Prova 3 Geometria Analítica - Cônicas, Circunferência, Elipse, Hipérbole e Parábola

UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO UNIVASF COLEGIADO DE ENGENHARIA MECÂNICA PROVA III GEOMETRIA ANALÍTICA Professor Tuanny Maciel Data 14122023 Período 231 Equipe Nota Observação O arquivo com as soluções deverá ser entregue OBRIGATORIAMENTE na data já estipulada Sendo um trabalho por equipe Façam juntos Não quero questão por questão separada Posso fazer algumas perguntas ao grupo no momento da entrega Questão 1 Descreva detalhadamente sobre as cônicas circunferência elipse hipérbole e parábola explicitando os elementos de cada cônica bem como suas equações Lembre de pensar na translação e rotação de eixos Questão 2 Escreva a equação da circunferência e a esbocea nos seguintes casos a Passa pelos pontos 10 32 e 14 b O diâmetro é o segmento que une os pontos 01 e 13 Questão 3 Considere a elipse de focos F111 e F211 e eixo maior igual a 6 Determine a A equação da elipse b O centro e os vértices da elipse c Esboce a elipse Questão 4 O teto de um corredor de 20m de largura tem a forma de uma semielipse e a altura no centro é 18m Se a altura das paredes laterais é 12m determine a altura do teto a 4m de uma das paredes Questão 5 Esboce o gráfico e determine os elementos da cônica 16x2 25y2 50y 32x 359 0 Questão 6 Os cabos de um lado de uma ponte com carga uniformemente distribuídas toma a forma aproximada de um arco de parábola As torres de suporte dos cabos têm65m de altura e o intervalo entre as torres é de 500m O ponto mais baixo fica a 15m do nível da estrada Calcule o comprimento de um fio de sustentação situado a 100m do centro da ponte Questão 7 Construa uma elipse e uma hipérbole com o auxílio do software geogebra analisando também rotação e translação de eixos relatando todos os passos que utilizou na construção no software Pode construir com um exemplo em particular Questão 8 Cite exemplos de aplicações das cônicas no mundo explicando de forma resumida cada aplicação Questão 9 Defina uma quádrica explicando e exemplificando Questão 10 Esboce as quádricas a z x2 4y2 b x2 y2 4x 6y 18x 13 0 Questão 1 Circunferência elipse hipérbole e parábola são as figuras geométricas denominadas cônicas Definiremos cada uma com base no livro 4 da coleção Elementos da Matemática do professor Marcelo Rufino iteano 1 Circunferência é o lugar geométrico dos pontos que estão a uma mesma distância de um ponto fixo Essa distância é denominada raio e o ponto fixo é o centro da circunferência Assim com base na definição de distância entre reta e ponto definese a equação da circunferência 𝑥 𝑥𝑐 2 𝑦 𝑦𝑐 2 𝑅 2 onde x y é o ponto que pertence a esse lugar geométrico R é o raio e as coordenadas com subscrito c representa as coordenadas do centro Ao transladar mudase a equação o centro deixa de ser o centro original Assim a equação muda em relação às coordenadas do centro Ao rotacionar não ocorre mudança na equação 2 Parábola para definir parábola é necessário considerar em um plano cartesiano uma reta d e um ponto F Definese parábola o lugar geométrico dos pontos do plano que estão a uma mesma distância da reta d e do ponto F A reta d é chamada de reta diretriz da parábola e o ponto F é chamado de foco da parábola Os principais elementos da parábola são a foco b diretriz c vértice d eixo de simetria e corda focal mínima latus rectum f parâmetro distância entre o foco e a reta diretriz Observase que as distâncias entre o foco e o vértice e entre o vértice e a reta diretriz são iguais e valem p2 Para chegar na equação 𝑥 𝑥𝑣 2 𝑦 𝑦𝑣 𝑝 2 2 𝑦 𝑦𝑣 𝑝 2 Resolvendo essa expressão que surge do fato de a distância entre um ponto P da parábola e o foco ser igual à distância entre o ponto P da parábola e a reta diretriz chegamos em 𝑥 𝑥𝑣 2 2𝑝𝑦 𝑦𝑣 Notase que esse caso ocorre para quando o eixo de simetria é vertical Quando a parábola é rotacionada surgem termos cruzados exemplo termo xy a menos que ela seja rotacionada nos ângulos clássicos 0 90 180 270 360 onde o termo cruzado é cortado no algebrismo 3 Elipse considere um plano cartesiano e dois pontos distintos F e G pertencentes a esse plano Suponha que a distância entre F e G é 2c Definese elipse como o conjunto de pontos P do plano cartesiano tal que distPF distPG 2a onde 2a 2c Os pontos F e G são chamados de focos da elipse Os elementos principais da elipse são a focos b centro entre os focos c vértices d eixo maior ou eixo focal e eixo menor Da definição dado um valor para a é possível obter a equação geral de uma elipse basicamente utilizando o conceito de distância entre pontos 𝑥 𝑥𝑐 2 𝑦 𝑦𝑐 𝑐 2 𝑥 𝑥𝑐 2 𝑦 𝑦𝑐 𝑐 2 2𝑎 Resolvendo e definindo a relação fundamental da elipse a² b² c² temos 𝑥𝑥𝑐 2 𝑏 2 𝑦𝑦𝑐 2 𝑎 2 1 para o caso de uma elipse de eixo maior vertical Em rotações novamente podem aparecer os termos cruzados xy Em translações as constantes a b e c permanecem constantes mas a posição do centro se altera 4 Hipérbole considere um plano cartesiano e dois pontos distintos F e G pertencentes a esse plano Suponha que a distância entre F e G é 2c Definese hipérbole como o lugar geométrico dos pontos do plano tal que o módulo de distPF distPG é igual a 2a sendo a uma constante definida tal que respeite a relação fundamental da hipérbole a² b² c² Os principais elementos da hipérbole são a focos b centro da hipérbole c vértices da hipérbole d assíntotas da hipérbole retas tangentes à figura e eixo real ou eixo transverso 2a f eixo imaginário ou eixo conjugado 2b g eixo focal 2c Para chegar na equação vamos seguir a definição e considerar uma hipérbole horizontal com os focos sobre o eixo x 𝑥 𝑐 2 𝑦 2 𝑥 𝑐 2 𝑦 2 2𝑎 resolvendo e lembrando da relação fundamental da hipérbole por analogia também com as anteriores 𝑥𝑥𝑐 2 𝑎 2 𝑦𝑦𝑐 2 𝑏 2 1 Questão 2 a da equação que definimos originalmente podemos expandir para a equação geral da circunferência x² y² 2Ax 2By A² B² R² 0 Nos foi fornecido os pontos 10 3 2 e 1 4 Substituindo como valor de x e y na equação acima note que obtemos um sistema de três equações com três incógnitas que pode ser facilmente resolvido Resolvendo esse sistema obtemos A B e R onde A é a coordenada x do centro B é a coordenada y do centro e R é o raio da circunferência Assim obtémse a equação da circunferência reduzida x1² y2² 4 b nesse caso nos foi fornecido dois pontos de um diâmetro A conclusão que precisamos tirar disso é que o ponto médio desses dois pontos é o centro da circunferência Utilizando a fórmula de ponto médio basicamente a média entre as coordenadas fornecidas temos que o centro da circunferência é ½ 1 Assim já temos A e B na equação que trabalhamos na questão anterior e basta encontrar R para isso podemos simplesmente substituir um dos pontos fornecidos na expressão e resolver uma equação trivial para R Assim obtemos a equação reduzida da circunferência x05² y1² 425 Questão 3 a os pontos 1 1 e 1 1 são os focos da elipse e o eixo maior é igual a 6 Isto significa que 2a 6 ou seja a 3 Precisamos encontrar o centro e o valor de b O centro é simples basta fazer o ponto médio dos focos Novamente usando a média das coordenadas dos focos temos que o centro é dado por 0 1 A distância entre o centro e um dos focos é dada por c que nitidamente é 1 Respeitando a relação fundamental da elipse chegamos no fato de que a² b² c² logo como a 3 e c 1 então b 8 Assim substituindo na expressão da elipse 𝑥² 9 𝑦1² 8 1 b o centro já foi calculado anteriormente ele é dado por 0 1 Para achar os vértices basta utilizar da coordenada do centro e das coordenadas a e b Os vértices horizontais da elipse são dados por a 1 e a 1 isto é 3 1 e 3 1 Já os vértices verticais da elipse são dados por 0 1b e 0 1b Isto é e 0 1 8 0 1 8 c Esboçando a elipse Questão 4 Do enunciado retiramos as seguintes informações 2a 20 h b 18 h 12 Logo a 10 b 6 e pela relação da elipse c 8 O centro da elipse é dado por 0 12 É a seguinte situação Note que ele nos pede a posição de um ponto em x 6 Preciso da equação da elipse Já tenho a b e o centro Basta substituir x 6 na expressão e encontrar os valores de y Façamos isso Substituindo x 6 nessa expressão obtemos duas interseções sendo uma em y 168 e outra em y 72 Todavia como 72 é abaixo de 12 não nos serve A resposta do problema é 168 Questão 5 Nesse caso nos deram uma expressão geral de uma cônica É possível apesar de não ter sido pedido descobrir qual cônica é a partir apenas dessa expressão Todavia vamos fazer o simples procurar um produto notável tal que cheguemos numa expressão de cônica e vamos confiar no enunciado ser de fato uma cônica 16𝑥 2 25𝑦 2 50𝑦 32𝑥 359 0 16𝑥 2 2 16𝑥 16 25𝑦 2 2 25𝑦 25 400 0 16𝑥 1 2 25𝑦 5 2 400 𝑥1 2 25 𝑦5 2 16 1 Que é uma equação de elipse com a 5 b 4 c 3 Centro em 1 5 Graficamente Questão 6 Vamos desenhar a situação Note que temos três pontos pertencentes a uma parábola e esperamos que essa parábola seja da forma y ax² bx c relembrando o básico de equações quadráticas Substituindo as coordenadas de D E e C encontramos a b e c por meio de um sistema de três equações com três incógnitas Note que D 250 65 E 0 15 C 250 65 Resolvendo esse sistema 3x3 obtemos Imaginase que o enunciado quis perguntar a altura que se encontra o fio quando ele está a 100 metros do centro da ponte Para isso fazemos x 100 e encontramos y 23 O cálculo de comprimento envolveria integrais o que acreditase não ser o caso da questão Questão 7 O software já foi utilizado nas questões anteriores Basicamente para definir uma elipse é necessário partir da definição uma vez definido os dois focos definese um ponto que pertence ao lugar geométrico da elipse isso permite que se defina automaticamente todos os pontos da elipse Utilizando essa ferramenta obtémse o traçado da elipse Como caso particular vamos traçar a elipse com centro na origem do sistema eixo maior igual a 5 e eixo menor igual a 4 Também é possível simplesmente escrever a equação da elipse desejada que o próprio software traça automaticamente desde que seja realmente uma elipse Note que B e C são os focos da elipse cujo eixo está na horizontal É possível uma vez definida a elipse por meio da equação escrever o comando Foco que o programa automaticamente define os focos da figura Para rotacionar basta usar o comando Girar com argumentos de ponto ângulo e cônica que o próprio programa gira a elipse Nesse caso da figura rotacionamos a elipse original em 45 graus onde os focos se tornaram D e E Para a hipérbole podemos realizar um procedimento bem semelhante para não dizer o mesmo A única diferença é realmente a figura obtida Mesma ideia do exemplo anterior usamos uma hipérbole de equação conhecida e focos A e B com centro na origem Posteriormente usamos o comando Girar para rotacionála ao redor da origem em 45 graus onde os focos se tornaram C e D Resumindo 1 Para plotar uma cônica qualquer no Geogebra podemos escrever diretamente sua equação O software vai reconhecer e plotar 2 Para plotar uma elipse com a ferramenta Elipse podemos escolher os dois focos e um ponto que pertence à elipse que desejamos Selecionando esses três pontos com essa ferramenta o software cria a elipse Note que a definição desse ponto serve para definir os valores de a e b 3 Para plotar uma hipérbole é bastante semelhante selecionamse dois focos e um ponto pertencente à hipérbole 4 Para rotacionar as cônicas basta encontrar o centro delas e usar o comando Girar 5 Caso queira encontrar os focos da cônica depois de plotála usando direto a equação pode usar o comando Foco Questão 8 Um exemplo de cônicas no mundo é o cálculo de trajetórias de corpos celestiais A equação geral da cônica é dada por Ax² Bxy Cy² Dx Ey F 0 Note que partindo dessa expressão caso o corpo celestial realmente percorra uma trajetória de cônica podemos plotálo em seis pontos ao redor do espaço coordenadas espaciais e por meio da solução de um sistema 6x6 encontramos a equação da trajetória do corpo Notase obviamente que isso não é exato mas pode ser uma boa aproximação do que ocorreu fisicamente Além disso a generalização das cônicas que é o assunto tratado na próxima questão denominada quádricas pode representar inúmeros objetos utilizados no dia a dia principalmente no ramo científico Um exemplo disso são os espelhos ditos parabólicos com aplicações diárias no trânsito Questão 9 De maneira bem resumida as quádricas podem ser entendidas como rotações de uma figura cônica em um espaço tridimensional isto é uma vez desenhada uma cônica em um plano 2D ao rotacionar este plano obtémse da cônica 2D uma figura quádrica 3D Essa definição não é adequada pois nem sempre funciona É apenas uma ideia ilustrativa Exemplo de rotação encontrada na internet Uma definição um pouco mais formal pode ser encontrada no livro do professor Jacir Venturi da UFPR Uma quádrica ou superfície quádrica é o conjunto dos pontos do espaço tridimensional cujas coordenadas cartesianas verificam uma equação do segundo grau a no máximo três variáveis Ax² By² Cz² Dxy Eyz Fxz Gx Hy Iz J 0 denominada de equação cartesiana da superfície quádrica Exemplos de quádricas são esferas paraboloides elipsoides hiperboloides cilindros cones pares de planos pontos e conjuntos vazios quando levando em consideração também as quádricas degeneradas Exemplos clássicos podem ser a um elipsoide 𝑥² 9 𝑦² 25 𝑧² 16 2 b x² y² z² 3 0 um conjunto vazio quádrica degenerada c 3x 4y 5z 2 0 um plano Questão 10 Para terminar a lista a z x² 4y² tratase de um parabolóide elíptico Isso basicamente sabemos ao decorar as equações de quádricas Utilizando o software Geogebra mencionado anteriormente na sua versão tridimensional podemos obter o gráfico dessa quádrica b tratase também de um parabolóide Novamente pelo Geogebra 3D Note a semelhança das duas equações o termo em z é de primeiro grau enquanto os termos de maior grau em x e y são de segundo grau Isso indica a quádrica parabolóide As mudanças de sinais fazem variar entre parabolóide hiperbólico e parabolóide elíptico Note as equações que usamos Para plotar manualmente os gráficos basta conhecendo essas expressões plotar alguns pontos específicos e desenhar a figura em si