Estudo sobre Vetores no Plano: Conceitos e Operações

Vetores no Plano Roteiro Grandezas Escalares Grandezas Vetoriais Representação Geométrica Multiplicação por escalar Soma de Vetores Ângulo entre dois vetores Representação no Plano Cartesiano Operações com as coordenadas do Vetor NormaMódulo de um Vetor Produto Interno entre dois Vetores Projeção de um vetor 2 Vetores no Plano Grandezas Escalares Valor e Unidade Massa 1 quilograma Comprimento 3 metros Volume 1 litro Temperatura 36º C 3 Vetores no Plano Grandezas Vetoriais Módulo Direção e Sentido Deslocamento 500m Aceleração Gravitacional 98ms2 Peso massaa 1kg98ms² 1 kgf Força 1N 198 0102 kgf Velocidade 100kmh Nota1 o módulo é representado pelos símbolos ou Ex FR Nota2 graficamente módulo é equivalente ao comprimento Nota3 em física o módulo é equivalente a intensidade de uma força 4 Vetores no Plano Representação Geométrica Vetores são representados por segmentos de retas orientados no plano ou no espaço As figuras representam um mesmo vetor Nota1 as características de um vetor v são as mesmas de qualquer um dos seus representantes isto é o módulo a direção e o sentido 5 Vetores no Plano Representação Geométrica Se o ponto inicial de um representante de um vetor V é A e o ponto final é B então escrevemos Nota 2 graficamente o módulo é equivalente ao comprimento e representado por AB 6 Vetores no Plano Multiplicação por um escalar Dado um vetores v e um número real k Então k v p 7 Vetores no Plano Propriedades da Multiplicação por escalar 8 Vetores no Plano Soma de n Vetores regra geral Dados a b c vetores no plano então s é o vetor soma Na soma ligase origem de um vetor com a extremidade de outro vetor O vetor soma S é o que tem origem na origem do 1º vetor e extremidade na extremidade do último vetor adicionado Partindo do vetor a ligou se a origem de b na extremidade de a e origem do vetor c na extremidade de b O vetor soma S tem origem na origem de a 1º e extremidade na extremidade de c último 9 Vetores no Plano Soma de 2 Vetores Regra do Paralelogramo origem com origem 10 Vetores no Plano Diferença entre dois Vetores Dado dois vetores u v A diferença é dada por D u v v u u v 11 Vetores no Plano Propriedades da Soma de Vetores 12 Vetores no Plano Exercício Determine o módulo do vetor soma Sendo que 13 Vetores no Plano Ângulo entre dois vetores O ângulo θ entre dois vetores u e v não nulos é o menor ângulo formado pelas semi retas que suportam os vetores e tal que 0 θ π 14 Vetores no Plano Ângulo entre dois vetores Se θ π2 então u e v são ortogonais u v Se θ π2 então u v² u² v² Pitagoras 15 Vetores no Plano Ângulo entre dois vetores Lei dos cossenos 16 Vetores no Plano Ângulo entre dois vetores Exemplo 1 Com os dados da figura calcule o módulo dos vetores uv e uv 17 Vetores no Plano Ângulo entre dois vetores Exemplo 1 cont Solução a u v aplicando a regra do paralelogramo 18 Lei dos cossenos uv2 u2 v2 2 u v cos135 uv2 32 72 2370707 9 49 29694 87694 uv 9364 cm diagonal maior Obs uv é a diagonal principal dica 18045 135 Vetores no Plano Ângulo entre dois vetores Exemplo 1 cont Solução b u v aplicando a regra geral 19 Lei dos cossenos uv2 u2 v2 2 u v cos45 uv2 3272 2370707 uv 5320 cm diagonal menor Obs uv é a diagonal secundária Partindo do vetor v ligou se a origem de u na extremidade de v O vetor soma v u tem origem na origem de v 1º e extremidade na extremidade de u último Obs v u u v u v Vetores no Plano Decomposição de Vetores Vamos relembrar e 20 Vetores no Plano Exemplo A Força tem intensidade de 20N e forma um ângulo de 37º com o eixo x Qual a intensidade das componentes horizontal e vertical de 21 Vetores no Plano Representação do Vetor no Plano Cartesiano IR2 Dado que as características de um vetor V são as mesmas de qualquer um dos seus representantes isto é o módulo a direção e o sentido Concluímos que OC é um representante de AB que tem ponto inicialorigem na origem do Plano Cartesiano 22 Vetores no Plano Coordenadas de um Vetor Definimos as componentes ou coordenadas de um vetor V como sendo a projeção do ponto final do representante de V que tem origem na origem do Plano Cartesiano 23 Vetores no Plano Coordenadas de um Vetor 24 v1 v2 são as coordenadas do vetor V x y são as coordenadas do vetor OP Vetores no Plano Transladando um vetor para a origem do Plano Cartesiano Dado uma representação qualquer de um vetor V é possível calcular sua representação na origem do Plano Cartesiano PQ Q P 5 4 0 2 5 2 OD 25 Vetores no Plano Transladando um vetor para a Origem do Plano Cartesiano Dado uma representação qualquer de um vetor V é possível calcular sua representação na origem do Plano Cartesiano AB B A 4 5 1 2 3 3 OC 26 Vetores no Plano Transladando um vetor para a Origem do Plano Cartesiano Exemplo Se um vetor V tem origem no ponto 12 e extremidade no ponto 712 então ele pode ser representado na origem por V 610 pois V 7 12 12 6 10 27 Vetores no Plano Operações com as coordenadas do Vetor Soma e Multiplicação por escalar Dados V v1 v2 e W w1 w2 e um número real α então 28 Vetores no Plano Operações com as coordenadas do Vetor Soma e Multiplicação por escalar 29 Vetores no Plano NormaMódulo de um Vetor O comprimentomódulo do vetor V também é chamado de norma de V e anotado como V Para a representação do vetor V v1 v2 na origem do sistema de coordenadas Plano Cartesianos temos que 30 Vetores no Plano Distancia entre dois Pontos no Plano 31 Vetores no Plano Produto Escalar ou Interno entre dois Vetores O produto escalar ou interno de dois vetores V e W e definido por 32 Nota O produto interno é um número Para encontrar o ângulo Vetores no Plano Ângulo entre dois vetores Exemplo Com os dados da figura calcule o produto interno ou escala uv 33 Solução uv u v cos45 37 0707 14847 Vetores no Plano Produto Interno ou escalar entre Vetores Pela Lei dos cossenos 34 Obs definição no slide 32 Vetores no Plano Produto Escalar ou Interno entre Vetores Considerando Vv1 v2 e Ww1 w2 vetores do Plano 35 Substituindo ii iii e iv na equação i e simplificando temos Obs definição no slide 30 Nota O produto interno é um número Vetores no Plano 36 Produto Escalar ou Interno entre Vetores Exemplo Considerando V3 3 e W5 1 vetores do Plano calcule o produto interno VW Solução VW v1w1 v2w2 35 31 18 Propriedade do Produto Escalar ou Interno entre Vetores 37 Vetores no Plano Desigualdade de CauchySchwarz Exemplo Verifique a validade da desigualdade para os vetores e Desigualdade Triangular Exemplo Verifique a validade da desigualdade para os vetores e 38 Vetores no Plano Vetores Ortogonais Dois vetores V e W são ortogonais se 39 Vetores no Plano Vetores Paralelos Dois vetores V e W são paralelos se existe um número k 0 tal que 40 Vetores no Plano Exercícios Dados os vetores U e V determine o produto escalar entre os vetores resultantes Mostre que os vetores abaixo são ortogonais 41 Vetores no Plano Exercício Calcule o ângulo entre os vetores Solução 42 Vetores no Plano Projeção de um vetor sobre um eixo Nota vx e vy são números 43 Vetores no Plano Projeção de um vetor sobre um eixo 44 vox vocosθ voy vosenθ Vetores no Plano Exercícios Calcule o módulo das projeções do vetor A em cada caso sabendo que 45 Vetores no Plano Exercício Qual é o módulo do vetor resultante da soma 46 Vetores no Plano Exercício Calcule o ângulo que o vetor resultante da soma forma com o eixo x 47 Vetores no Plano Projeção de um vetor sobre outro vetor Nota projwV é um vetor 48 Vetores no Plano Projeção de um vetor sobre outro vetor Exemplo 5 Considerando V3 4 e W6 0 vetores do Plano calcule o vetor projwV 49 VW 36 40 18 W 2 62 02 36 projwV 1836 W ½ W ½ 6 0 projwV 3 0 Solução