Lista de Exercícios Resolvidos - Geometria Analítica - Hipérboles e Parábolas

68 Geometria Analítica Fig 313 Exercícios 313 Determine os focos os vértices e esboce as hipérboles cujas equações são a x²25 y²9 1 b y²9 x²25 1 c 4x² 9y² 36 0 d x² y² 1 314 Deduza uma equação da hipérbole a de focos F3 0 e F3 0 e vértices A2 0 e A2 0 b de focos F2 2 e F2 2 e vértices A1 1 e A1 1 315 Seja P o pé da perpendicular baixada do foco F da hipérbole x²a² y²b² 1 a uma das assíntotas Demonstre que PF b e PO a onde O é a origem do sistema de coordenadas 316 Mostre que a os gráficos das funções definidas por fx b1 x²a² e fx b1 x²a² x R são ramos de hipérbole b se y₀ fx₀ a equação da reta que contém x₀ y₀ e cuja declividade é fx₀ é dada por y₀yb² x₀xa² 1 Esta reta é chamada tangente à hipérbole y²b² x²a² 1 Cônicas 69 no ponto x₀ y₀ 317 Mostre que nenhuma tangente à hipérbole y²b² x²a² 1 passa pela origem 318 Deduza a equação da reta perpendicular à tangente à hipérbole y²b² x²a² 1 no ponto x₀ y₀ Esta reta é chamada normal à hipérbole no ponto x₀ y₀ 319 Deduza as equações da tangente e da normal à hipérbole y² 2x² 1 no ponto 2 3 320 Determine uma equação da hipérbole cujas assíntotas são y x e y x sabendo que um de seus vértices é o ponto 20 33 PARÁBOLA Dados um ponto F e uma reta r chamase parábola de foco F e diretriz r ao conjunto de pontos P do plano tais que dP F dP r Construção Pelo foco F traçamos a perpendicular à diretriz r e tomamos sobre esta perpendicular chamada eixo da parábola um ponto C Por C traçamos uma paralela a r e com abertura igual a dC r e centro em F determinamos nesta paralela os pontos P e P da parábola Unindo os pontos assim construídos obtemos a parábola Figura 314 Observe que se escolhermos o ponto C sobre o eixo de modo que dC r dC F o arco traçado com centro em F e raio dC F não intercepta a paralela à diretriz traçada por C O ponto da parábola mais próximo de r é o ponto O veja a Figura 314b tal que dO r dO F Este ponto é chamado vértice da parábola Fig 314