Análise no Domínio do Tempo Contínuo Usando a Transformada de Laplace

Analise no Domınio do Tempo Contınuo usando a Transformada de Laplace Disciplina Analise de Sistemas Lineares Prof Rodrigo Gusmao Cavalcante rodgcavifbaedubr rodgcavgmailcom Departamento de Engenharia Eletrica Instituto Federal da Bahia Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares ASL usando Laplace 1 39 Conteudo 1 Introducao 2 Transformada de Laplace 3 Resposta de estado nulo 4 Estabilidade do sistema Estabilidade interna assintotica Relacao entre estabilidade BIBO e assintotica Estabilidade analisando a funcao de transferˆencia 5 Analise de circuitos eletricos o circuito transformado 6 Diagrama de blocos Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares ASL usando Laplace 2 39 1 Introducao 2 Transformada de Laplace 3 Resposta de estado nulo 4 Estabilidade do sistema Estabilidade interna assintotica Relacao entre estabilidade BIBO e assintotica Estabilidade analisando a funcao de transferˆencia 5 Analise de circuitos eletricos o circuito transformado 6 Diagrama de blocos Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares ASL usando Laplace 3 39 Introducao Na analise no domınio do tempo a entrada xt e dividida em com ponentes impulsivas Na analise no domınio da frequˆencia a entrada xt e dividida em exponenciais na forma est na qual o parˆametro s e a frequˆencia complexa do sinal est Esse metodo oferece uma visao do comportamento do sistema com plementar a estudada na analise no domınio do tempo De fato os metodos analise no domınio do tempo e no domınio da frequˆencia sao duais A ferramenta que possibilita representar uma entrada arbitraria xt em termos de componentes exponenciais e a Transformada de La place a qual sera discutida a seguir Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares ASL usando Laplace 4 39 1 Introducao 2 Transformada de Laplace 3 Resposta de estado nulo 4 Estabilidade do sistema Estabilidade interna assintotica Relacao entre estabilidade BIBO e assintotica Estabilidade analisando a funcao de transferˆencia 5 Analise de circuitos eletricos o circuito transformado 6 Diagrama de blocos Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares ASL usando Laplace 5 39 Transformada de Laplace e Para um sinal zt a transformada de Laplace Xs é definida por CO Xs nten db oo e A transformada inversa de Laplace de Xs é dada por cjoo xt Xseds cjoo onde c é uma constante escolhida para garantir a convergéncia da integral acima e Simbolicamente XsLat e 2tL71Xs ou xt Xs Transformada de Laplace No xt X s 1 δt 1 2 ut 1 s 3 tut 1 s2 4 tnut n sn1 5 eλtut 1 s λ 6 teλtut 1 s λ2 7 tneλtut n s λn1 Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares ASL usando Laplace 7 39 Transformada de Laplace No xt X s 8a cosbtut s s2 b2 8b sinbtut b s2 b2 9a eat cosbtut s a s a2 b2 9b eat sinbtut b s a2 b2 10a reat cosbt θut r cosθs ar cosθ br sinθ s2 2as a2 b2 10b reat cosbt θut 05rejθ s a jb 05rejθ s a jb Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares ASL usando Laplace 8 39 Transformada de Laplace A maioria das transformadas X s de interesse sao funcoes racionais ou seja razoes de polinˆomios em s Tais funcoes podem ser expressas como a soma de funcoes mais simples usando a expansao em fracoes parciais Os valores s para os quais X s 0 sao chamados de zeros de X s e os valores de s para os quais X s sao chamados de polos de X s Exemplo 1 Determine a transformada inversa de Laplace de a 7s 6 s2 s 6 b 2s2 5 s2 3s 2 c 6s 34 ss2 10s 34 d 8s 10 s 1s 23 Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares ASL usando Laplace 9 39 Transformada de Laplace Exercıcio 1 Determine a transformada inversa de Laplace de a s 17 s2 4s 5 3et 2e5tut b 3s 5 s 1s2 2s 5 2et 04et cos2t 3687ut c 16s 43 s 2s 32 3e2t t 3e3tut Exemplo computador MatLab X s 2s2 5 s2 3s 2 Comandos num2 0 5 den1 3 2 rpkresiduenumden X s 13 s 2 7 s 1 2 Saıda r13 7 p2 1 k2 Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares ASL usando Laplace 10 39 Transformada de Laplace Propriedades da transformada de Laplace Operacao xt X s Adicdo at at X1s X9s Multiplicar escalar kat kX s on dx Diferenciagdo no tempo it sXs 07 ad x a sXs S srk kDg k1 1 Integragdo no tempo eo dt 54 s a t o 1 1 ur dr 54 s 5 at dt oo 0o Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Toll RAUL ome MTOR UE MU Ct Rey ASL usando Laplace 11 39 Transformada de Laplace Propriedades da transformada de Laplace Operacao xt Xs Deslocamento no tempo xt to ut to Xse t 0 Deslocamento em frequéncia xt es Xs 59 d Xs Diferenciacdo em frequéncia tat ae Co t Integracdo em frequéncia xo dz Ss 1 8 Escalonamento zata0 ae Convoludo no tempo a1 t 2t X1sXos 1 Convoludo na frequéncia x1 t29t any oils Xos ee FEeT Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA BIE iE AUIS oR MTT RoE Mtoe ASL usando Laplace 12 39 Transformada de Laplace Propriedades da transformada de Laplace Operacao xt X s Valor inicial x0 lim s sX s n m Valor final x lim s0 sX s polo de sX s no SPE Podemos aplicar a propriedade de convolucao no tempo na relacao yt xt ht de entrada e saıda de um LCIT para obter Y s X sH s A resposta yt e a resposta de estado nulo do sistema LCIT a entrada xt H s Y s X s Lresposta de estado nulo Lentrada Esta pode ser considerada uma definicao alternativa da funcao de transfe rˆencia H s de sistemas LCIT Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares ASL usando Laplace 13 39 1 Introducao 2 Transformada de Laplace 3 Resposta de estado nulo 4 Estabilidade do sistema Estabilidade interna assintotica Relacao entre estabilidade BIBO e assintotica Estabilidade analisando a funcao de transferˆencia 5 Analise de circuitos eletricos o circuito transformado 6 Diagrama de blocos Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares ASL usando Laplace 14 39 Resposta de estado nulo Considere um sistema LCIT de ordem N especificado pela equacao QDyt PDxt ou DN a1DN1 aN1D aN yt b0DN b1DN1 bN1D bN xt A transformada de Laplace dessa equacao pra o estado nulo condi coes iniciais nulas resulta em Y s b0sN b1sN 1 bN 1s bN sN a1sN 1 aN 1s aN X s Ps QsX s Esta e funcao de transferˆencia de um sistema diferencial linear tam bem obtida anteriormente slide anterior usando uma abordagem alternativa Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares ASL usando Laplace 15 39 Resposta de estado nulo Exemplo 2 Determine a resposta yt de um sistema LCIT descrito pela equacao d2y dt2 5dy dt 6yt dx dt xt se a entrada for xt 3e5tut e todas as condicoes iniciais forem zero ou seja o sistema esta no estado nulo Exercıcio 2 Para o sistema LCIT com funcao de transferˆencia H s s 5 s2 4s 3 a Descreva a equacao diferencial que relaciona a entrada xt e a saıda yt D2 4D 3yt D 5xt b Determine a resposta yt do sistema a entrada xt e2tut se o sistema estiver em estado nulo yt 2et 3e2t e3tut Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares ASL usando Laplace 16 39 1 Introducao 2 Transformada de Laplace 3 Resposta de estado nulo 4 Estabilidade do sistema Estabilidade interna assintotica Relacao entre estabilidade BIBO e assintotica Estabilidade analisando a funcao de transferˆencia 5 Analise de circuitos eletricos o circuito transformado 6 Diagrama de blocos Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares ASL usando Laplace 17 39 Estabilidade do sistema Para compreender a base intuitiva de estabilidade BIBO de um sistema vamos examinar o conceito de estabilidade aplicada a um cone circular Tal cone pode ser mantido eternamente em pe sobre sua base circu lar sobre seu vertice ou sua lateral Estes trˆes estados do cone sao chamados de estados de equilıbrio Qualitativamente entretanto os trˆes estados possuem comportamentos muitos distintos equilıbrio estavel se o cone estando em pe sobre sua base circular for ligeiramente perturbado e entao deixado solto ele ira eventualmente retornar para a posicao de equilıbrio original equilıbrio instavel se o cone estiver sobre o vertice entao a menor pertubacao ira fazer com que o cone se mova cada vez mais longe do deu estado de equilıbrio equilıbrio neutro estando o cone deitado sobre sua lateral se perturbado ele nem ira voltar nem se afastara do estado original de equilıbrio Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares ASL usando Laplace 18 39 Estabilidade do sistema Se cada entrada limitada produzir uma saida limitada o sistema é BIBO estavel e Em contraste se mesmo uma entrada limitada resultar em uma resposta ilimitada o sistema é BIBO instavel e Para um sistema LCIT co yt ht 2t hrat 7 dr Co e a estabilidade BIBO é expressa por CO ar dr 00 CO e Essa é uma condicdo suficiente e necessdria para a estabilidade BIBO Estabilidade interna assintotica Estabilidade do sistema A estabilidade interna tambem e chamada de estabilidade assintotica ou estabilidade no sentido de Lyapunov Em um sistema estavel neste sentido cada modo oriundo de uma con dicao inicial nao nula deve tender para 0 quando t Podese escrever o criterio de estabilidade interna em termos da po sicao das N raızes caracterısticas λ1 λ2 λN do sistema no plano complexo 1 Um sistema LCIT e assintoticamente estavel se e somente se todas as raızes caracterısticas estiverem no SPE As raızes podem ser simples nao repetidas ou repetidas 2 Um sistema LCIT e instavel se e somente se uma ou ambas das condicoes seguintes existirem i ao menos uma raiz estiver no SPD ii existirem raızes repetidas no eixo imaginario 3 Um sistema LCIT e marginalmente estavel equilıbrio neutro se e somente se nao existirem raızes no SPD e existirem algumas raızes nao repetidas no eixo imaginario Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares ASL usando Laplace 20 39 T Tar Estabilidade interna assintdtica Estabilidade do sistema Posigao da ralZ Resposta de entrada nula Posigdo da raiz Resposta de entrada nula caracteristica caracteristica 0 0 t 0 0 t 0 0 0 t 0 t Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA BIE iE AUIS oR MTT RoE Mtoe ASL usando Laplace 21 39 T Tar Estabilidade interna assintdtica Estabilidade do sistema Posicao da raiz Posigao da raiz cpt Resposta de entrada nula oat Resposta de entrada nula caracteristica caracteristica 0 0 Mot 0 oN t x x 0 of VT VT fe 0 of VT Vf Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA BIE iE AUIS oR MTT RoE Mtoe ASL usando Laplace 22 39 Relacao entre estabilidade BIBO e assintotica Estabilidade do sistema A estabilidade externa e determinada pela aplicacao de uma entrada externa com condicoes iniciais nulas enquanto que a estabilidade in terna e determinada aplicando condicoes iniciais nao nulas e nenhuma entrada externa Isto explica o porque destas estabilidades serem chamadas de estabili dade de estado nulo e estabilidade de entrada nula respectivamente Observacoes importantes 1 Um sistema assintoticamente estavel e BIBO estavel 2 Um sistema marginalmente estavel ou assintoticamente instavel e BIBO instavel 3 O contrario nao e necessariamente verdadeiro ou seja a estabilidade BIBO nao necessariamente nos informa sobre a estabilidade interna do sistema Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares ASL usando Laplace 23 39 Estabilidade do sistema Exemplo 3 Avalie a estabilidade assintotica e BIBO do sistema LCIT descrito pelas seguintes equacoes assumindo que as equacoes sao descricoes internas do sistema e que todos os sistemas sao controlaveis e observaveis a D 1D2 4D 8yt D 3xt b D 1D2 4D 8yt D 2xt c D 2D2 4yt D2 D 1xt d D 1D2 42yt D2 2D 8xt Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares ASL usando Laplace 24 39 Estabilidade do sistema Exercıcio 3 Avalie a estabilidade assintotica e BIBO do sistema LCIT descrito pelas seguintes equacoes assumindo que as equacoes sao descricoes internas do sistema e que todos os sistemas sao controlaveis e observaveis a DD 2yt 3xt b D2D 3yt D 5xt c D 1D 2yt 2D 3xt d D2 1D2 92yt D2 2D 4xt e D 1D2 4D 92yt D 7xt Respostas a Marginalmente estavel mas BIBO instavel b Instaveis nos dois sentidos c Estaveis nos dois sentidos d Instaveis nos dois sentidos e Instaveis nos dois sentidos Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares ASL usando Laplace 25 39 Estabilidade analisando a funcao de transferˆencia O denominador de H s e Qs pode ou nao ser idˆentico ao polinˆo mio caracterıstico Qλ Isto e se Ps e Qs possuırem fatores comuns eles irao se cancelar e o denominador efetivo de H s nao sera necessariamente igual a Qs A funcao de transferˆencia H s e definida em termos de medidas nos terminais externos Consequentemente H s podese determinar apenas a estabilidade externa ou seja a estabilidade BIBO a partir de H s Se todos os polos de H s estiverem no SPE o sistema e BIBO estavel caso contrario o sistema e BIBO instavel Caso o grau de PsM seja maior que o grau de QsN entao o sistema e BIBO instavel Alem disso este tipo de sistema M N um diferenciador ampli fica muito o ruıdo pois sua diferenciacao amplifica altas frequˆencias as quais geralmente sao predominantes em um sinal de ruıdo Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares ASL usando Laplace 26 39 Estabilidade analisando a funcao de transferˆencia Se Ps e Qs nao possuem fatores comuns o criterio de estabili dade interna assintotica e dado em funcao dos polos da funcao de transferˆencia do sistema como mostrado a seguir 1 Um sistema LCIT e assintoticamente estavel se e somente se todos os polos de sua funcao de transferˆencia H s estiverem no SPE Os polos podem ser simples ou repetidos 2 Um sistema LCIT e instavel se e somente se uma ou as duas condicoes a seguir existirem i ao menos um polo de H s esta no SPD ii existirem polos repetidos de H s no eixo imaginario 3 Um sistema LCIT e marginalmente estavel se e somente se nao existirem polos de H s no SPD e alguns polos nao repetidos estiverem no eixo imaginario A localizacao dos zeros de H s nao e importante na determinacao da estabilidade do sistema Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares ASL usando Laplace 27 39 Estabilidade analisando a funcao de transferˆencia Exemplo 4 A figura abaixo mostra uma conexao em cascata de dois sistemas LCIT o sistema S seguido por S As funcoes de transferˆencia desses sistemas sao H1s 1s 1 e H2s s 1s 1 respectivamente Analise a estabilidade BIBO e assintotica do sistema composto yt s1 s1 xt 1 s1 Exercıcio 4 Analise a estabilidade assintotica e BIBO para os sistemas descritos funcoes de transferˆencia i s 5 s2 3s 2 ii s 5 s2s 2 iii ss 2 s 2 iv s 5 ss 2 v s 5 s2 2s 3 controlaveis e observaveis pelas equacoes diferenciais i D2 3D 2yt D 3xt ii D2 3D 2yt D 1xt iii D2 D 2yt D 1xt iv D2 3D 2yt D 1xt Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares ASL usando Laplace 28 39 1 Introducao 2 Transformada de Laplace 3 Resposta de estado nulo 4 Estabilidade do sistema Estabilidade interna assintotica Relacao entre estabilidade BIBO e assintotica Estabilidade analisando a funcao de transferˆencia 5 Analise de circuitos eletricos o circuito transformado 6 Diagrama de blocos Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares ASL usando Laplace 29 39 Analise de circuitos elétricos o circuito transformado e E possivel analisar circuitos elétricos usando diretamente a transfor mada de Laplace sem ser necessdrio escrever as equacces integro diferenciais e Este procedimento é consideravelmente mais simples pois ele per mite tratar um circuito elétrico qualquer como se fosse um circuito resistivo e Considerando condicoes iniciais nulas temse 1 VissLIs VesGls e Vrs RIs onde sL e 1sCe R sao as impedancias de um indutor um capacitor e um resistor respectivamente As leis de Kirchhoff permanecem validas para tensOes e correntes no dominio da frequéncia k k dD Vils0 SIG s 0 jl jl Analise de circuitos eletricos o circuito transformado Exemplo 5 Determine a corrente de malha it no circuito mostrado na figura abaixo se todas as condicoes iniciais forem nulas 05 F 1 H 3Ω 10 ut it Exercıcio 5 Determine a resposta yt de estado nulo do circuito mostrado na figura abaixo se a tensao de entrada for xt tetut Determine a funcao de transferˆencia relacionando a saıda yt com a entrada xt O sistema e estavel 2 H 2Ω 1 F yt xt 1Ω Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares ASL usando Laplace 31 39 Analise de circuitos eletricos o circuito transformado Caso as condicoes iniciais sejam nao nulas podemos representar a condicao inicial de capacitor ou de um indutor por uma fonte equivalente Is V s Is v0 vt C it V s 1s C C0 1s C v0s Is V s sL Is Li0 it V s vt L sL i0s Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares ASL usando Laplace 32 39 Analise de circuitos eletricos o circuito transformado Exemplo 6 A chave no circuito da figura abaixo e mantida na posicao fechada por um longo perıodo antes de t 0 quando ela e entao aberta instantaneamente Determine as correntes y1t e y2t para t 0 15 Ω 1 Ω y2t y1t 12 H vC0 16 V y20 4 A t 0 20 V 4 V vC 1 F y1t 24e3t 48e4tut y2t 16e3t 12e4tut Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares ASL usando Laplace 33 39 Analise de circuitos eletricos o circuito transformado Exercıcio 6 A chave no circuito da figura abaixo esta na posicao a por um longo perıodo antes de t 0 quando ela e movida instantaneamente para a posicao b Determine a corrente y1t e a tensao de saıda v0t para t 0 t 0 a 2 Ω 2 H v0t 3 H M 5 V 10 V 1 Ω 1 Ω y2t y1t b y1t 4 e0382t e2618tut v0t 2 1618e0382t 0618e2618tut Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares ASL usando Laplace 34 39 Analise de circuitos eletricos o circuito transformado Exercıcio 7 Para o circuito RLC da figura abaixo a entrada e ligada atraves da chave em t 0 As condicoes iniciais sao y0 2 A e vc0 50 V Determine a corrente de malha yt e a tensao no capacitor vct para t 0 vCt 02 F 24 V 1 H 2 Ω t 0 yt yt 10 2et cos2t 818ut vct 24 3162et cos2t 347ut Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares ASL usando Laplace 35 39 1 Introducao 2 Transformada de Laplace 3 Resposta de estado nulo 4 Estabilidade do sistema Estabilidade interna assintotica Relacao entre estabilidade BIBO e assintotica Estabilidade analisando a funcao de transferˆencia 5 Analise de circuitos eletricos o circuito transformado 6 Diagrama de blocos Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares ASL usando Laplace 36 39 Diagrama de blocos Grandes sistemas podem possuir um enorme numero de componentes e elementos Neste caso e mais conveniente representar um sistema atraves de diversos subsistemas adequadamente conectados cada um podendo ser facilmente analisado Cada subsistema pode ser caracterizado em termos de sua realacao entradasaıda sua funcao de transferˆencia H s Os subsistemas podem ser conectados em cascata serie paralelo ou em realimentacao Y s H1s H2s Ws Xs Y s Xs H1sH2s Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares ASL usando Laplace 37 39 Diagrama de blocos Conectado em paralelo Σ H1s H2s Xs Y s Y s Xs H1s H2s Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares ASL usando Laplace 38 39 Diagrama de blocos Conectado com realimentacao Σ Gs Hs Y s Xs Gs 1 GsHs Es Y s Xs Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares ASL usando Laplace 39 39