Lista de Exercícios Resolvidos - Problemas de Otimização e Taxas Relacionadas em Cálculo

80 QUESTÃO 01 Desejase construir uma calha de seção trapezoidal como mostra a figura Determine qual deve ser o ângulo da face inclinada em relação à horizontal para que a calha tenha vazão máxima 80 QUESTÃO 02 Uma indústria de óleo de cozinha deseja embalar seu produto em latas cilíndricas de 1 litro Quais devem ser as dimensões da lata que minimizam o custo do metal para produzila 160 QUESTÃO 03 Um grande balão esférico de borracha está sendo cheio de gás a uma taxa constante de 8m3s Calcule com que velocidade o raio r do balão cresce a Quando r 2 m b Quando r 4 m 80 QUESTÃO 04 Uma empresa precisa projetar um galpão industrial de formato retangular com área total de 2500 metros quadrados Eles pretendem gastar o mínimo possível nas paredes para cercar o galpão Qual a largura e comprimento deste galpão para que o perímetro seja o menor possível 80 QUESTÃO 05 Dois carros partem de um mesmo ponto Um viaja para o sul a 60 kmh e o outro para oeste a 25 kmh A que taxa está aumentando a distância entre os carros duas horas depois da partida INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO VITÓRIA Nome Turma Disciplina Cálculo I Professor Jose Carlos Thompson Data Valor 1000 Nota ORIENTAÇÃO Leia atentamente as questões antes de respondêlas Resolva com atenção e com clareza 80 QUESTÃO 06 Encontre os pontos P e Q sobre a parábola y 1 x² de forma que o triângulo ABC formado pelo eixo x e pelas retas tangentes a parábola em P e Q seja equilátero 80 QUESTÃO 07 De um petroleiro quebrado vaza um grande volume V de óleo num mar calmo Após a turbulência inicial ter acabado o petróleo se expande num contorno circular de raio r e espessura uniforme h onde r cresce e h decresce de um modo determinado pela viscosidade e flutuabilidade do óleo Experiências de laboratório sugerem que a espessura é inversamente proporcional à raiz quadrada do tempo decorrido ℎ 𝑐 𝑡 Mostre que a taxa 𝑑𝑟 𝑑𝑡 com que o petróleo se expande é inversamente proporcional a 𝑡 3 4 80 QUESTÃO 08 No motor mostrado na figura um bastão de 7 polegadas tem uma de suas extremidades acoplada a uma manivela cujo raio é de 3 polegadas Na outra extremidade do bastão está um pistão que se desloca quando a manivela gira Sabendo que a manivela gira no sentido antihorário a uma taxa constante de 200 rotações por minuto calcule a velocidade do pistão quando 𝜃 𝜋 3 160 QUESTÃO 09 Uma mangueira está enchendo um tanque de gasolina que tem o formato de um cilindro deitado de diâmetro 2m e comprimento 3m A figura abaixo representa a seção transversal do tanque no instante t O ângulo 𝜃 varia de zero tanque vazio a 𝜋 tanque cheio No instante em que a altura h do líquido é de 05 m a vazão é de 09 m³min a Determine a taxa de variação do ângulo 𝜃 no instante em que a altura do líquido é de 05 m b Determine a taxa de variação da altura h do líquido neste mesmo instante 80 QUESTÃO 10 Num filtro com formato de cone como na figura um líquido ecoa da parte superior para a parte inferior passando por um orifício de dimensões desprezíveis Num certo instante a altura H do líquido depositado na parte inferior é de 8 cm a altura h do líquido na parte superior é 10 cm e h está diminuindo a uma taxa de variação instantânea de 2 cm por minuto Calcule a taxa de variação de H em relação ao tempo nesse instante 40 QUESTÃO 11 A estrutura metálica de uma caixa retangular tem uma base quadrada As hastes horizontais na base são fabricadas com um metal e as hastes verticais são feitas com um metal diferente Se as hastes horizontais se dilatarem a uma taxa de 0001 cmh e as hastes verticais se dilatarem a uma taxa de 0002 cmh a qual taxa o volume da caixa se dilatará quando a base tiver uma área de 9 cm² e o volume for de 180 cm³