Análise no Domínio do Tempo de Sistemas em Tempo Contínuo

Analise no Domınio do Tempo de Sistemas em Tempo Contınuo Disciplina Analise de Sistemas Lineares Prof Rodrigo Gusmao Cavalcante rodgcavifbaedubr rodgcavgmailcom Departamento de Engenharia Eletrica Instituto Federal da Bahia Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Analise domınio do tempo 1 40 1 Introducao 2 Resposta do sistema a condicoes internas resposta de entrada nula 3 Resposta do sistema ao impulso unitario 4 Resposta do sistema a entrada externa resposta de estado nulo A integral de convolucao Entendimento grafico da operacao de convolucao Resposta total Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Analise domınio do tempo 2 40 1 Introducao 2 Resposta do sistema a condicoes internas resposta de entrada nula 3 Resposta do sistema ao impulso unitario 4 Resposta do sistema a entrada externa resposta de estado nulo A integral de convolucao Entendimento grafico da operacao de convolucao Resposta total Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Analise domınio do tempo 3 40 Introducao A analise de sistemas lineares invariantes no tempo LIT pode ser realizada no domınio do tempo e no domınio da frequˆencia Neste momento discutiremos a analise do domınio do tempo de sistemas lineares contınuos invariantes no tempo LCIT Para o proposito de analise consideraremos uma subclasse dos sis temas LCIT cujas entrada xt e saıda yt estao relacionadas por equacoes diferenciais lineares na forma dN y dtN a1 dN 1y dtN 1 aN 1 dy dt aN yt bN M dM x dtM bN M 1 dM 1x dtM 1 bN 1 dx dt bN xt onde todos os coeficientes ai e bi sao constantes Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Analise domınio do tempo 4 40 Introducao Ou podese usar a notacao do operador D para representar ddt a equacao anterior como DN a1DN 1 aN 1D aN yt bN M DM bN M 1DM 1 bN 1D bN xt a qual ainda pode ser expressa em funcao dos polinˆomios QD e PD como QDyt PDxt 1 Teoricamente as potˆencias M e N nas equacoes anteriores podem assumir qualquer valor Entretanto consideracoes praticas tornam M N nao desejavel Pois quando M N o sistema funciona como um diferenciador podendo resultar em um sistema instavel ou ampliar o ruıdo do sinal Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Analise domınio do tempo 5 40 1 Introducao 2 Resposta do sistema a condicoes internas resposta de entrada nula 3 Resposta do sistema ao impulso unitario 4 Resposta do sistema a entrada externa resposta de estado nulo A integral de convolucao Entendimento grafico da operacao de convolucao Resposta total Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Analise domınio do tempo 6 40 Resposta do sistema a entrada nula A resposta de entrada nula y0t e a solucao da equacao 1 quando a entrada xt 0 tal que QDy0t 0 DN a1DN 1 aN 1DaN y0t 0 Podese mostrar que a solucao generica da equacao acima e dada por y0t c1eλ1t c2eλ2t cN eλN t 2 onde c1 cc cN sao constantes arbitrarias determinadas pelas N restricoes da solucao e λ1 λ2 λN sao as raızes do polinˆomio caracterıstico Qλ λN a1λN 1 aN 1λ aN As exponenciais eλit i 1 2 N da resposta de entrada nula sao os modos caracterısticos ou naturais do sistema Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Analise domınio do tempo 7 40 Resposta do sistema a entrada nula Raızes repetidas A solucao dada pela equacao 2 assume que as N raızes caracterısticas λ1 λ2 λN sao distintas Caso existam raızes repetidas a forma da solucao sera um pouco modi ficada Por exemplo caso uma raiz λ repita r vezes entao seus modos caracterısticos sao eλt teλt t2eλt tr1eλt Raızes raızes complexas O procedimento para lidar com raızes complexas e o mesmo aplicado nas raızes reais Para raızes complexas o procedimento normal resulta em modos caracterısticos complexos e em solucao na forma complexa Entretanto e possıvel evitar a forma complexa selecionando a forma real da solucao como descrito a seguir y0t c1eαjβt c2eαjβt ceαt cosβt θ onde c1 cejθ2 e c2 cejθ2 Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Analise domınio do tempo 8 40 Resposta do sistema a entrada nula Exemplo 1 Determine a y0t a componente de entrada nula da resposta de um sistema LCIT descrito pela seguinte equacao diferencial D2 3D 2yt Dxt quando as condicoes iniciais sao y00 0 y00 5 Exemplo 2 Determine a y0t a componente de entrada nula da resposta de um sistema LCIT descrito pela seguinte equacao diferencial D2 6D 9yt 3D 5xt quando as condicoes iniciais sao y00 3 y00 7 Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Analise domınio do tempo 9 40 Resposta do sistema a entrada nula Exemplo 3 Determine a y0t a componente de entrada nula da resposta de um sistema LCIT descrito pela seguinte equacao diferencial D2 4D 40yt D 2xt quando as condicoes iniciais sao y00 2 y00 12 3 Exercıcio 1 Considere um sistema LCIT especificado pela equacao diferencial D2 4D kyt 3D 5xt Usando as condicoes iniciais y00 3 e y00 7 determine a com ponente de entrada nula da resposta para trˆes valores de k a k 3 b k 4 c k 40 Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Analise domınio do tempo 10 40 1 Introducao 2 Resposta do sistema a condicoes internas resposta de entrada nula 3 Resposta do sistema ao impulso unitario 4 Resposta do sistema a entrada externa resposta de estado nulo A integral de convolucao Entendimento grafico da operacao de convolucao Resposta total Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Analise domınio do tempo 11 40 Resposta do sistema ao impulso unitario A resposta de um sistema linear a um sinal xt pode ser determi nada substituindo a entrada por pulsos retangulares estreitos como mostrado na figura abaixo e entao somando todas as respostas do sistema a cada componente t nτ τ xt xnτ t yt t 0 nτ Os pulsos retangulares se transformam em impulsos quando as lar guras tendem a zero Portanto a resposta do sistema e a soma de todas as respostas aos varios componentes de impulso Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Analise domınio do tempo 12 40 Resposta do sistema ao impulso unitario A resposta ht ao impulso unitario e a resposta do sistema a uma entrada impulsiva δt aplicada em t 0 com todas as condicoes iniciais zero para t 0 Uma entrada em impulso δt aparece momentaneamente em t 0 e entao desaparece para sempre Mas naquele momento ela resulta no armazenamento de energia ou seja cria condicoes iniciais nao nulas instantaneamente dentro do sistema para t 0 A resposta completa ao impulso e da forma ht b0δt modos caracterısticos t 0 onde o termo de impulso b0δt so existe se M N Usando o metodo simplificado de casamento de impulso a resposta ht a entrada em impulso unitario e dada por ht b0δt PDyntut Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Analise domınio do tempo 13 40 Resposta do sistema ao impulso unitario onde ynt e a combinacao linear dos modos caracterısticos do sistema sujeito as seguintes condicoes iniciais yn0 yn0 yn0 yN 2 n 0 0 e yN 1 n 0 1 na qual yk n t e o valor da kesima derivada de ynt para t 0 Exemplo 4 Determine a resposta ht ao impulso unitario para o sistema especificado pela equacao D2 3D 2yt Dxt Exercıcio 2 Determine a resposta ao impulso unitario dos sistemas LCITs descritos pelas seguintes equacoes a D 2yt 3D 5xt ht 3δt e2tut b DD 2yt D 4xt ht 2 e2tut c D2 2D 1yt Dxt ht 1 tetut Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Analise domınio do tempo 14 40 1 Introducao 2 Resposta do sistema a condicoes internas resposta de entrada nula 3 Resposta do sistema ao impulso unitario 4 Resposta do sistema a entrada externa resposta de estado nulo A integral de convolucao Entendimento grafico da operacao de convolucao Resposta total Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Analise domınio do tempo 15 40 Resposta do sistema ao estado nulo Considere que yt seja a resposta do sistema a uma entrada xt quando o sistema esta no estado nulo Com esta condicao a resposta de estado nulo sera a resposta total do sistema e Usando o principio da superposiado e um pulso basico pt de altura unitaria e largura Av comecando em t 0 temse entrada saida dtnAr htnAr xnArAr 6tnAr anArAr ht nAr Jim znArdt nArAr dim znArht nArAr at yt Integral de convoluao Co yt arht 7 dr oo Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA BIE iE AUIS oR MTT RoE Mtoe Analise dominio do tempo 16 40 A integral de convolucao e A integral de convolugdo de duas 21t 22t é representada por xt xt sendo definida por Propriedade Comutativa x1 t Lt aot 241t Propriedade Distributiva ait wot 23t xt at at 23t Propriedade Associativa at aat a3 t a1 t 22t a3t A integral de convolucao Propriedade de Deslocamento Se at at ct entao at at T at T at ct T e xt T1 x2t T2 ct 7T T2 Convoluao com um Impulso co at 5t 2r6t 7 dr 2t Co A integral de convolucao Propriedade da Largura Se a duracdo largura de xt e z2t forem finitas dadas por T e To respectivamente entao a durado largura de xt zt serd 7 To xt Xt xt 9t t t t Resposta de Estado Nulo e Causalidade Na pratica a maioria dos sistemas é causal de forma que suas respostas nao podem comegar antes da entrada Por isso temse que t yt at xht femn tdr t0 i 0 t0 Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Andlise de Sistemas Lineares Analise dominio do tempo 19 40 A integral de convolucao Exemplo 5 Para um sistema LCIT com resposta ao impulso unitario dada por ht e2tut determine a resposta yt para a entrada xt etut Exercıcio 3 Para um sistema LCIT com resposta ao impulso unitario dada por ht 6etut determine a resposta yt para a entrada a xt 2ut yt 121 etut b xt 3e3tut yt 9et e3tut Exercıcio 4 Repita o Exemplo 5 para a entrada xt tetut Resposta yt e2ttet et 1ut Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Analise domınio do tempo 20 40 A integral de convolucao No x1t x2t x1t x2t x2t x1t 1 xt δt T xt T 2 eλtut ut 1 eλt λ ut 3 ut ut tut 4 eλ1tut eλ2tut eλ1t eλ2t λ1 λ2 ut λ1 λ2 5 eλtut eλtut teλtut 6 teλtut eλtut 1 2t2eλtut Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Analise domınio do tempo 21 40 A integral de convolucao N at at at 2t at 21t Nle VNIENK N Xr MN 8 tM t tN t EM TN G1 t ut ut MWN 1 ut Aat Ait Ait 1 Az te 9 tety t erz2ty t CN a t a MN M At N At MN1 At 10 t eut t ef ut N i eut 6 de e cosBt 6 11 ect Cos t0 ut erty t cos0 pe e cosBt 09 t Bt ut eMule oe tanBa Entendimento grafico da operacao de convolucao A operacdo de convolucao pode ser facilmente compreendida anali sando a interpretacao grafica da integral de convolucao e Além disso varios sinais ndo possuem uma descricdo matematica exata logo eles podem ser descritos apenas graficamente e Agora explicaremos a operado de convoludo usando os sinais xt e gt ilustrados abaixo com co ct 2rgt 7 dr CcoO xt gt 2 1 1 0 if 2 0 Entendimento grafico da operacao de convolucao τ gτ 0 2 2 0 1 2 1 τ 0 1 2 1 τ gτ xτ gt τ xτ t t1 0 t1 τ xτ 1 0 1 A1 Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Analise domınio do tempo 24 40 Entendimento grafico da operacao de convolucao τ ct 0 1 2 1 τ xτ t3 gt τ t t3 3 0 1 2 1 τ xτ t2 gt τ t t2 0 3 0 t1 t3 t2 A2 A1 A2 Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Analise domınio do tempo 25 40 Entendimento grafico da operacao de convolucao Resumo do procedimento grafico 1 Mantenha a funcao xτ fixa 2 Visualize a funcao gτ como um objeto rıgido e o rotacione ou inverta com relacao ao eixo vertical τ 0 para obter gτ 3 Desloque a funcao invertida ao longo do eixo τ por t0 segundos A figura deslocada agora representa gt0 τ 4 A area debaixo do produto de xτ com gt0 τ figura deslocada e ct0 o valor da convolucao para t t0 5 Repita este procedimento deslocando a figura por diferentes valores posi tivos e negativos para obter ct para todos os valores de t Exemplo 6 Determine xt gt para as funcoes xt e gt mostradas na figura abaixo 1 t 1 1 t 0 3 1 xt gt Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Analise domınio do tempo 26 40 Entendimento grafico da operacao de convolucao Resoluao do Exemplo 6 Método 1 ur 4a 1 gt i 1 T 0 300 g7 gt 7 3 0 T aoe t lo T ct ur gt 7 dr f 1 lrl f 73 t37t in 0 caso contrario gle 7 0 caso contrario Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Andlise de Sistemas Lineares Analise dominio do tempo 27 40 Entendimento grafico da operacao de convolucao Resoluao do Exemplo 6 Método 1 t1 1 t3 al 1 T ct eotnar0 tl Entendimento grafico da operacao de convolucao Resoluao do Exemplo 6 Método 1 ltl 1 el t 1 T co t 2 i t ct fe xaenar fr Star ltl oo 1 1 t1 1 A 41 a area 5 t 1 3 6 Entendimento grafico da operacao de convolucao Resoluao do Exemplo 6 Método 1 1t2 1 t3 1 T 1 co 1 i 2t ct argtrdr fT ar 2 1t2 oo 1 1 t1 t1 2t Svea 4 141 2 area 5 a 73 11 3 Entendimento grafico da operacao de convolucao Resoluao do Exemplo 6 Método 1 2t4 1 1 t3 1 t T co 1 8 9 2 ba tt ot f aegtnar 152 a FF Sa crea oo t3 1 t1 82tt rea 1 1 t 43 area 5 5 1 3 6 Entendimento grafico da operacao de convolucao Resoluao do Exemplo 6 Método 1 tA4 1 1 1 t3 t 7 ct zrgt7dr0 t4 Resoluao do Exemplo 6 Método 2 ar 1 1 gt 1 1 T 0 300 i 1 T 1 1 T ct xt 7 gr dr t4 6 toLercttl air 9 O73 0 caso contrario 0 caso contrario Entendimento grafico da operacao de convolucao Resoluao do Exemplo 6 Método 2 t1 1 t1 t1 0 3 T ct at7g7dr 0 tl Entendimento grafico da operacao de convolucao Resoluao do Exemplo 6 Método 2 ltl 1 t10 41 3 T Co t1 t1 ct J e1 9 ar 1 dr O ltl oo 0 1 t1 1 srea t 1 area 5 t 1 3 6 Entendimento grafico da operacao de convolucao Resoluao do Exemplo 6 Método 2 1t2 7 Ot1l t1 T 3 oo t1 T 2t ot f etre gryar fi Far Z 1t2 oo t1 1 ft1 41 Qt grea 2 42 41t41 2 fren 5 S e 3 Entendimento grafico da operacao de convolucao Resoluao do Exemplo 6 Método 2 2t4 1 0 t13 t1 co 3 8 9 2 tt ot f tr grdr fi bar 52 6 2t4 co t1 1 t1 842tt rea 1 3 t 1 area 5 5 1 1 6 Entendimento grafico da operacao de convolucao Resoluao do Exemplo 6 Método 2 tA4 1 0 3 t1 t17 ct attgrdr0 t4 Resposta total e A resposta de um sistema linear pode ser escrita como a soma das componentes de entrada nula e estado nulo N resposta total y chert xt x ht kl componente de estado nulo componente de entrada nula assumindo raizes distintas Para raizes repetidas a componente de estado nulo deve ser modificada apropriadamente Exemplo 7 Considere o circuito eletrico mostrado na figura a seguir determine a saıda yt i2t As tensoes nos capacitores C1 e C2 antes das chaves serem fechadas sao 1 V e 2 V respectivamente 2 Ω t 0 t 0 C2 2 F i1t i2t 5 V C1 1 F y0t 2δt et6 3 yt 10 3 δt 5 9et6 ytt 4 3δt 8 9et6 Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Analise domınio do tempo 40 40