Lista de Exercícios Resolvidos - Sinais e Sistemas Convolução Deconvolução Transformadas

Sinais e Sistemas Aluno email Data 1Calcule a convolução discreta ykT hkT xkT onde hkT 357 xkT 124 2Calcule a deconvolução discreta para encontrar hkT xkT 12 ykT 024 3Calcule a convolução contínua para obter yt onde xt 1 0 𝑡1 0 cc ht t 0 𝑡1 0 cc yt ht xt 4Encontre as equações de carga e descarga de um circuito RC 5Resolva matematicamente o OHS 6Resolva matematicamente o OHA 7Resolva matematicamente o OHF 8Mostre matematicamente sob quais circunstâncias ocorre o fenômeno da ressonância 9Resolva matematicamente o circuito RLC por equivalência com o OHF 10Calcule a Transformada de Fourier de 20eat ut 11 Calcule a Transformada de Fourier 𝑓 𝑡 10 𝑒 2𝑡5 𝑢𝑡 12Calcule a Transformada de Laplace 𝑓 𝑡 4 𝑒 𝑎𝑡 3 𝑢𝑡 𝑡 0 13Calcule a Transformada de Laplace de 𝑠𝑒𝑛 ω0𝑡 𝑢 𝑡 14Calcule a Transformada Inversa de Fourier de 𝑓 𝑗ω 7 𝑎𝑗ω 8 𝑗ω 15Calcule a Transformada Inversa de Fourier de 10 𝑎𝑗ω 16Calcule a Transformada Inversa de Laplace de 2𝑠12 𝑠 22𝑠5 17Calcule a Transformada Inversa de Laplace de 𝑠3 𝑠1𝑠2 18Mostre que a convolução é comutativa utilizando a Transformada de Fourier ou a Transformada de Laplace m3 y3 sumhmx3m 5 4 7 2 34 m4 y4 sumhmx4m 7 4 28 3º intervalo m 5 ym 0 Portanto ym3 11 29 34 28 0 m 4 2 xm 1 2 yn 0 2 4 considerarei que n0 1 2 Não foram informados os valores dos índices yn sumhmxmn y0 h0x0 y1 h0x1 h1x0 y2 h2x0 h1x1 h0x2 0 h0 2 h02 h11 4 h21 h12 h00 h2 0 h0 0 h1 2 hn 0 2 0 1º intervalo t 0 o produto hτxτt é nulo logo yt 0 2º intervalo 0 t 1 yt 0t hτ xτtdτ 0t τ1 dτ τ²2₀ᵗ t²2 observe que o produto é não nulo até t 3º intervalo 1 t 2 yt 1² hτxtτdτ t11 τ1 dτ τ²2t¹¹ yt 12 1 t1² 12 1 t² 2t 1 t 12 t² intervalo de integraçao 4º intervalo t 2 o produto hτxtτ é nulo nesse intervalo yt 0 Portanto a saída yt é yt t²2 se 0 t 1 t 12 t² se 1 t 2 0 caso contrário 1 hm 3 5 7 xm 1 2 4 Não foram especificados os valores dos índices Vou considerar que m 0 1 2 1º intervalo m 0 Não há interseção entre os sinais ym 0 2º intervalo 0 m 4 yn hm xnm nesse intervalo hm e xnm se tocam e o produto hmxnm é não nulo m0 y0 hm x0m 3 1 3 m1 y1 hm x1m 3 2 5 1 11 m2 y2 hm x2m 3 4 5 2 7 1 29 m3 y3 hm x3m 5 4 7 2 34 m4 y4 hm x4m 7 4 28 3º intervalo m 5 ym 0 Portanto ym 3 11 29 34 28 0 m 4 Chave na posição A resposta ao degrau do circuito RC Como i dqdt então VRt VCt V R dqdt qC V dqdt V qC R dqV qC dtR dqCV q dtRC Considernado que no instante inicial t0 o capacitor está descarregado a integral de ambos os lados de equações anteriores é 0 d xCV x t dτRC ln CV x x qx0 τRC ln cv qCV tRC CV q CV etRC q CV 1 etRC VCt V 1 etRC Outros grandezas no circuito Tensão no resistor VRt V VCt V V 1 etRC VRt VetRC Corrente do circuito it VRtR V etRC R it VR etRC Chave na posição B resposta natural do circuito RC VRt VCt 0 R dqdt qC 0 RC dqdt q dqq dtRC Considerando o capacitor com uma carga inicial q0 CVco no instante inicial t0 0 e integrando ambos os lados da equação acima q0 CVco d xx 1RC 0 dτ ln x xqx CVco 1RC τ τ tτ 0 ln qCVco tRC qCVco etRC qt CVco etRC qtC Vco etRC VCt Vco etRC Outros grandezas elétricas do circuito Tensão no resistor VRt VCt VRt Vco etRC Corrente no circuito it VRtR it VcoR etRC O SENTIDO DE REFERÊNCIA DA CORRENTE É O DA FIGURA Oscilador Harmônico Simples Na posição x0 a força exercida pela mola é nula Para x x0 a força está voltada para a esquerda Para x x0 a força está no sentido para a direita logo Fm K x x0 î A partir da segunda Lei de Newton F m a F m d²xdt² Assim K x x0 m d²xdt² m d²xdt² K xx0 0 fazendo y x x0 dydt dxdt d²ydt² d²xdt² Logo m d²ydt² ky 0 d²ydt² Km y 0 fazendo w² Km d²ydt² w² y 0 A solução dessa equação diferencial é de forma y em t dydt m em t dy²dt² m² em t I Substituindo I na equação diferencial m² em t w² em t 0 m² w² em t 0 m² w² 0 m i j w A solução geral é na forma yt A1 em1 t A2 em2 t Usando a identidade de Euler ej x cosx j senx então yt A1 ej w t A2 ej w t A1 cos w t j sen w t A2 cos w t j sen w t A1 A2 cos w t j A1 A2 sen w t C1 cos w t C2 sen w t Definindo C1 A cos d e C2 A sen d então yt A cos d cos w t A sen d sen w t A cos w t d Relembrando que yt xt x0 ou seja xt yt x0 POSIÇÃO xt A cos w t d x0 VELOCIDADE vt w A sen w t d 6 Oscilador Harmônico Amortecido Força da mola Fm k x x0 î Força de atrito Fa δ v x1 δ d xbardt Segunda lei de Newton F m a m d² xbardt² Logo m d²xdt² k xx0 δ dxdt yt xt x0 dydt dxdt dy²dt² d²xdt² m d² ydt² k y δ dydt d²ydt² δm dydt km y 0 Definindo ω₀ km e γm 2b então d²ydt² 2b dydt ω₀² y 0 Assumindo que a solução para a equação diferencial acima é na forma y emt dydt m emt d²ydt² m² emt então substituindo na equação diferencial m² emt 2b m emt ω₀² emt 0 m² 2b ω₀² emt 0 nunca vale zero m² 2bm ω₀² 0 m 2b2 12 4b² m² 4w₀² m b b² ω₀² Há três casos para a solução da equação acima Ⅰ Raízes complexas b² ω₀² 0 Definindo ω² ω₀² b² os raízes se tornam m₁ b b² ω₀² b ω² b jw m₂ b b² ω₀² b ω² b jw A solução geral é a soma das duas soluções yt A₁ em₁ t A₂ em₂ t A₁ eb jwt A₂ eb jwt A₁ ebt ejwt A₂ ebt ejwt ebt A₁ cos wt j sen wt A₂ ebt cos wt j sen wt yt ebt A₁ A₂ cos wt j A₁ A₂ sen wt yt ebt C₁ cos wt C₂ sen wt Definindo C₁ A cos δ e C₂ A sen δ então yt A ebt cos wt δ Como yt xt x₀ ou seja xt yt x₀ logo xt A ebt coswt δ x₀ OHA subcrítico resposta subamortecida xt t Ⅱ Raízes reais e distintas b² ω₀² 0 Definindo ω₀² b² ω² m₁ b ω m₂ b ω A solução geral então é yt A₁ em₁ t A₂ em₂ t A₁ ebωt A₂ ebωt ebt A₁ eωt A₂ eωt Definindo A₁ Δ2 eδ e A₂ Δ2 eδ então yt ebt Δ2 eωtδ Δ2 eωtδ Como cosh θ eθ eθ2 então yt A ebt cosh wt δ Como yt xt x₀ xt yt x₀ logo xt A ebt cosh wt δ x₀ OHA supercrítico resposta superamortecida xt t Ⅲ Raízes reais e idênticas b² ω₀² As raízes são m₁ m₂ b iguais A solução geral nesse caso é na forma yt A₁ ebt A₂ t ebt yt ebt A B t Como ω₀² b² b ω₀ assim yt ew₀ t A B t Como xt yt x₀ então xt ew₀ t A B t x₀ OHA crítico resposta criticamente amortecida xt t ⑦ Oscilador Harmônico Forçado Há uma força Fext externa atuando no sistema F m a k x x₀ γ ϑ Fext ma k x x₀ γ dxdt Fext m d²xdt² d²xdt² γm dxdt km x x₀ Fextm yt xt x₀ d²ydt² γm dydt km y Fextm Fazendo ω₀ km e 2b γm obtémse d²ydt² 2b dydt ω₀² y Fextm eq dif não homogênea A solução geral para a equação acima consiste na soma da solução da equação diferencial homogênea associada com a solução particular ytyhtypt solução homogênea solução particular em que yht é a solução de equação diferencial homogênea d²ydt² 2b dydt w₀² y 0 a qual é o mesmo da OHA Uma vez obtida yht devese calcular ypt Considerando que Fext é uma força senoidal Fext F₀ cos ω₁ t então d²ydt² 2b dydt w₀² y F₀m cos ω₁ t definindo F F₀m d²ydt² 2b dydt w₀² y F cos ω₁ t A solução da equação acima é na forma yp A cos ω₁ t B sen ω₁ t então obtemse dypdt Aω₁ sen ω₁ t Bω₁ cos ω₁ t d²ypdt² Aω₁² cos ω₁ t Bω₁² sen ω₁ t Substituindo na equação diferencial Aω₁² cos ω₁ t Bω₁² sen ω₁ t 2b Aω₁ sen ω₁ t Bω₁ cos ω₁ t w₀² A cos ω₁ t B sen ω₁ t F cos ω₁ t Bw₀² 2b Bω₁ Bω₁² sen ω₁ t Aw₀² 2b b w₁ A w₁² cos ω₁ t F cos ω₁ t Bw₀² 2b b w₁ Bω₁² 0 2b w₁ A w₀² w₁² B 0 Aw₀² 2B b w₁ A w₁² F w₀² w₁² A 2 b w₁ B F 2b w₁ A w₀² w₁² B 0 x w₀² w₁² 2b w₁ w₀² w₁² A w₀² w₁²² 2b w₁ B 0 w₀² w₁² A 2 b w₁ B F w₀² w₁² A 2 b w₁ B F w₀² w₁²² 2b w₁ 2 b w₁ B F B 2 b w₁ F w₀² w₁²² 2 b w₁² 2 b w₁ A w₀² w₁² 2 b w₁ F w₀² w₁²² 2 b w₁² 0 A w₀² w₁² F w₀² w₁²² 2 b w₁² 0 A w₀² w₁² F w₀² w₁²² 2 b w₁² Assim a solução particular se torna yp A cos ω₁ t B sen ω₁ t w₀² w₁² F w₀² w₁²² 2 b w₁² cos ω₁ t 2 b w₁ F w₀² w₁²² 2 b w₁² sen ω₁ t Definindo cos Θ w₀² w₁² w₀² w₁²² 2 b w₁² e sen Θ 2 b w₁ w₀² w₁²² 2 b w₁² então yp F w₀² w₁²² 2 b w₁² cos Θ cos ω₁ t sen Θ sen ω₁ t ω₁ ω₁ t Θ yp F w₀² w₁²² 2 b w₁² cos ω₁ t Θ e a solução geral conforme foi mencionado é yt yht ypt em que xt ypt x₀ 8 Onde ocorre ressonância Não foi especificado Vou considerar a ressonância em um OMF Em um OMF a ressonância ocorre quando a força externa oscila em uma frequência tal que a amplitude da resposta é máxima isto é para a resposta particular também chamada de resposta forçada ypt F w₀² w₁²² 2 b w₁² cosω₁ t Θ o valor máximo de A pode ser calculado fazendo dAdw₁ 0 O máximo de A é obtido quando o termo dentro da raiz é mínimo Isso ocorre quando w₁ 0 frequência externa constante w₁ w₀² 2 b² considerando que w₀² b² O valor de w₁ nesta última solução corresponde a frequência de ressonância wR e qual pode ser obtido matematicamente calculando o valor máximo do termo dentro da raiz quadrada ddw₁ w₀² w₁²² 2 b w₁² 0 2w₀² w₁² 2w₁ 2b² 2w₁ 0 w₁² w₀² 2 b² 0 w₁ w₀² 2 b² Portanto a ressonância ocorre em um OMF quando a força externa é constante no tempo ou quando possui frequência igual à de ressonância wR w₀² 2 b² Fw 7ajw 8jw Fw 10ajw Fs 2s 12s2 2s 5 eat senbt ut L b sa2 b2 eat cosbt ut L sa sa2 b2 Fs 2s 12 s3 2s 5 2s 12 s12 22 2s1 s12 22 1022 s12 22 Aplicando os dois transformados conhecidos ft 2et cos2t 5et sen2t ut ft et 2 cos2t 5 sen2t ut 17 Fs 53 s1s2 A s1 B s2 expansão por frações parciais Cálculo de A multiplicando a expressão acima por s1 e fazendo s 1 53 s2 s1 A A 2 Cálculo de B multiplicando ambos os lados de expressão por s2 e fazendo s 2 53 s1 s2 B B 1 Logo Fs 2 s1 1 s2 eαt ut L 1 sa Logo ft 2et e2t ut 18 Considere 2 funções x1t x x2t tel que x1t F X1ω x2t F X2ω e seja a convolução entre esses dois sinais x1t x2t x1τ x2tτ dτ x1t x2t Fx1t x2t x1τ x2tτ dτ ejωt dt x1τ x2tτ ejωt dt dτ transformada de Fourier de x2t deslocado no tempo X2ω ejωτ x1τ X2ω ejωτ dτ X2ω x1τ ejωτ dτ X2ω X1ω transformada de Fourier de x1t x2t x1t Fx2t x1t x2τ x1tτ dτ ejωt dt x2τ x1tτ ejωt dt dτ x2τ X1ω ejωτ dτ X1ω x2τ ejωτ dτ X1ω X2ω Logo x1t x2t x2t x1t