Fundamentos e Visão Geral da Disciplina de Análise de Sistemas Lineares

Fundamentos e Visao Geral Disciplina Analise de Sistemas Lineares Prof Rodrigo Gusmao Cavalcante rodgcavifbaedubr rodgcavgmailcom Departamento de Engenharia Eletrica Instituto Federal da Bahia Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 1 81 Conteudo 1 O que e um sinal 2 O que e um sistema 3 Visao geral de sistemas especıficos Sistemas de comunicacao Sistemas de controle 4 Processamento de sinal analogico versus digital 5 Tamanho do sinal 6 Algumas operacoes uteis com sinais 7 Classificacao dos sinais Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 2 81 Conteudo 8 Classificacao dos sistemas Sistemas lineares e nao lineares Sistemas invariantes e variantes no tempo Sistemas invariantes e variantes no tempo Sistemas instantˆaneos e dinˆamicos Sistemas causal e nao causal Sistemas em tempo contınuo e em tempo discreto Sistemas analogicos e digitais Sistemas inversıveis e nao inversıveis Sistemas estaveis e instaveis 9 Modelo de sistema descricao entradasaıda Sistemas Eletricos Sistemas Mecˆanicos Sistemas Eletromecˆanicos 10 Descricao interna e externa de um sistema Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 3 81 1 O que e um sinal 2 O que e um sistema 3 Visao geral de sistemas especıficos 4 Processamento de sinal analogico versus digital 5 Tamanho do sinal 6 Algumas operacoes uteis com sinais 7 Classificacao dos sinais 8 Classificacao dos sistemas 9 Modelo de sistema descricao entradasaıda 10 Descricao interna e externa de um sistema Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 4 81 O que e um sinal Os sinais de uma forma ou de outra constituem um ingrediente basico de nossa vida diaria Por exemplo uma forma comum de comunicacao humana se desen volve atraves do uso de sinais da fala seja na conversacao frente a frente ou por um canal telefˆonico Um sinal e formalmente definido como uma funcao de uma ou mais variaveis a qual veicula informacoes sobre a natureza de um fenˆo meno fısico O sinal de fala e um exemplo de sinal unidimensional cuja amplitude varia com o tempo Uma imagem e um exemplo de sinal multidimensional com duas dimensoes Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 5 81 1 O que e um sinal 2 O que e um sistema 3 Visao geral de sistemas especıficos 4 Processamento de sinal analogico versus digital 5 Tamanho do sinal 6 Algumas operacoes uteis com sinais 7 Classificacao dos sinais 8 Classificacao dos sistemas 9 Modelo de sistema descricao entradasaıda 10 Descricao interna e externa de um sistema Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 6 81 O que e um sistema Nos exemplos de sinais mencionados ha sempre um sistema as sociado a geracao de cada sinal e outro associado a extracao da informacao do sinal Sistema Sinal de saída Sinal de entrada Um sistema e formalmente definido como uma entidade que mani pula um ou mais sinais para realizar uma funcao produzindo assim novos sinais A interacao entre um sistema e seus sinais de entrada e saıda de pendem naturalmente da aplicacao pretendida pelo sistema clas sificacao Lineares e Nao Lineares Estaveis e Instaveis Analogicos e Digitais Causal e Nao Causal Tempo Contınuo e em Tempo Discreto Invariantes e Variantes no Tempo Instantˆaneos e Dinˆamicos Inversıveis e Nao Inversıveis Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 7 81 1 O que e um sinal 2 O que e um sistema 3 Visao geral de sistemas especıficos 4 Processamento de sinal analogico versus digital 5 Tamanho do sinal 6 Algumas operacoes uteis com sinais 7 Classificacao dos sinais 8 Classificacao dos sistemas 9 Modelo de sistema descricao entradasaıda 10 Descricao interna e externa de um sistema Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 8 81 Sistemas de comunicacao Visao geral de sistemas especıficos Existem trˆes elementos basicos em todo sistema de comunicacoes a saber o transmissor o canal e o receptor mensagem Sinal da Transmissor Transmitido Sinal Canal Recebido Sinal Receptor do sinal da Estimativa mensagem Cada um desses trˆes elementos pode ser visto como um sistema com sinais proprios associados O transmissor converte o sinal da mensagem produzido por uma fonte de informacao para uma forma apropriada para ser transmitida por um canal O canal pode ser de fibra optica cabo coaxial canal de satelite ou canal de radio movel O receptor produz uma estimativa do sinal da mensagem original e entrega ao usuario final Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 9 81 Sistemas de comunicacao Visao geral de sistemas especıficos Diagrama de bloco de um sistema de comunicacao analogico Ruído Canal Modulador Transmissor Demodulador Receptor Transdutor Transdutor Destinatário Fonte Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 10 81 Sistemas de comunicacao Visao geral de sistemas especıficos Diagrama de bloco de um sistema de comunicacao digital Ruído Canal Demodulador Modulador de Canal Codificador de Canal Decodificador de Fonte Decodificador de Fonte Codificador Destinatário Fonte Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 11 81 Sistemas de comunicacao Visao geral de sistemas especıficos A informacao a ser enviada por um dos canais de transmissao citados anteriormente precisa estar na forma de sinais eletricos magneticos ou eletromagneticos Os sinas eletricos podem ser analogicos ou digitais A voz a musica a imagem o vıdeo etc podem ser convertidos em sinas eletricos analogicos por transdutores A informacao digital e obtida de conversores de sinal analogico em digital AD pelas seguintes etapas amostragem convertendo o sinal em um conjunto de numeros representando a amplitude do sinal em cada instante de tempo quantizacao representando cada numero produzido pelo amostra dor no nıvel mais proximo dentre um numero finito de nıveis de amplitude discreta codificacao representando cada amostra quantizada em uma pala vra codigo composta por um numero finito de sımbolos Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 12 81 Sistemas de comunicacao Visao geral de sistemas especıficos Amostragem Quantizacao 8 nıveis Amostras Nıveis 100 075 0875 075 050 0625 050 025 0375 025 0 0125 0 025 0125 025 050 0375 050 075 0625 075 100 0875 Codificacao binaria3 bits Nıveis 0875 0625 0375 0125 0125 0375 0625 0875 Codigo 111 011 101 000 001 100 101 110 Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 13 81 Sistemas de controle Visao geral de sistemas especıficos O controle em sistemas fısicos e generalizado na aplicacao de sinais e sistemas Como alguns exemplos especıficos em que o controle e aplicado mencionamos os pilotos automaticos de avioes veıculos de trans porte coletivo motores de automoveis ferramentas de maquina refinarias de petroleo fabricas de papel reatores nucleares usinas eletricas e robˆos O objeto a ser controlado e comumente chamado planta Do ponto de vista da engenharia existem dois importantes motivos para o uso de sistemas de controle 1 resposta satisfatoria saıda segue ou acompanha uma entrada de referˆencia especıfica processo de regulacao 2 desempenho robusto exibir boa regulacao apesar da presenca de perturbacoes externas e de mudancas nos parˆametros da planta devido a condicoes ambientais variaveis Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 14 81 Sistemas de controle Visao geral de sistemas especificos A obtencao dessas propriedades desejaveis normalmente exige o uso de realimentacdo Neste caso o sistema de controle é chamado de sistema de controle de malha fechada ou sistema de controle com realimentacdo Perturbacao nt Entrada de referéncia xt et vt 2 Controlador Planta 2 Saida Sistema de realimentagao yt e Um sistema de controle pode ser do tipo sistema de entrada unicasaida unica SISO singleinputsingle output sistema de multiplas entradasmultiplas saidas MIMO multiple inputmultipleoutput 1 O que e um sinal 2 O que e um sistema 3 Visao geral de sistemas especıficos 4 Processamento de sinal analogico versus digital 5 Tamanho do sinal 6 Algumas operacoes uteis com sinais 7 Classificacao dos sinais 8 Classificacao dos sistemas 9 Modelo de sistema descricao entradasaıda 10 Descricao interna e externa de um sistema Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 16 81 Processamento de sinal analogico versus digital As operacoes de processamento de sinal podem ser implementadas de duas maneiras diferentes 1 abordagem analogica ou de tempo contınuo recorre ao uso de elementos de circuitos analogicos como por exemplo resistores capacitores indutores amplificadores transistorizados diodos 2 abordagem digital ou de tempo discreto recorre a trˆes elementos de computador digitais basicos somadores e multiplicadores para operacoes aritmeticas e memoria para armazenamento Abordagem analogica O principal atributo dessa abordagem e a capacidade natural de resolver equacoes diferenciais que descrevem sistemas fısicos sem ter de lancar mao de solucoes aproximadas para elas Estas solucoes tambem sao obtidas em tempo real independente da faixa de frequˆencia do sinal de entrada uma vez que os mecanismos subjacentes responsaveis pelas operacoes da abordagem analogica sao todos fısicos por natureza Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 17 81 Processamento de sinal analogico versus digital Abordagem digital Em contrapartida a abordagem digital recorre a computacoes nu mericas para suas operacoes O tempo necessario para executar estas computacoes determina se a abordagem digital e capaz de operar em tempo real ou seja manter se a par das mudancas no sinal de entrada Vantagens flexibilidade pela qual a mesma maquina digital pode ser usada para implementar deferentes versoes de uma operacao de processamento de sinal repetitividade a qual uma operacao ode ser repetida de maneira exata muitas vezes Analise final A escolha de uma abordagem analogica ou digital para a solucao de uma problema de processamento de sinais somente pode ser deter minada pela aplicacao de interesse pelos recursos disponıveis e pelo custo envolvido na construcao do sistema Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 18 81 1 O que e um sinal 2 O que e um sistema 3 Visao geral de sistemas especıficos 4 Processamento de sinal analogico versus digital 5 Tamanho do sinal 6 Algumas operacoes uteis com sinais 7 Classificacao dos sinais 8 Classificacao dos sistemas 9 Modelo de sistema descricao entradasaıda 10 Descricao interna e externa de um sistema Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 19 81 Tamanho do sinal Genericamente falando a amplitude do sinal varia com o tempo Como um sinal que existe em um certo intervalo de tempo com amplitude variante pode ser medido por um numero que ira indicar o tamanho ou a fora do sinal e Tal medida deve considerar nado apenas a amplitude do sinal mas também sua duraao aa gare me OMIA A area abaixo do sinal xt é definida como a energia do sinal CO a at dt oo Essa definicdo pode ser generalizada para um sinal complexo xt sendo dada por oo Fy le t de co Tamanho do sinal A energia do sinal deve ser finita para que seja uma medida signifi cativa do tamanho do sinal e Uma condicao necessaria para que a energia seja finita é que a am plitude do sinal 0 quando t oo Quando a amplitude do sinal zt ndo 0 quando t oo a energia do sinal é infinita Neste caso uma medida mais significativa do tamanho do sinal é a poténcia do sinal Poténcia do sinal Para um sinal xt definese sua poténcia P por 1 T2 P lim zi at dt To0 T T2 e Para um sinal complexo xt essa definido é dada por 4 ptr P lim xt dt Tow T T2 Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA BIE iE AUIS oR MTT RoE Mtoe Fundamentos e Visao Geral 2181 Tamanho do sinal xt Sinal com energia finita t Sinal com poténcia finita xt t Tamanho do sinal A potˆencia do sinal Px e uma media temporal do quadrado da am plitude do sinal ou seja o valor medio quadratico de xt De fato a raiz quadrada de Px e o conhecido valor rms raiz media quadratica de xt Quando xt e periodica xt2 tambem e periodica e a potˆencia de xt pode ser calculada efetuando a media de xt2 em um perıodo Atencao A energia e a potˆencia tal como foram definidas aqui nao indicam a energia ou a potˆencia real no sentido convencional do sinal Essas medidas sao indicadores convencionais do tamanho do sinal sendo bastante uteis em varias aplicacoes As unidades de energia e potˆencia como definidas aqui dependem da natureza do sinal xt Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 23 81 Tamanho do sinal Exemplo 1 resolvido em sala de aula Determine as medidas de tamanho adequadas dos sinais abaixo t xt t xt 2et2 a 0 1 4 0 1 2 3 4 3 2 1 1 2 b 2 Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 24 81 Tamanho do sinal Exemplo 2 resolvido em sala de aula Determine a potˆencia e o valor rms de a xt C cosω0t θ b xt C1 cosω1t θ1 C2 cosω2t θ2 c xt Dejω0t Exercıcio 1 Mostre que as energias dos sinais das figuras a b c e d sao 4 1 43 e 43 respectivamente Observe que o dobro do sinal quadruplica sua energia e o deslocamento no tempo de um sinal nao possui efeito em sua energia Mostre tambem que a potˆencia do sinal da Fige e 04323 Qual e o valor rms do sinal da Fige Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 25 81 Tamanho do sinal Exercıcio 1 continuacao t x1t t x2t t x3t t x4t t et x5t 1 2 0 a 1 0 b 1 1 2 0 d 2 0 0 1 e 2 3 4 3 2 1 1 1 Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 26 81 Tamanho do sinal Exercıcio 2 Refaca o exemplo 2a para determinar a potˆencia da senoide C cosω0t θ calculando a media da energia do sinal em um perıodo T0 2πω0 em vez de calcular a media em um intervalo infinitamente grande de tempo Mostre tambem que a potˆencia de um sinal CC xt C0 e C 2 0 e seu valor rms e C0 Exercıcio 3 Mostre que se ω1 ω2 a potˆencia de C1 cosω1t θ1C2 cosω2t θ2 e C 2 1 C 2 2 2C1C2 cosθ1 θ22 o qual nao e igual a C 2 1 C 2 2 2 Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 27 81 1 O que e um sinal 2 O que e um sistema 3 Visao geral de sistemas especıficos 4 Processamento de sinal analogico versus digital 5 Tamanho do sinal 6 Algumas operacoes uteis com sinais 7 Classificacao dos sinais 8 Classificacao dos sistemas 9 Modelo de sistema descricao entradasaıda 10 Descricao interna e externa de um sistema Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 28 81 Algumas operacoes uteis com sinais Deslocamento temporal xt Considerando um sinal xt Figa Oo mesmo sinal atrasado por T se gundos Figb o qual chamaremos 0 t de t O que acontecer em zt em algum tempo também aconte ot wt T cera com t T segundos apds no Atrasado instante T Portanto eel ot T xt ot at 7 e ot xt T Avangado op 0 t as c Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA BIE iE AUIS oR MTT RoE Mtoe Fundamentos e Visao Geral 2981 Escalonamento temporal A compressao ou expansao de um si nal no tempo é chamada de escalo at namento temporal Em geral se xt for comprimido no tempo por um fa tor a a 1 osinal resultante t Ty i lo 2 D t é dado por a fo ae ot xat Comprimido Usando um argumento similar pode in D a mos mostrar que quando xt é ex v pandido no tempo por um fator a ht 262 a 1 temos Expandido t ot z 2 0 2T t a c Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA IBY re HEMT Rott om Mth g oy Fundamentos e Visao Geral IU Ae Algumas operacoes uteis com sinais Reversao temporal Na reversao temporal de xt rotaci onamos esta forma em 180 com re lacao ao eixo vertical Observe que o que acontece na Figa em algum ins tante t tambem acontecera na Figb no instante t e vice versa Por tanto φt xt t t xt φt xt b a 0 1 5 2 2 2 2 0 5 1 Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 31 81 1 O que e um sinal 2 O que e um sistema 3 Visao geral de sistemas especıficos 4 Processamento de sinal analogico versus digital 5 Tamanho do sinal 6 Algumas operacoes uteis com sinais 7 Classificacao dos sinais 8 Classificacao dos sistemas 9 Modelo de sistema descricao entradasaıda 10 Descricao interna e externa de um sistema Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 32 81 Classificacao dos sinais Sinais contınuos e discretos no tempo Um sinal que e especificado para valores contınuos de tempo t e um sinal contınuo no tempo Um sinal que e especificado apenas para valores discretos de t e um sinal discreto no tempo Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 33 81 Classificacao dos sinais Sinais analogicos e digitais Os termos contınuo no tempo e discreto no tempo qualificam a natureza do sinal ao longo do eixo de tempo Os termos analogico e digital qualificam a natureza da amplitude do sinal A amplitude de um sinal analogico pode assumir infinitos valores qualquer valor em um faixa contınua Um sinal digital pode assumir M valores sinal M ario M 2 e um exemplo de sinal binario Um sinal analogico nao e necessariamente um sinal contınuo no tempo Um sinal digital nao e necessariamente um sinal discreto no tempo Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 34 81 Classificacao dos sinais Exemplo de sinais Classifique t xt t xt xt t xt t a b d Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 35 81 Classificacao dos sinais Sinais periddicos e nado periddicos Um sinal zt é dito periddico se para alguma constante positiva To xt 2t 70 para todo t O menor valor de To que satisfaz a condicdo de periodicidade da equado acima é o periodo fundamental de xt Uma propriedade util adicional de um sinal periddico xt com periodo TJ é que aTo b To at dt at dt a b im 6 0 6 12 t Classificacao dos sinais Sinais de energia e potˆencia Como a media e calculada em um intervalo infinitamente grande um sinal com energia finita possui potˆencia nula e um sinal com potˆencia finita possui energia infinita Portanto um sinal nao pode ser tanto de energia quanto de potˆencia Exemplo 3 resolvido em sala de aula Mostre que a exponencial de duracao infinita eat nao e nem um sinal de energia nem de potˆencia para qualquer valor real de a Entretanto se a for imaginario ela e um sinal de potˆencia Px 1 independente do valor de a Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 37 81 Classificacao dos sinais Sinais determinısticos e aleatorios Um sinal cuja descricao fısica e completamente conhecida seja na forma matematica ou na forma grafica e um sinal determinıstico Um sinal cujos valores nao podem ser preditos precisamente mas sao conhecidos apenas em termos de uma descricao probabilıstica tal como valor medio ou valor medio quadratico sao sinais aleatorios Nesta disciplina trabalharemos exclusivamente com sinais determi nısticos Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 38 81 1 O que e um sinal 2 O que e um sistema 3 Visao geral de sistemas especıficos 4 Processamento de sinal analogico versus digital 5 Tamanho do sinal 6 Algumas operacoes uteis com sinais 7 Classificacao dos sinais 8 Classificacao dos sistemas 9 Modelo de sistema descricao entradasaıda 10 Descricao interna e externa de um sistema Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 39 81 Sistemas lineares e nao lineares Classificacao dos sistemas Conceito de linearidade Um sistema cuja saıda seja proporcional a sua entrada e um exemplo de um sistema linear Mas a linearidade implica em mais do isso ela tambem implica a propriedade aditiva x1 y1 e x2 y2 x1 x2 y1 y2 Propriedade de homogeneidade ou escalamento Para um numero real ou imaginario arbitrario k se uma entrada aumentar k vezes seu efeito tambem aumentara k vezes x y kx ky Propriedade da superposicao Atente as propriedade aditiva e de escalonamento simultaneamente Para k1 e k2 numeros reais ou imaginarios arbitrarios temse k1x1 k1y1 e k2x2 k2y2 k1x1 k2x2 k1y1 k2y2 Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 40 81 Sistemas lineares e nao lineares Classificacao dos sistemas Resposta de um sistema linear A saıda de um sistema para t 0 e o resultado de duas causas independentes a condicao inicial do sistema ou estado do sistema para t 0 e a entrada xt para t 0 A resposta de um sistema linear pode ser expressa como a soma das componentes de entrada nula resultante das condicoes iniciais para t 0 com entrada xt 0 para t 0 e estado nulo resultante apenas da entrada xt para t 0 quando as condicoes iniciais sao consideradas iguais a zero resposta total resposta a entrada nula resposta ao estado nulo Essa propriedade dos sistemas lineares a qual permite a separacao de uma saıda em componentes resultantes das condicoes iniciais e da entrada e chamada de propriedade de decomposicao Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 41 81 Sistemas lineares e nao lineares Classificaao dos sistemas R yt xt Cc vt Para o circuito RC descrito acima a resposta yt é dada por 1 t yt v0 Rat a xt dr a C 0 entrada nla estado nulo Neste caso a propriedade de decomposicao fica clara Sistemas lineares e nao lineares Classificacao dos sistemas Exemplo 4 resolvido em sala de aula Mostre que o sistema descrito pela equacao abaixo e linear dy dt 3yt xt Exercıcio 4 Mostre que o sistema descrito pela equacao abaixo e linear dy dt t2yt 2t 3xt Exercıcio 5 Mostre que o sistema descrito pela equacao abaixo nao e linear ytdy dt 3yt xt Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 43 81 Sistemas invariantes e variantes no tempo Classificacao dos sistemas Sistemas cujos parˆametros nao sao alterados com o tempo sao inva riantes no tempo tambem chamados de sistemas com parˆametros constantes Em tais sistemas se a entrada for atrasada por T segundos a saıda e a mesma anterior porem atrasada tambem por T segundos as sumindo que as condicoes iniciais tambem sejam atrasadas de T segundos xt xt Sistema A traso de T segundos yt T yt T Sistema A traso de T segundos yt xt T Ilustracao da propriedade de invariˆancia no tempo Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 44 81 Sistemas invariantes e variantes no tempo Classificacao dos sistemas Circuitos compostos por elementos RLC e outros componentes ativos tais como transistores sao sistemas invariantes no tempo Um sistema com uma relacao de entradasaıda descrita por uma equacao diferencial linear e um sistema invariante linear LIT quando os coeficientes forem constantes Exemplo 5 resolvido em sala de aula Mostre que um sistema com saıda yt etxt e um sistema variante no tempo Exercıcio 6 Mostre que o sistema descrito pela seguinte equacao e um sistema com parˆametros variantes no tempo yt sintxt 2 Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 45 81 Sistemas instantˆaneos e dinˆamicos Classificacao dos sistemas Geralmente a saıda de um sistema em um instante t qualquer de pende de todo o passado da entrada Entretanto nos sistemas instantˆaneos ou sem memoria a saıda a qualquer instante t depende apenas da entrada naquele instante Por exemplo em circuitos resistivos qualquer saıda do circuito em qualquer instante de tempo t depende da entrada no instante t Caso contrario o sistema e chamado de dinˆamico ou sistema com memoria Circuitos contendo elementos indutivos e capacitivos possuem me moria infinita porque a resposta de tais circuitos a qualquer instante t e determinada por todo o passado de suas entradas t Nesta disciplinas trabalharemos com sistemas dinˆamicos Os siste mas instantˆaneos sao um caso especial de sistemas dinˆamicos Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 46 81 Sistemas causal e nao causal Classificacao dos sistemas Um sistema causal tambem conhecido como fısico ou nao anteci pado e aquele no qual a saıda em qualquer instante t0 depende apenas do valor da entrada xt para t t0 Em outras palavras o valor de saıda no instante presente depende apenas do valor presente e passado da entrada xt e nao de seus valores futuros Um sistema nao causal e um sistema hipotetico que conhece a en trada futura e atua nela no presente Portanto se aplicarmos uma entrada comecando em t 0 a um sistema nao causal a saıda pode comecar mesmo antes de t 0 Por exemplo considere o sistema especificado por yt xt 2 xt 2 Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 47 81 Sistemas causal e nao causal Classificacao dos sistemas Por que estudar sistemas nao causais 1 Sistemas nao causais sao realizaveis quando a variavel independente for outra que nao otempopor exemplo o espaco 2 Mesmo para sistemas temporais tais como os utilizados para o pro cessamento de sinais temos todos os dados de entrada gravados anteriormente e com isso os valores futuros da entrada estao dispo nıveis para nosso uso 3 Alem disso os sistemas nao causais fornecem um limitante superior para o desempenho de sistemas causais Por exemplo um filtro que separa um sinal do ruıdo e um filtro nao causal Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 48 81 Sistemas causal e nao causal Classificacao dos sistemas Se quisermos saber o que acontecera daqui a um ano temos duas escolhas ir a um profeta uma pessoa nao realizavel que nos dira as respostas instantaneamente ou ir a um sabio e permitir a ele um atraso de um ano para nos dar as respostas Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 49 81 Sistemas em tempo continuo e em tempo discreto Classificaao dos sistemas e Sistemas cujas entradas e saidas sao sinais continuos no tempo sao sistemas em tempo continuo e Por outro lado sinais definidos apenas em instantes discretos de tempo to t ta ty sao sinais discretos no tempo repre sentados pelos simbolos ztn ytn assim por diante Sistemas cujas entradas e saidas sao sinais discretos no tempo sao sistemas em tempo discreto ou sistemas discretos no tempo l 1 xt Continuo para 2 Sistema em Ytn Discreto para 1 yt discreto continuo GD tempo discreto DC bo Processamento de sinais continuos no tempo por sistemas discretos no tempo Sistemas analogicos e digitais Classificacao dos sistemas O sinais analogicos e digitais foram discutidos anteriormente Um sistema cujos sinais de entrada e saıda sao analogicos e um sistema analogico Um sistema cujos sinais de entrada e saıda sao digitais e um sistema digital Um computador digital e um exemplo de um sistema digital bina rio Observe que um computador digital e um sistema digital e em tempo discreto Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 51 81 Sistemas inversıveis e nao inversıveis Classificacao dos sistemas Um sistema S executa uma certa operacao em um sinal de entrada Se pudermos obter a entrada xt da saıda yt correspondente atraves de alguma operacao o sistema S e dito inversıvel Quando varias entradas diferentes resultam na mesma saıda e im possıvel obter a entrada da saıda e o sistema e nao inversıvel Portanto para um sistema inversıvel e essencial que toda entrada possua uma unica saıda de forma que exista um mapeamento de umparaum entre a entrada e a saıda correspondente O sistema que efetua a operacao inversa de obtencao de xt a partir de yt e o sistema inverso de S Por exemplo se S e um integrador ideal entao o sistema inverso e diferenciador ideal Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 52 81 Sistemas estaveis e instaveis Classificacao dos sistemas A estabilidade pode ser interna ou externa Se cada entrada limitada aplicada ao terminal de entrada resultar em uma saıda limitada o sistema e dito ser externamente estavel Este tipo de estabilidade tambem e conhecida como estabilidade no sentido BIBO boundedinputboundedoutput entrada limi tadasaıda limitada O conceito de estabilidade interna sera deixado para mais adiante pois requer algum conhecimento do comportamento interno do sis tema Exemplo 6 resolvido em sala de aula Mostre que o sistema descrito pela equacao yt x 2t e nao inversıvel com estabilidade no sentido BIBO Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 53 81 1 O que e um sinal 2 O que e um sistema 3 Visao geral de sistemas especıficos 4 Processamento de sinal analogico versus digital 5 Tamanho do sinal 6 Algumas operacoes uteis com sinais 7 Classificacao dos sinais 8 Classificacao dos sistemas 9 Modelo de sistema descricao entradasaıda 10 Descricao interna e externa de um sistema Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 54 81 Modelo de sistema descricao entradasaıda A descricao de um sistema em termos de medidas nos terminais de entrada e saıda e chamado de descricao entradasaıda O primeiro passo na analise de um sistema e a construcao de um modelo do sistema o qual e a expressao matematica ou regra que aproxima satisfatoriamente o comportamento dinˆamico do sistema Inicialmente consideraremos apenas sistemas contınuos no tempo a modelagem de sistemas discretos no tempo sera apresentada mais adiante Modelos de sistemas abordados Sistemas Eletricos Sistemas Mecˆanicos Sistemas Eletromecˆanicos Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 55 81 Sistemas Elétricos Modelo de sistema descricdo entradasaida e Em sistemas elétricos devemos determinar um modelo satisfatério para a relacdo tensdocorrente de cada elemento e Para tanto devemos determinar as varias relacdes nas tensdes e correntes quando varios elementos estao conectados NWV urnt Rit 4 Lf vet a it dt C to ult LLit LY VV NV UL 1 dt e Além de usar as conhecidas Leis de Kirchhoff para tensdo e corrente LKT e LKC Sistemas Eletricos Modelo de sistema descricao entradasaıda Exemplo 7 resolvido em sala de aula Para o circuito RLC serie abaixo determine a equacao de entradasaıda que relaciona a tensao de entrada xt com a corrente de saıda corrente da malha yt xt yt L 1 H R 3 Ω vCt C 1 2 F Resposta d2 y dt2 3d y dt 2y d x dt Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 57 81 Sistemas Eletricos Modelo de sistema descricao entradasaıda Exemplo 8 resolvido em sala de aula Determine a equacao relacionando a entrada e a saıda para o circuito RC serie da figura abaixo se a entrada for a tensao xt e a saıda for a a corrente de malha it b a tensao no capacitor yt xt R 15 Ω yt C 1 5 F it Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 58 81 Sistemas Elétricos Modelo de sistema descricdo entradasaida Para o circuito REC do Exemplo 7 determine a relacdo de entrada saida se a Saida for a tensdo uzt do indutor Resposta D 3D 2 uzt Dxt onde D é 0 operador diferen cial ddt Exercicio 8 Para o circuito REC do Exemplo 7 determine a relacdo de entrada saida se a Saida for a tensdo uct do capacitor Resposta D 3D 2 vct 22t Sistemas Mecˆanicos Modelo de sistema descricao entradasaıda O movimento planar pode ser decomposto em movimento translaci onal retilıneo e movimento rotacional Sistemas translacionais os elementos basicos utilizados na modelagem de sistemas translacionais sao massas ideais molas lineares e amortecedores com amortecimento viscoso As leis para esses elementos mecˆanicos serao discutidas a seguir Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 60 81 Sistemas Mecˆanicos Modelo de sistema descricao entradasaıda Para uma massa M uma forca xt causa um momento yt e uma aceleracao A partir da lei de Newton para movimento xt M yt M d2y dt2 M D2yt A forca xt necessaria para alongar ou comprimir uma mola linear por uma certa quantidade yt e dada por xt K yt onde K e a constante da mola Para o amortecedor linear o qual opera em funcao do atrito viscoso a forca movendo o amortecedor e proporcional a velocidade relativa de uma superfıcie em relacao a outra Logo xt B yt B dy dt B D yt Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 61 81 Sistemas Mecˆanicos Modelo de sistema descricao entradasaıda Exemplo 9 resolvido em sala de aula Determine a relacao entradasaıda para o sistema mecˆanico translacional mostrado na figura abaixo A entrada e a forca xt e a saıda e a posicao da massa yt Resposta M yt B yt K yt xt ou M D2 B D Kyt xt Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 62 81 Sistemas Mecˆanicos Modelo de sistema descricao entradasaıda Sistemas rotacionais em sistemas rotacionais o movimento de um corpo pode ser definido como o movimento em um certo eixo As variaveis utilizadas para descrever o movimento rotacional sao torque no lugar da forca a posicao angular no lugar da posicao linear a velocidade angular no lugar da velocidade linear e a ace leracao angular no lugar da aceleracao linear Os elementos do sistema sao a a massa rotacional ou momento de inercia no lugar da massa molas de torcao no lugar de molas lineares e amortecedores de torcao no lugar de molas amortecedores lineares Como veremos a seguir as equacoes terminais destes elementos sao analogas as equacoes correspondentes para os elementos translacio nais Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 63 81 Sistemas Mecˆanicos Modelo de sistema descricao entradasaıda Se J e o momento de inercia de um corpo girando em um certo eixo entao o torque externo necessario para este movimento e igual a torque J θ J d2θ dt2 J D2θt Similarmente se K e a constante de uma mola de torcao e θ e o deslocamento angular de um terminal da mola com relacao ao outro entao torque K θ Por fim o torque devido ao amortecimento viscoso de uma amorte cedor de torcao com coeficiente de amortecimento B e torque B θt Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 64 81 Sistemas Mecˆanicos Modelo de sistema descricao entradasaıda Exemplo 10 resolvido em sala de aula O movimento de uma aeronave pode ser controlado por trˆes conjuntos de super fıcies mostradas sombreadas na figura abaixo profundores leme e ailerons O ˆangulo de giro ϕ pode ser controlado deflexao em direcoes opostas da superfıcie dos dois ailerons Considerando apenas o movimento de rotacao determine a equacao relacionando o ˆangulo de giro ϕ com a entrada deflecao θ Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 65 81 Sistemas Mecˆanicos Modelo de sistema descricao entradasaıda Exercıcio 9 Um torque Tt e aplicado ao sistema mecˆanico rotacional mostrado na figura abaixo A constante da mola e K o momento de inercia e J o coeficiente de amortecimento viscoso entre o cilindro e a superfıcie e B Determine a equacao relacionando o ˆangulo θ de saıda com o torque T de entrada Resposta J D2 B D Kθt Tt Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 66 81 Sistemas Mecˆanicos Modelagem de sistemas mecˆanicos keq k1 k2 1 keq 1 k1 1 k2 F keqx F keqx F k1y F k2x y Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 67 81 Sistemas Mecˆanicos Modelagem de sistemas mecˆanicos beq b1 b2 1 beq 1 b1 1 b2 F beqy x F beqy x F b1z x F b2y z Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 68 81 Sistemas Mecˆanicos Modelagem de sistemas mecˆanicos Exemplo 11 Considere o sistema massamolaamortecedor montado em um carro de massa desprezıvel como mostrado na figura abaixo Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 69 81 Sistemas Mecnicos Modelagem de sistemas mecanicos Exemplo 11 Soluao A segunda lei de Newton estabelece que ma S P dy dy du m b kyu df 4 dt yw dy dy du bkybk mae a Te ae Sistemas Mecˆanicos Modelagem de sistemas mecˆanicos Exercıcio 10 Obtenha as equacoes diferenciais que relacionam as saıdas x1t e x2t com a entrada ut do sistema mecˆanico mostrado na figura abaixo Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 71 81 Sistemas Mecˆanicos Modelagem de sistemas mecˆanicos Exemplo 12 Um pˆendulo invertido montado em um carro motorizado e mostrado abaixo Esse e modelo de controle de posicao de um foguete na fase de lancamento O pˆendulo invertido e instavel pois pode cair a qualquer instante para qualquer direcao a menos que uma forca adequada de controle seja aplicada a ele Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 72 81 Sistemas Mecˆanicos Modelagem de sistemas mecˆanicos Exemplo 13 Solucao As coordenadas do centro de gravidade da haste sao xG x l sin θ e yG l cos θ O movimento rotacional da haste do pˆendulo em torno de seu centro de gravidade pode ser descrito por I θ Vl sin θ Hl cos θ onde I e o momento de inercia da haste em relacao ao centro de gravidade O movimento horizontal do centro de gravidade da haste e dado por m d 2 dt2 x l sin θ H O movimento vertical do centro de gravidade da haste do pˆendulo e m d 2 dt2 l cos θ V mg Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 73 81 Sistemas Mecˆanicos Modelagem de sistemas mecˆanicos Exemplo 13 Solucao O movimento horizontal do carro e descrito por M d 2x dt2 u H Como o pˆendulo invertido deve ser mantido na posicao vertical podemos admitir que θt e θt sejam grandezas suficientemente pequenas para que se possa fazer sin θ 0 cos θ 1 e θ θ2 0 Entao as equacoes anteriores podem ser linearizadas como segue I θ Vlθ Hl mx l θ H 0 V mg A partir da manipulacao dessas equacoes obtemos M mx ml θ u e I ml 2θ mlx mglθ Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 74 81 Sistemas Mecˆanicos Modelagem de sistemas mecˆanicos Exercıcio 11 Considere o sistema de pˆendulo invertido mostrado na figura abaixo Nesse sistema a massa esta concentrada no topo da haste o centro de gravidade e o centro da bola do pˆendulo e neste caso vamos supor I 0 Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 75 81 Sistemas Eletromecˆanicos Modelo de sistema descricao entradasaıda Uma grande variedade de sistemas eletromecˆanicos converte sinais eletricos em movimento mecˆanico energia mecˆanica e viceversa Considerando um motor CC controlado pela armadura e alimentado por uma fonte de corrente xt O torque Tt gerado pelo motor e proporcional a corrente de armadura xt Portanto Tt KTxt onde KT e a constante do motor Este torque alimenta uma carga mecˆanica cujo diagrama de corpo livre e mostrado na figura abaixo Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 76 81 Sistemas Eletromecˆanicos Modelo de sistema descricao entradasaıda Logo J D2 B Dθt Tt KTxt a qual pode ser expressa na forma convencional por J d2θ dt2 B d θ dt KTxt Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 77 81 1 O que e um sinal 2 O que e um sistema 3 Visao geral de sistemas especıficos 4 Processamento de sinal analogico versus digital 5 Tamanho do sinal 6 Algumas operacoes uteis com sinais 7 Classificacao dos sinais 8 Classificacao dos sistemas 9 Modelo de sistema descricao entradasaıda 10 Descricao interna e externa de um sistema Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 78 81 Descricao interna e externa de um sistema A relacao de entradasaıda de um sistema e uma descricao externa do sistema Determinamos a descricao externa de sistemas em todos os exemplos discutidos ate agora Uma descricao que pode ser obtida atraves de medicoes de terminais externos mesmo quando o resto do sistema esta selado dentro de uma caixa preta inacessıvel e uma descricao externa Uma descricao interna e capaz de fornecer a informacao completa sobre todos os possıveis sinais do sistema Uma descricao externa pode nao fornecer uma informacao completa como essa Uma descricao externa pode ser sempre determinada de uma descri cao interna mas o inverso nao e necessariamente valido Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 79 81 Descricao interna e externa de um sistema 3 Ω 1 Ω 1 Ω i2 xt 3 Ω 2 Ω 2 Ω yt 2 Ω 2 Ω i2 i2 xt yt A tensao no capacitor e nula o circuito esta balanceado Portanto para o proposito de determinacao da corrente it o capacitor pode ser removido ou substituıdo por um curto circuito circuito equiva lente Claramente para a descricao externa o capacitor nao existe Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 80 81 Descricao interna e externa de um sistema Para a maioria dos sistemas as descricoes interna e externa sao equivalentes mas existem algumas excecoes como no caso apresen tado nos quais a descricao externa fornece um quado inadequado do sistema Isso ocorre quando o sistema e nao controlavel ou nao observavel Em a parte do sistema S2 dentro da caixa nao pode ser contro lado pela entrada xt Em b algumas das saıdas do sistema S2 nao podem ser observa das a partir dos terminais de saıda S1 S2 xt Σ S1 S2 a xt b yt yt Prof Rodrigo G Cavalcante IFBA Disciplina Analise de Sistemas Lineares Fundamentos e Visao Geral 81 81