5 fx x dx dx2 2x5 fx x de dx es 0 Jo oo oo 1 x2 1 EX 1X 1229 fxx dx dro 2x22 fxx dx dxy oo J co 0 0 Logo 16 14 aa 14 12 Por fim usando o ultimo teorema a matriz de covariancia é VETORES ALEATORIOS VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELACAO e EX 512 continuagao Para os elementos da correlagao temos oe OO 1 x2 1 x2 Mile dx dz Dart fac 2x dirs dir ee 0 Jo CO OOo 1 x2 i BIXg fab fx des dz ff 208 fx drs dre 5 Ee aaa 0 Jo Co oe 1 x2 1 EX 1X 1229 fxx dx dro 2x1 02 fxx dx dxz Bi es 0 Jo Logo 16 14 aa 14 12 Por fim usando o ultimo teorema a matriz de covariancia é os 16 14 19 29 118 136 Cx Rx Mxbx 14 12 29 49 136 118 VETORES ALEATÓRIOS Definição A correlaçãocruzada dos vetores aleatórios X com n componentes e Y com m componentes é uma matriz nm RXY com ijésimo elemento RXYij EXiYj ou na notação matricial RXY EXYT Definição A covariânciacruzada de um par de vetores aleatórios X com n componentes e Y com m componentes é uma matriz nm CXY com ijésimo elemento CXYij CovXiYj ou na notação matricial CXY EX µXY µYT OBS Quando o par de vetores aleatório é o mesmo vetor denominamos autocorrelação e autocovariância VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELAÇÃO VETORES ALEATÓRIOS Teorema X é um vetor aleatório ndimensional com valor esperado µX correlação RX e covariância CX O vetor aleatório m dimensional Y AX b onde A é uma matrix mn e b é um vetor mdimensional possui valor esperado µY correlação RY e covariância CY dados por Teorema Os vetores X e Y AX b possuem correlaçãocruzada RXY e covariânciacruzada CXY dadas por VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELAÇÃO µY AµX b RY ARXAT AµX bT b AµXT bbT CY ACXAT CXY CXAT RXY RXAT µXbT VETORES ALEATÓRIOS EX 513 e 514 Dado o vetor aleatório X definido no exemplo 512 e seja Y AX b onde Encontre µY RY CY RXY CXY e os coeficientes de correlação ρY1Y3 e ρX2Y1 VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELAÇÃO VETORES ALEATÓRIOS EX 513 e 514 Dado o vetor aleatório X definido no exemplo 512 e seja Y AX b onde Encontre µY RY CY RXY CXY e os coeficientes de correlação ρY1Y3 e ρX2Y1 VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELAÇÃO µY AµX b VETORES ALEATÓRIOS EX 513 e 514 Dado o vetor aleatório X definido no exemplo 512 e seja Y AX b onde Encontre µY RY CY RXY CXY e os coeficientes de correlação ρY1Y3 e ρX2Y1 VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELAÇÃO µY 2 4 13 2 3 3 5 µY AµX b VETORES ALEATÓRIOS EX 513 e 514 Dado o vetor aleatório X definido no exemplo 512 e seja Y AX b onde Encontre µY RY CY RXY CXY e os coeficientes de correlação ρY1Y3 e ρX2Y1 VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELAÇÃO RY ARXAT AµX bT b AµXT bbT µY 2 4 13 2 3 3 5 µY AµX b VETORES ALEATÓRIOS EX 513 e 514 Dado o vetor aleatório X definido no exemplo 512 e seja Y AX b onde Encontre µY RY CY RXY CXY e os coeficientes de correlação ρY1Y3 e ρX2Y1 VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELAÇÃO RY ARXAT AµX bT b AµXT bbT RY 2 4 16 1312 43 1312 152 374 43 374 252 3 5 µY 2 4 13 2 3 3 5 µY AµX b VETORES ALEATÓRIOS EX 513 e 514 Dado o vetor aleatório X definido no exemplo 512 e seja Y AX b onde Encontre µY RY CY RXY CXY e os coeficientes de correlação ρY1Y3 e ρX2Y1 VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELAÇÃO RY ARXAT AµX bT b AµXT bbT CY ACXAT RY 2 4 16 1312 43 1312 152 374 43 374 252 3 5 µY 2 4 13 2 3 3 5 µY AµX b VETORES ALEATÓRIOS EX 513 e 514 Dado o vetor aleatório X definido no exemplo 512 e seja Y AX b onde Encontre µY RY CY RXY CXY e os coeficientes de correlação ρY1Y3 e ρX2Y1 VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELAÇÃO RY ARXAT AµX bT b AµXT bbT CY ACXAT RY 2 4 16 1312 43 1312 152 374 43 374 252 3 5 CY 2 4 118 512 13 512 72 134 13 134 72 3 5 µY 2 4 13 2 3 3 5 µY AµX b VETORES ALEATÓRIOS EX 513 e 514 continuação VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELAÇÃO VETORES ALEATÓRIOS EX 513 e 514 continuação VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELAÇÃO RXY RXAT µXbT VETORES ALEATORIOS VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELACAO EX 513 e 514 continuagao Rxy RxA yxb 16 1312 43 Rxy 14 53 2912 VETORES ALEATORIOS VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELACAO EX 513 e 514 continuagao Rxy RxA pxb 16 1312 43 Rxy 14 53 2912 Cxy CxA VETORES ALEATORIOS VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELACAO EX 513 e 514 continuagao Rxy RxA pxb 716 1312 48 Rxy 14 53 2912 Cxy CxA o 118 512 18 av 1136 13 5892 VETORES ALEATORIOS VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELACAO EX 513 e 514 continuagao Rxy RxA pxb 16 1312 43 Rxy 14 53 2912 Cxy CxA wi 118 512 13 ayY 1 136 13 512 CovYi Y3 ei ti VarVar3 Cy11Cy3 3 VETORES ALEATORIOS VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELACAO EX 513 e 514 continuagao Rxy RxA yxb 16 1312 43 Rxy 14 53 2912 Cxy CxA oe 118 512 13 ayY 1 136 13 512 CovY Y3 Cy 13 SS Sees a 0 7 es VY VarYVarY3 Cy1 1Cy3 3 VETORES ALEATORIOS VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELACAO EX 513 e 514 continuagao Rxy RxA x b 16 1312 43 Rxy 14 53 2912 Cxy CxA C 118 512 18 ayY 1 136 13 512 CovY Y3 Cy 13 i 2 SESE Or sos 0 7 ies ie VY VarYVarY3 Cy1 1Cy3 3 onsen am VVarX2Vari Cx22Cy 1 VETORES ALEATORIOS VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELACAO EX 513 e 514 continuagao Rxy Rx A x b 16 1312 43 Rxy 14 53 2912 Cxy CxA C 118 512 18 ayY 1 136 13 512 Cov Yi Y3 Cy 13 i 2 SESE Or sos 0 7 Wi VY VarYVarY3 Cy1 1Cy3 3 2 CovX2 Yi Cxy 2 1 ESS rr a 0 6 VVarX2Vari Cx22Cy 1 VETORES ALEATÓRIOS QUIZ 56 No QUIZ 53 tínhamos o vetor aleatório X tridimensional com PDF Encontre o EX RX e CX VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELAÇÃO VETORES ALEATÓRIOS QUIZ 56 No QUIZ 53 tínhamos o vetor aleatório X tridimensional com PDF Encontre o EX RX e CX VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELAÇÃO Do QUIZ 53 encontramos as PDFs marginais VETORES ALEATORIOS VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELACAO QUIZ 56 No QUIZ 53 tinhamos o vetor aleatorio X tridimensional com PDF f OS x1 Sx2 93 1 Fx 0 otherwise Encontre o EX Rx e Cx Do QUIZ 53 encontramos as PDFs marginais 302 Ox 1 Ix G0 9 otherwise fx x2 osu i 3x2 0 43 1 Ix 3 0 ain VETORES ALEATORIOS VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELACAO QUIZ 56 No QUIZ 53 tinhamos o vetor aleatorio X tridimensional com PDF OS x x2 x3 1 Fx x 0 otherwise Encontre o EX Rx e Cx Do QUIZ 53 encontramos as PDFs marginais ai 31x Ox1 Ix G1 4 g otherwise ibe x2 ea 2 osu i se 3x2 0 43 1 Ix 43 0 otherwise Assim os valores esperados sao VETORES ALEATORIOS VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELACAO QUIZ 56 No QUIZ 53 tinhamos o vetor aleatorio X tridimensional com PDF f OS x1 Sx2 93 1 Fx x 0 otherwise Encontre o EX Rx e Cx Do QUIZ 53 encontramos as PDFs marginais x 0x fx 41 9 x1 sn st fx x2 ea a oss 3x3 O431 Ix 3 0 dese Assim os valores esperados sao E Xj 3x1 x dx 14 0 1 E X92 6x71 x dx 12 0 l EX3 3x3 dx 34 0 VETORES ALEATÓRIOS QUIZ 56 continuação VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELAÇÃO VETORES ALEATÓRIOS QUIZ 56 continuação VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELAÇÃO Logo temos o vetor VETORES ALEATÓRIOS QUIZ 56 continuação VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELAÇÃO Logo temos o vetor µX 2 4 14 12 34 3 5 VETORES ALEATÓRIOS QUIZ 56 continuação VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELAÇÃO Logo temos o vetor µX 2 4 14 12 34 3 5 Para a correlação precisamos encontrar VETORES ALEATORIOS VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELACAO QUIZ 56 continuagao Logo temos o vetor a Ux 12 34 Para a correlagao precisamos encontrar I 3x1 x dx 110 E x7 Sag x dx 1 st 6x1 310 E x3 i x31 x dx 310 3x4dx 35 E x3 x dx 3 VETORES ALEATORIOS VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELACAO QUIZ 56 continuagao Logo temos o vetor 7 Ux 12 34 Para a correlagao precisamos encontrar I EXi 3x21xdx 110 I x1 x dx 1 EX5 6x1xdx 310 5 i x 1 x dx 3 EX3 3xdx 35 id tara E utilizando as outras PDFs marginais encontradas no QUIZ 53 encontramos os demais segundos momentos VETORES ALEATORIOS VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELACAO QUIZ 56 continuagao Logo temos o vetor 14 Mx 12 34 Para a correlagao precisamos encontrar I E x7 3x21 x dx 110 E x3 6x31 x dx 310 0 I Ex3 3x4 dx 35 0 E utilizando as outras PDFs marginais encontradas no QUIZ 53 encontramos os demais segundos momentos fx x Gia 814 OSH swe 11 to 9 otherwise Fx X3 41 3 a zi 5 Sm VETORES ALEATÓRIOS QUIZ 56 continuação VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELAÇÃO VETORES ALEATORIOS VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELACAO QUIZ 56 continuagao Co foo 1 EiXol fo sahex 12 dx dx2 xy 3x 2xf dx 320 VETORES ALEATORIOS VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELACAO QUIZ 56 continuagao CO fo 1 B1XXal fo sahex X12 dx dx xy 3x 2xf dx 320 EX2X3 Ef 6x3x3dx3dx2 oo 3xhan 25 VETORES ALEATORIOS VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELACAO QUIZ 56 continuagao CO fo 1 B1XXal x1x2fxxX 41 2 dx dx2 xy 3x 2xf dx 320 EX2X3 edndzsan oo 3xhan 25 E XX3 sux X1dx3dx ex 3x x4dx 15 VETORES ALEATORIOS VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELACAO QUIZ 56 continuagao eco foo 1 B1XXal x1x2fxxX 41 2 dx dx2 xy 3x 2xf dx 320 E X2X3 edndzsan oo 3xhan 25 E XX3 sux X1dx3dx ex 3x x4dx 15 Assim obtemos a matriz de correlagao VETORES ALEATORIOS VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELACAO QUIZ 56 continuagao CO fo 1 B1XXa x1x2fxxX 41 2 dx dx2 xy 3x 2xf dx 320 E X2X3 0 edndxsan Bx 3xf1an 25 EXX3 sux X1dx3dx ex 3x x4dx 15 Assim obtemos a matriz de correlagao 110 320 15 Ry 320 310 25 15 25 3s VETORES ALEATORIOS VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELACAO QUIZ 56 continuagao Co fmf 1 B1XXa x1x2fxxX 41 2 dx dx2 xy 3x 2xf dx 320 E X2X3 Ef 6x3x3dx3dx2 oo 3xhan 25 EXX3 sux X1dx3dx ex 3x x4dx 15 Assim obtemos a matriz de correlagao 110 320 15 Ry 320 310 25 15 25 3s Por fim a matriz de covariancia é VETORES ALEATORIOS VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELACAO QUIZ 56 continuagao Co fmf 1 B1XXa x1x2fxxX 41 2 dx dx2 xy 3x 2xf dx 320 E X2X3 6x3x3 dx3dx2 v3 3x5 dx 25 EXX3 sux X1dx3dx ex 3x x4dx 15 Assim obtemos a matriz de correlagao 110 320 15 Ry 320 310 25 15 25 3s Por fim a matriz de covariancia é Cy Rx uxpx VETORES ALEATORIOS VETOR DE VALOR ESPERADO E MATRIZ DE CORRELACAO QUIZ 56 continuagao Co fmf 1 B1XXa sixafxyxy hin 80 da dso xy 3x 2x dxy 920 EX2X3 6x3x3dx3dx2 v3 3x3 dx 25 EXX3 sux x1 dx3dx ex 3x xf dx 15 Assim obtemos a matriz de correlagao 110 320 15 Ry 320 310 25 15 25 3s Por fim a matriz de covariancia é Cy Rx uxpx 140 320 15 116 18 316 2 Cy 320 310 25 18 14 38 o 242 im 28 35 316 38 916 VETORES ALEATÓRIOS Definição X é o vetor Gaussiano µX CX com valor esperado µX e covariância CX se e somente se onde detCX 0 é o determinante de CX OBS A restrição detCX 0 é uma generalização da restrição de PDF Gaussiana Bivariada para a qual ρ 1 Um caso especial desse tipo de vetor aleatório é quando CovXiXj 0 para i j Neste caso CX diagσ12 σ22 σn2 Quando CX é diagonal Xi e Xj são descorrelacionados para i j Teorema Um vetor aleatório Gaussiano X possui componentes independentes se e somente se CX é uma matriz diagonal VETORES ALEATÓRIOS GAUSSIANOS fXx 1 2n2detCX12 e 1 2 xµXT C1 X xµX VETORES ALEATÓRIOS EX 515 Considere a temperatura externa em uma estação de tempo Em 5 de Maio as temperaturas medidas em graus Fahrenheit às 6 AM meio dia e 6 PM são vas Gaussianas X1 X2 e X3 com variância 16 graus2 Os valores esperados são 50 graus 62 graus e 58 graus respectivamente A matriz de covariância das 3 medições é a Escreva a PDF conjunta de X1 e X2 usando notação algébrica b Escreva a PDF conjunta de X1 e X2 usando vetorial c Escreve a PDF conjunta de X X1 X2 X3T usando a notação vetorial VETORES ALEATÓRIOS GAUSSIANOS VETORES ALEATÓRIOS EX 515 continuação VETORES ALEATÓRIOS GAUSSIANOS VETORES ALEATÓRIOS EX 515 continuação VETORES ALEATÓRIOS GAUSSIANOS a Pela definição e utilizando a notação algébrica precisamos encontrar o coeficiente de correlação entre X1 e X2 VETORES ALEATÓRIOS EX 515 continuação VETORES ALEATÓRIOS GAUSSIANOS a Pela definição e utilizando a notação algébrica precisamos encontrar o coeficiente de correlação entre X1 e X2 X1X2 CovX1 X2 σX1σX2 12 8 16 0 8 VETORES ALEATÓRIOS EX 515 continuação VETORES ALEATÓRIOS GAUSSIANOS a Pela definição e utilizando a notação algébrica precisamos encontrar o coeficiente de correlação entre X1 e X2 Assim obtemos X1X2 CovX1 X2 σX1σX2 12 8 16 0 8 VETORES ALEATORIOS VETORES ALEATORIOS GAUSSIANOS EX 515 continuagao a Pela definigao e utilizando a notagao algébrica precisamos encontrar o coeficiente de correlagao entre X e Xo CovX1 Xo 128 76 x w Gs OX0X 16 Assim obtemos 1 x1 50 16 6029 iD alan D2 ke 21 2 60 3186 VETORES ALEATORIOS VETORES ALEATORIOS GAUSSIANOS EX 515 continuagao a Pela definigao e utilizando a notagao algébrica precisamos encontrar o coeficiente de correlagao entre X e Xo a CovX1 Xo 128 x w Gs OX0X 16 Assim obtemos 1 x1 50 16 ye eee ke 21 2 60 3186 b Na forma vetorial considerando W X X a PDF acima fica VETORES ALEATORIOS VETORES ALEATORIOS GAUSSIANOS EX 515 continuagao a Pela definigao e utilizando a notagao algébrica precisamos encontrar o coeficiente de correlacao entre X e Xo CovX1 Xo 128 76 2x e OX0X 16 Assim obtemos 1 x1 50 16 6029 62a622 XX212 603186 b Na forma vetorial considerando W X X a PDF acima fica 1 3 a Te poe ee 9 W Mw Cy w Lew fw o3186 VETORES ALEATORIOS VETORES ALEATORIOS GAUSSIANOS EX 515 continuagao a Pela definigao e utilizando a notagao algébrica precisamos encontrar o coeficiente de correlacao entre X e Xo CovX1 Xo 128 a 2x e OX0X 16 Assim obtemos 1 x1 50 16 6023 62a622 IX X2a a 603186 b Na forma vetorial considerando W X X a PDF acima fica 1 3 a Te ia 3 WMy Cy w Ly fww Go 3786 onde 1 ae 160 128 Pw 69 W 128 160 VETORES ALEATORIOS VETORES ALEATORIOS GAUSSIANOS EX 515 continuagao a Pela definigao e utilizando a notagao algébrica precisamos encontrar o coeficiente de correlacao entre X e Xo CovX1 Xo 128 a x w Gs OX0X 16 Assim obtemos 1 xy 5016 6023 iD alan D2 ke 21 2 603186 b Na forma vetorial considerando W X X a PDF acima fica 1 3 ac a ia 3 WMy Cy w Ly fww 6 3i86 onde 1 ae 160 128 Pw 69 W 128 160 c A PDF do vetor aleatdério X é VETORES ALEATORIOS VETORES ALEATORIOS GAUSSIANOS EX 515 continuagao a Pela definigao e utilizando a notagao algébrica precisamos encontrar o coeficiente de correlacao entre X e Xo CovX1X2 128 2x e OX0X 16 Assim obtemos 1 xy 5016 6023 iD alan D2 ke 21 2 603186 b Na forma vetorial considerando W X X a PDF acima fica 1 3 we Taig ia 3 WMy Cy w Ly Iwi oo 3i86 onde 1 ae 160 128 Pw 69 W 128 160 c A PDF do vetor aleatdério X é 1 3x ez a x e 2 Ux x Lx Fxx 357 7949 VETORES ALEATÓRIOS Teorema Dado um vetor aleatório Gaussiano ndimensional X com valor esperado µX e covariância CX e uma matriz mn A com postoA m Y AX b é um vetor aleatório Gaussiano mdimensional com valor esperado µY AµX b e covariância CX ACXAT EX 516 Continuando o exemplo anterior usando a fórmula Yi 59Xi 32 para converter as 3 medições de temperatura para graus Celsius Encontre µY CY e escreva PDF conjunta de Y na notação matricial VETORES ALEATÓRIOS GAUSSIANOS VETORES ALEATÓRIOS Teorema Dado um vetor aleatório Gaussiano ndimensional X com valor esperado µX e covariância CX e uma matriz mn A com postoA m Y AX b é um vetor aleatório Gaussiano mdimensional com valor esperado µY AµX b e covariância CX ACXAT EX 516 Continuando o exemplo anterior usando a fórmula Yi 59Xi 32 para converter as 3 medições de temperatura para graus Celsius Encontre µY CY e escreva PDF conjunta de Y na notação matricial VETORES ALEATÓRIOS GAUSSIANOS Podese verificar facilmente que a conversão linear é dada pela matriz A e vetor b VETORES ALEATÓRIOS Teorema Dado um vetor aleatório Gaussiano ndimensional X com valor esperado µX e covariância CX e uma matriz mn A com postoA m Y AX b é um vetor aleatório Gaussiano mdimensional com valor esperado µY AµX b e covariância CX ACXAT EX 516 Continuando o exemplo anterior usando a fórmula Yi 59Xi 32 para converter as 3 medições de temperatura para graus Celsius Encontre µY CY e escreva PDF conjunta de Y na notação matricial VETORES ALEATÓRIOS GAUSSIANOS Podese verificar facilmente que a conversão linear é dada pela matriz A e vetor b VETORES ALEATÓRIOS EX 516 continuação VETORES ALEATÓRIOS GAUSSIANOS VETORES ALEATÓRIOS EX 516 continuação VETORES ALEATÓRIOS GAUSSIANOS Logo VETORES ALEATÓRIOS EX 516 continuação VETORES ALEATÓRIOS GAUSSIANOS Logo VETORES ALEATÓRIOS EX 516 continuação VETORES ALEATÓRIOS GAUSSIANOS Logo Como A é uma matriz diagonal CY ACXAT 592CX Além disso CY1 8125CX1 Logo a PDF conjunta fica VETORES ALEATÓRIOS EX 516 continuação VETORES ALEATÓRIOS GAUSSIANOS Logo Como A é uma matriz diagonal CY ACXAT 592CX Além disso CY1 8125CX1 Logo a PDF conjunta fica VETORES ALEATÓRIOS Definição O vetor aleatório normal padrão ndimensional Z é o vetor aleatório Gaussiano ndimensional com EZ 0 e CZ I onde I é a matriz identidade de tamanho compatível OBS Como CZ é diagonal Z1 Zn são independentes Em muitas situações é interessante transformar uma va X Gaussiana µσ em uma va normal padrão Z X µXσX O mesmo pode ser feito para vetores aleatórios Teorema Para um vetor aleatório Gaussiano µXCX seja A uma matriz nn com propriedade AAT CX O vetor aleatório Z A1 X µX é um vetor normal padrão VETORES ALEATÓRIOS GAUSSIANOS VETORES ALEATÓRIOS Teorema Dado um vetor aleatório normal padrão ndimensional Z uma matriz nn inversível A e um vetor b ndimensional X AZ b é um vetor aleatório Gaussiano ndimensional com valor esperado µX b e covariância CX AAT Teorema Para um vetor Gaussiano X com covariância CX sempre existe uma matriz A tal que CX AAT OBS Como CX é simétrica existe a SVD de CX UDUT Assim A UD12 e X UD12Z µX Quando µX 0 temos ou seja o vetor Gaussiano X é uma combinação dos vetores ortogonais cada um ponderado por uma va Gaussiana independente Zi VETORES ALEATÓRIOS GAUSSIANOS X n X i1 p diuiZi p diui VETORES ALEATÓRIOS QUIZ 57 Seja Z um vetor normal padrão bidimensional O vetor aleatório Gaussiano X tem componentes X1 2 Z1 Z2 2 e X2 Z1 Z2 Calcule o valor esperado µX e a matriz de covariância CX VETORES ALEATÓRIOS GAUSSIANOS VETORES ALEATÓRIOS QUIZ 57 Seja Z um vetor normal padrão bidimensional O vetor aleatório Gaussiano X tem componentes X1 2 Z1 Z2 2 e X2 Z1 Z2 Calcule o valor esperado µX e a matriz de covariância CX VETORES ALEATÓRIOS GAUSSIANOS Observe que X AZ b onde VETORES ALEATORIOS VETORES ALEATORIOS GAUSSIANOS QUIZ 57 Seja Z um vetor normal padrao bidimensional O vetor aleatoério Gaussiano X tem componentes X122202 e X22L2 Calcule o valor esperado px e a matriz de covariancia Cx Observe que X AZ b onde 7 2 ai 7 b 9 VETORES ALEATORIOS VETORES ALEATORIOS GAUSSIANOS QUIZ 57 Seja Z um vetor normal padrao bidimensional O vetor aleatoério Gaussiano X tem componentes X122202 e X22L2 Calcule o valor esperado px e a matriz de covariancia Cx Observe que X AZ b onde 4 2 ali 7 b 9 Assim utilizando os teoremas anteriores VETORES ALEATORIOS VETORES ALEATORIOS GAUSSIANOS QUIZ 57 Seja Z um vetor normal padrao bidimensional O vetor aleatoério Gaussiano X tem componentes X122202 e X22L2 Calcule o valor esperado px e a matriz de covariancia Cx Observe que X AZ b onde 3 2 ali 7 b 9 Assim utilizando os teoremas anteriores VETORES ALEATORIOS VETORES ALEATORIOS GAUSSIANOS QUIZ 57 Seja Z um vetor normal padrao bidimensional O vetor aleatoério Gaussiano X tem componentes X122202 e X22L2 Calcule o valor esperado px e a matriz de covariancia Cx Observe que X AZ b onde J 2 ali 7 b 9 Assim utilizando os teoremas anteriores ux b 5 e fo Qf Fe Cy aA j nT Aye BI