Algebra B UFPel - Resolucao da Tarefa 1 sobre Divisibilidade e Inteiros de Gauss

Universidade Federal de Pelotas UFPel Disciplina Algebra B Professora Liliana Jurado Tarefa 1 20 pontos Sejam m n inteiros ımpares Prove que 4 e um divisor de 2m 2n 8 e um divisor de m2 n2 8 e um divisor de m2 n2 2 2 20 pontos Sejam a pm1 1 pmr r e b pn1 1 pnr r as fatoracoes em primos positivos dos inteiros a e b onde mi ni N Prove que MDCa b pk1 1 pkr r onde ki maxmi ni para i 0 1 2 r 3 20 pontos Seja o domınio de integridade Zi abi a b Z que e chamado de anel dos inteiros de Gauss com as operacoes ja definidas no Trabalho 1 Determine todos os divisores em Zi do elemento 2 Mostre que 1 i e irredutıvel em Zi 4 Sejam w cos 2π 3 isen2π 3 1 2 3 2 i e Zw a bw a b Z onde Zw e um subanel de C Seja ψ Zw 0 N ψa bw a2 ab b2 05 ponto Verificar que w2 w 1 0 05 ponto Calcular 2 5w2 3w 05 ponto Mostre a Propriedade 9 para que Zw seja um anel sem divisores de zero 05 ponto Zw e um corpo Justificar 20 pontos Mostre que Zw ψ e um domınio euclidiano 1 m n inteiros ímpares a b Z m 2a 1 n 2b 1 a 2m 2n 22a 1 22b 1 4a 2 4b 2 4a 2 4b 2 4a 4b 4a b ab Z a b Z 2m 2n4 4a b4 a b Z b m² n² 2a 1² 2b 1² 4a² 4a 1 4b² 4b 1 4a² 4a 1 4b² 4b 1 4a² 4a 4b² 4b 4a² b² a b 4 b ba b a b 4 a ba b 1 Como soma e subtração de inteiros não altera sua paridade 1º se a b é par a b é par a b 1 é ímpar 2º se a b é ímpar a b é ímpar a b 1 é par 1 Em logo para todos os casos ou a b ou a b 1 é par 1º Se a b é par p Z a b 2p m² n² 4a ba b 1 42p a b 1 8p a b 1 8 m² n² 2º Se a b 1 é par q Z a b 1 2q m² n² 4a ba b 1 4 a b 2q 8 a b q 8 m² n² 8 m² n² 2 c m² n² 2 2a 1² 2b 1² 2 4a² 4a 1 4b² 4b 1 2 4a² 4a 4b² 4b 4a² a b² b 4 a² 2 b² b 4a b² 2ab a b 4a b² a b 1 2ab 4a b ² 2ab a b 1 1º a b é par a b 1 é ímpar 2º a b é ímpar a b 1 é par a ba b 1 é par p Z a ba b 1 2p m² n² 2 4 a ba b 1 2ab 4 2p 2ab 42p ab 8 p ab 8 m² n² 2 3 2 a ℤ b ℤ mdcab ℤ Quero provar que mdcab ℤ i1 to r piki ℤ ki minmi ni 1 fija p a ℤ b ℤ α β ℤ p α a β b p α i1 to r pimi β i1 to r pini α i1 to r pimi ki β i1 to r pini ki i1 to r piki i1 to r piki ℤ Como p é arbitrário a ℤ b ℤ mdcab ℤ i1 to r piki ℤ 2 fija q i1 to r piki ℤ x y ℤ q x a y b x a y b x i1 to r pimi y i1 to r pini x i1 to r pimi ki y i1 to r pini ki i1 to r piki Pelo Teorema de Bézout r s ℤ ri1 to r pimi ki si1 to r pini ki mdci1 to r pimi ki i1 to r pini ki Como pi i 1 r são primos e ki i 1 r são minimais não há divisores primos em comum entre i1 to r pimi ki e i1 to r pini ki mdci1 to r pimi ki i1 to r pini ki 1 q i1 to r piki ℤ c ℤ q c i1 to r piki q c 1 i1 to r piki c ri1 to r pimi ki s i1 to r pini ki i1 to r piki c ri1 to r pimi c s i1 to r pini a ℤ b ℤ Como q é arbitrário i1 to r piki ℤ a ℤ b ℤ mdcab ℤ i1 to r piki ℤ mdcab ℤ mdcab i1 to r piki 3 a b i divisor de 2 em ℤi se c d i em ℤi a b ic d i 2 a 0 b 0 c 0 d 0 ac bd ad bc i 2 ac bd 2 I ad bc 0 II II ad bc 0 ad bc I ac bd 2 ac d bd d 2 d bc2 bd2 2 d b c2 d2 2 d c 0 d 0 c2 d2 0 b 2 dc2 d2 0d bc 2dc2d2 c 2cdc2d2 c 0 d 0 a cc2d2 0 b 2dc2d2 2dd2 2d bd Z d 1 d 2 b 1 b 2 d 0 c 0 b 2dc2d2 0 não comum a d bc 0 c 0 d 0 a cc2d2 b 2dc2d2 abi ZZ a cc2d2 b 2dc2d2 cd Z d 0 c2d2c c2d2 2d 4 a w2 w 1 12 32 i2 12 32 i 1 14 34 212 32 i 12 32 i 1 24 32 i 12 32 i 1 12 12 1 0 b 25w 23w 22 23w 25w 53w2 4 4w 15w2 4 4w 4w2 19w2 41 w w2 19 w2 40 19 14 34 212 32 i 1912 32 i 192 1932 i c a bw c dw 0 0 ac ad bc w bd w2 ac ad bc 12 32 i bd 12 32 i ac ad2 bc2 bd2 32 ad bc bd ac 12 ad bc bd 0 I ad bc bd 0 II I bd ad bc II 0 ac 12 ad bc ad bc ac ad bc ac ad bc bd