Exercícios Resolvidos: Equações da Reta e Geometria Analítica

O Plano 53 Exercícios 249 Escreva as equações da reta que a contém o ponto 1 1 e tem a direção do vetor 2 3 b contém os pontos A3 2 e B3 1 250 Dados os vetores u 15 e v 4 1 escreva as equações paramétricas e cartesianas das retas que contêm as diagonais do paralelogramo definido por u e v 251 a Mostre que x 3 2t y 7 5t são equações paramétricas da reta definida pelos pontos A3 7 e B5 2 b Que valores devem ser atribuídos a t para se obter os pontos A e B c Que valores de t dão os pontos entre A e B d Localize na reta os pontos para os quais t 1 e t 0 252 Escreva as equações paramétricas da reta que contém o ponto 1 2 e faz com a reta y 2x 4 um ângulo de 60 253 Determine a projeção ortogonal do ponto P2 4 sobre a reta x 1 2t y 1 3t 254 Dado o ponto A2 3 ache o vetor AP onde P é o pé da perpendicular baixada de A à reta y 5x 3 255 Determine a interseção da reta y 2x 1 com a reta definida pelos pontos 2 1 e 0 0 256 Dados o ponto P2 1 e a reta r de equação y 3x 5 escreva uma equação da reta que contém o ponto P e a seja paralela à reta r b seja perpendicular à reta r 257 Determine o ângulo menor entre as retas a 2x 3y 1 e y 5x 8 b x y 1 0 e x 1 2t y 2 5t 258 Mostre que a distância do ponto Px0 y0 à reta Ax By C 0 é dada por Ax0 By0 C A² B² 259 Mostre que se a distância entre Pa b e a origem é c então a reta definida por P e Ac 0 é perpendicular à reta definida por P e Bc 0 260 Determine o comprimento do segmento OP da Figura 229 sabendo que OADR é um retângulo 261 Determine a distância entre as retas 2x y 6 e 2x y 1 258 httpswwwobaricentrodamentecom201306distanciadeumpontoumaretahtml 249 a Não foi especificado que tipo de equação é pedido escreveremos a equação paramétrica P A λ B A onde B A vetor diretor P 11 λ 23 b P 32 λ 61 250 Ao somar dois vetores obtemos um vetor na direção da diagonal subtrair nos da a outra diagonal u v 56 U v 34 Uma passa pela origem e outro pelos pontos 15 e 41 Equações paramétricas P λ 56 P 41 λ 34 x 5λ y 6λ y 6x5 x 4 3λ x 4 y 1 4λ x 3 4x 3y 19 251 a P 37 t 52 37 é a equação resultante de ambas as eq dadas no enunciado b t 0 P A t 1 P B c 0 t 1 d não pertencem ao segmento pedido 252 Vetor diretor rotacionado Vetor diretor da reta 04 20 2 4 d cos 60 sen 60 sen 60 cos 60 2 4 1 23 3 2 d tij3 1 23 3 2 Assim P 1 23 3 2 λ 12 O processo é análogo para θ 60 253 Projetar 24 na reta de vetor diretor 23 A reta perpendicular possui vetor diretor 32 Logo x 2 3λ y 3 2λ o encontro de ambas é a proj 2 3λ 1 2t 3 2λ 1 3t 2t 3λ x 2 3t 2λ 4 x 3 t 1413 x 1 2813 4113 y 1 4213 2913 P 4113 2913 254 Para encontrar P usase o mesmo método acima m 5 m1 15 y 15 x b 3 25 b b 135 5y x 13 x 5 y 5x 3 y 3413 x 113 P A 113 2 3413 3 2713 513 255 equação paramétrica da segunda reta P21 λ Isto é y2x y2x1 são retas paralelas não tem interseção 256 m3 m₁13 a y3xb com 21 16b b7 y3x7 b yx3b com 21 123b b13 yx3 13 257 a tgα23 tgβ5 tgθ235110313131 θ45 b tgα1 tgβ52 tgθ15215237 θarctg37 258 Seja a reta AxByC0 A reta perpendicular tem equação yBAxK para Px₀y₀ AyoBx₀AK Digitalizado com CamScanner Interseção AxByC0 BxAyAy₀Bx₀0 259 a²b²c² Reta 1 Pab λca b Reta 2 Pab λca 1b Produto escalar entre vetores diretores ci²a²b²0 Logo o produto escalar é zero então são perpendiculares 260 FALTA FIG 229 261 Basta escolher o ponto de uma reta e fazer a distância entre ponto e reta P₁06 d61575 260 O00 A30 β05 e34 Reta OC y43 x Reta AB y53 x5 Intersectando 93 x5 x53 y209 OP53²209²2778 Digitalizado com CamScanner