Resposta de Sistemas Lineares a Sinais Aleatórios

Resposta de Sistemas Lineares a Sinais Aleatórios Sistema Linear Geral Pensamos em um sistema como a operação sobre um sinal de entrada xt que resulta em uma saída yt onde L é um operador que representa a ação do sistema sobre xt Um sistema é dito linear se a resposta para a soma de entradas Xnt n12N é igual a soma das respostas tomadas de forma separada onde n são constantes arbitrarias e N pode ser infinito Nova funçao Propriedade do impulso unitário xt t xt t T yt t yt t T S Atraso de T segundos Atraso de T segundos S xt xt xtT yt ytT ytT Sistema Linear Invariante no Tempo Um sistema linear é dito ser invariante no tempo se a forma da resposta impulsiva ht não depende do tempo em que o impulso é aplicado Assim um impulso t ocorrendo em t0 causa a resposta ht sendo real então o impulso t ocorrendo em t deve causar a resposta ht se o sistema independente do tempo A resposta impulsiva é A saída do sistema é Sistema Linear Invariante no Tempo 𝐻 𝜛 𝑌 𝜛 𝑋 𝜛 Sistema Linear Invariante no Tempo Resposta a Sinais Aleatórios Mesmo quando a entrada é aleatória a saída de um sistema linear e invariante no tempo continua sendo Podemos pensar na entrada como um conjunto membro de xt do processo estocástico Xt assim produzindo um conjunto membro de um novo processo Yt ou Resposta a Sinais Aleatórios Valor Médio Quadrático da Resposta Considerando Xt estacionário no sentido amplo temse Estacionário no Sentido Amplo Média da Resposta Considerando Xt estacionário no sentido amplo temse constante Exemplo 1Encontre o valor médio quadrático da saída de um sistema linear invariante no tempo com entrada dada por um Ruído Branco Resposta a Sinais Aleatórios Valor Médio Quadrático da Resposta Resposta a Sinais Aleatórios Autocorrelação da Resposta Considerando Xt estacionário no sentido amplo Correlação Cruzada da Entrada e da Saída Considerando Xt estacionário no sentido amplo De forma similar Exemplo 2Encontre a correlação cruzada Rxy e Ryx da saída de um sistema linear invariante no tempo com entrada dada por um Ruído Branco Resposta a Sinais Aleatórios Correlação Cruzada da Entrada e da Saída Resposta a Sinais Aleatórios Autocorrelação da Resposta Considerando Xt estacionário no sentido amplo Sabendo que De forma similar Usado em função da autocorrelação cruzada Densidade Espectral de Potência da Resposta Resposta a Sinais Aleatórios Assumindo que o processo Xt estacionário no sentido amplo Yt também é estacionário no sentido Amplo assim como Xte Yt são conjuntamente estacionários Sabendo que Mudando variáveis Potencia média da resposta de forma similar Resposta a Sinais Aleatórios Exemplo 3A magnitude da resposta em frequência de um filtro passabaixa tipo RC é dada por a entrada deste filtro aplicase um processo aleatório Xt cuja densidade espectral de potência é constante e vale SXf 1103wattsHz Calcule a potência média do processo aleatório Yt de saída deste filtro dado que R 5 k C 1 F Resposta a Sinais Aleatórios Exemplo 4 O espectro de potência e a potência média da resposta da saída de um sistema linear invariante no tempo com entrada dada por um Ruído Branco que possui resposta em frequência em função da indutância L e resistência R de um sistema dada por Densidade Espectral de Potência da Resposta 𝐻 𝜛 1 1 𝑗𝜛 Τ 𝐿 𝑅 Sabese que desenvolvendo a integral Outra forma de resolver Pyy Exemplo 4 O espectro de potência e a potência média da resposta da saída de um sistema linear variante no tempo com entrada dada por um Ruído Branco que possui resposta em frequência em função da indutância L e resistência R de um sistema dada por Resposta a Sinais Aleatórios Densidade Espectral de Potência da Resposta