Prova de Geometria Analitica - Calculo de Area e Forcas em Vetores

I Atividade Avaliativa Geometria Analítica 20231 23102023 Nome Critérios de avaliação Uso correto da linguagem matemática e língua materna Estratégias para resolução do problema Argumentação com apresentação de justificativas e conclusões Organização na apresentação das soluções 1 20 Os pontos A 00 B 34 e C 32 são vértices de um triângulo Calcule a área desse triângulo 2 Considere o sistema de forças atuando num objeto conforme mostra a figura Considere que a força horizontal F1 tem intensidade de 12N a força F2 faz um ângulo com a horizontal de 30 e tem intensidade 8N a força horizontal F3 tem intensidade 15N e a força F4 tem intensidade de 8N e faz um ângulo com a horizontal de 30 a 15 Descreva de forma detalhada o procedimento que pode ser feito para calcular a intensidade força resultante utilizando as coordenadas dos vetores de forças b 15 Calcule a força resultante conforme descrito no item anterior 3 20 A força magnética exercida sobre uma carga Q em movimento é proporcional a quantidade de carga e ao produto vetorial entre a velocidade v e a densidade do fluxo magnético B A força magnética é dada por F Q v B Supondo que a velocidade de uma carga Q é v 431 e o campo magnético é B 103 calcule a força magnética exercida sobre essa carga 4 Considere o terreno triangular conforme mostra a figura A distância de A até B é igual a 80 m e a distância de B até C é de 60 m A linha AB faz um ângulo de 26 com a linha horizontal e a linha BC é paralela ao eixo x Prof Carlos Antônio Freitas I Atividade Avaliativa Geometria Analítica 20231 23102023 a 15 Explique detalhadamente de que maneira é possível calcular a distância de A até C e obtenha essa distância b 15 Calcule a área do terreno e descreva com clareza o procedimento utilizado Prof Carlos Antônio Freitas Na figura acima já desenhamos os vetores dados bem como as respectivas decomposições dos vetores F2 e F4 Com efeito calcularemos essas decomposições de forma a efetuarmos a soma vetorial correta com a finalidade de determinarmos corretamente a força vetorial resultante Fr Ademais essa decomposição é feita projetando o vetor F2 e F4 sobre os eixo x e y com efeito isso pode ser calculado simplesmente com uso da projeção via senos e cossenos que é o que faremos logo a seguir 2 2 9 A área de um triângulo na verdade o dobro de sua área 2A pode ser calculada de forma imediata na geometria analítica conhecendo seus vértices x1y1 x2y2 e x3y3 a partir de um determinante como mostramos a seguir Com efeito dado que temos tais coordenadas dos vértices o cálculo é direto lembrando que o cálculo é feito em módulo Aqui temos que ter cuidado de fato a componente y do vetor F4 é negativa visto que na decomposição esse vetor aponta para baixo ou seja contra o sistema de coordenada estabelecido com efeito isso também ocorre com o vetor F1 uma vez que seu sentido é oposto ao do eixo x e logo ele é tal que F112i 3 Seja F Q v B Com efeito dado que temos v 431 e B³ 103 é imediato que F Q v B Q 431 103 Q i ĵ k 4 3 1 1 0 3 Q i 3 1 0 3 ĵ 4 1 1 3 k 4 3 1 0 Q i 9 0 ĵ 12 1 k 3 0 Q 9 i 11 ĵ 3 k 9 Q i 11 Q ĵ 3 Q k É a força desejada i Fr 9 Q i 11 Q ĵ 3 Q k Na figura acima nós introduzimos os vetores v u e d que são associados aos segmentos AB BC e AC respectivamente A partir da decomposição em componentes do vetor v tornase possível identificar as coordenadas do vértice do ponto B e logo é possível determinarmos as de C tendo em vista que o vetor u é paralelo ao eixo x Assim vamos determinar as coordenadas do ponto C usando a decomposição de v visto que C e B estão na mesma altura mesma coordenada do ponto C e posteriormente acharemos cx usando a soma do módulo de vx com módulo de u Com isso teremos as componentes de C e ao fim acharemos a distância AC usando o fato que essa distân cia equivale a determinarmos o módulo do vetor d uma vez que A parte é a origem do eixo de coor denadas Agora podemos calcular explicitamente as componentes de C Com efeito teremos o seguinte Portanto a distância AB é calculada usando a distância de dois pontos que nos dá em vista que A 00 a equivalência com o módulo do vetor L Logo d distA C 1319² 3507² 13648 m e a distância é próxima a 13648 m b A área em vista de termos calculados as coordenadas di C e B é imediata pelo mesmo método da questão 1 Logo teremos que a área é AΔ 0 0 1 0 0 1 vₓ vy 1 719 350 1 1319 3507 1 1 719 3507 3507 719 1319 22042 m² AΔ 22042 m² 2 10521 m²