Processos Estocásticos e Filtragem Linear de Sinais Aleatórios

PROCESSOS ESTOCÁSTICOS PROF FABIANO CASTOLDI PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS No desenvolvimento de novos equipamentos e avaliação de desempenho de sistemas frequentemente temos a representação de sinais elétricosprocessos como funçõesamostras de processos estocásticos estacionários no sentido amplo Usase PDFs eou PMFs para descrever suas características de amplitude dos sinais e autocorrelação para descrever a natureza de variações no tempo dos sinais Nesta parte do conteúdo analisaremos a filtragem linear de processos eou sequências aleatórias resultantes da amostragem de processos aleatórios INTRODUÇÃO PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS Considere um filtro linear e invariante no tempo LTI com resposta ao impulso ht Se a entrada é um sinal determinístico vt a saída wt é a convolução Se as entradas do filtro dada por xt funçõesamostras de um processo estocástico Xt então as saídas yt são funções amostras do processo estocástico Yt Similarmente o valor esperado EYt é a convolução de ht e EXt Teorema FILTRAGEM LINEAR DE UM PROCESSO ESTOCÁSTICO CONTÍNUO NO TEMPO PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS Teorema Se a entrada de um filtro LTI com resposta ao impulso ht é um processo estocástico WSS Xt a saída Yt possui as seguintes propriedades a Yt é um processo WSS com b Xt e Yt são conjuntamente WSS e possuem correlaçãocruzada de entradasaída igual a c A autocorrelação da saída é relacionada a correlaçãocruzada de entradasaída por FILTRAGEM LINEAR DE UM PROCESSO ESTOCÁSTICO CONTÍNUO NO TEMPO PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS Geralmente determinar a PDF ou PMF da saída de um sistema dado a função de probabilidade correspondente de entrada é muito complicado A exceção é o uso de processos Gaussianos como entradas Teorema Se um processo Gaussiano estacionário Xt é entrada de um filtro ht a saída Yt é um processo Gaussiano estacionário com valor esperado e autocorrelação dados pelo teorema anterior EX 111 Xt um processo estocástico WSS com valor esperado μX 10 volts é entrada de um filtro LTI O filtro possui resposta ao impulso Qual o valor esperado do processo de saída do filtro Yt FILTRAGEM LINEAR DE UM PROCESSO ESTOCÁSTICO CONTÍNUO NO TEMPO PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 111 continuação EX 112 113 Um processo de ruído branco Gaussiano Wt com função de autocorrelação RWτ η0δτ passa por um filtro média móvel Para a saída Yt encontre o valor esperado EYt a correlação cruzada de entrada e saída RWYτ e a função de autocorrelação RYτ Considere que η0 1015 WHz e T103s Para qualquer tempo arbitrário t0 encontre PYt0 4106 FILTRAGEM LINEAR DE UM PROCESSO ESTOCÁSTICO CONTÍNUO NO TEMPO PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 111 continuação EX 112 113 Um processo de ruído branco Gaussiano Wt com função de autocorrelação RWτ η0δτ passa por um filtro média móvel Para a saída Yt encontre o valor esperado EYt a correlação cruzada de entrada e saída RWYτ e a função de autocorrelação RYτ Considere que η0 1015 WHz e T103s Para qualquer tempo arbitrário t0 encontre PYt0 4106 FILTRAGEM LINEAR DE UM PROCESSO ESTOCÁSTICO CONTÍNUO NO TEMPO Aplicando os teoremas anteriores temos PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 111 continuação EX 112 113 Um processo de ruído branco Gaussiano Wt com função de autocorrelação RWτ η0δτ passa por um filtro média móvel Para a saída Yt encontre o valor esperado EYt a correlação cruzada de entrada e saída RWYτ e a função de autocorrelação RYτ Considere que η0 1015 WHz e T103s Para qualquer tempo arbitrário t0 encontre PYt0 4106 FILTRAGEM LINEAR DE UM PROCESSO ESTOCÁSTICO CONTÍNUO NO TEMPO Aplicando os teoremas anteriores temos PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 112 113 continuação FILTRAGEM LINEAR DE UM PROCESSO ESTOCÁSTICO CONTÍNUO NO TEMPO PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 112 113 continuação FILTRAGEM LINEAR DE UM PROCESSO ESTOCÁSTICO CONTÍNUO NO TEMPO Lembrando que pela definição do processo de ruído branco Wt tem valor esperado μW 0 O valor esperado de saída é então PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 112 113 continuação FILTRAGEM LINEAR DE UM PROCESSO ESTOCÁSTICO CONTÍNUO NO TEMPO Lembrando que pela definição do processo de ruído branco Wt tem valor esperado μW 0 O valor esperado de saída é então PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 112 113 continuação FILTRAGEM LINEAR DE UM PROCESSO ESTOCÁSTICO CONTÍNUO NO TEMPO Lembrando que pela definição do processo de ruído branco Wt tem valor esperado μW 0 O valor esperado de saída é então Pelos teoremas anteriores encontramos que a correlaçãocruzada de entradasaída é PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATORIOS FILTRAGEM LINEAR DE UM PROCESSO ESTOCASTICO CONTINUO NO TEMPO e EX 112 113 continuagao Lembrando que pela definigado do processo de ruido branco Wt tem valor esperado Uw 0 O valor esperado de saida é entao EY ww foo hat 0 Pelos teoremas anteriores encontramos que a correlagaocruzada de entradasaida é Rwyt bt udu o otherwise PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATORIOS FILTRAGEM LINEAR DE UM PROCESSO ESTOCASTICO CONTINUO NO TEMPO e EX 112 113 continuagao Lembrando que pela definigado do processo de ruido branco Wt tem valor esperado Uw 0 O valor esperado de saida é entao EY ww foo hat 0 Pelos teoremas anteriores encontramos que a correlagaocruzada de entradasaida é Rwyt bt udu on otherwise E consequentemente a autocorrelagao de Yt fica PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATORIOS FILTRAGEM LINEAR DE UM PROCESSO ESTOCASTICO CONTINUO NO TEMPO e EX 112 113 continuagao Lembrando que pela definigado do processo de ruido branco Wt tem valor esperado Uw 0 O valor esperado de saida é entao EY ww foo hat 0 Pelos teoremas anteriores encontramos que a correlagaocruzada de entradasaida é T tT E consequentemente a autocorrelagao de Yt fica Ryt torre vdv if Rwy t v dv PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATORIOS FILTRAGEM LINEAR DE UM PROCESSO ESTOCASTICO CONTINUO NO TEMPO e EX 112 113 continuagao Lembrando que pela definigado do processo de ruido branco Wt tem valor esperado Uw 0 O valor esperado de saida é entao EY ww foo hat 0 Pelos teoremas anteriores encontramos que a correlagaocruzada de entradasaida é r T OTST Rwy t bt udu o otherwise E consequentemente a autocorrelagao de Yt fica 00 0 Ryt rorwre vdv 7 Rwy t v dv Para a solugao dessa integral precisamos expressar RwyT v como fungao de v Reescrevendo a fungao de RwyT v temos PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATORIOS FILTRAGEM LINEAR DE UM PROCESSO ESTOCASTICO CONTINUO NO TEMPO e EX 112 113 continuagao Lembrando que pela definigado do processo de ruido branco Wt tem valor esperado Uw 0 O valor esperado de saida é entao EY ww foo htdt 0 Pelos teoremas anteriores encontramos que a correlagaocruzada de entradasaida é r T OTST Rwyt bt udu 0 otherwise E consequentemente a autocorrelagao de Yt fica 0 0 Ryt rorwre vdv 7 Rwy t v dv Para a solugao dessa integral precisamos expressar RwyT v como fungao de v Reescrevendo a fungao de RwyT v temos OrvT tTvrt Rwy v 3 otherwise otherwise PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 112 113 continuação FILTRAGEM LINEAR DE UM PROCESSO ESTOCÁSTICO CONTÍNUO NO TEMPO PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 112 113 continuação FILTRAGEM LINEAR DE UM PROCESSO ESTOCÁSTICO CONTÍNUO NO TEMPO Assim RWYτ v possui valores não nulos no intervalo entre t τ v τ Entretanto na equação de RYτ integramos RWYτ v sobre o intervalo T v 0 Se τ T ou τ t 0 então esses dois intervalos não se sobrepõem e a integral é zero PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 112 113 continuação FILTRAGEM LINEAR DE UM PROCESSO ESTOCÁSTICO CONTÍNUO NO TEMPO Assim RWYτ v possui valores não nulos no intervalo entre t τ v τ Entretanto na equação de RYτ integramos RWYτ v sobre o intervalo T v 0 Se τ T ou τ t 0 então esses dois intervalos não se sobrepõem e a integral é zero De outra forma para T τ 0 entrada da sobreposição temos PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 112 113 continuação FILTRAGEM LINEAR DE UM PROCESSO ESTOCÁSTICO CONTÍNUO NO TEMPO Assim RWYτ v possui valores não nulos no intervalo entre t τ v τ Entretanto na equação de RYτ integramos RWYτ v sobre o intervalo T v 0 Se τ T ou τ t 0 então esses dois intervalos não se sobrepõem e a integral é zero De outra forma para T τ 0 entrada da sobreposição temos PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 112 113 continuação FILTRAGEM LINEAR DE UM PROCESSO ESTOCÁSTICO CONTÍNUO NO TEMPO Assim RWYτ v possui valores não nulos no intervalo entre t τ v τ Entretanto na equação de RYτ integramos RWYτ v sobre o intervalo T v 0 Se τ T ou τ t 0 então esses dois intervalos não se sobrepõem e a integral é zero De outra forma para T τ 0 entrada da sobreposição temos Para 0 τ T saída da sobreposição temos PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 112 113 continuação FILTRAGEM LINEAR DE UM PROCESSO ESTOCÁSTICO CONTÍNUO NO TEMPO Assim RWYτ v possui valores não nulos no intervalo entre t τ v τ Entretanto na equação de RYτ integramos RWYτ v sobre o intervalo T v 0 Se τ T ou τ t 0 então esses dois intervalos não se sobrepõem e a integral é zero De outra forma para T τ 0 entrada da sobreposição temos Para 0 τ T saída da sobreposição temos PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 112 113 continuação FILTRAGEM LINEAR DE UM PROCESSO ESTOCÁSTICO CONTÍNUO NO TEMPO Assim RWYτ v possui valores não nulos no intervalo entre t τ v τ Entretanto na equação de RYτ integramos RWYτ v sobre o intervalo T v 0 Se τ T ou τ t 0 então esses dois intervalos não se sobrepõem e a integral é zero De outra forma para T τ 0 entrada da sobreposição temos Para 0 τ T saída da sobreposição temos Juntando as respostas PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 112 113 continuação FILTRAGEM LINEAR DE UM PROCESSO ESTOCÁSTICO CONTÍNUO NO TEMPO Assim RWYτ v possui valores não nulos no intervalo entre t τ v τ Entretanto na equação de RYτ integramos RWYτ v sobre o intervalo T v 0 Se τ T ou τ t 0 então esses dois intervalos não se sobrepõem e a integral é zero De outra forma para T τ 0 entrada da sobreposição temos Para 0 τ T saída da sobreposição temos Juntando as respostas PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 112 113 continuação FILTRAGEM LINEAR DE UM PROCESSO ESTOCÁSTICO CONTÍNUO NO TEMPO Assim RWYτ v possui valores não nulos no intervalo entre t τ v τ Entretanto na equação de RYτ integramos RWYτ v sobre o intervalo T v 0 Se τ T ou τ t 0 então esses dois intervalos não se sobrepõem e a integral é zero De outra forma para T τ 0 entrada da sobreposição temos Para 0 τ T saída da sobreposição temos Juntando as respostas Resultando na autocorrelação da saída ser uma função triangular PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 112 113 continuação FILTRAGEM LINEAR DE UM PROCESSO ESTOCÁSTICO CONTÍNUO NO TEMPO PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 112 113 continuação FILTRAGEM LINEAR DE UM PROCESSO ESTOCÁSTICO CONTÍNUO NO TEMPO Substituindo os valores a função de autocorrelação de Yt fica PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 112 113 continuação FILTRAGEM LINEAR DE UM PROCESSO ESTOCÁSTICO CONTÍNUO NO TEMPO Substituindo os valores a função de autocorrelação de Yt fica PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 112 113 continuação FILTRAGEM LINEAR DE UM PROCESSO ESTOCÁSTICO CONTÍNUO NO TEMPO Substituindo os valores a função de autocorrelação de Yt fica Pelo último teorema Yt é um processo Gaussiano estacionário então Yt0 é uma va Gaussiana Como µYt0 0 devido a µX 0 VarYt0 RY0 1012 Isto implica em PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 112 113 continuação FILTRAGEM LINEAR DE UM PROCESSO ESTOCÁSTICO CONTÍNUO NO TEMPO Substituindo os valores a função de autocorrelação de Yt fica Pelo último teorema Yt é um processo Gaussiano estacionário então Yt0 é uma va Gaussiana Como µYt0 0 devido a µX 0 VarYt0 RY0 1012 Isto implica em PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 112 113 continuação FILTRAGEM LINEAR DE UM PROCESSO ESTOCÁSTICO CONTÍNUO NO TEMPO Substituindo os valores a função de autocorrelação de Yt fica Pelo último teorema Yt é um processo Gaussiano estacionário então Yt0 é uma va Gaussiana Como µYt0 0 devido a µX 0 VarYt0 RY0 1012 Isto implica em PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS Uma tendência em processamento de sinais é realizar o processamento no domínio digital DSP Para isso precisamos converter o sinal xt em uma sequência de amostras xnT n 1 0 1 onde 1T Hz é a taxa de amostragem Assim passamos de um processo estocástico Xt para uma sequência aleatória Xn XnT A função de autocorrelação de Xn consiste de amostras da função de correlação de Xt Teorema A sequência aleatória Xn é obtida pela amostragem do processo de tempocontínuo Xt a uma taxa 1TS amostras por segundo Se Xt é um processo WSS com valor esperado EXt µX e autocorrelação Rτ então Xn é uma sequência aleatória WSS com valor esperado EXn µX e função de autocorrelação RXk RXkTS FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 114 Continuando o exemplo 113 a sequência aleatória Yn é obtida pela amostragem da média móvel do processo de ruído branco Yt a uma taxa de fs 104 amostras por segundo Derive a função de autocorrelação RYn de Yn FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 114 Continuando o exemplo 113 a sequência aleatória Yn é obtida pela amostragem da média móvel do processo de ruído branco Yt a uma taxa de fs 104 amostras por segundo Derive a função de autocorrelação RYn de Yn FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Dada a função de autocorrelação RYτ encontrada anteriormente pelo teorema anterior temos PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 114 Continuando o exemplo 113 a sequência aleatória Yn é obtida pela amostragem da média móvel do processo de ruído branco Yt a uma taxa de fs 104 amostras por segundo Derive a função de autocorrelação RYn de Yn FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Dada a função de autocorrelação RYτ encontrada anteriormente pelo teorema anterior temos PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 114 Continuando o exemplo 113 a sequência aleatória Yn é obtida pela amostragem da média móvel do processo de ruído branco Yt a uma taxa de fs 104 amostras por segundo Derive a função de autocorrelação RYn de Yn FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Dada a função de autocorrelação RYτ encontrada anteriormente pelo teorema anterior temos PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS Teorema Se a entrada de um filtro discreto LTI com resposta ao impulso hn é uma sequência aleatória WSS Xn a saída Yn possui as seguintes propriedades a Yn é uma sequência aleatória WSS com valor esperado e função de autocorrelação b Yn e Xn são conjuntamente WSS com correlaçãocruzada de entradasaída c A autocorrelação da saída é relacionada com a correlaçãocruzada de entradasaída por FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 115 Uma sequência aleatória WSS Xn com µX 1 e função de autocorrelação RXn é entrada de um filtro média móvel de ordem M1 hn onde Para o caso de M 2 encontre as seguintes propriedades da sequência aleatória de saída Yn µY RYn e VarYn FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 115 Uma sequência aleatória WSS Xn com µX 1 e função de autocorrelação RXn é entrada de um filtro média móvel de ordem M1 hn onde Para o caso de M 2 encontre as seguintes propriedades da sequência aleatória de saída Yn µY RYn e VarYn FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Para o filtro com M 2 teremos apenas 2 coeficientes e pelo teorema temos PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 115 Uma sequência aleatória WSS Xn com µX 1 e função de autocorrelação RXn é entrada de um filtro média móvel de ordem M1 hn onde Para o caso de M 2 encontre as seguintes propriedades da sequência aleatória de saída Yn µY RYn e VarYn FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Para o filtro com M 2 teremos apenas 2 coeficientes e pelo teorema temos PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 115 Uma sequência aleatória WSS Xn com µX 1 e função de autocorrelação RXn é entrada de um filtro média móvel de ordem M1 hn onde Para o caso de M 2 encontre as seguintes propriedades da sequência aleatória de saída Yn µY RYn e VarYn FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Para o filtro com M 2 teremos apenas 2 coeficientes e pelo teorema temos e PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 115 Uma sequência aleatória WSS Xn com µX 1 e função de autocorrelação RXn é entrada de um filtro média móvel de ordem M1 hn onde Para o caso de M 2 encontre as seguintes propriedades da sequência aleatória de saída Yn µY RYn e VarYn FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Para o filtro com M 2 teremos apenas 2 coeficientes e pelo teorema temos e PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 115 Uma sequência aleatória WSS Xn com µX 1 e função de autocorrelação RXn é entrada de um filtro média móvel de ordem M1 hn onde Para o caso de M 2 encontre as seguintes propriedades da sequência aleatória de saída Yn µY RYn e VarYn FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Para o filtro com M 2 teremos apenas 2 coeficientes e pelo teorema temos e PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 115 continuação FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 115 continuação FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Substituindo valores obtemos RYn como PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 115 continuação FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Substituindo valores obtemos RYn como PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 115 continuação FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Substituindo valores obtemos RYn como Para obter a variância de Yn observamos que EY2n RY0 3 logo PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 115 continuação FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Substituindo valores obtemos RYn como Para obter a variância de Yn observamos que EY2n RY0 3 logo PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS No projeto e análise de filtro digitais práticos geralmente estamos interessados em filtros causais ie filtros com a característica hn 0 n 0 Temos 2 categorias de filtros i FIR Finite Impulse Response com hn 0 para n M onde M é um positivo inteiro A ordem desse filtro é igual a M1 e a convolução para gerar a saída é ii IIR Infinite Impulse Response neste tipo de filtro h 0 para pelo menos um valor de n N onde N é qualquer inteiro positivo IIR são filtros recursivos onde cada saída do filtro é uma combinação linear de um número finito de amostras de entrada e um número finito de amostras de saída de instantes passados onde ais são os coeficientes da seção de avanço zeros e bjs são os coeficientes da seção de realimentação pólos FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 117 Uma sequência aleatória WSS Xn com µX 0 e função de autocorrelação RXn σ2δn é entrada de um filtro média móvel de tempo discreto de ordem M1 Encontre a autocorrelação da saída RYn FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 117 Uma sequência aleatória WSS Xn com µX 0 e função de autocorrelação RXn σ2δn é entrada de um filtro média móvel de tempo discreto de ordem M1 Encontre a autocorrelação da saída RYn FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Como a ordem é arbitrária M1 a maneira mais eficiente de encontrar a autocorrelação da saída é primeiro encontrar a correlaçãocruzada da entradasaída RXYn e então encontrar RYn PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 117 Uma sequência aleatória WSS Xn com µX 0 e função de autocorrelação RXn σ2δn é entrada de um filtro média móvel de tempo discreto de ordem M1 Encontre a autocorrelação da saída RYn FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Como a ordem é arbitrária M1 a maneira mais eficiente de encontrar a autocorrelação da saída é primeiro encontrar a correlaçãocruzada da entradasaída RXYn e então encontrar RYn PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 117 Uma sequência aleatória WSS Xn com µX 0 e função de autocorrelação RXn σ2δn é entrada de um filtro média móvel de tempo discreto de ordem M1 Encontre a autocorrelação da saída RYn FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Como a ordem é arbitrária M1 a maneira mais eficiente de encontrar a autocorrelação da saída é primeiro encontrar a correlaçãocruzada da entradasaída RXYn e então encontrar RYn PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 117 Uma sequência aleatória WSS Xn com µX 0 e função de autocorrelação RXn σ2δn é entrada de um filtro média móvel de tempo discreto de ordem M1 Encontre a autocorrelação da saída RYn FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Como a ordem é arbitrária M1 a maneira mais eficiente de encontrar a autocorrelação da saída é primeiro encontrar a correlaçãocruzada da entradasaída RXYn e então encontrar RYn Assim precisamos expressar RXYni como uma função de i Substituindo k por ni PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 117 Uma sequência aleatória WSS Xn com µX 0 e função de autocorrelação RXn σ2δn é entrada de um filtro média móvel de tempo discreto de ordem M1 Encontre a autocorrelação da saída RYn FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Como a ordem é arbitrária M1 a maneira mais eficiente de encontrar a autocorrelação da saída é primeiro encontrar a correlaçãocruzada da entradasaída RXYn e então encontrar RYn Assim precisamos expressar RXYni como uma função de i Substituindo k por ni PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 117 continuação FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 117 continuação FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Assim se n M1 ou nM1 0 então RXYni 0 sobre o intervalo M1 i M1 Para M1 n 0 PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 117 continuação FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Assim se n M1 ou nM1 0 então RXYni 0 sobre o intervalo M1 i M1 Para M1 n 0 PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 117 continuação FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Assim se n M1 ou nM1 0 então RXYni 0 sobre o intervalo M1 i M1 Para M1 n 0 Para 0 n M1 PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 117 continuação FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Assim se n M1 ou nM1 0 então RXYni 0 sobre o intervalo M1 i M1 Para M1 n 0 Para 0 n M1 PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 117 continuação FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Assim se n M1 ou nM1 0 então RXYni 0 sobre o intervalo M1 i M1 Para M1 n 0 Para 0 n M1 Combinando os dois resultados PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 117 continuação FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Assim se n M1 ou nM1 0 então RXYni 0 sobre o intervalo M1 i M1 Para M1 n 0 Para 0 n M1 Combinando os dois resultados PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 118 Um integrador de tempo discreto de primeira ordem com sequência de entrada WSS Xn possui saída Qual a resposta ao impulso de hn FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 118 Um integrador de tempo discreto de primeira ordem com sequência de entrada WSS Xn possui saída Qual a resposta ao impulso de hn FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Podemos encontrar a resposta ao impulso por repetidamente substituir Yk no lado direito da equação acima Para começar PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 118 Um integrador de tempo discreto de primeira ordem com sequência de entrada WSS Xn possui saída Qual a resposta ao impulso de hn FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Podemos encontrar a resposta ao impulso por repetidamente substituir Yk no lado direito da equação acima Para começar PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 118 Um integrador de tempo discreto de primeira ordem com sequência de entrada WSS Xn possui saída Qual a resposta ao impulso de hn FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Podemos encontrar a resposta ao impulso por repetidamente substituir Yk no lado direito da equação acima Para começar Continuando esse procedimento podemos obter após k passos PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 118 Um integrador de tempo discreto de primeira ordem com sequência de entrada WSS Xn possui saída Qual a resposta ao impulso de hn FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Podemos encontrar a resposta ao impulso por repetidamente substituir Yk no lado direito da equação acima Para começar Continuando esse procedimento podemos obter após k passos PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 118 Um integrador de tempo discreto de primeira ordem com sequência de entrada WSS Xn possui saída Qual a resposta ao impulso de hn FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Podemos encontrar a resposta ao impulso por repetidamente substituir Yk no lado direito da equação acima Para começar Continuando esse procedimento podemos obter após k passos Esse processo continua infinitamente Dessa forma podemos deduzir que PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 118 Um integrador de tempo discreto de primeira ordem com sequência de entrada WSS Xn possui saída Qual a resposta ao impulso de hn FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Podemos encontrar a resposta ao impulso por repetidamente substituir Yk no lado direito da equação acima Para começar Continuando esse procedimento podemos obter após k passos Esse processo continua infinitamente Dessa forma podemos deduzir que PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 118 Um integrador de tempo discreto de primeira ordem com sequência de entrada WSS Xn possui saída Qual a resposta ao impulso de hn FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Podemos encontrar a resposta ao impulso por repetidamente substituir Yk no lado direito da equação acima Para começar Continuando esse procedimento podemos obter após k passos Esse processo continua infinitamente Dessa forma podemos deduzir que Assim a resposta ao impulso de hn é PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 118 Um integrador de tempo discreto de primeira ordem com sequência de entrada WSS Xn possui saída Qual a resposta ao impulso de hn FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Podemos encontrar a resposta ao impulso por repetidamente substituir Yk no lado direito da equação acima Para começar Continuando esse procedimento podemos obter após k passos Esse processo continua infinitamente Dessa forma podemos deduzir que Assim a resposta ao impulso de hn é PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 119 Continuando o exemplo anterior suponha que a entrada tenha média zero e função de autocorrelação Encontre o segundo momento da saída EY2n FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 119 Continuando o exemplo anterior suponha que a entrada tenha média zero e função de autocorrelação Encontre o segundo momento da saída EY2n FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Começamos expandindo a equação de EY2n PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 119 Continuando o exemplo anterior suponha que a entrada tenha média zero e função de autocorrelação Encontre o segundo momento da saída EY2n FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Começamos expandindo a equação de EY2n PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 119 Continuando o exemplo anterior suponha que a entrada tenha média zero e função de autocorrelação Encontre o segundo momento da saída EY2n FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Começamos expandindo a equação de EY2n PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 119 Continuando o exemplo anterior suponha que a entrada tenha média zero e função de autocorrelação Encontre o segundo momento da saída EY2n FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Começamos expandindo a equação de EY2n Como Yn é WSS EY2n EY2n1 Além disso EXn Xn1i RXi1 e PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 119 Continuando o exemplo anterior suponha que a entrada tenha média zero e função de autocorrelação Encontre o segundo momento da saída EY2n FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Começamos expandindo a equação de EY2n Como Yn é WSS EY2n EY2n1 Além disso EXn Xn1i RXi1 e PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 119 Continuando o exemplo anterior suponha que a entrada tenha média zero e função de autocorrelação Encontre o segundo momento da saída EY2n FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Começamos expandindo a equação de EY2n Como Yn é WSS EY2n EY2n1 Além disso EXn Xn1i RXi1 e PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 119 Continuando o exemplo anterior suponha que a entrada tenha média zero e função de autocorrelação Encontre o segundo momento da saída EY2n FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Começamos expandindo a equação de EY2n Como Yn é WSS EY2n EY2n1 Além disso EXn Xn1i RXi1 e Exceto pelo primeiro termo i0 os demais termos são todos nulos pois RXn 0 para n 0 PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 119 Continuando o exemplo anterior suponha que a entrada tenha média zero e função de autocorrelação Encontre o segundo momento da saída EY2n FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Começamos expandindo a equação de EY2n Como Yn é WSS EY2n EY2n1 Além disso EXn Xn1i RXi1 e Exceto pelo primeiro termo i0 os demais termos são todos nulos pois RXn 0 para n 0 PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 119 Continuando o exemplo anterior suponha que a entrada tenha média zero e função de autocorrelação Encontre o segundo momento da saída EY2n FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Começamos expandindo a equação de EY2n Como Yn é WSS EY2n EY2n1 Além disso EXn Xn1i RXi1 e Exceto pelo primeiro termo i0 os demais termos são todos nulos pois RXn 0 para n 0 PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS QUIZ 112 A entrada de um diferenciador discreto no tempo de primeira ordem hn é uma sequência aleatória Gaussiana WSS Xn com µX 05 e função de autocorrelação RXk Dados encontre as propriedades da sequência aleatória de saída Yn µY RYn e VarYn FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS QUIZ 112 A entrada de um diferenciador discreto no tempo de primeira ordem hn é uma sequência aleatória Gaussiana WSS Xn com µX 05 e função de autocorrelação RXk Dados encontre as propriedades da sequência aleatória de saída Yn µY RYn e VarYn FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA O valor esperado é PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATORIOS FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUENCIA ALEATORIA QUIZ 112 A entrada de um diferenciador discreto no tempo de primeira ordem h uma sequéncia aleatdéria Gaussiana WSS X com ux 05 e funcao de autocorrelagao Rxk Dados 1 k0 1 nO ret 05 kl 1 m 21 n 0 otherwise 0 otherwise encontre as propriedades da Sequéncia aleatoria de saida Y wy Ryn e VarY O valor esperado é by Ux D hn 051 1 0 PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATORIOS FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUENCIA ALEATORIA QUIZ 112 A entrada de um diferenciador discreto no tempo de primeira ordem h uma sequéncia aleatdéria Gaussiana WSS X com ux 05 e funcao de autocorrelagao Rxk Dados 1 k0 1 n0 ret 05 kl 1 m 21 n1 0 otherwise 0 otherwise encontre as propriedades da Sequéncia aleatoria de saida Y wy Ryn e VarY O valor esperado é by Ux D hn 051 1 0 A fungao de autocorrelagao de saida é dada por PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATORIOS FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUENCIA ALEATORIA QUIZ 112 A entrada de um diferenciador discreto no tempo de primeira ordem h uma sequéncia aleatdéria Gaussiana WSS X com ux 05 e funcao de autocorrelagao Rxk Dados 1 k0 1 n0 ret 05 kl 1 m 21 n1 0 otherwise 0 otherwise encontre as propriedades da Sequéncia aleatoria de saida Y wy Ryn e VarY O valor esperado é Ly kx hn 051 1 0 A fungao de autocorrelagao de saida é dada por im fi Ryla AihjRxla i fi i0 j0 PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATORIOS FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUENCIA ALEATORIA QUIZ 112 A entrada de um diferenciador discreto no tempo de primeira ordem h uma sequéncia aleatdéria Gaussiana WSS X com ux 05 e funcao de autocorrelagao Rxk Dados 1 k0 1 n0 ret 05 kl 1 m 21 n1 0 otherwise 0 otherwise encontre as propriedades da Sequéncia aleatoria de saida Y wy Ryn e VarlY O valor esperado é Ly kx hn 051 1 0 A fungao de autocorrelagao de saida é dada por im fi Ryla AihjRxla i fi i0 j0 ae 2Rxn Rxn 1 Rxn 1 0 ae PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATORIOS FILTRAGEM LINEAR DE UMA SEQUENCIA ALEATORIA QUIZ 112 A entrada de um diferenciador discreto no tempo de primeira ordem h uma sequéncia aleatdéria Gaussiana WSS X com ux 05 e funcao de autocorrelagao Rxk Dados 1 k0 1 n0 ret 05 kl 1 m 21 n1 0 otherwise 0 otherwise encontre as propriedades da Sequéncia aleatoria de saida Y wy Ryn e VarY O valor esperado é Ly kx hn 051 1 0 A fungao de autocorrelagao de saida é dada por Ryla AihjRxla i fi i0 j0 ae 2Rxn Rxln 1 Rxln 1 0 ae Como o valor esperado é nulo logo a VarY EYn Ry0 1 PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS Até o momento estávamos utilizando a soma da convolução para realizar a operação de passar um sinal por um filtro Outra maneira possível é utilizar a notação de vetores e matrizes a qual oferece algumas vantagens como poder interpretar as propriedades dos filtros lineares discretos no tempo como vetores aleatórios além de permitir implementação em softwares como MATLAB Podemos representar uma sequência de entrada no tempo discreto Xn por um vetor Ldimensional de amostras X X0 XL1T ou por notação variante no tempo Xn XnL1 XnT o qual retém as L amostras mais recentes de Xn FILTRAGEM LINEAR NO TEMPO DISCRETO PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS Teorema Se Xn é um processo estacionário no sentido amplo com valor esperado µ e função de autocorrelação RXk então o vetor Xn possui matriz de correlação RXn e vetor de valor esperado EXn dados por Observe que a matriz RXn possui apenas L diferentes valores e está na forma Toeplitz cada elemento de subdiagonal possui o mesmo valor a qual possui inversa simplificada FILTRAGEM LINEAR NO TEMPO DISCRETO RXn 2 6664 RX0 RX1 RXL 1 RX1 RX0 RXL 2 RXL 1 RXL 2 RX0 3 7775 EXn µ 2 6664 1 1 1 3 7775 PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1110 A sequência WSS Xn tem autocorrelação RXn dada pelo exemplo 115 Encontre a matriz de correlação de X33 X30 X31 X32 X33T Um filtro de ordem L1 LTI FIR hn pode ser representado na forma vetorial por h h0 hL1T Dadas as entradas e saídas Xn e Yn nos instante n o processo de convolução pode ser representado por onde é o vetor T FILTRAGEM LINEAR NO TEMPO DISCRETO Yn h T Xn h h hi1 h0 PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1110 A sequência WSS Xn tem autocorrelação RXn dada pelo exemplo 115 Encontre a matriz de correlação de X33 X30 X31 X32 X33T Um filtro de ordem L1 LTI FIR hn pode ser representado na forma vetorial por h h0 hL1T Dadas as entradas e saídas Xn e Yn nos instante n o processo de convolução pode ser representado por onde é o vetor T FILTRAGEM LINEAR NO TEMPO DISCRETO Pelo teorema anterior X33 tem comprimento M 4 e a matriz de correlação é Toeplitz Yn h T Xn h h hi1 h0 PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1110 A sequência WSS Xn tem autocorrelação RXn dada pelo exemplo 115 Encontre a matriz de correlação de X33 X30 X31 X32 X33T Um filtro de ordem L1 LTI FIR hn pode ser representado na forma vetorial por h h0 hL1T Dadas as entradas e saídas Xn e Yn nos instante n o processo de convolução pode ser representado por onde é o vetor T FILTRAGEM LINEAR NO TEMPO DISCRETO Pelo teorema anterior X33 tem comprimento M 4 e a matriz de correlação é Toeplitz Yn h T Xn h h hi1 h0 PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS Dado um filtro podemos realizar o processamento de uma sequência de sinais Xn blocos de entrada em uma única operação Considere utilizarmos um vetor de entrada X X0 XM1T onde L M É usual considerar que as entradas anteriores a i 0 e posteriores a i n de Xi são nulas Logo Na forma matricial FILTRAGEM LINEAR NO TEMPO DISCRETO Y H X 2 666666666664 Y0 YL1 YM1 YLM2 3 777777777775 2 666666666666664 h0 hL1 h0 hL1 h0 HL1 3 777777777777775 2 666666666664 X0 XL1 XM1 XM1 3 777777777775 PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATORIOS FILTRAGEM LINEAR NO TEMPO DISCRETO Teorema Seja a entrada de um filtro FIR h ho hv ser o vetor X Xo Xml contendo amostras de um processo Gaussiano estacionario X com valor esperado uw e fungao de autocorrelacao Rxk A saida Y HX da equacao matricial anterior é um vetor aleatorio Gaussiano com vetor valor esperado e matriz de covariancia dados por T qyT Uy Hyx Cy H Rx Ux Hx H onde Rx e px sao obtidos de Rx e EX para L M OBS Esse sistema apresenta comportamento de regime permanente durante L1 i s M1 enquanto nos periodos iniciais e finais teremos transitorios na saida devido as condic6es iniciais de X 0 para i 0 e parai n que sao limitantes de entrada para praticas computacionais PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS O teorema anterior leva em consideração os transitórios porém um processo Gaussiano estacionário Xn é definido para todos os instantes de tempo n Dessa forma temos o teorema a seguir Teorema Se a entrada de um filtro linear discreto no tempo hn é uma sequência aleatória Gaussiana estacionária Xn a saída Yn é uma sequência aleatória Gaussiana estacionária com valor esperado e autocorrelação dados pelo teorema QUIZ 113 A sequência aleatória Gaussiana X0 X1 com valor esperado EXn 0 e função de correlação RXn δn é entrada do filtro de média móvel 141 1 1 1T A saída é Yn Encontre a PDF de Y Y33 Y34 Y35T FILTRAGEM LINEAR NO TEMPO DISCRETO PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS O teorema anterior leva em consideração os transitórios porém um processo Gaussiano estacionário Xn é definido para todos os instantes de tempo n Dessa forma temos o teorema a seguir Teorema Se a entrada de um filtro linear discreto no tempo hn é uma sequência aleatória Gaussiana estacionária Xn a saída Yn é uma sequência aleatória Gaussiana estacionária com valor esperado e autocorrelação dados pelo teorema QUIZ 113 A sequência aleatória Gaussiana X0 X1 com valor esperado EXn 0 e função de correlação RXn δn é entrada do filtro de média móvel 141 1 1 1T A saída é Yn Encontre a PDF de Y Y33 Y34 Y35T FILTRAGEM LINEAR NO TEMPO DISCRETO Pelo teorema acima sabemos que Yn é uma sequência aleatória Gaussiana uma vez que Xn é Gaussiana Além disso como a média de Xn é nula a média de Yn também é nula FILTRAGEM LINEAR NO TEMPO DISCRETO O teorema anterior leva em consideragao os transitdrios porém um processo Gaussiano estacionario Xn é definido para todos os instantes de tempo n Dessa forma temos o teorema a seguir Teorema Se a entrada de um filtro linear discreto no tempo h é uma sequéncia aleatoria Gaussiana estacionaria X a saida Y é uma sequéncia aleatoria Gaussiana estacionaria com valor esperado e autocorrelagao dados pelo teorema QUIZ 113 A sequéncia aleatoria Gaussiana Xo Xi com valor esperado EX 0 e fungao de correlagao Rxn 5 entrada do filtro de média moével 141 1 1 1 A saida é Y Encontre a PDF de a Y 33 Y34 Y 35 Pelo teorema acima sabemos que Y 6 uma sequéncia aleatoria Gaussiana uma vez que X é Gaussiana Além disso como a média de Xn é nula a média de Y também é nula EYn Ux Vnoo hn 9 PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS QUIZ 113 continuação FILTRAGEM LINEAR NO TEMPO DISCRETO PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS QUIZ 113 continuação FILTRAGEM LINEAR NO TEMPO DISCRETO Assim µY 0 Agora vamos encontrar a matriz de covariância de Yn para podermos escrever a PDF do vetor Observamos que Y HX onde PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS QUIZ 113 continuação FILTRAGEM LINEAR NO TEMPO DISCRETO Assim µY 0 Agora vamos encontrar a matriz de covariância de Yn para podermos escrever a PDF do vetor Observamos que Y HX onde X X30 X31 X32 X33 X34 X35 T PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS QUIZ 113 continuação FILTRAGEM LINEAR NO TEMPO DISCRETO Assim µY 0 Agora vamos encontrar a matriz de covariância de Yn para podermos escrever a PDF do vetor Observamos que Y HX onde X X30 X31 X32 X33 X34 X35 T Observe que em virtude do Y Y33 Y34 Y35T precisamos utilizar o meio da matriz do sistema PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATORIOS FILTRAGEM LINEAR NO TEMPO DISCRETO QUIZ 113 continuagao Assim py 0 Agora vamos encontrar a matriz de covariancia de Y para podermos escrever a PDF do vetor Observamos que Y HX onde T X X30 X31 X32 X33 X34 X35 1 11410 0 Observe que em virtude do Y H0 111410 Y33 Y3a Y35 precisamos utilizar 4 00114479 Oo meio da matriz do sistema PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATORIOS FILTRAGEM LINEAR NO TEMPO DISCRETO QUIZ 113 continuagao Assim py 0 Agora vamos encontrar a matriz de covariancia de Y para podermos escrever a PDF do vetor Observamos que Y HX onde rT X X30 X31 X32 X33 X34 X35 1 11410 0 Observe que em virtude do Y H0 111410 Y33 Y3a Y35 precisamos utilizar 4 00114479 Oo meio da matriz do sistema Logo podemos aplicar o conhecimento dos teoremas anteriores Cy HRxH Como Rx I temos PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATORIOS FILTRAGEM LINEAR NO TEMPO DISCRETO QUIZ 113 continuagao Assim py 0 Agora vamos encontrar a matriz de covariancia de Y para podermos escrever a PDF do vetor Observamos que Y HX onde rT X X30 X31 X32 X33 X34 X35 1 11410 0 Observe que em virtude do Y H01141410 Y33 Y3a Y35 precisamos utilizar 4 001114 4 Oo meio da matriz do sistema Logo podemos aplicar o conhecimento dos teoremas anteriores Cy HRxH Como Rx I temos 4 3 2 23 4 PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATORIOS FILTRAGEM LINEAR NO TEMPO DISCRETO QUIZ 113 continuagao Assim py 0 Agora vamos encontrar a matriz de covariancia de Y para podermos escrever a PDF do vetor Observamos que Y HX onde T X X30 X31 X32 X33 X34 X35 1 11410 0 Observe que em virtude do Y H0114141 0 Y33 Y3a Y35 precisamos utilizar 4 001114 4 Oo meio da matriz do sistema Logo podemos aplicar o conhecimento dos teoremas anteriores Cy HRxH Como Rx I temos 4 3 2 23 4 Agora basta encontrarmos a inversa Cy e aplicar a equagao PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATORIOS FILTRAGEM LINEAR NO TEMPO DISCRETO QUIZ 113 continuagao Assim py 0 Agora vamos encontrar a matriz de covariancia de Y para podermos escrever a PDF do vetor Observamos que Y HX onde T X X30 X31 X32 X33 X34 X35 1114100 Observe que em virtude do Y H01141410 Y33 Y3a Y35 precisamos utilizar 4 001114 4 Oo meio da matriz do sistema Logo podemos aplicar o conhecimento dos teoremas anteriores Cy HRxH Como Rx I temos 4 3 2 23 4 Agora basta encontrarmos a inversa Cy e aplicar a equagao 1 17Tal i ne WG 213 detCy PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS O objetivo do processo de estimação é prever a va X Xn1 usando o vetor de observação Y XnM1 XnT das observações até o instante n Quando a va X possui valor esperado nulo o estimador linear de mínimo erro médio quadrático de X dado o vetor de observação Y é X LY aTY onde a RY 1RYX sendo RY a matriz de correlação de Y e RYX é a matriz de correlaçãocruzada de Y e X O mínimo erro médio quadrático de estimação é eL EX aTY2 VarX aTRYX Uma generalização do enunciado acima é dado pelo teorema Teorema X é uma va com valor esperado EX Y é um vetor aleatório ndimensional com valor esperado EY e matriz de covariância CY CYX é o vetor de covariância cruzada de Y e X X LY aTY b é a estimação linear de X dado Y O estimador linear de mínimo erro quadrático médio X LY âTY tem as seguintes propriedades ESTIMAÇÃO LINEAR NO TEMPO DISCRETO E FILTROS DE PREDIÇÃO PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS Teorema continuação a â CY1CYX e b EX âTEY b O erro de estimação X X LY é descorrelacionado com os elementos de Y c O mínimo erro quadrático médio de estimação é eL EX X LY2 VarX CYXTCY1CYX VarX aTCYX Vejamos alguns exemplos de estimadores lineares os quais podem ser implementados como filtros lineares de tempo discreto Filtros de Predição Linear um filtro de predição linear utiliza as observações disponíveis até o instante n Y Xn XnM1 XnT para estimar amostras futuras de X Xnk Podemos projetar um filtro LTI FIR hn com entrada Xn de tal forma a obter a saída desejada no sentido de mínimo erro médio quadrático ESTIMAÇÃO LINEAR NO TEMPO DISCRETO E FILTROS DE PREDIÇÃO PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS X L TXn hTXn onde h com a RXn1RXnXnk e Teorema Seja Xn um processo aleatório WSS com valor esperado EXn 0 e função de autocorrelação RXk O filtro linear de mínimo erro quadrático médio de ordem M1 para predizer Xnk no instante n é o filtro h ESTIMAÇÃO LINEAR NO TEMPO DISCRETO E FILTROS DE PREDIÇÃO a a PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1112 1113 Xn é uma sequência aleatória WSS com EXn 0 e função de autocorrelação RXk 09k Para M 2 amostras encontre h h0 h1T os coeficientes do filtro de predição linear ótimo de X Xn1 dado Y Xn1 XnT Qual é o preditor linear ótimo de Xn1 dado Xn1 e Xn Qual o erro quadrático médio do preditor ótimo ESTIMAÇÃO LINEAR NO TEMPO DISCRETO E FILTROS DE PREDIÇÃO PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1112 1113 Xn é uma sequência aleatória WSS com EXn 0 e função de autocorrelação RXk 09k Para M 2 amostras encontre h h0 h1T os coeficientes do filtro de predição linear ótimo de X Xn1 dado Y Xn1 XnT Qual é o preditor linear ótimo de Xn1 dado Xn1 e Xn Qual o erro quadrático médio do preditor ótimo ESTIMAÇÃO LINEAR NO TEMPO DISCRETO E FILTROS DE PREDIÇÃO O filtro ótimo é h Para M 2 o vetor a a0 a1T precisa satisfazer RYa RYX a PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1112 1113 Xn é uma sequência aleatória WSS com EXn 0 e função de autocorrelação RXk 09k Para M 2 amostras encontre h h0 h1T os coeficientes do filtro de predição linear ótimo de X Xn1 dado Y Xn1 XnT Qual é o preditor linear ótimo de Xn1 dado Xn1 e Xn Qual o erro quadrático médio do preditor ótimo ESTIMAÇÃO LINEAR NO TEMPO DISCRETO E FILTROS DE PREDIÇÃO O filtro ótimo é h Para M 2 o vetor a a0 a1T precisa satisfazer RYa RYX a PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1112 1113 Xn é uma sequência aleatória WSS com EXn 0 e função de autocorrelação RXk 09k Para M 2 amostras encontre h h0 h1T os coeficientes do filtro de predição linear ótimo de X Xn1 dado Y Xn1 XnT Qual é o preditor linear ótimo de Xn1 dado Xn1 e Xn Qual o erro quadrático médio do preditor ótimo ESTIMAÇÃO LINEAR NO TEMPO DISCRETO E FILTROS DE PREDIÇÃO O filtro ótimo é h Para M 2 o vetor a a0 a1T precisa satisfazer RYa RYX a Resolvendo esse sistema de equações obtemos a0 0 e a1 09 Dessa forma o filtro de predição linear ótimo é PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATORIOS ESTIMACAO LINEAR NO TEMPO DISCRETO E FILTROS DE PREDICAO e EX 1112 1113 X uma sequéncia aleatoria WSS com EX O e funcado de autocorrelacado Rxk 09 Para M 2 amostras encontre h ho hi os coeficientes do filtro de predigao linear Otimo de X Xni1 dado Y Xn1 X Qual é o preditor linear Otimo de Xnj1 dado X1 e Xn Qual o erro quadratico médio do preditor 6timo O filtro 6timo é h Para M 2 0 vetor a ao ai precisa satisfazer Rya Ryx Ret Reto acl Leeunl 09 1 ee 258 Resolvendo esse sistema de equagdes obtemos ap O e a 09 Dessa forma o filtro de predigao linear détimo é v24 hy ag 0 PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATORIOS ESTIMACAO LINEAR NO TEMPO DISCRETO E FILTROS DE PREDICAO e EX 1112 1113 X uma sequéncia aleatoria WSS com EX O e funcado de autocorrelacado Rxk 09 Para M 2 amostras encontre h ho hi os coeficientes do filtro de predigao linear Otimo de X Xni1 dado Y Xn1 X Qual é o preditor linear Otimo de Xnj1 dado X1 e Xn Qual o erro quadratico médio do preditor 6timo O filtro 6timo é h Para M 2 0 vetor a ao ai precisa satisfazer Rya Ryx Rx 0 Rx fl fa Rx 2 1 09 081 LR i Ry ol i al or bs 1 27 ben Resolvendo esse sistema de equagdes obtemos ap O e a 09 Dessa forma o filtro de predigao linear détimo é v 24 hy wt ao 7 0 Logo o preditor linear é6timo de X1 dado X1 e Xp é PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATORIOS ESTIMACAO LINEAR NO TEMPO DISCRETO E FILTROS DE PREDICAO e EX 1112 1113 X uma sequéncia aleatoria WSS com EX O e funcado de autocorrelacado Rxk 09 Para M 2 amostras encontre h ho hi os coeficientes do filtro de predigao linear Otimo de X Xni1 dado Y Xn1 X Qual é o preditor linear Otimo de Xnj1 dado X1 e Xn Qual o erro quadratico médio do preditor 6timo O filtro 6timo é h Para M 2 0 vetor a ao ai precisa satisfazer Rya Ryx Rx 0 Rx fll ao Rx 2 1 09 081 LR i Ry ol i al or bs 1 27 ben Resolvendo esse sistema de equagdes obtemos ap O e a 09 Dessa forma o filtro de predigao linear détimo é b fale oe hy of ao 0 Logo o preditor linear é6timo de X1 dado X1 e Xp é Xn4t hy O 9X PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1112 1113 continuação ESTIMAÇÃO LINEAR NO TEMPO DISCRETO E FILTROS DE PREDIÇÃO PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1112 1113 continuação ESTIMAÇÃO LINEAR NO TEMPO DISCRETO E FILTROS DE PREDIÇÃO O erro quadrático médio para esse caso é simples de encontrar uma vez que X n1 09 Xn PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1112 1113 continuação ESTIMAÇÃO LINEAR NO TEMPO DISCRETO E FILTROS DE PREDIÇÃO O erro quadrático médio para esse caso é simples de encontrar uma vez que X n1 09 Xn PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1112 1113 continuação ESTIMAÇÃO LINEAR NO TEMPO DISCRETO E FILTROS DE PREDIÇÃO O erro quadrático médio para esse caso é simples de encontrar uma vez que X n1 09 Xn Expandindo a expressão acima e substituindo os valores da função de autocorrelação PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1112 1113 continuação ESTIMAÇÃO LINEAR NO TEMPO DISCRETO E FILTROS DE PREDIÇÃO O erro quadrático médio para esse caso é simples de encontrar uma vez que X n1 09 Xn Expandindo a expressão acima e substituindo os valores da função de autocorrelação PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS Teorema Se Xn é uma sequência aleatória com função de correlação RXn bn RX0 o preditor linear ótimo de Xnk dado M amostras anteriores é X nk bkXn e o mínimo erro quadrático médio é OBS quando bK é próximo a 1 Xnk e Xn são fortemente correlacionados consequentemente a sequência varia vagarosamente e a estimação será próxima ao valor real A medida que bk se torna pequeno Xnk e Xn se tornam fracamente correlacionados e o preditor não consegue mais seguir as variações do sinal ie o valor esperado da predição se torna EXnk 0 OBS2 este teorema afirma que para sequências aleatórias com função de autocorrelação na forma RXk bn RX0 Xn é a única va que contribui para a perdição linear ótima de Xn1 Isto é no instante n1 todas as informações passadas da sequência estão resumida no valor de Xn Sequências aleatórias de valores discretos com essa propriedade são referidas como cadeias de Markov de tempo discreto ESTIMAÇÃO LINEAR NO TEMPO DISCRETO E FILTROS DE PREDIÇÃO PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS Filtros de Estimação Linear na estimação linear estimamos X Xn baseado em observações ruidosas Yn Xn Wn Assumimos que Xn e Wn são sequências independentes e WSS com valores esperados EXn EWn 0 e funções de autocorrelação RXn e RWn Sabemos que a estimação ótima é X LYn aTYn onde a RYn1RYnX Entretanto neste caso temos e ESTIMAÇÃO LINEAR NO TEMPO DISCRETO E FILTROS DE PREDIÇÃO Yn Xn Wn RYn E YnYT n E h Xn Wn Xn WnT i E XnXT n E XnWT n E WnXT n E WnWT n RXn RWn RYnXn 2 6664 RXM 1 RX1 RX0 3 7775 PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS Teorema Seja Xn e Wn processos aleatórios independentes e WSS com valores esperados EXn EWn 0 e funções de autocorrelação RXk e RWk Seja Yn Xn Wn o filtro de estimação linear de mínimo erro quadrático médio de Xn de ordem M1 dada a entrada Yn é h tal que EX 1114 As sequências independentes Xn e Wn possuem valores esperados zero e funções de autocorrelação RXk 09k e RWk 02δk Use M 2 amostras da sequência de observação ruidosa Yn Xn Wn para estimar Xn Encontre o filtro de predição linear de mínimo erro quadrático médio h h0 h1T ESTIMAÇÃO LINEAR NO TEMPO DISCRETO E FILTROS DE PREDIÇÃO h hM1 h0T RXn RWn1 RXnXn PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS Teorema Seja Xn e Wn processos aleatórios independentes e WSS com valores esperados EXn EWn 0 e funções de autocorrelação RXk e RWk Seja Yn Xn Wn o filtro de estimação linear de mínimo erro quadrático médio de Xn de ordem M1 dada a entrada Yn é h tal que EX 1114 As sequências independentes Xn e Wn possuem valores esperados zero e funções de autocorrelação RXk 09k e RWk 02δk Use M 2 amostras da sequência de observação ruidosa Yn Xn Wn para estimar Xn Encontre o filtro de predição linear de mínimo erro quadrático médio h h0 h1T ESTIMAÇÃO LINEAR NO TEMPO DISCRETO E FILTROS DE PREDIÇÃO h hM1 h0T RXn RWn1 RXnXn O estimador ótimo nesse caso é dado por a RY1RYX onde PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS Teorema Seja Xn e Wn processos aleatórios independentes e WSS com valores esperados EXn EWn 0 e funções de autocorrelação RXk e RWk Seja Yn Xn Wn o filtro de estimação linear de mínimo erro quadrático médio de Xn de ordem M1 dada a entrada Yn é h tal que EX 1114 As sequências independentes Xn e Wn possuem valores esperados zero e funções de autocorrelação RXk 09k e RWk 02δk Use M 2 amostras da sequência de observação ruidosa Yn Xn Wn para estimar Xn Encontre o filtro de predição linear de mínimo erro quadrático médio h h0 h1T ESTIMAÇÃO LINEAR NO TEMPO DISCRETO E FILTROS DE PREDIÇÃO h hM1 h0T RXn RWn1 RXnXn O estimador ótimo nesse caso é dado por a RY1RYX onde PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1114 continuação ESTIMAÇÃO LINEAR NO TEMPO DISCRETO E FILTROS DE PREDIÇÃO PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1114 continuação ESTIMAÇÃO LINEAR NO TEMPO DISCRETO E FILTROS DE PREDIÇÃO e PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATORIOS ESTIMACAO LINEAR NO TEMPO DISCRETO E FILTROS DE PREDICAO EX 1114 continuagao evs io 0 PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATORIOS ESTIMACAO LINEAR NO TEMPO DISCRETO E FILTROS DE PREDICAO EX 1114 continuagao re RxI1 e Rvs prio 1 Substituindo na equagao PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATORIOS ESTIMACAO LINEAR NO TEMPO DISCRETO E FILTROS DE PREDICAO EX 1114 continuagao re RxI1 e Rvs Reg 1 Substituindo na equagao ie Ry Ryx ae PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATORIOS ESTIMACAO LINEAR NO TEMPO DISCRETO E FILTROS DE PREDICAO EX 1114 continuagao e Rx1 09 Rye mei 1 Substituindo na equagao a O 2857 a RyRyx 0 6190 E o filtro dtimo é PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATORIOS ESTIMACAO LINEAR NO TEMPO DISCRETO E FILTROS DE PREDICAO EX 1114 continuagao e Rx1 09 Rvs Rei 1 Substituindo na equagao a 0 2857 E o filtro dtimo é 06190 b T 0 2857 PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS A função de autocorrelação de um processo estocástico de tempo contínuo oferece informações sobre a estrutura e comportamento do processo Outra função que oferece uma visão sobre o comportamento de um processo é a Transformada de Fourier FT No estudo de processos estocásticos a função densidade espectral de potência PSD SXf fornece uma representação no domínio da frequência da estrutura do tempo de Xt Por definição SXf é o valor esperado do quadrado da magnitude da FT de uma funçãoamostra Xt Definição Transformada de Fourier as funções gt e Gf são o par de FT se DENSIDADE ESPECTRAL DE POTÊNCIA DE UM PROCESSO DE TEMPOCONTÍNUO PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS Existem muitos sinais que não possuem FT porém podemos considerar que o sinal existe em uma versão truncada ie a função é xt dentro do intervalo T t T e zero fora dele Neste caso podemos utilizar a notação Para esses sinais podemos definir Definição PSD a função PSD de um processo estocástico WSS Xt é Se Xt é um sinal de tensão ou corrente então a unidade de SXf é wattsHz Joules Ambas as funções de autocorrelação e PSD oferecem informações do comportamento do tempo de Xt DENSIDADE ESPECTRAL DE POTÊNCIA DE UM PROCESSO DE TEMPOCONTÍNUO PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS Teorema WienerKhintchine Se Xt é um processo estocástico WSS RXτ e SXf são o par de FT Teorema Para um processo aleatório WSS Xt a PSD SXf é uma função de valor real com as seguintes propriedades a SXf 0 para todo f b c SXf SXf EX 1115 Um processo WSS Xt tem função de autocorrelação RXτ A ebτ onde b 0 Derive a PSD SXf e calcule a potência média EX2t DENSIDADE ESPECTRAL DE POTÊNCIA DE UM PROCESSO DE TEMPOCONTÍNUO PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS Teorema WienerKhintchine Se Xt é um processo estocástico WSS RXτ e SXf são o par de FT Teorema Para um processo aleatório WSS Xt a PSD SXf é uma função de valor real com as seguintes propriedades a SXf 0 para todo f b c SXf SXf EX 1115 Um processo WSS Xt tem função de autocorrelação RXτ A ebτ onde b 0 Derive a PSD SXf e calcule a potência média EX2t DENSIDADE ESPECTRAL DE POTÊNCIA DE UM PROCESSO DE TEMPOCONTÍNUO Utilizando o par de transformada PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1115 continuação DENSIDADE ESPECTRAL DE POTÊNCIA DE UM PROCESSO DE TEMPOCONTÍNUO PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1115 continuação DENSIDADE ESPECTRAL DE POTÊNCIA DE UM PROCESSO DE TEMPOCONTÍNUO Logo PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1115 continuação DENSIDADE ESPECTRAL DE POTÊNCIA DE UM PROCESSO DE TEMPOCONTÍNUO Logo PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1115 continuação DENSIDADE ESPECTRAL DE POTÊNCIA DE UM PROCESSO DE TEMPOCONTÍNUO Logo E a potência média é PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1115 continuação DENSIDADE ESPECTRAL DE POTÊNCIA DE UM PROCESSO DE TEMPOCONTÍNUO Logo E a potência média é PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1115 continuação DENSIDADE ESPECTRAL DE POTÊNCIA DE UM PROCESSO DE TEMPOCONTÍNUO Logo E a potência média é PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS Para o caso de sequências aleatórias temos a versão da FT para sinais no tempo discreto DTFT Definição Transformada de Fourier no TempoDiscreto A sequência x2 x1 x0 x1 e a função Xø são um par de DTFT se OBS ø é uma frequência normalizada adimensional com faixa 12 ø 12 e Xø é periódico com período unitário EX 1117 Calcule a DTFT de Hø do filtro média móvel do exemplo 115 DENSIDADE ESPECTRAL DE POTÊNCIA DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS Para o caso de sequências aleatórias temos a versão da FT para sinais no tempo discreto DTFT Definição Transformada de Fourier no TempoDiscreto A sequência x2 x1 x0 x1 e a função Xø são um par de DTFT se OBS ø é uma frequência normalizada adimensional com faixa 12 ø 12 e Xø é periódico com período unitário EX 1117 Calcule a DTFT de Hø do filtro média móvel do exemplo 115 DENSIDADE ESPECTRAL DE POTÊNCIA DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Como hn 1M para n0 M1 e zero caso contrário temos PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1117 continuação Assim como para sinais contínuos no tempo também existem sinais que não possuem DTFT porém podemos definir uma funçãoamostra truncada de xn para L n L e 0 fora do intervalo Deste modo podemos encontrar a PSD de uma sequência aleatória DENSIDADE ESPECTRAL DE POTÊNCIA DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1117 continuação Assim como para sinais contínuos no tempo também existem sinais que não possuem DTFT porém podemos definir uma funçãoamostra truncada de xn para L n L e 0 fora do intervalo Deste modo podemos encontrar a PSD de uma sequência aleatória DENSIDADE ESPECTRAL DE POTÊNCIA DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Utilizando a relação matemática PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1117 continuação Assim como para sinais contínuos no tempo também existem sinais que não possuem DTFT porém podemos definir uma funçãoamostra truncada de xn para L n L e 0 fora do intervalo Deste modo podemos encontrar a PSD de uma sequência aleatória DENSIDADE ESPECTRAL DE POTÊNCIA DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Utilizando a relação matemática PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1117 continuação Assim como para sinais contínuos no tempo também existem sinais que não possuem DTFT porém podemos definir uma funçãoamostra truncada de xn para L n L e 0 fora do intervalo Deste modo podemos encontrar a PSD de uma sequência aleatória DENSIDADE ESPECTRAL DE POTÊNCIA DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Utilizando a relação matemática com q ej2πø e n M1 obtemos PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1117 continuação Assim como para sinais contínuos no tempo também existem sinais que não possuem DTFT porém podemos definir uma funçãoamostra truncada de xn para L n L e 0 fora do intervalo Deste modo podemos encontrar a PSD de uma sequência aleatória DENSIDADE ESPECTRAL DE POTÊNCIA DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Utilizando a relação matemática com q ej2πø e n M1 obtemos PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS Definição A função PSD de uma sequência aleatória WSS Xn é Teorema WienerKhintchine de TempoDiscreto Se Xn é um processo discreto sequência WSS RXk e SXø são o par DTFT Teorema Para uma sequência aleatória WSS Xn a PSD SXø possui as seguintes propriedades a SXø 0 para todo ø b c SXø SXø d para qualquer inteiro n SXøn SXø DENSIDADE ESPECTRAL DE POTÊNCIA DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1118 A sequência aleatória WSS Xn tem valor esperado nulo e função de autocorrelação Derive a função PSD de Xn DENSIDADE ESPECTRAL DE POTÊNCIA DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1118 A sequência aleatória WSS Xn tem valor esperado nulo e função de autocorrelação Derive a função PSD de Xn DENSIDADE ESPECTRAL DE POTÊNCIA DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Aplicando o teorema da PSD de tempo discreto PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1118 A sequência aleatória WSS Xn tem valor esperado nulo e função de autocorrelação Derive a função PSD de Xn DENSIDADE ESPECTRAL DE POTÊNCIA DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Aplicando o teorema da PSD de tempo discreto PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1118 A sequência aleatória WSS Xn tem valor esperado nulo e função de autocorrelação Derive a função PSD de Xn DENSIDADE ESPECTRAL DE POTÊNCIA DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Aplicando o teorema da PSD de tempo discreto PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1118 A sequência aleatória WSS Xn tem valor esperado nulo e função de autocorrelação Derive a função PSD de Xn DENSIDADE ESPECTRAL DE POTÊNCIA DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Aplicando o teorema da PSD de tempo discreto PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1119 Para a sequência aleatória WSS Xn com valor esperado nulo e PSD onde 0 ø0 12 encontre a função de autocorrelação RXk DENSIDADE ESPECTRAL DE POTÊNCIA DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1119 Para a sequência aleatória WSS Xn com valor esperado nulo e PSD onde 0 ø0 12 encontre a função de autocorrelação RXk DENSIDADE ESPECTRAL DE POTÊNCIA DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Aplicando o teorema da PSD de tempo discreto PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1119 Para a sequência aleatória WSS Xn com valor esperado nulo e PSD onde 0 ø0 12 encontre a função de autocorrelação RXk DENSIDADE ESPECTRAL DE POTÊNCIA DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Aplicando o teorema da PSD de tempo discreto PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1119 Para a sequência aleatória WSS Xn com valor esperado nulo e PSD onde 0 ø0 12 encontre a função de autocorrelação RXk DENSIDADE ESPECTRAL DE POTÊNCIA DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Aplicando o teorema da PSD de tempo discreto Pela propriedade do deslocamento da função impulso temos PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1119 Para a sequência aleatória WSS Xn com valor esperado nulo e PSD onde 0 ø0 12 encontre a função de autocorrelação RXk DENSIDADE ESPECTRAL DE POTÊNCIA DE UMA SEQUÊNCIA ALEATÓRIA Aplicando o teorema da PSD de tempo discreto Pela propriedade do deslocamento da função impulso temos PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS Definição Densidade Espectral Cruzada CSD Para os processos aleatórios conjuntamente estacionários Xt e Yt a FT da correlaçãocruzada fornece a CSD Para as sequências aleatórias conjuntamente estacionárias Xn e Yn a DTFT da correlação cruzada fornece a CSD EX 1120 1121 No exemplo 1024 estávamos interessados em Xt mas observávamos somente a versão ruidosa Yt Xt Nt onde Nt é um processo de ruído WSS com µN 0 Neste caso quando Xt e Nt são conjuntamente WSS encontramos que Encontre a PSD da saída Yt Supondo que Xt e Nt são independentes encontre a autocorrelação e a PSD de Yt DENSIDADE ESPECTRAL CRUZADA CSD PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1120 1121 continuação QUIZ 117 O processo aleatório Yt Xt t0 é uma versão atrasada do processo WSS Xt Encontre a CSD SXYτ DENSIDADE ESPECTRAL CRUZADA CSD PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1120 1121 continuação QUIZ 117 O processo aleatório Yt Xt t0 é uma versão atrasada do processo WSS Xt Encontre a CSD SXYτ DENSIDADE ESPECTRAL CRUZADA CSD Encontrando a FT da função de autocorrelação obtemos PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1120 1121 continuação QUIZ 117 O processo aleatório Yt Xt t0 é uma versão atrasada do processo WSS Xt Encontre a CSD SXYτ DENSIDADE ESPECTRAL CRUZADA CSD Encontrando a FT da função de autocorrelação obtemos PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1120 1121 continuação QUIZ 117 O processo aleatório Yt Xt t0 é uma versão atrasada do processo WSS Xt Encontre a CSD SXYτ DENSIDADE ESPECTRAL CRUZADA CSD Encontrando a FT da função de autocorrelação obtemos Quando Xt e Nt são independentes e considerando que µN 0 temos as simplificações PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1120 1121 continuação QUIZ 117 O processo aleatório Yt Xt t0 é uma versão atrasada do processo WSS Xt Encontre a CSD SXYτ DENSIDADE ESPECTRAL CRUZADA CSD Encontrando a FT da função de autocorrelação obtemos Quando Xt e Nt são independentes e considerando que µN 0 temos as simplificações PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1120 1121 continuação QUIZ 117 O processo aleatório Yt Xt t0 é uma versão atrasada do processo WSS Xt Encontre a CSD SXYτ DENSIDADE ESPECTRAL CRUZADA CSD Encontrando a FT da função de autocorrelação obtemos Quando Xt e Nt são independentes e considerando que µN 0 temos as simplificações PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1120 1121 continuação QUIZ 117 O processo aleatório Yt Xt t0 é uma versão atrasada do processo WSS Xt Encontre a CSD SXYτ DENSIDADE ESPECTRAL CRUZADA CSD Encontrando a FT da função de autocorrelação obtemos Quando Xt e Nt são independentes e considerando que µN 0 temos as simplificações Para encontrar SXYτ começamos encontrando RXYτ e aplicamos a FT PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATORIOS DENSIDADE ESPECTRAL CRUZADA CSD EX 1120 1121 continuagao Encontrando a FT da fungao de autocorrelagao obtemos Sy f Sx f Sxnf Swx f Sn f Quando Xt e Nt sao independentes e considerando que un O temos as simplificagoes Ryt Rxt Rn ct Sy f Sx f Sn f QUIZ 117 O processo aleatdrio Yt Xt to uma versao atrasada do processo WSS Xt Encontre a CSD SxyT Para encontrar SyyT comegamos encontrando RxyT e aplicamos a FT Rxyytt EXVt17 EXXt 7 Rxt 0 PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATORIOS DENSIDADE ESPECTRAL CRUZADA CSD EX 1120 1121 continuagao Encontrando a FT da fungao de autocorrelagao obtemos Sy f Sx f Sxnf Swx f Sn f Quando Xt e Nt sao independentes e considerando que un O temos as simplificagoes Ryt Rxt Rn ct Sy f Sx f Sn f QUIZ 117 O processo aleatdrio Yt Xt to uma versao atrasada do processo WSS Xt Encontre a CSD SxyT Para encontrar SyyT comegamos encontrando RxyT e aplicamos a FT RyyttT EXt7 EXXt 7 Rxt 0 Observando a equagao acima podemos verificar que a propriedade de deslocamento se aplica logo PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATORIOS DENSIDADE ESPECTRAL CRUZADA CSD EX 1120 1121 continuagao Encontrando a FT da fungao de autocorrelagao obtemos Sy f Sx f Sxnf Swx f Sn f Quando Xt e Nt sao independentes e considerando que un O temos as simplificagoes Ryt Rxt Rn ct Sy f Sx f Sn f QUIZ 117 O processo aleatdrio Yt Xt to uma versao atrasada do processo WSS Xt Encontre a CSD SxyT Para encontrar SyyT comegamos encontrando RxyT e aplicamos a FT RyyttT EXt7 EXXt 7 Rxt 0 Observando a equagao acima podemos verificar que a propriedade de deslocamento se aplica logo Syyf Sxfe 177 PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS Muitas vezes o processo de filtragem é analisado no domínio da frequência Seja ht a resposta ao impulso de um filtro linear então Hf a FT de ht é chamado de resposta na frequência do filtro Assim temos a relação entre entrada e saída do filtro Wf Vf Hf onde Wf é a saída do filtro e Vf é a entrada do filtro no domínio da frequência Equivalentemente para sinais no tempodiscreto Wø Vø Hø Em processos estocásticos nossa principal representação de um processo Xt no domínio da frequência é a PSD SXf ou SXø Assim um sinal passando por um filtro Hf fornece as seguintes relações RELAÇÕES DE FILTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS Teorema Quando um processo estocástico Xt WSS é entrada de um filtro LTI com função de transferência Hf a PSD da saída Yt é SYf Hf2 SXf Quando uma sequência aleatória Xn WSS é entrada de um filtro LTI com função de transferência Hø a PSD da saída Yn é SYø Hø2 SXø EX 1122 Um processo WSS Xt com função de autocorrelação RXτ ebτ é entrada de um filtro RC com resposta ao impulso Assumindo b 0 e b 1RC encontre SYf e RYτ Qual a potência média do processo estocástico de saída RELAÇÕES DE FILTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1122 continuação RELAÇÕES DE FILTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1122 continuação RELAÇÕES DE FILTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA Por conveniência façamos a 1RC Verificando na tabela os pares de FTs temos PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1122 continuação RELAÇÕES DE FILTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA Por conveniência façamos a 1RC Verificando na tabela os pares de FTs temos PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1122 continuação RELAÇÕES DE FILTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA Por conveniência façamos a 1RC Verificando na tabela os pares de FTs temos Aplicando o teorema SYf Hf2 SXf PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1122 continuação RELAÇÕES DE FILTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA Por conveniência façamos a 1RC Verificando na tabela os pares de FTs temos Aplicando o teorema SYf Hf2 SXf SY f a2 2f2 a2 2b 2f2 b2 PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1122 continuação RELAÇÕES DE FILTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA Por conveniência façamos a 1RC Verificando na tabela os pares de FTs temos Aplicando o teorema SYf Hf2 SXf SY f a2 2f2 a2 2b 2f2 b2 Aplicando frações parciais obtemos PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1122 continuação RELAÇÕES DE FILTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA Por conveniência façamos a 1RC Verificando na tabela os pares de FTs temos Aplicando o teorema SYf Hf2 SXf SY f a2 2f2 a2 2b 2f2 b2 Aplicando frações parciais obtemos PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1122 continuação RELAÇÕES DE FILTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA Por conveniência façamos a 1RC Verificando na tabela os pares de FTs temos Aplicando o teorema SYf Hf2 SXf SY f a2 2f2 a2 2b 2f2 b2 Aplicando frações parciais obtemos Aplicando a inversa da FT IFT obtemos a RYτ PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1122 continuação RELAÇÕES DE FILTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA Por conveniência façamos a 1RC Verificando na tabela os pares de FTs temos Aplicando o teorema SYf Hf2 SXf SY f a2 2f2 a2 2b 2f2 b2 Aplicando frações parciais obtemos Aplicando a inversa da FT IFT obtemos a RYτ PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1122 continuação RELAÇÕES DE FILTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA Por conveniência façamos a 1RC Verificando na tabela os pares de FTs temos Aplicando o teorema SYf Hf2 SXf SY f a2 2f2 a2 2b 2f2 b2 Aplicando frações parciais obtemos Aplicando a inversa da FT IFT obtemos a RYτ E a potência média PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1122 continuação RELAÇÕES DE FILTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA Por conveniência façamos a 1RC Verificando na tabela os pares de FTs temos Aplicando o teorema SYf Hf2 SXf SY f a2 2f2 a2 2b 2f2 b2 Aplicando frações parciais obtemos Aplicando a inversa da FT IFT obtemos a RYτ E a potência média PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1123 A sequência aleatória Xn tem PSD Esta sequência é entrada do filtro com resposta ao impulso Derive SYø e encontre EYn2 RELAÇÕES DE FILTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1123 A sequência aleatória Xn tem PSD Esta sequência é entrada do filtro com resposta ao impulso Derive SYø e encontre EYn2 RELAÇÕES DE FILTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA A DTFT de hn é PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1123 A sequência aleatória Xn tem PSD Esta sequência é entrada do filtro com resposta ao impulso Derive SYø e encontre EYn2 RELAÇÕES DE FILTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA A DTFT de hn é PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1123 A sequência aleatória Xn tem PSD Esta sequência é entrada do filtro com resposta ao impulso Derive SYø e encontre EYn2 RELAÇÕES DE FILTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA A DTFT de hn é Aplicando o teorema da PSD de saída PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1123 A sequência aleatória Xn tem PSD Esta sequência é entrada do filtro com resposta ao impulso Derive SYø e encontre EYn2 RELAÇÕES DE FILTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA A DTFT de hn é Aplicando o teorema da PSD de saída PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1123 A sequência aleatória Xn tem PSD Esta sequência é entrada do filtro com resposta ao impulso Derive SYø e encontre EYn2 RELAÇÕES DE FILTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA A DTFT de hn é Aplicando o teorema da PSD de saída Aplicando a identidade trigonométrica cos3θ 34 cosθ 14 cos3θ PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1123 A sequência aleatória Xn tem PSD Esta sequência é entrada do filtro com resposta ao impulso Derive SYø e encontre EYn2 RELAÇÕES DE FILTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA A DTFT de hn é Aplicando o teorema da PSD de saída Aplicando a identidade trigonométrica cos3θ 34 cosθ 14 cos3θ PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1123 A sequência aleatória Xn tem PSD Esta sequência é entrada do filtro com resposta ao impulso Derive SYø e encontre EYn2 RELAÇÕES DE FILTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA A DTFT de hn é Aplicando o teorema da PSD de saída Aplicando a identidade trigonométrica cos3θ 34 cosθ 14 cos3θ Por fim PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1123 A sequência aleatória Xn tem PSD Esta sequência é entrada do filtro com resposta ao impulso Derive SYø e encontre EYn2 RELAÇÕES DE FILTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA A DTFT de hn é Aplicando o teorema da PSD de saída Aplicando a identidade trigonométrica cos3θ 34 cosθ 14 cos3θ Por fim PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1124 Utilizando os dados do exemplo 117 onde uma sequência aleatória WSS Xn com µX 0 e RXn σ2δn era entrada de um filtro média móvel de tempodiscreto de ordem M1 Encontre a PSD da saída do filtro RELAÇÕES DE FILTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1124 Utilizando os dados do exemplo 117 onde uma sequência aleatória WSS Xn com µX 0 e RXn σ2δn era entrada de um filtro média móvel de tempodiscreto de ordem M1 Encontre a PSD da saída do filtro RELAÇÕES DE FILTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA Observe que SXø σ2 e que a DTFT de hn é PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1124 Utilizando os dados do exemplo 117 onde uma sequência aleatória WSS Xn com µX 0 e RXn σ2δn era entrada de um filtro média móvel de tempodiscreto de ordem M1 Encontre a PSD da saída do filtro RELAÇÕES DE FILTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA Observe que SXø σ2 e que a DTFT de hn é PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1124 Utilizando os dados do exemplo 117 onde uma sequência aleatória WSS Xn com µX 0 e RXn σ2δn era entrada de um filtro média móvel de tempodiscreto de ordem M1 Encontre a PSD da saída do filtro RELAÇÕES DE FILTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA Observe que SXø σ2 e que a DTFT de hn é Como Hø2 Hø Hø temos PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1124 Utilizando os dados do exemplo 117 onde uma sequência aleatória WSS Xn com µX 0 e RXn σ2δn era entrada de um filtro média móvel de tempodiscreto de ordem M1 Encontre a PSD da saída do filtro RELAÇÕES DE FILTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA Observe que SXø σ2 e que a DTFT de hn é Como Hø2 Hø Hø temos PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1124 Utilizando os dados do exemplo 117 onde uma sequência aleatória WSS Xn com µX 0 e RXn σ2δn era entrada de um filtro média móvel de tempodiscreto de ordem M1 Encontre a PSD da saída do filtro RELAÇÕES DE FILTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA Observe que SXø σ2 e que a DTFT de hn é Como Hø2 Hø Hø temos PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS Teorema Se o processo aleatório WSS Xt é entrada de um filtro LTI com função de transferência Hf e Yt é a saída do filtro a CSD de entrada e saída e a PSD de saída são SXYf Hf SXf e SYf Hf SXYf Se a sequência aleatória WSS Xn é entrada de um filtro LTI com função de transferência Hø e Yn é a saída do filtro a CSD de entrada e saída e a PSD de saída são SXYø Hø SXø e SYø Hø SXYø Essas relações são resumidas na figura abaixo RELAÇÕES DE FILTRAGEM NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS Quando consideramos utilizar um processo estocástico Yt para estimar um outro processo estocástico Xt ambos WSS podemos utilizar o critério do mínimo erro quadrático médio MMSE e obter o chamado filtro de Wiener Este filtro oferece a melhor resposta possível em relação ao critério MSE As propriedades do filtro de Wiener são melhor representadas no domínio da frequência Teorema Sejam Xt e Yt processos estocásticos WSS com PSDs SXf e SYf e função CSD SXYf X t é a saída de um filtro linear com entrada Yt e função de transferência Hf A função de transferência que minimiza o MSE EXt X t2 é e o MMSE é ESTIMAÇÃO LINEAR DE PROCESSOS ESTOCÁSTICOS DE TEMPOCONTÍNUO PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS Uma das aplicações mais comuns do filtro de Wiener é reduzir os efeitos de um ruído aditivo no sinal desejado ie Yt Xt Nt Geralmente Xt e Nt são processos estocásticos independentes logo a PSD de Yt é SYf SXf SNf e a CSD entre Yt e Xt é SXYf SXf Assim e o MMSE é ESTIMAÇÃO LINEAR DE PROCESSOS ESTOCÁSTICOS DE TEMPOCONTÍNUO PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1125 Xt é um processo estocástico WSS com µX 0 e função de autocorrelação Observe Yt Xt Nt onde Nt é um processo WSS com PSD SNf 105 Xt e Nt são mutuamente independentes a Qual é a função de transferência do filtro linear ótimo para estimar Xt dado Yt b Qual é o erro quadrático médio do filtro de estimação ótimo ESTIMAÇÃO LINEAR DE PROCESSOS ESTOCÁSTICOS DE TEMPOCONTÍNUO PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1125 Xt é um processo estocástico WSS com µX 0 e função de autocorrelação Observe Yt Xt Nt onde Nt é um processo WSS com PSD SNf 105 Xt e Nt são mutuamente independentes a Qual é a função de transferência do filtro linear ótimo para estimar Xt dado Yt b Qual é o erro quadrático médio do filtro de estimação ótimo ESTIMAÇÃO LINEAR DE PROCESSOS ESTOCÁSTICOS DE TEMPOCONTÍNUO a Utilizando a tabela de par de FTs obtemos PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATORIOS ESTIMACAO LINEAR DE PROCESSOS ESTOCASTICOS DE TEMPOCONTINUO EX 1125 Xt um processo estocastico WSS com ux Oe fungado de autocorrelacao sin275000r RX 50007 Observe Yt Xt Nt onde Nt um processo WSS com PSD Snf 10 Xt e Nt sao mutuamente independentes a Qual é a fungao de transferéncia do filtro linear 6timo para estimar Xt dado Yt b Qual é 0 erro quadratico médio do filtro de estimagao d6timo a Utilizando a tabela de par de FTs obtemos 194 4y Jf 10 f 5000 Sxf 10 reet f10 0 caso contrario PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATORIOS ESTIMACAO LINEAR DE PROCESSOS ESTOCASTICOS DE TEMPOCONTINUO EX 1125 Xt um processo estocastico WSS com ux Oe fungado de autocorrelacao sin275000r Rx 950007 Observe Yt Xt Nt onde Nt um processo WSS com PSD Snf 10 Xt e Nt sao mutuamente independentes a Qual é a fungao de transferéncia do filtro linear 6timo para estimar Xt dado Yt b Qual é 0 erro quadratico médio do filtro de estimagao d6timo a Utilizando a tabela de par de FTs obtemos teal 4 Jf 10 f 5000 Sxf 10 reet f10 0 caso contrario Assim PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATORIOS ESTIMACAO LINEAR DE PROCESSOS ESTOCASTICOS DE TEMPOCONTINUO EX 1125 Xt um processo estocastico WSS com ux Oe fungado de autocorrelacao sin275000r RX 50007 Observe Yt Xt Nt onde Nt um processo WSS com PSD Snf 10 Xt e Nt sao mutuamente independentes a Qual é a fungao de transferéncia do filtro linear 6timo para estimar Xt dado Yt b Qual é 0 erro quadratico médio do filtro de estimagao d6timo a Utilizando a tabela de par de FTs obtemos teal 4 Jf 10 f 5000 Sxf 10 reet f10 0 caso contrario Assim f 11x107 f 5000 Syf 104 f 5000 PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1125 continuação ESTIMAÇÃO LINEAR DE PROCESSOS ESTOCÁSTICOS DE TEMPOCONTÍNUO PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1125 continuação ESTIMAÇÃO LINEAR DE PROCESSOS ESTOCÁSTICOS DE TEMPOCONTÍNUO Como SXYf SXf temos PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1125 continuação ESTIMAÇÃO LINEAR DE PROCESSOS ESTOCÁSTICOS DE TEMPOCONTÍNUO Como SXYf SXf temos ˆHf SXY f SY f SXf SY f 104 1 1 104 11 1 f 5000 0 caso contrario PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1125 continuação ESTIMAÇÃO LINEAR DE PROCESSOS ESTOCÁSTICOS DE TEMPOCONTÍNUO Como SXYf SXf temos ˆHf SXY f SY f SXf SY f 104 1 1 104 11 1 f 5000 0 caso contrario b O MSE é PROCESSAMENTO DE SINAIS ALEATÓRIOS EX 1125 continuação ESTIMAÇÃO LINEAR DE PROCESSOS ESTOCÁSTICOS DE TEMPOCONTÍNUO Como SXYf SXf temos ˆHf SXY f SY f SXf SY f 104 1 1 104 11 1 f 5000 0 caso contrario b O MSE é