Gabarito da Prova de Cálculo Diferencial e Integral - Engenharia Civil

Universidade Federal do Vale do Sao Francisco Engenharia Civil Calculo Diferencial e Integral ITV Prof Edson 2 Semestre Gabarito 27 Prova 2016 Data Tercafeira 04 de Abril de 2017 Turma TX Exercicio 1 Sabese que y1t t uma solugdo da Usando separagao de varidveis temse equagao diferencial quacao dif 1 t tut 2 1 2 wt 1ty 2ty 2y 0 y yey wt 2 1 2t Observe inicialmente que wt lt t 1 2t 140St441 Oi 2 at wt 1t Supondo que esta equagao seja parte de um problema Usando fragées parciais perceba que com valor inicial t 0 seguese que 122 1 1 4 1 ltl l12t 21t 21 1 t é o maior intervalo contendo ty 0 Para outros F Pp casos as devidas consideragdes devem ser feitas Usando a redugao de ordem considere Ou seja wt 1 t yot utyrt an 2 7 2 d utt In wt 2 In t In 1 aq Assim temse wt ten2InteInt er Alt tult ult 2 91 wt cg t 1t yt ult tu t lt sell Ae C2 c 2ut tu t wt Pep eo tec Como desejase que yot seja também uma solugao Como 1 t 1 seguese que da equagao diferencial dada sequese que 140514t1t 1 y2 2ty 2y2 0 1t051t1 ou seja e t t8 ut 242 wt 0 1 L 11 11t1t Considere 1P wt ut 7 Portanto Disto seguese que wt wt ut t1 t C2 ut e a equacao 1 tornase 1 dt 1 2 twt 2 1 2t7 wt 0 ut 2 2 1 22 2 Gabarito 2 Prova Observe que Ou seja 1 1 1 1 tert JQeat FSS ES 22 2 20H 2078 yt ta sa Ou seja Quando a 2 temse a seguinte equacao diferencial dt 2t th 4 Ady te ut of ago yl Ay Ay cujas solucdes da parte homogénea sao dt dt dt 24 a te al fe oat aasa more yot te 1 1 1 Assi b cInltInltc SSUTT PETCEOE TE t 2 2 oF 9 e te 7 Tomando cz 0 e cg 1 uma possivel escolha para v 2e 1 2te7 a fungdo ut seria p4t 1 1 1 ed ut F 4 5 In1 t 5 In1 t Além disso 0 te2 e Wi tet 1 2t e7 ut tule a t t 1 5nd t 5m 1 W et 0 2 2e2t te2t 2 15In1 ten4t a Logo pelo método da variagao dos paradmetros Exercicio 2 Usando o método dos coeficientes W 2 3 a determinar considere a seguinte proposta de 1 Wy t ut 3 C1 solucao We 12 yt Ate Be 2 t wt gto Observe que e tomando cy co 0 uma solugao paraticular da yt A ew 4 ate Bac equacao dada por yt A ae ae a te Bae Ypt yi tur t yotuet 3 2 Substituindo na equacao dada teremos ore tet aA 4aA 4A t20A Ba 3 y3e2t 444A 4Ba 4B e te 6 a Ou seja 9 Exercicio 3 a42A1 5 2a2Aat 2 B0 a Resolvendo a equagao homogénea correspondente a equacgao dada ou seja A 042 y y0 a 2 9 Temse como equacao auziliar B 3 a 2 k10 3 Gabarito 2 Prova cujas solucdes sao k i e donde seguese que as assim solugdes da edo sdo construtdas a partir das funcdes urx tgasenz dx senx yix cosx dr COs yox sen x 1 cos 178 Foy COS Usandose 0 método da variagadodos pardmetros para 1 encontrar uma solucao particular da equacgao nao a cos dx homogénea temse COS seorde feosrds nm fm yp Inseca tgzsenxz c W1e WY Ye e COSY sent us0 te coscr de senxz cosx sonvae 0 cosx c4 Wi vr gx yb Considerando cz c4 0 uma solugao particular da edo dada por O senz Yp x yr x x y2uax tgx cosxr cos x In sec x tg z sen a tgusen x sen xcos coszInsecx tga senz senz u oO Wo x wg cos x In sec x tg x COs 0 Logo a solugcao geral da equagao dada é senx tga yx crys c2ya Ypx ter cosx ccos x cosen x cos x In sec x tg 2 O Portanto b A equagdo homogénea correspondente equacao dada é a mesma do item a ou seja W yix cosx uy a yw 7 tersene yox sena 1 We e usando novamente o método da variagao dos U5x tgxcoss a Ww pardmetros para encontrar uma solugaéo particular 4 Gabarito 2 Prova da equagao nao homogénea temse Considerando cz c4 0 uma solugao particular da edo dada por W1e ye Yi Ye Yp yiuy x yoxu2zx cosx sen 1 cos x senalnsecaz tga senz cosx cos x 1 sen x Insecx tg21 Logo a solugcao geral da equagao dada é 0 ms gle xh ux ery c2ya px ccosxcgsenxsenz In seca tgx1 0 sen a sec x cosx Exercicio 4 Observe que a equacdo dada 2 sec xsen x ay Ay at Yi 0 é uma equagao de Euler uma vez que pode ser W2 yi gx reescrita como 20 5 4 Oy COs wy wy y 2 Sen y sec x através de uma multiplicagdo por x em ambos os lados da mesma Assim para solugdo da equagao sec x cos x homogénea correspondente considere como proposta de solugao a funcao Portanto am WwW 9 yx x uy sec xsen x WwW e observe que sx Wa ec 7c 1 Ug XL Ww S8 x COS y 2 ma 2 Ou seja y x mm 1a 9 Substituindo na equacao dada temse uyx sec xsen x dx sen x dix a mm 12 4ma 06 cos2x mm1a 4ma2 1 08 1 2 m1 46 m 5m x 0s COS m 5m 0 e Donde seguese que u2x se xcos x dx m5 oum0 dx COs x ou seja secxde yiz 2 1 Inseca tga c4 yox 2 5 Gabarito 2 Prova Usando o método da variadgao dos paradmetros para Considerando cz c4 0 uma solugao particular da encontrar uma solucao particular da equacgao nao edo dada por homogénea temse ny Yp yr xur x Y2auax Wle 77 77 Yi Yo gy gy 1 95 5 Nz 1 2 594 Logo a solugcao geral da equagao dada é so yx crys cay2a Ypx 52 x x coeInz 0 2 25 5 WwW 5 gx 5a Inec5x cy 1 z 3 Bat Exercicio 5 Considere como proposta de solugao a 78 fungao y 3 v1 0 observe que W yi gx m1 yx mx 3 1 0 y x mm 1 3 0 2 a e substituindo na equacao dada temse x mm 123 8m 3 142 3 06 Portanto mm 1 8m 14 a4 3 0 WwW 28 or m 9m 14 x 3 06 2 F Bet m9m 14 0 Ws x 1 D ee onde seguese que 2 F Sa Be Ou seja mToum2 1 usa etde Ou seja xv yrx a 3 at C3 7 25 yox a 3 e Lf e a solugao geral da equacao dada é ue sfc dx x yex er a 3 coa 3 5 nat C4 sendo c1c2 ER a Universidade Federal do Vale do Sao Francisco Engenharia Civil Calculo Diferencial e Integral ITV Prof Edson 1 Semestre Gabarito 27 Prova 2017 Data Sextafeira 1 de Setembro Turma C4 Exercicio 1 Sabese que Ou seja dx 1 y v Ina ue é uma solucdo da equagao diferencial dw fw Ag y y 0 1 Co Observe que esta equacdo pode ser reescrita como W 1 CG 1 0 y y 0 Inz 4x onde co R Tomando co 0 seguese que a outra solugao procurada é Ou seja o coeficiente do termo de primeira ordem é cao P a funcao yo uxyi x px 0 lou 272 Ing Ing Segundo o método de redugao de ordem uma outra solucao linearmente independente para a edo 72 em questao dada por yo uxy1 x Exercicio 2 A equacdo diferencial y 2y20 sendo pode ser reescrita como rou y 2y 2 ux ae possui coeficientes constantes e a equagao auxiliar Y da parte homogénea dada por m 2m0 Oda dx cujas solugdes sao aln ax m 0 0 oa tna 2 uln x Ou seja duas solugdes linearmente independentes dx para a edo homogénea sao dadas por xln x y 1 Considerando yo e w Ine E a sua solucado complementar é temse que Yo C1Y1 C2Yy2 dw de c ee x 2 Gabarito 2 Prova Com c1cg R Usando 0 método dos coeficientes Exercicio 4 Desejase resolver a edo a determinar considere como proposta de solucao a funcao y y 2xsen x Yp Ax Iniciando pela parte homogénea desta equacgao P P g quacao Substituindo na equacao dada temse observe que sua equagao auviliar boy m10 Y 2y 2 cujas solugdes sao 042A26 my a A1 m2 1 Ou SIs Ou seja Yo Portanto a solucao geral da equagao em questao é YL OS y2 sen x YVe Tt Yp e a solucao complementar ddse por c toe 2x Yo C1Y1 C2Yy2 a Cc cosx cCosen zx Exercicio 3 Desejase resolver a equagao Usando o método dos coeficientes a determinar m para encontrar uma solugdao particular temse como yo ty 2y0 proposta de solugao a seguinte funcao Observe que tratase de uma equacdo diferencial Yp Aa Ba senax Cx Dxcos x linear de 8 ordem com coeficientes constantes cuja equacao auxiliar é dada por donde seguese que Ww 2 mm220 Y 2A 2D B4C x Ax sena oe 2B 2 4A D x Cx As solucoes desta equacao sao 2C a Cx COS e my 1 Yy Yp 2asenz m2 1 42 2A 2D B4Ca Ax senx m3 11 2B 2C 4A D x Cx cos Donde seguese que trés solugdes linearmente Az Br sen a independentes da edo em questao sado dadas por Cx Dzxcosx 2xsenz ye 2A 2D 4Cx senx oa Yo COs 2B 2C 4Azxcosx 2x sen x y3 e sena ou seja e a soluagao geral é A 0 eae 9 242D 0 1 Y C11 CoY2 C3Yy3 4C 2 B a 2 ce ce cosxcse senx 2B 2C 0 C i 2 4A com C1 C23 E R a y D 0 3 Gabarito 2 Prova Assim diferencial em questao temse que 1 1 xsenx X Ccosx 41 Ya Up 2 2 w Yo Ye e a solugao geral da edo é e3e e3t 3e3t 3e 73 YYet Yp 1 1 6 c cosx cgsen x gt Senx a COS x 0 Y com c2c3 ER a Wi or eae Yo eos 0 eo 3 Exercicio 5 Para resolver a equacao 7 on 3e3e e3t Ox yo 9y ea 9re Observe inicialmente que a parte homogenéa desta edo possui equacao auxiliar yO Wo 9x Yi ae m90 evr ee 0 e cujas solucgdes sao 9x 363 3a e Le my 3 mo 3 9x Além disso Ou seja duas solugdes linearmente independentes para esta equagao sao dadas por ram Ww est v1 3 9xe 6 yoe 6 3 ne 6e Logo a solugao complementar da edo é 2 ou seja Yo C1Y1 Coy 3x 32x 3 ce c2e 3 eS dp 2 7 aA 1 Usando o método da variagao de parametros 6 62 41 03 para determinar uma solugdo particular da equacao 24 4 Gabarito 2 Prova particular da equacdao diferencial é dada por U uU Le Wo Up 1Y1 2Y2 p WwW 1 3 e 6 6x 4 1 es 7e73t Ox 24 4 6 1 1 8 a a 42 e738 3 24 4 4 2 2 e a solugao geral é ou seja Y Vce Yp 1 1 3 3 cre ene St Ge 32 e73t 1 1 3 3x a 7 22 3x 3246 cye tats 9 ie 4 1 3 ce x ie e 3 com c34 R 4 4 Portanto tomando cz cg 0 uma solucao com c15 ER a Universidade Federal do Vale do Sao Francisco Engenharia Civil Calculo Diferencial e Integral ITV Prof Edson 1 Semestre Gabarito 27 Prova 2019 Data Quintafeira 15 de Agosto Turma C4 Exercicio 1 Observe inicialmente que a equacao a equacao diferencial dada temse que sua equacdao dada pode ser reescrita como auxiliar dada por 1 1 3 2 y y Sy 0 8m m 0 x x Assim considerando px 1 e usando o método Ou seja 9 de reducao de ordem temse que a outra solucdo m 8m 1 0 que desejase encontrar é dada por e esta equedo possui solucdes foc my 0 d Yy2 V1 ye v my 0 Perceba que al m 1 oleae ve Seguese disto que nz c ye 1 Tomando co 0 e considerando x esta é x Sor Y2 TY uma das solugdes possiveis e qualquer uma serve aos propositos deste problema temse que yg e 68 eine y2 n Gar Sendo portanto a solucdo geral da equacdo YW diferencial dada x axlnz Pn Ye C1Y1 CoY2 C3 Y3 dx 1 ex c3e7 alnz 7h cae com C1 C2c3 ER a 1 alng Exercicio 3 Resolvendo inicialmente a equagao homogénea associada ou seja Tomando c 0 novamente estamos interessados em uma solugao qualquer temse Ay 25y 0 Yy2 temse como equagao auziliar Para verificar que y Y2 sao linearmente 4m 25 0 independentes poderiamos usar o Wronskiano mas isto desnecessdrio uma vez que 0 método de cujas solugées sdo reducao de ordem garante que a solugado y2 encontrada é linearmente independente de yj a m 5 1 2 Exercicio 2 Sendo 5 gy y 0 ma5 2 Gabarito 2 Prova Ou seja Onde Y1 COs a Mi 2 SW a 3 We yo sen 52 2 Wy Donde seguese que a solugao complementar da edo e dada é we 41 Y2 y cy cape nov 5 5 C1 COs a cosen 3 2 xlnax 1 Inz1 Para encontrar uma solugdo particular o método do coeficientes a determinar apresenta como 2 proposta de solugdao a fungao Yp Ax Bcosx Ca Dsena m 0 ye gv Onde 0 zlnaz Yp Cx A D cosa Aa C Bsenx Ing1 y Ca D 2Asenax Ax B 2C cosa x Substituindo na equacao dada Ing dy 25Yyp a cosa W Tn 2 1 og 21D 8A 0 A5 x 0 21B8C 0 B0 1 21A1 C0 1 21C 0 8 D 1 441 Ou seja 1 Up cosa 38 one sendo gx fungdo que torna a equagao néao 21 441 homogénea Assim Ea solugao geral da edo dada é lInz In x Yg Ve Up uy w x 5 5 1 1 C1 COS 57 cosen 3 1 57 Coser uy uwlne 8 se sen x 441 com 1c2 ER a In x Up z Ing zInz Exercicio 4 Usando 0 método da variagao de paradmetros a solugao particular yp que desejase 1 ne encontrar dada por 2 Yp U1Y1 U2Yy2 a 3 Gabarito 2 Prova Exercicio 5 A equagéo homogénea associada possui Donde seguese que equacao auxiliar dada por y 2Asen 2a 2B cos 2a 4m 4m 3 0 Yp 4A cos 2a 4Bsen 2a cujas solucao sao 1 e substuindo na equacao my z 2 4y dy 3Yp cos 2x 3 mao 18A 8B cos 2a 18B 8A sen 2x cos 2x Ou seja 19 8A 19B 0 AT yre 8 8B19A1 Ba 3a 425 2 yee Ou seja e a solucao complementar da edo dada é 19 8 Yp zz Cos 24 sen 2x Ye C1y1 c2Y2 425 425 x 37 e a solugao geral da equacdo diferencial dada é ce 2 2 c1e c2e Yg Ye Up com c1C2 R Usando o método dos coeficientes be 19 8 a determinar uma proposta de solugcdo particular é cje 2 ce7 25 cos 2x 795 2a dada por Yp Acos 2a Bsen 2x a Universidade Federal do Vale do Sao Francisco Engenharia Civil CAlculo Diferencial e Integral IV Prof Edson 1 Semestre Gabarito 2 Prova 2020 Data Tercafeira 15 de Junho de 2021 Turma C4 Exercicio 1 Observe que a equacio dada pode ser Tomando c 1e cz 0 seguese que reescrita como 31 4 vox yixue yoroy toy Inx Ou seja 3 x Sabendo que 1 Exercicio 2 A equacao caracteristica da edo em Y questao é dada por Seguese que seed nm 3m30 wx Pxdx cuja soluciio é nn a m7 Ft 3Inxcoco R my 3 Bi Disto seguese que Ou seja ex nx n3 yy e3Inxc9 p v3 2 e 0 conjunto fundamental de solucées é eco elnx 2 y e cos px ct 3 2 3x V3x e x x e 2cos x2 e y2 esen Bx x eB sen v3x tec 2 Logo a solucao geral da equaciio 1 e157 01 Re Y C11 CoY2 e 3x 3x V3x 2 v3x 2 ux aeoax cye cos 7 c2e sen 2 1 3x 3 fevzax e 2 ss0 v3x cpsen cylnxocR a 2 Gabarito 2 Prova Exercicio 3 Observe que a parte homogénea da edo A solucao geral é portanto possui equacao caracteristica YYctYp 2 m 4 0 cye 4 coe 2 4x Ge o Ou seja 3 Vv 2x 2x m 2 aze cgxe a m2 2 Exercicio 4 A equacdo caracteristica da parte e homogénea da edo em questao é dada por y e m 2m108m1 0 2x ou seja y2e my m21 com solucdo complementar e o conjunto fundamental de solucées é Yo C1Y1 C2Y2 y em 2x 2x e ce c2e com c1C2 E R y2 xe Para solugdéo particular da equacio dada considere x a seguinte proposta xe Usando 0 método da variacao de parametros temse Yp X Ae Bee que Disto seguese que we Y1 Y2 ln yt Yp Ae Be 2x Ac Be Pw v 2x 1 Ae 2x 1 Be fe xe ex x1e Yp 2Ae 2 2x 1 Ae 2Be oy e 22x 1 Be 0 2 2x 2x 4x1 Ae 4 x 1 Be Wi Y2 Substituindo na equacio temse 2 2 0 xe 4y 3e4e7 wp Ip 2er x 1 e 4 x 1 Ae 4x 1 Be A4x Ae Be 3e de 22 4Ae 4Be 3 4e yO Ou seja Wa 8 3 A4 e 0 B1 ek 22 e De2x Yp x Ge x 3 Gabarito 2 Prova e Substituindo na equacaio temse ri W w WwW 2 xy xy 4y0 22 xm 1mx xmx1 4x 0 pl m1mx mx 4x0 2 m4x0 W 2 2 2 202 e x 2x m 2i x My 2i Ou seja uy 2x c Ou seja uy 2Inx c x0 comcoc R Considerando cp cy Oex O seguese que uma solucdo particular da equacio é p2 Yp Yiu Y2U2 Portanto 2xe 2xe Inx 2xe Inx 1 y1 cos 2Inx a y2 sen 2Inx Exercicio 5 Considere a funciio y x ea solucdo geral é como proposta de solucao para a equacao dada Observe prop ao p quac y c1y coy que y mx1 c cos 2Inx c9sen 2Inx 2 y m1mx com cyc1 ER a Universidade Federal do Vale do Sao Francisco Engenharia Civil CAlculo Diferencial e Integral IV Prof Edson 2 Semestre Gabarito 2 Prova 2021 Data Quintafeira 18 de Agosto Turma M4 Exercicio 1 Observe que a equacio Tomando cz 0 seguese que x 1y 2xy 2y 0 Yyox y4xux pode ser reescrita em sua forma padrdo da seguinte x forma 1 24 y 2k 2 Yo 2 qd 2 x onde 5 a Px x x2 1 Desejase encontrar uma outra solucio desta equacéo Exercicio 2 A equacdéo auxiliar da edo em questao é sabendo que dada por y x4 m 3m 3m10 é uma solucaio Usando o método da reducao de ordem Observe que considere my 1 4 x Pxdx é uma soluciio desta equaciio e soe m 3m 3m 1 m1 m 2m 1 x21 2 Ou seja as outras solucao desta equacio sio a raizes da Inx 1 e equacio 2 com cg R Disto seguese que m2m10 ue sio ux eltx 4 m2 1 elnx1co 2 m3 1 e x 1 Assim o conjunto fundamental de solucées da equacao diferencial em questi é c x 1 1 y1 efx onde cy e Tomando c 1 temse e ux eax Yq Yo xy 2 1 xe aa xe y3 XYD x yyy to a2eR 26 2 Gabarito 2 Prova Logo a solucao geral da equaciio é e o conjunto fundamental de solucées é NX c1y1 C2y2 C3Y3 ye cye coxe 03x7e e x e G cox ca 4 4 xe com cy Co 3 ER a Usando 0 método da variacao de parametros temse Exercicio 3 Desejase encontrar uma solucao que particular yp da equacao diferencial Y1 Y2 nN 4 y 12 3 W 1 yor ay x Y Y2 Considere ex xe Yp Ax Bx CxD e 1xe e observe que e72x y 3Ax 2Bx C 0 y 6Ax2B m fers f Y Substituindo na equacio dada temse 0 xe Pod yo tay ax 3 eInx 1xe 6Ax2B 4 3Ax 2BxC 3 6 ve2 In x 12Ax 6A 8Bx2B4C x3 v 0 W Ou seja yn f 1 A PD e 0 B 1 e eX Inx 16 93 e Inx C 32 DER ui Wi 1 Ww e portanto a solugao particular é 2x xeInx x3 x 23 e 72 16 32 tomando D 0 a xInx Exercicio 4 A equacdo auxiliar da equacio difierencial us Wo homogénea associada é dada por W 2 m 2m10 m1 0 Inx e2x ou seja my m2 1 Inx 3 Gabarito 2 Prova Ou seja 0 2 e m 088 151 fo uy 5X 5 Inx co ug xInx1cy 5 2x73 comcgc R Considerando cy cy Oe x 0 ox 4 seguese que uma solucdo particular da equacio é Tex Yp Yiu Y2U2 yy 0 W2 f 1 ex 3 Inx 1 2 2 xt 0 a x Exercicio 5 A equacdo auxiliar da edo homogénia associada é dada por ery73 m 3m20 e cujas raizes sao u Wi 1 Ww m 1 ery4 M7 2 Ly 4 Ou seja e y1 yx Le W2 2 WwW yx erx3 ea solucaéo complementar da edo é a Ye C1Y1 C2Y2 etx cx egx Ou seja com c1C2 E R uy e 3 Usando o método da variacao de pardmetros para encontrar uma solucdo particular temse que a equacio Uy e 1x4 dada em sua forma padrao tornase com c3Cq R Considerando c3 cq 0 seguese que 4 2 e uma solucdo particular da equacio é y tay S95 gao p quac Yp Yiu Y2U2 w Y1 Y2 ery Wy Y2 e a soluciio geral da edo é entéio 1 2 x x YYVc Yp 2 3 Xx 2x cx epx77 ex Universidade Federal do Vale do Sao Francisco Engenharia Civil CAlculo Diferencial e Integral IV Prof Edson 2 Semestre Gabarito 2 Prova 2021 Data Quintafeira 18 de Agosto Turma TX Exercicio 1 Observe que a equacio Tomando cz 0 seguese que x 1y 3x1 y3y 0 Y2x y1xux pode ser reescrita em sua forma padrdo da seguinte x2 forma x1 5 TX 3 3 i Jy ay 0 Yo yyy x 12 x3 3x2 4x 2 2 onde 3 Px a 1 4 Desejase encontrar uma outra solugio desta equacio Exercicio 2 A equacao auxiliar da edo em questao é sabendo que dada por yyxt1 m3 3m 4m 12 0 é uma solugdo Usando o método da reducao de ordem Observe que considere m 2 yx Pxdx é uma solucao desta equagiio e 3 m 3m 4m 12 m2 m 5m 6 d x1 Ou seja as outras solucao desta equacio sio a raizes da 3lnx1c9 equaciio m 5m60 com cg R Disto seguese que que sao px et m2 2 e2inx1co m3 3 3 te x 1 Assim o conjunto fundamental de solucées da 3 equacao diferencial em questi é c x 1 1 ex onde cy e Tomando c 1 temse eet ux Qa yy y2 elt2x x 13 e2x oa x 1 in y3 es x2 a x4e20ER e3x 2 Gabarito 2 Prova Logo a solucao geral da equaciio é Usando 0 método da variacao de parametros temse ue Y C1Yy1 CoY2 C3Y3 1 Yi 2 cye cpe cze3 W oy Yy Y2 com cy Co 3 ER a ex e72k Exercicio 3 Desejase encontrar uma solucéo particular yp da equacao diferencial e 2 y 2y 24y x 2 e 3 Considere Yp xe Ax B 0 e observe que W e f sen e f J 4 2 yl e 4ax 2A 4B x B 5 vy e 16Ax 16A 16B x 2A 8B sen e 2628 Substituindo na equacio dada temse aes e sen e Yp 2y 24yp x2e 20Ax 2A 10B e x2e va yi 0 Ou seja n f 1 A e7 0 20 a 19 e sen e 100 e sen e e portanto a solugao particular é xe XY 4p 6 35 im WY uy a a WwW Exercicio 4 A equacdo auxiliar da equacio diferencial esen e homogénea associada é dada por e3x m 3m20 esen e ou seja W m 1 pr YN2 Wy m2 2 e sen e e 0 conjunto fundamental de solucées é 53x yem esen e e Ou seja y2 en uy cos e 9 e U2 ecos e sen e cy 3 Gabarito 2 Prova com co Cc IR Considerando co c 0 seguese que 0 uma solucdao particular da equacio é W2 yf 1 Yp Yiu You xt 0 e sen e 2 Inx a eos 7 as x Inx Exercicio 5 A equacdo auxiliar da edo homogénia associada é dada por m2 2m10 cujas raizes sao ie Wi my m2 1 1 WwW Ou seja x3 In x yx 7 x3 2 y2 xl Inx Inx e a solucdo complementar da edo é Yo CyYy C2y ul Wo c C11 C2Y2 22 W cx7c9x7Inx 3 1 2 x iInx x cy c2Inx com CcyC2 E R Inx Usando o método da variacao de pardmetros para encontrar uma solucdo particular temse que a equacio Ou seja dada em sua forma padrao tornase 3 1 Inx 2 me P Me uy x In x2Inx 2 03 Yor sy y 2 ug xInx14 1 y2 we yy YY 1 72 comc3c4 IR Considerando cz cq 0 seguese que yl xl Inx uma solucdao particular da equacio é 2 2 IInx x Yp Yiu Y2U2 3 x Inx2 0 y2 W f mx ea solucdao geral da edo é entiio f 0 xtinx Y Yet Yp ay 1 Inx x cx ex Inx Inx2 x 3 In x a Universidade Federal do Vale do Sao Francisco Engenharia Civil CAlculo Diferencial e Integral IV Prof Edson 1 Semestre Gabarito 2 Prova 2022 Data Quartafeira 1 de Fevereiro de 2023 Turma C4 Exercicio 1 Observe que a equacio Tomando cz 0 seguese que xy x2 2xy x2y 0 yox yrxux pode ser reescrita em sua forma padrdo da seguinte yet forma 2 x 2x x2 a ya y 0 onde Exercicio 2 A equacdao auxiliar da edo em questio é 5 dada por Px 2 2 m 6m2 11m 6 0 x2 x42 Observe que m1 Desejase encontrar uma outra solucio desta equacéo é uma solucao desta equacao e sabendo que 3 5 yi x m 6m 11m 6 m1 m 5m 6 é uma solucao Usando 0 método da reducao de ordem oO seja as outras solugdes desta equacio sao a raizes da considere equaciio 2 nx Pxdx m 5m 6 0 que sao 2 2 ax 14 ax mz 2 x2Inx cp m3 3 com cg R Disto seguese que Assim o conjunto fundamental de solucées da equacao diferencial em questi é px el x 1 el1 ex2Inxc9 e ex elnx oa mx y2e ex7e 92x 1xe y3 e onde c e Tomando c 1 temse 3x e fH ux ye dx Logo a solucao geral da equacao é ox Y C1Y1 C2Y2 C3Y3 xe rex x cye 4 cnee 4 c3e e 02 02 R COM C1 Cy C3 ER a 2 Gabarito 2 Prova Exercicio 3 Desejase encontrar uma solucao ou seja particular y da equacio diferencial my m 1 y 2y 2y xcosx e 0 conjunto fundamental de solugées é Considere yn eme Yp Asinx Bcosx Cxsinx Dx cos x e e observe que y D Acosx C Bsinx Dx sinx p Cx cos x xe y 2C B cosx 2D A sinx Dx cos x Usando o método da variacao de parametros temse Cxsinx que Substituindo na equacio dada temse We YY y 2y 2y xcosx yi 2AB2C 2Dcosx ex xe A 2B2C 2D sinx Lek 14xe 2CDxcosxC2D xsinx xcos x Ox e Ou seja 2AB2C2D0 mal pee A2B2C2D 0 1 faevx f Yo 2CD1 0 xe C2D0 exx 1xe 4d vx 1x 25 xex 2 B 25 yi 0 5 yy f 1 D x 5 e 0 e portanto a solucdo particular é e ersx 14 2 2 1 Yp 5g Sinx 55 cosx Exsinx xXcosx x é 14 2 sin x 2 ty cos x 255 255 ww M f a Ww 2 Exercicio 4 A equacdo auxiliar da equacio difierencial axe ve homogénea associada é dada por ex m 2m108 m1 0 xx 3 Gabarito 2 Prova Ww uniene ef 1 W2 cujas raizes sito mM 242i ex x etx My 22i Vx Ou seja Ou seja a 2 22 uy Ex Vx c p2 2 a uz axvx te y1 x cos BInx comcoc R Considerando cy cy Oex 0 x cos 2Inx seguese que uma solucdo particular da equacio é Y2 x sin Bln x Yp Yi You 5 5 x sin 2Inx 2x7xe x xe 5 3 ea solucdo geral é ax Vie Y C1Y1 C2Y2 a cx cos 2Inx cox sin 2In x Exercicio 5 Sendo a equacio dada um Equacao de Euler 1 seguese que a equacdo auxiliar desta é dada por x2 1008 2Inx cz sin 2Inx m 4m80 com CcyC2 E R a